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Eigenschaften paralleler Geraden im Koordinatensystem

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Team Digital
Eigenschaften paralleler Geraden im Koordinatensystem
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Grundlagen zum Thema Eigenschaften paralleler Geraden im Koordinatensystem

Inhalt

Einführung: Was sind parallele Geraden?

Schienen auf einer langen Bahnstrecke, auf der es nur geradeaus geht, sehen aus wie parallele Geraden. Sie müssen immer den gleichen Abstand haben, sonst würde der Zug entgleisen. Dies ist nur eins von vielen Beispielen für parallele Geraden im Alltag. Dabei ist es oft interessant, zu wissen, welche Geraden wirklich parallel zueinander verlaufen.

In diesem Video lernst du, wie du herausfinden kannst, wann zwei Geraden zueinander parallel sind. Außerdem findest du hier bei sofatutor interaktive Übungen und Arbeitsblätter mit vielfältigen Aufgaben zu parallelen Geraden.

Parallele Geraden – Erklärung und Einordnung

Als Beispiel schauen wir uns die beiden Geraden mit den Gleichungen $y=3x+6$ und $y=3x+5$ an. Wie überprüft man nun, ob diese zwei Geraden wirklich parallel zueinander sind? Hierfür brauchen wir die Definition paralleler Geraden:

  • Geraden liegen parallel zueinander, wenn sie die gleiche Steigung, aber unterschiedliche $\mathbf{y}$-Achsenabschnitte besitzen.

In diesem Beispiel können wir die Steigung und den $y$-Achsenabschnitt leicht aus den Geradengleichungen ablesen, denn sie liegen schon in Normalform vor. Die Normalform einer Geraden lautet: $y=mx+b$, mit der Steigung $m$ und dem $y$-Achsenabschnitt $b$. Die Steigung ist bei beiden Geraden mit $m_1=m_2=3$ identisch. Die $y$-Achsenabschnitte unterscheiden sich allerdings: Für die erste Gerade ist $b_1=6$ und für die zweite Gerade gilt $b_2=5$. Diese beiden Geraden erfüllen also die Eigenschaften paralleler Geraden, sie liegen somit parallel zueinander.

So sehen diese beiden Geraden aus, wenn sie im Koordinatensystem gezeichnet werden:

Wie zeichnet man zwei parallele Geraden

Gleichungssysteme lösen bei parallelen Geraden

Wir können die beiden Gleichungen von oben auch als Gleichungssystem auffassen, für das wir eine Lösung suchen. Dafür verwenden wir das Gleichsetzungsverfahren. Da die linke Seite bei beiden Gleichungen identisch ist, setzen wir die rechten Seiten gleich:

$3x+6 = 3x+5$

Hier können wir nun auf beiden Seiten $3x$ abziehen. Dann erhalten wir

$6=5$

Das ist eine falsche Aussage! Das bedeutet, dass es keine Lösung für das Gleichungssystem gibt, die beiden Geraden haben keinen gemeinsamen Punkt.
Wir merken uns: Parallele Geraden haben keinen Schnittpunkt.
Dies ist ein zweiter Weg, um zu berechnen, ob zwei Geraden parallel sind.

Parallele Geraden – Beispiel

Wir schauen uns noch ein weiteres Beispiel an, für das wir bestimmen wollen, ob es sich um parallele Geraden handelt. Und zwar die zwei Geraden mit den folgenden Gleichungen:

$2x+8y=1$

$-x=4y-2$

Auf den ersten Blick können wir nicht erkennen, ob diese beiden Geraden parallel zueinander liegen. Um dies nun herauszufinden, können wir die beiden Gleichungen auf die Normalform bringen, um dann die Steigung und den $y$-Achsenabschnitt daran direkt abzulesen.

