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Gleichsetzungsverfahren

Wenn du ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen lösen möchtest, benutzt du das Gleichsetzungsverfahren. Dabei löst du die Gleichungen Schritt für Schritt auf, um die Lösung zu finden. Finde heraus, wie du vorgehen musst und wann dieses Verfahren angewendet wird. Neugierig geworden? All das und noch mehr kannst du im folgenden Text entdecken!

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Team Digital
Gleichsetzungsverfahren
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung zum Video Gleichsetzungsverfahren

Du weißt schon, was eine Gleichung mit zwei Unbekannten ist. Du weißt auch, was ein Gleichungssystem ist. In diesem Video lernst du ein neues Verfahren kennen, mit dem Gleichungssysteme gelöst werden können: das Gleichsetzungsverfahren. Du lernst, welche Schritte in diesem Verfahren nacheinander durchgeführt werden müssen. Außerdem erfährst du, welche Lösungsmöglichkeiten es gibt. Dazu werden verschiedene Beispiele berechnet. Ergänzend zum Video findest du auf dieser Seite Übungsaufgaben zum Gleichsetzungsverfahren.

Grundlagen zum Thema Gleichsetzungsverfahren

Das Gleichsetzungsverfahren bei linearen Gleichungssystemen

Ein lineares Gleichungssystem (LGS) besteht häufig aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Variablen, auch Unbekannte genannt. Lineare Gleichungssysteme können auch aus mehr als zwei Gleichungen und zwei Variablen bestehen, es gelten aber für alle Gleichungssysteme die gleichen Grundlagen.

Um Gleichungssysteme darzustellen, gibt es verschiedene Schreibweisen, zum Beispiel:

$~~\bullet ~~\begin{array}{crcr} (I) & 2x + 5y &=& 23 \\ (II) & 2x – 3y &=& -1 \end{array}$

$~~\bullet ~~\quad \begin{array}{|lcr|} ~y & = & x -5~ \\ ~y & = & 2x +3~ \\ \end{array}$

$~~\bullet ~~\begin{array}{lrcr} & 2x + 5y &=& 23\\ \wedge & 2x – 3y &=& -1 \\ \end{array}$

Im letzten Beispiel siehst du durch den logischen Operator $\wedge$, der und bedeutet, dass beide Gleichungen verknüpft sind. Es wird also das Lösungspaar $(x; y)$ gesucht, das beide Gleichungen erfüllt.

Lösungsmöglichkeiten linearer Gleichungssysteme – Gleichsetzungsverfahren und Co.

Es gibt unterschiedliche Verfahren, um lineare Gleichungssysteme zu lösen. In der Schule begegnen dir zunächst diese Verfahren:

Das Gleichsetzungsverfahren solltest du dann wählen, wenn beide Gleichungen bereits nach $y$ oder $x$ aufgelöst sind. Dann kannst du die beiden Terme auf der anderen Seite vom Gleichheitszeichen gleichsetzen, da sie jeweils nur noch die andere Variable enthalten. Anschließend löst du die neue Gleichung nach der zweiten Variablen auf.

Anzahl der Lösungen linearer Gleichungssysteme

Bei der Lösung von linearen Gleichungssystemen gibt es drei unterschiedliche Fälle:

  • Keine Lösung
    $\Leftrightarrow$ Durch das Umformen erhältst du eine Gleichung, die nicht erfüllt ist.
  • Genau eine Lösung
    $\Leftrightarrow$ Durch das Umformen erhältst du konkrete und eindeutige Werte für $x$ und $y$.
  • Unendlich viele Lösungen
    $\Leftrightarrow$ Durch das Umformen erhältst du zwei Gleichungen, die komplett identisch sind.

