Lineare Funktion – Wertetabelle

Lineare Funktion – Wertetabelle Übung

• Welche Aussagen zu den Wertetabellen von linearen Funktionen stimmen?

  Tipps

  Zwei Aussagen stimmen.

  $f(x) = y$

  Lösung

  Diese Aussagen sind falsch:

  • „In einer Wertetabelle stehen die Steigung und der $y$-Achsenabschnitt.“
    In einer Wertetabelle stehen Wertepaare $x$ und $f(x) = y$.

  • „Der Abstand zwischen zwei $y$-Werten ist immer doppelt so groß, wie der zwischen den $x$-Werten.“
    Bei gleichem Abstand zwischen den $x$-Werte ist auch der Abstand unter den $y$-Werten immer gleich.

  $~$

  Diese Aussagen sind richtig:

  • „In einer Wertetabelle werden $x$- und die zugehörigen $y$-Werte der Funktion notiert.“

  • „Die $y$-Werte der Funktion kannst du bestimmen, indem du die $x$-Werte in die Funktion einsetzt.“
    Es gilt: $y = f(x)$

• Bestimme eine Wertetabelle für die gegebene Funktion.

  Tipps

  Den $y$-Achsenabschnitt $b$ erhältst du, wenn du $0$ in die Funktionsgleichung einsetzt.

  In der Funktionsgleichung wird $x$ mit $10$ multipliziert. Also wird der $y$-Wert der Funktion immer um $10$ größer, wenn du den $x$-Wert um $1$ erhöhst.

  Lösung

  So kannst du den Lückentext vervollständigen:

  • Zuerst muss er eine Tabelle zeichnen. Hier werden die Werte für $x$ und $y$ in unterschiedliche Zeilen eingetragen.

  Du könntest die Tabelle auch hochkant zeichnen, sodass $x$- und $y$-Werte in unterschiedliche Spalten eingetragen werden. Das bleibt dir überlassen.

  • Anschließend kann er den Wert des $y$-Achsenabschnitts in die $y$-Zeile einzeichnen. Der zugehörige $x$-Wert ist immer Null.

  Den $y$-Achsenabschnitt $b$ erhältst du, wenn du $0$ in die Funktionsgleichung einsetzt. Also ist der Punkt $(0 \vert b)$ immer Teil der Funktion.

  • Danach kann er die Werte schrittweise erhöhen. Erhöht sich der $x$-Wert um eins, dann muss sich der $y$-Wert um zehn erhöhen.

  Diesen Zusammenhang kannst du direkt aus der Funktionsgleichung ablesen. $x$ wird hier mit $10$ multipliziert. Also wird der $y$-Wert der Funktion immer um $10$ größer, wenn du den $x$-Wert um $1$ erhöhst.

  • Für große $x$-Werte kannst du die zugehörigen $y$-Werte auch direkt mit der Funktionsgleichung bestimmen. Dazu setzt du die Werte ein. Für $x=15$ erhalten wir $y=200$ und für $x=22$ ergibt sich $y=270$.

  Dieses Verfahren bietet sich besonders bei großen Funktionswerten an, da du so nicht alle kleineren Werte bestimmen musst. Du kannst es allerdings für jeden der Werte anwenden.

• Ermittle, welche Wertetabelle zu welcher Funktion gehört.

  Tipps

  Um die Wertetabellen zu bestimmen, kannst du bei dem $y$-Achsenabschnitt $b$ beginnen. Der erste Eintrag der Tabelle ist also immer $(0 \vert b)$.

  Im Anschluss kannst du den $x$-Wert um $1$ erhöhen und den $y$-Wert um den Faktor vor dem $x$.

  Lösung

  Um die Wertetabellen zu bestimmen, kannst du bei dem $y$-Achsenabschnitt $b$ beginnen. Der erste Eintrag der Tabelle ist also immer $(0 \vert b)$. Im Anschluss kannst du den $x$-Wert um $1$ erhöhen und den $y$-Wert um den Faktor vor dem $x$.

  So erhältst du für die Funktionen:

  • $f(x)=3x+5$ beinhaltet die Punkte $(0 \vert 5)$ und $(1 \vert 8)$.