Wir beginnen mit der ersten Gleichung:

$\begin{array}{rlll} 2x+8y&=&1 &| -2x \\ \\ 8y &=& – 2x +10 &| :8 \\ \\ y &=& -\frac{1}{4}x+\frac{5}{4} &\\ \end{array} $

Die Normalform zu dieser Geradengleichung lautet also: $y = -\frac{1}{4}x+\frac{5}{4}$. Die Steigung ist $m=-\frac{1}{4}$ und der $y$-Achsenabschnitt ist $b=\frac{5}{4}$.

Nun bringen wir die zweite Gleichung in die Normalform:

$\begin{array}{rlll} -x&=&4y-2&| +2 \\ \\ -x+2 &=& 4y &| :4 \\ \\ -\frac{1}{4}x+\frac{1}{2} &=& y&\\ \end{array} $

Die Normalform zu der zweiten Gerade lautet also: $y = -\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}$. Die Steigung ist $m=-\frac{1}{4}$ und der $y$-Achsenabschnitt ist $b=\frac{1}{2}$.

Wir vergleichen nun die beiden Gleichungen. Beide haben die gleiche Steigung $m=-\frac{1}{4}$, aber sie haben unterschiedliche $y$-Achsenabschnitte. Das ist genau die Definition von parallelen Geraden. Damit sind die beiden Geraden parallel.

Das können wir erneut rechnerisch überprüfen, indem wir die beiden Terme gleichsetzen und versuchen, nach $x$ aufzulösen:

$\begin{array}{rlll} -\frac{1}{4}x+\frac{5}{4}&=& -\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}&|+\frac{1}{4}x \\ \\ \frac{5}{4}&=&\frac{1}{2}& \\ \\ \end{array} $

Wir erhalten auch hier eine falsche Aussage. Das bedeutet, dass die beiden Geraden keinen Schnittpunkt besitzen.

Zusammenfassung: parallele Geraden

Zwei Geraden liegen parallel zueinander, wenn sie die gleiche Steigung, aber unterschiedliche $\mathbf{y}$-Achsenabschnitte haben. Um das zu überprüfen, kann man die Gleichungen der beiden Geraden in Normalform $y=mx+b$ bringen und daran die Steigung $m$ und den $y$-Achsenabschnitt $b$ ablesen, um diese Bedingungen für parallele Geraden zu prüfen.

Alternativ kann man das Gleichsetzungsverfahren anwenden. Dazu setzt man die rechten Seiten der Gleichungen in Normalform gleich und versucht, nach $x$ aufzulösen. Erhält man dabei eine falsche Aussage, zum Beispiel $5=6$, so weiß man, dass die Geraden sich niemals schneiden. Sie haben also keinen Schnittpunkt und liegen somit parallel zueinander.

Zusätzlich zum Text und dem Video findest du hier bei sofatutor noch Übungen und Arbeitsblätter zum Thema Eigenschaften paralleler Geraden im Koordinatensystem.