Schrittweise Lösung mit dem Gleichsetzungsverfahren

Im Folgenden schauen wir uns lineare Gleichungssysteme mit genau einer Lösung an. Um sie mit dem Gleichsetzungsverfahren zu lösen, gehst du wie folgt vor:

  1. Du formst beide Gleichungen so um, dass die gleiche Variable jeweils auf einer Seite der Gleichung allein steht.
  2. Nun setzt du die jeweils anderen Seiten gleich. Daher kommt der Name des Verfahrens.
  3. Du erhältst so eine Gleichung, in der nur noch eine Variable vorkommt. Löse diese Gleichung mithilfe von Äquivalenzumformungen.
  4. Setze die so erhaltene Lösung in eine der beiden Gleichungen aus dem ersten Schritt ein und ermittle damit den Wert für die andere Variable.

Gleichsetzungsverfahren – Beispiel 1

Schau dir das folgende lineare Gleichungssystem an:

$\begin{array}{crcl} \text{I}&3x-6y&=&21\\ \text{II}&x+y-1&=&0 \end{array}$

1. Schritt: Forme zunächst beide Gleichungen nach $x$ um:

Gleichung $\text{I}$:

$\begin{array}{rclll} 3x-6y&=&21&|&+6y\\ 3x&=&6y+21&|&:3\\ x&=&2y+7 \end{array}$

Gleichung $\text{II}$:

$\begin{array}{rclll} x+y-1&=&0&|&+1\\ x+y&=&1&|&-y\\ x&=&-y+1\end{array}$

2. Schritt: Setze die jeweils anderen Seiten der Gleichungen gleich:

Du erhältst so die Gleichung $2y+7=-y+1$, die nur noch von der Variablen $y$ abhängt.

3. Schritt: Löse diese Gleichung:

$\begin{array}{rclll} 2y+7&=&-y+1&|&-7\\ 2y&=&-y-6&|&+y\\ 3y&=&-6&|&:3\\ y&=&-2 \end{array}$

Die Lösung für $y$ ist bereits gefunden. Es fehlt nur noch ein Schritt.

4. Schritt: Setze $y=-2$ in die Gleichung $\text{I}$ oder $\text{II}$ ein:

Mit $x=-y+1$ erhältst du $x=-(-2)+1=3$. Nun bist du fertig. Du hast das Lösungspaar $(3|-2)$ gefunden.

Das Gleichsetzungsverfahren funktioniert natürlich auch, wenn die beiden Gleichungen nach $y$ statt nach $x$ aufgelöst sind. Nach dem Gleichsetzen erhältst du dann zunächst eine Lösung für $x$, die du anschließend in eine der beiden Ausgangsgleichungen einsetzt und so eine Lösung für $y$ ermittelst.

Gleichsetzungsverfahren – Beispiel 2

Bei manchen Beispielen kann es auch durchaus sinnvoll sein, dass nicht entweder $x$ oder $y$ auf einer Seite allein steht. Zum Vermeiden von Rechnen mit Brüchen könnte auch durchaus ein Vielfaches einer dieser Variablen dort stehen.

$\begin{array}{crcl} \text{I}&3x+4y&=&5\\ \text{II}&x+y&=&2 \end{array}$

1. Schritt

Forme die obere Gleichung nach $3x$ um. Durch Subtraktion von $4y$ kommst du zu ${3x=-4y+5}$.

Nun kommt die untere der beiden Gleichungen: Subtrahiere $y$ zu $x=-y+2$. Multipliziere diese Gleichung nun mit $3$. Du erhältst dann $3x=-3y+6$.

2. Schritt

Setze die Gleichungen gleich zu $-4y+5=-3y+6$.

3. Schritt

Löse die so erhaltene Gleichung:

$\begin{array}{rclll} -4y+5&=&-3y+6&|&-5\\ -4y&=&-3y+1&|&+3y\\ -y&=&1&|&\cdot (-1)\\ y&=&-1 \end{array}$

4. Schritt

Setze $y=-1$ in die Gleichung $x=-y+2$ ein. So erhältst du $x=-(-1)+2=3$. Das Lösungspaar lautet hier $(3|-1)$.