  • $g(x)=5x+5$ beinhaltet die Punkte $(0 \vert 5)$ und $(1 \vert 10)$.

  • $h(x)=5x+3$ beinhaltet die Punkte $(0 \vert 3)$ und $(1 \vert 8)$.

  • $i(x)=7x+3$ beinhaltet die Punkte $(0 \vert 3)$ und $(1 \vert 10)$.

  Mit diesen Punkten kannst du die Wertetabellen zuordnen.

• Ermittle die Wertetabelle der Funktion $f(x)=7x + 19$.

  Tipps

  Die Werte der Tabelle kannst du bestimmen, indem du die $x$-Werte direkt in die Funktionsgleichung einsetzt.

  Zum Beispiel erhältst du für $x=2$:

  $f(2)=7 \cdot 2 + 19=14+19=33$

  Lösung

  Um die Wertetabelle zu vervollständigen, setze zuerst den $y$-Achsenabschnitt ein. Auf diese Weise erhältst du den Wert für die erste Zeile. Anschließend kannst du die anderen Werte der Tabelle bestimmen, indem du die $x$-Werte direkt in die Funktionsgleichung einsetzt.

  So erhältst du:

  $f(5)=7 \cdot 5 + 19=35+19=54$

  $f(15)=7 \cdot 15 + 19=105+19=124$

  $f(18)=7 \cdot 18 + 19=126+19=145$

  $f(22)=7 \cdot 25 + 19=154+19=173$

  Damit kannst du die Wertetabelle vervollständigen:

  $\begin{array}{ll} x& y\\ \hline 0& 19\\ 1& 26\\ 5& 54\\ 15& 124\\ 18&145\\ 22&173 \\ \end{array}$

• Bestimme die Werte der Funktion $f(x)=15x+270$.

  Tipps

  Auch bei dieser Tabelle kannst du als ersten Eintrag den $y$-Achsenabschnitt einsetzen.

  Beim letzten Wert bietet es sich an, den $x$-Wert direkt in die Funktionsgleichung einzusetzen.

  Lösung

  Auch bei dieser Tabelle kannst du als ersten Eintrag den $y$-Achsenabschnitt einsetzen.

  Für $x=0$ erhältst du also $y=270$.

  Anschließend kannst du den $x$-Wert schrittweise um eins erhöhen, während du den $y$-Wert um $15$ erhöhst.

  So ergibt sich für $x=1$ also $y=270+15=285$.

  Die folgenden Werte kannst du auf die gleiche Weise bestimmen.

  Bei dem letzten Wert bietet es sich an, den $x$-Wert direkt in die Funktionsgleichung einzusetzen.
  Hier erhältst du:

  $f(20)=15 \cdot 20 + 270=570$

• Erschließe die Wertetabelle.

  Tipps

  Um die Wertetabelle zu vervollständigen, lohnt es sich, eine Funktionsgleichung aufzustellen.

  Der $y$-Achsenabschnitt beschreibt den Anfangszustand der Funktion.

  Der Faktor, mit dem $x$ in der Funktionsgleichung multipliziert wird, entspricht dem Wert, um den sich die Größe verändert, wenn du den $x$-Wert um eins erhöhst. Fertigen wir also jeden Tag $7$ Seiten an, können wir das durch $7x$ ausdrücken.

  Lösung

  Um die Wertetabelle zu vervollständigen, lohnt es sich, eine Funktionsgleichung aufzustellen. Zu Beginn hat Renée bereits $14$ Seiten fertig. Darum beträgt der $y$-Achsenabschnitt $b=14$. Jeden Tag kommen zwei weitere Seiten hinzu. Also können wir die Anzahl der Seiten mit folgender Funktion ausdrücken:

  $f(x)=2x+14$

  Hier können wir die gegebenen $x$-Werte einsetzen, um die zugehörigen $y$-Werte zu bestimmen. So erhalten wir:

  • $f(1)=2 \cdot 1+14 = 16$

  • $f(5)=2 \cdot 5+14 = 24$

  • $f(10)=2 \cdot 10+14 = 34$

  • $f(13)=2 \cdot 13+14 = 40$

  • $f(24)=2 \cdot 10+14 = 62$