Transkript Eigenschaften paralleler Geraden im Koordinatensystem

Willkommen in Himmelsstadt, errichtet auf zwei miteinander verbundenen Inseln in den Wolken. Bürger reisen zwischen der Ober- und der Unterstadt mit den weltbekannten Parallelkabelbahnen. Zwei einander Fremde, Kassandra und Filou, fahren jeden Tag mit der Bahn aneinander vorbei. Kassandra ist dabei stets auf dem Weg in die Oberstadt, Filou ist unterwegs in die Unterstadt. Sie werden sich wohl niemals treffen. Aber weißt du auch, warum? Um das herauszufinden, schauen wir uns die Eigenschaften paralleler Geraden an. Die Routen der Parallelkabelbahnen von Himmelsstadt werden durch diese Gleichungen dargestellt. Liegen dieses Geraden wirklich parallel zueinander? Geraden liegen parallel zueinander, wenn sie die gleiche Steigung, aber unterschiedliche y-Achsenabschnitte besitzen. Wir können die Steigungen und y-Achsenabschnitte leicht aus diesen Gleichungen ablesen, da sie sich schon in der Normalform befinden: y = mx + b. Die Steigung m ist bei beiden Gleichungen 3, die Steigungen sind also identisch. Die y-Achsenabschnitte b unterscheiden sich allerdings: Sie lauten 5 bzw. 6. Diese linearen Gleichungen besitzen die gleiche Steigung und unterschiedliche y-Achsenabschnitte, sie liegen also parallel zueinander. So sehen die Geraden aus, wenn wir sie in ein Koordinatensystem einzeichnen. Beide Geraden sind in Aussehen und Anstieg identisch, verlaufen aber durch völlig unterschiedliche Punkte. Das bedeutet, dass sich diese Geraden niemals schneiden werden. Weißt du noch, wie wir Gleichungssysteme gelöst haben, um Schnittpunkte zu bestimmen? Was wird wohl passieren, wenn wir dieses Gleichungssystem lösen wollen, obwohl wir doch wissen, dass sich die Geraden niemals schneiden? Nehmen wir dafür an, die y-Werte beider Gleichungen seien identisch. Dann können wir 3x + 5 gleich 3x + 6 setzen. Wir subtrahieren von beiden Seiten 3x, um die Variable zu isolieren und erhalten 5 = 6. Moment mal, das stimmt doch gar nicht! Wenn das Ergebnis eines Gleichungssystems eine mathematisch falsche Aussage ist, dann bedeutet das, dass es kein Wertepaar gibt, das das Gleichungssystem löst. Außerdem bedeutet es, dass es keinen Schnittpunkt der Geraden gibt. Sie liegen also parallel. Schauen wir uns ein anderes Gleichungssystem an. Schwer zu sagen, ob diese Geraden parallel liegen. Wir schreiben also die Gleichungen in die Normalform y = mx + b um. So können wir ganz einfach die Steigungen und die y-Achsenabschnitte ablesen. Wir beginnen mit der ersten Gleichung: 2x + 8y = 10. Um nach y aufzulösen, subtrahieren wir 2x von beiden Seiten und teilen dann beide Seiten durch 8. Dann kürzen wir die Brüche. Nun lautet unsere Gleichung y = -1/4x + 5/4. Die Steigung m ist also -1/4 und der y-Achsenabschnitt b beträgt 5/4. Bringen wir nun die zweite Gleichung in die Normalform. Wir isolieren y mit Äquivalenzumformungen, indem wir 2 zu beiden Seiten addieren und dann beide Seiten durch 4 teilen, um den Koeffizienten von y zu eliminieren. Dann kürzen wir die Brüche und erhalten so die Gleichung -1/4 + 1/2 = y. Um das in eine vertrautere Form zu bringen, tauschen wir die Seiten, sodass das y links steht. Nun sehen wir, dass die Steigung m -1/4 ist und der y-Achsenabschnitt b ist 1/2. Wir vergleichen die beiden Gleichungen und sehen, dass sie identische Steigungen, aber unterschiedliche y-Achsenabschnitte besitzen. Hey, das ist doch die Definition von parallelen Geraden. Um das zu überprüfen, können wir die beiden Terme gleichsetzen. Ganz klar, wenn wir versuchen, nach x aufzulösen, indem wir 1/4 x zu beiden Seiten addieren, erhalten wir die falsche Aussage 5/4 = 1/2. Die beiden Geraden besitzen also keinen Schnittpunkt! Fassen wir zusammen. Wenn du wissen willst, ob zwei Geraden parallel liegen, bringst du ihre entsprechenden Gleichungen in die Normalform y = mx + b. Geraden liegen parallel zueinander, wenn sie die gleiche Steigung, aber unterschiedliche y-Achsenabschnitte besitzen. Du kannst auch das Gleichsetzungsverfahren anwenden und dann versuchen, nach x aufzulösen. Wenn du eine falsche Aussage, wie zum Beispiel 5 = 6, erhältst, dann werden sich die Geraden niemals schneiden, sie liegen also parallel zueinander. Aber wenn sich die Geraden niemals schneiden, bedeutet das dann, dass sich Kassandra und Filou niemals treffen werden?