Gleichsetzungsverfahren – Beispiel 3

Zu guter Letzt noch eine der allseits beliebten Textaufgaben: Paul und sein Opa sind gemeinsam $55$ Jahre alt. Pauls Opa ist $10$-mal so alt wie Paul.

Stelle zunächst einmal das lineare Gleichungssystem auf. Verwende hierbei $x$ für das Alter von Paul und $y$ für das seines Opas.

$\begin{array}{crcl} \text{I}&x+y&=&55\\ \text{II}&y&=&10x \end{array}$

1. Schritt

Da in der unteren Gleichung bereits $y$ allein steht, formst du auch die obere nach $y$ um. Subtrahiere hierfür $x$ zu $y=55-x$.

2. Schritt

Nun kannst du die Gleichungen gleichsetzen: $55-x=10x$.

3. Schritt

Löse nun die Gleichung:

  • Addiere hierfür $x$ zu $55=11x$.
  • Nun kannst du durch $11$ dividieren und erhältst $x=5$.

4. Schritt

Setze $x=5$ in $y=10x$ ein. So gelangst du zu $y=10\cdot 5=50$.

Vergiss bei Textaufgaben den Antwortsatz nicht: Paul ist fünf Jahre alt und sein Opa $50$ Jahre.

Gleichsetzungsverfahren – Zusammenfassung

Hier siehst du noch einmal die wichtigsten Informationen zum Gleichsetzungsverfahren als Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme auf einen Blick:

Gleichsetzungsverfahren

  • Schritt 1: Gleichungen nach der gleichen Variablen auflösen

  • Schritt 2: Die jeweils anderen Gleichungsseiten gleichsetzen

  • Schritt 3: Die erste Variable durch Umformen bestimmen

  • Schritt 4: Den Wert der Variablen in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen einsetzen, um auch die zweite Variable zu bestimmen

Häufig gestellte Fragen zum Thema Gleichsetzungsverfahren

Was ist das Gleichsetzungsverfahren?
Wie funktioniert das Gleichsetzungsverfahren?
Sollte man das Gleichsetzungsverfahren oder Einsetzungsverfahren anwenden?

Transkript Gleichsetzungsverfahren

Das ist Harry Hering. Bei ihm muss immer alles im Gleichgewicht sein, wenn dies einmal nicht so ist, gibt es ein Problem. Das ist fast so wie bei linearen Gleichungssystemen. Und solche linearen Gleichungssysteme kann man mit dem Gleichsetzungsverfahren lösen. Schauen wir uns dazu diese beiden linearen Gleichungen an. Zusammen ergeben sie ein lineares Gleichungssystem. Dieses zu lösen bedeutet, eine gemeinsame Lösung für beide Gleichung zu finden. Das heißt, dass ein Wertepaar für x und y beide Gleichungen löst. Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen kann genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen haben. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, es zu lösen. Wir werden uns nun das Gleichsetzungsverfahren ansehen. Das bietet sich vor allem an, wenn beide Gleichungen nach derselben Variablen aufgelöst sind. In unserem Beispiel ist dies y, diese Voraussetzung ist also erfüllt. Der erste Schritt ist dann, die beiden anderen Terme gleichzusetzen. Dadurch erhalten wir eine Gleichung mit nur einer Variablen. Als zweiten Schritt formen wir diese Gleichung so um, bis wir einen Wert für x herausfinden. Beim Umformen müssen wir darauf achten, dass wir nur Glieder mit derselben Variable oder die Glieder, die keine Variable enthalten zusammenfassen dürfen. Wir rechnen hier also minus 2x plus 5 und geteilt durch 4 und erhalten als Lösung für x 5. Nun müssen wir nur noch den Wert der anderen Variablen herausfinden, hier also y. Dafür setzen wir x in eine der ursprünglichen Gleichungen ein. Wir wählen hier die erste. Rechnen wir dies aus, so erhalten wir y ist gleich 25. Dieses lineare Gleichungssystem hat also das Zahlenpaar (5I25) als Lösung. Als letzten Schritt wollen wir nun die Lösung überprüfen und die Probe durchführen. Dafür setzen wir die Werte für x und y in beide Gleichungen ein und überprüfen, ob eine wahre Aussage entsteht. Wir rechnen also 6 mal 5 minus 5 und 2 mal 5 plus 15 und sehen, dass bei beiden Gleichungen 25=25 herauskommt. Das sind wahre Aussagen, also ist das Wertepaar 5...25 die richtige Lösung. Jetzt haben wir ein lineares Gleichungssystem gesehen, dass eine Lösung hat. Wie muss es denn aussehen, wenn es keine oder unendlich viele Lösungen hat? Betrachten wir dazu zunächst dieses Lineare Gleichungssystem. Setzen wir diese beiden Terme gleich und versuchen nach x aufzulösen so sehen wir, dass wir eine Gleichung ohne Variable erhalten. Und diese ist offenbar nicht wahr, denn 3 ist ungleich 5. Daher hat dieses lineare Gleichungssystem keine Lösung. Schauen wir uns ein weiteres Beispiel an. Ach, das sind ja die gleichen Gleichungen. Ist dies der Fall, so hat das lineare Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. Für jeden x-wert, den wir einsetzen erhalten wir jeweils den gleichen y-Wert. Setzen wir für x zum Beispiel 5 ein so erhalten wir für y bei beiden Gleichungen -2. Setzen wir für x 40 ein so erhalten wir für y jeweils -37. Fassen wir zusammen. Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen kann genau eine Lösung, keine Lösung oder unendlich viele Lösungen haben. Eine Möglichkeit ein Lineares Gleichungssystem zu lösen ist das Gleichsetzungsverfahren. Voraussetzung dafür ist, dass beide Gleichungen nach der gleichen Variablen aufgelöst sind. Der erste Schritt ist dann, die beiden anderen Terme gleichzusetzen. Als zweiten Schritt findest du den Wert für diese Variable heraus. Der dritte Schritt ist es, den Wert der anderen Variablen herausfinden. Dafür setzen wir den Wert der ersten Variablen in eine der Gleichungen ein. Vergiss nicht am Ende noch die Probe zu machen. Und Harry? Na, sein Problem hat sich wohl schon von selber gelöst.

11 Kommentare
11 Kommentare
  1. ICH FINDE DAS VIDEO ECHT GUT.ES WAR GUT PRÄSENTIERT MIT EINEM GUTEN TEMPO UND COOLEN ANIMATIONEN.ICH FINDE ES AUCH GUT,DASS ES BEI DEN BEISPIELEN GENAUER ERKLÄRT WIRDE UND DAS AUCH SCHRITT FÜR SCHRITT.DAS THEMA IST JEDOCH SEHR SCHWER DESWEGEN SCHUAE ICH MIR DAS VIDEO MEHRMALS AN UM ES GENAUER ZU VERSTEHEN.

    Von Giani, vor 18 Tagen
  2. Ich finde das Video sehr gut. Zum ersten Mal habe ich Mathe alleine Verstanden! Vielen Dank!!!

    Von Alper, vor 4 Monaten
  3. wegen diesem video kann ich es jetzt besser

    Von Melanie Obach, vor mehr als 3 Jahren
  4. sehr gutes video

    Von Melanie Obach, vor mehr als 3 Jahren
  5. Hallo Gesa Wittekindt,
    habt ihr in der Schule auch schon das Einsetzungsverfahren gehabt? Diese Aufgabe kannst du sehr gut mit dem Einsetzungsverfahren lösen. Schau dir doch dazu gerne dieses Video an: https://www.sofatutor.com/mathematik/videos/einsetzungsverfahren-3?launchpad=video
    Gerne kannst du dich auch an den Fach-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Adina Schulz, vor mehr als 3 Jahren
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Gleichsetzungsverfahren Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Gleichsetzungsverfahren kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die Lösung des linearen Gleichungssystems.

    Tipps

    Notiere rechts neben den Gleichungen den Umformungsschritt für die nächste Zeile.