6 Kommentare

6 Kommentare
  1. Die armen : ( ;D
    Aber das video war sehr hilfreich <3! Danke!

    Von Caralie, vor 5 Monaten
  2. biep

    Von Pablo, vor 10 Monaten
  3. Die könnten auch ein Stock oder so nehmen

    Von Misterdoenerhd, vor fast 2 Jahren
  4. Wow sie können doch sagen welcher nummer die hat und anrufen.
    Muss man auf papier schreiben?🤔

    Von scott l., vor etwa 2 Jahren
  5. Servus
    😈😈😈😈💀💀💀💀

    Von Stefan S., vor etwa 2 Jahren
Mehr Kommentare

Eigenschaften paralleler Geraden im Koordinatensystem Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Eigenschaften paralleler Geraden im Koordinatensystem kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die korrekten Aussagen zu parallelen Geraden.

    Tipps

    Schneiden zwei Geraden mit gleicher Steigung die $y$-Achse am selben Punkt, dann sind diese Geraden identisch.

    Eine Geradengleichung in Normalform sieht so aus:

    $y=m \cdot x + b$

    Hier ist $m$ die Steigung der Geraden und $b$ heißt $y$-Achsenabschnitt.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    „Geraden liegen parallel zueinander, wenn sie die gleiche Steigung und den gleichen $y$-Achsenabschnitt besitzen.“

    • Parallele Geraden haben die gleiche Steigung aber einen unterschiedlichen $y$-Achsenabschnitt. Ist der $y$-Achsenabschnitt ebenfalls identisch, handelt es sich um identische Geraden.
    „Wenn das Ergebnis eines Gleichungssystems eine mathematisch falsche Aussage ist, bedeutet dies, dass das Gleichungssystem genau eine Lösung hat.“

    • In diesem Fall hat das Gleichungssystem keine Lösung. Hast du das Gleichungssystem für zwei Geraden aufgestellt, heißt das, dass sich diese Geraden nicht schneiden.
    Diese Aussagen sind korrekt:

    „Ist eine Geradengleichung in der Normalform gegeben, kannst du Steigung und $y$-Achsenabschnitt direkt ablesen.“

    „Um Steigung und $y$-Achsenabschnitt einer Geraden ablesen zu können, ist es hilfreich, die Gerade in die Normalform zu bringen.“

    • Da du von Gleichungen in der Normalform diese beiden Parameter direkt ablesen kannst, ist es hilfreich, die Gerade so umzuschreiben.
    „Parallele Geraden schneiden sich niemals.“

  • Beschreibe, wie man die Parallelität zweier Geraden bestimmt.

    Tipps

    Beim Gleichsetzen von Geradengleichungen nehmen wir an, dass die $y$-Werte identisch sind. Daher setzen wir die jeweils andere Seite der Gleichung gleich.

    Erhalten wir beim Lösen eines Gleichungssystems eine mathematisch falsche Aussage, heißt das, dass das System keine Lösung besitzt.

    Lösung

    So kannst du den Lückentext vervollständigen:

    „Die beiden Geraden haben die gleiche Steigung, jedoch verschiedene $y$-Achsenabschnitte. Also sind sie parallel.

    Die beiden Geraden werden sich also niemals schneiden.“

    • All dies sind Eigenschaften paralleler Geraden. Du solltest dir sie gut einprägen.
    „Rechnerisch können wir das durch Gleichsetzen beweisen. Dann erhalten wir:

    $3x+6=3x+5$“

    • Beim Gleichsetzen von Geradengleichungen nehmen wir an, dass die $y$-Werte identisch sind. Daher setzen wir die jeweils andere Seite der Gleichung gleich.
    „Subtrahieren wir $3x$ von beiden Seiten der Gleichung, erhalten wir:

    $6=5$

    Dies ist eine mathematisch falsche Aussage. Somit können wir feststellen, dass die Kabel sich niemals kreuzen werden. “

    • Um das Gleichungssystem zu lösen, wollen wir die Variable $x$ isolieren. Dabei verschwindet diese aber und wir erhalten eine mathematisch falsche Aussage ($5=6$). Das bedeutet, dass das Gleichungssystem keine Lösung hat. Da wir mit dem Gleichungssystem herausfinden wollten, wo sich die Geraden schneiden, heißt das, dass sie sich niemals schneiden.
  • Bestimme die Steigung der jeweiligen Geraden.