    Die erste Zeile entsteht durch Gleichsetzung der beiden Gleichungen.

    Die linke Seite der ersten Zeile ist die rechte Seite der Gleichung $\text{I}$.

    Lösung

    Das Gleichsetzungsverfahren ist eine Methode zur Lösung linearer Gleichungssysteme. Sind zwei Gleichungen mit zwei Variablen jeweils nach derselben Variablen aufgelöst, so kannst du diese Variablen bzw. die jeweils anderen Seiten der Gleichungen gleichsetzen. So erhältst du eine Gleichung, in der nur noch eine Variable vorkommt. Diese kannst du lösen, indem du die Gleichung nach der Variablen auflöst. Den Wert dieser ersten Variablen kannst du dann in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen einsetzen und den Wert der zweiten Variablen ausrechnen.

    Hier ist die vollständige Rechnung:

    $ \begin{array}{rrcl} \text{I}: & y &=& 6x-5 \\ \text{II}: & y &=& 2x+15 \end{array} $

    Gleichsetzen:

    $ \begin{array}{rcll} 6x-5 &=& 2x+15 & | -2x \\ 4x-5 &=& 15 & | +5 \\ 4x &=& 20 & | :4 \\ x &=& 5 & \\ \end{array} $

    Einsetzen:

    $ \begin{array}{rcl} y &=& 6 \cdot 5-5 \\ y &=& 25 \end{array} $

    Lösung:

    $(x|y) = (5|25)$

    Probe:

    $ \begin{array}{rrcl} \text{I}: & 25 &=& 6\cdot 5-5 \\ \text{II}: & 25 &=& 2 \cdot 5+15 \end{array} $

  • Prüfe die Aussagen.

    Tipps

    Jede Lösung eines linearen Gleichungssystems mit den Variablen $x$ und $y$ ist ein Paar konkreter Zahlen.

    Beim Wertepaar $(x|y) =(5|25)$ des linearen Gleichungssystems

    $\begin{array}{rrcl} \text{I}: & y &=& 6x-5 \\ \text{II}: & y &=& 2x + 15 \end{array}$

    handelt es sich nicht um zwei Lösungen, sondern um eine Lösung.

    Bestimme alle Lösungen des linearen Gleichungssystems

    $\begin{array}{rrcl} \text{I}: & y &=& x-1 \\ \text{II}: & y &=& x+1 \end{array}$

    Lösung

    Folgende Sätze sind richtig:

    • „Hat ein lineares Gleichungssystem mehr als eine Lösung, so hat es unendlich viele Lösungen.“ Denn ein lineares Gleichungssystem hat entweder keine oder genau eine oder unendlich viele Lösungen.
    • „Die beiden Gleichungen eines linearen Gleichungssystems kannst du gleichsetzen, wenn sie nach derselben Variablen aufgelöst sind.“ Denn das Gleichsetzen nutzt gerade aus, dass bei beiden Gleichungen auf einer Seite nur die Variable steht, und zwar bei beiden Gleichungen dieselbe.
    • „Jede Lösung eines linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen besteht aus zwei Werten, einem für jede Variable.“ Das genau bedeutet es, eine Lösung des Gleichungssystems anzugeben: Für jede Variable eine Zahl anzugeben, so dass durch Einsetzen dieses Zahlenpaares in die Gleichungen beide Gleichungen erfüllt werden.
    Folgende Sätze sind falsch:

    • „Es gibt ein lineares Gleichungssystem mit genau zwei Lösungen.“ Jedes lineare Gleichungssystem hat entweder keine oder genau eine oder unendlich viele Lösungen.
    • „Jedes lineare Gleichungssystem hat mindestens eine Lösung.“ Das lineare Gleichungssystem $y=x+1$ und $y=x-1$ hat keine Lösung, denn das Gleichsetzungsverfahren führt auf die falsche Gleichung $1=-1$.
    • „Das Gleichsetzungsverfahren ist die einzige Möglichkeit, ein lineares Gleichungssystem zu lösen.“ Das Gleichsetzungsverfahren ist nur ein Verfahren unter mehreren. Es gelingt nur dann, wenn beide Gleichungen nach derselben Variablen aufgelöst sind.
    • „Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten hat auch zwei Lösungen.“ Es gibt kein lineares Gleichungssystem mit genau zwei Lösungen. Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen kann entweder keine oder eine oder unendlich viele Lösungen haben.
  • Bestimme die Lösung.