    Tipps

    Um die Steigungen von Geraden zu vergleichen, musst du die Geraden in folgende Normalform umschreiben:

    $y=mx+b$

    In der Normalform gibt der Parameter $m$ die Steigung der Geraden an.

    Lösung

    Um die Steigungen von Geraden zu vergleichen, musst du die Geradengleichungen in die Normalform umschreiben. Diese lautet:

    $y=m \cdot x + b$

    Du musst also die Variable $y$ isolieren. Dafür musst du Schritt für Schritt alles, was auf der Seite dieser Variablen steht, auf die andere Seite der Gleichung bringen. Das geht beispielsweise so:

    $\begin{array}{&&} \dfrac{y+5}{4} &=x &\vert \cdot 4 \\ y+5 &= 4x &\vert -5 \\ y&= 4x-5\\ \end{array}$

    Oder so:

    $\begin{array}{&&} \dfrac{y}{2}+1&=3x &\vert -1\\ \dfrac{y}{2} &= 3x -1 &\vert \cdot 2\\ y&= 6x-2\\ \end{array}$

    Die anderen Gleichungen kannst du ähnlich umformen. Beachte dabei immer die Regel „Punkt vor Strich“! Dann erhältst du:

    Diese Gleichungen haben die Steigung $m=4$:

    • $y-3=4x~ \Leftrightarrow ~ y=4x+3$
    • $\dfrac{y+5}{4}=x~ \Leftrightarrow ~ y=4x-5$
    Diese Gleichungen haben die Steigung $m=-5$:

    • $-y-4=5x ~ \Leftrightarrow ~ y=-5x-4$
    • $3y+15x=9 ~ \Leftrightarrow ~ y=-5x+3$
    Diese Gleichungen haben die Steigung $m=6$:

    • $\dfrac{y}{3}=2x+1 ~\Leftrightarrow ~y=6x+3$
    • $\dfrac{y}{2}+1=3x~\Leftrightarrow y= 6x-2$
  • Ermittle, welche der jeweiligen Geraden parallel zueinander sind.

    Tipps

    Um herauszufinden, welche der Geraden parallel sind, kannst du alle Geradengleichung in die Normalform $y=mx+b$ umschreiben und die Steigungen vergleichen.

    Haben zwei Geraden gleiche Steigungen $m$, aber unterschiedliche $y$-Achsenabschnitte $b$, sind sie parallel.

    Lösung

    Um herauszufinden, welche der Geraden parallel sind, kannst du alle Geradengleichungen in die Normalform $y=mx+b$ umstellen und die Steigungen $m$ vergleichen. Haben zwei Geraden gleiche Steigungen $m$, aber unterschiedliche $y$-Achsenabschnitte $b$, sind sie parallel.

    Beispielsweise kannst du die Geradengleichung $\dfrac{y+1}{5}=x$ wie folgt umstellen:

    $\begin{array}{&&} \dfrac{y+1}{5}&=x &\vert \cdot 5 \\ y+1 &= 5x &\vert -1 \\ y&= 5x-1\\ \end{array}$

    Diese Gerade dieser Gleichung hat dieselbe Steigung wie die Gerade zur Gleichung: $y=5x-4$. Die $y$-Achsenabschnitte sind allerdings verschieden. Somit sind die Geraden parallel. Die anderen Paare kannst du genauso bestimmen. Dann erhältst du:

    • $x+y-1=0~\Leftrightarrow~ y=-x+1$ ist parallel zu $y=-x+4$
    • $3(y-3x)=6~\Leftrightarrow~ y=3x+2$ ist parallel zu $y=3x+9$
    • $-2y=x+6~\Leftrightarrow~ y=-\dfrac{1}{2}x-3$ ist parallel zu $y=-\dfrac{1}{2} x -2$
    Diese Geraden sind nicht parallel zu einer anderen gegebenen Geraden:

    • $y=5x-1$ ist identisch mit der Gleichung $\dfrac{y+1}{5}=x$, weshalb die Geraden aufeinander liegen und unendlich viele Schnittpunkte haben.
    • $y=\dfrac{1}{2}x-3$ hat nicht dieselbe Steigung wie $-2y=x+6$, denn $y = -\dfrac{1}{2} x -3 \neq \dfrac{1}{2}x-3$. Die Geraden dieser Gleichungen schneiden sich somit an einem Punkt.
  • Gib an, welche Geraden parallel sind.

    Tipps

    Parallele Geraden schneiden sich niemals. Siehst du also, dass zwei Geraden sich schneiden, können sie nicht parallel sein.

    Zwei Geraden haben dieselbe Steigung, wenn sich der Abstand der beiden Geraden nie verändert.

    Lösung

    So kannst du herausfinden, welche Geraden parallel sind:

    Parallele Geraden schneiden sich niemals. Siehst du also, dass zwei Geraden sich schneiden, können sie nicht parallel sein.

    Allerdings kann es sein, dass sich Geraden zwar schneiden, das aber nicht im gezeigten Ausschnitt der Graphen passiert. Hier musst du überprüfen, ob die Steigungen der Geraden gleich ist. Das ist der Fall, wenn die Geraden an jedem Punkt denselben Abstand zueinander haben. Das ist bei den hier gezeigten Geraden der Fall.

  • Ermittle welche der Geraden senkrecht zueinander stehen.

    Tipps

    Um herauszufinden, welche Geraden parallel sind, musst du das Produkt der beiden Geradensteigungen berechnen. Ist dieses gleich $-1$, liegen die Geraden senkrecht zueinander.

    Bei zwei Geraden, die die Steigungen $m_1=-2$ und $m_2=\frac{1}{2}$ besitzen, rechnest du also:

    $m_1 \cdot m_2= -2 \cdot \frac{1}{2} = -1 $

    Diese zwei Geraden liegen also senkrecht zueinander!

    Lösung

    Um herauszufinden, welche Geraden parallel sind, musst du das Produkt der beiden Geradensteigungen berechnen. Ist dieses gleich $-1$, liegen die Geraden senkrecht zueinander. Für das erste Geradenpaar gilt:

    $m_1 \cdot m_2= 3 \cdot (-\frac{1}{3}) = -\frac{3}{3}=-1$

    Sie stehen also senkrecht zueinander.

    Für die nächsten beiden Geraden gilt:

    $m_1 \cdot m_2= \frac{2}{3} \cdot (-\frac{6}{2}) = -\frac{12}{6}=-2$

    Damit sind sie nicht senkrecht zueinander.

    So erhältst du, dass diese Geraden nicht senkrecht zueinander stehen:

    „Gerade $g_1$ hat eine Steigung von $m_1=\frac{2}{3}$ und Gerade $g_2$ hat eine Steigung von $m_2=-\frac{6}{2}$.“

    • Hier ist: $m_1 \cdot m_2=-2$
    „$g_1:y=4x+4$ und $g_2:y=\frac{1}{8}x-3$“

    • Hier ist: $m_1 \cdot m_2=\frac{1}{2}$
    Diese Geraden stehen senkrecht zueinander:

    „$g_1:y=3x+4$ und $g_2:y=-\frac{1}{3}x-3$“

    „Gerade $g_1$ hat eine Steigung von $m_1=\frac{2}{5}$, während $g_2$ eine Steigung von $m_2=-\frac{10}{4}$ besitzt.“

    • Hier gilt jeweils: $m_1 \cdot m_2=-1$
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