    Tipps

    Notiere rechts neben den Gleichungen die Umformungsschritte zur nächsten Zeile.

    Jede Lösung eines linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen besteht aus zwei Werten.

    Lösung

    Ein lineares Gleichungssystem kannst du mit dem Gleichsetzungsverfahren lösen, wenn beide Gleichungen nach derselben Variablen aufgelöst sind. Setzt du die jeweils anderen Seiten gleich, so erhältst du eine Gleichung mit einer Variablen. Das Auflösen nach dieser Variablen liefert dir den konkreten Wert für diese Variable. Setzt du den Wert in eine der beiden Gleichungen ein, so erhältst du den konkreten Wert für die andere Variable. Die Lösung des linearen Gleichungssystems ist das Wertepaar $(x|y)$ mit den konkreten Werten, die du berechnet hast. Bei der Berechnung hast du die Existenz einer Lösung vorausgesetzt und ihre Eindeutigkeit bewiesen. Mit der Probe, also dem Einsetzen beider konkreten Werte in beide Gleichungen, zeigst du, dass das Wertepaar tatsächlich eine Lösung ist und damit insbesondere die Existenz einer Lösung.

    Hier ist die vollständige Rechnung:

    Lineares Gleichungssystem:

    $ \begin{array}{rrcll} \text{I} & y &=& 2x-3 \\ \text{II} & y &=& -2x+1 \end{array} $

    Gleichsetzen:

    $ \begin{array}{rcll} 2x-3 &=& -2x+1 & | +2x \\ 4x-3 &=& 1 & | +3 \\ 4x &=& 4 & | :4 \\ x &=& 1 \\ \end{array} $

    Einsetzen:

    $ \begin{array}{rcl} y &=& 2 \cdot 1-3 \\ y &=& -1 \end{array} $

    Lösung:

    $ \begin{array}{rcl} (x|y) &=& (1|-1) \end{array} $

    Probe:

    $ \begin{array}{rrcll} \text{I} & -1 &=& 2\cdot 1-3 \\ \text{II} & -1 &=& -2 \cdot 1+1 \end{array} $

  • Erschließe die Lösungen der linearen Gleichungssysteme.

    Tipps

    Setze die beiden rechten Seiten jedes Gleichungssystems gleich und löse die resultierende Gleichung nach der verbleibenden Variablen auf.

    Setze zur Probe deine Lösung in beide Gleichungen ein.

    Lösung

    Mit dem Gleichsetzungsverfahren kannst du lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen lösen, wenn beide Gleichungen nach derselben Variablen aufgelöst sind. Hier sind alle Gleichungen jeweils nach $y$ aufgelöst. Durch die Gleichsetzung der rechten Seiten erhältst du eine Gleichung, in der nur noch die Variable $x$ vorkommt. Du kannst die Gleichung nach $x$ auflösen und erhältst so schon den ersten der beiden gesuchten Werte. Setzt du diesen in eine der beiden Gleichungen des Gleichungssystems ein, so findest du den Wert für die zweite Variable.

    Beispiel 1:

    Betrachten wir das folgende lineare Gleichungssystem:

    $ \begin{array}{rll} \text{I} & y &=& 3x-5 \\ \text{II} & y &=& 2x -3 \end{array} $

    Durch das Gleichsetzungsverfahren erhalten wir die Gleichung $3x-5=2x-3$, die wir dann nach $x$ auflösen können zu der Gleichung $x=2$. Setzt du dies wieder in die erste Gleichung ein, so ergibt sich $y=3\cdot 2-5=1$.

    Die Lösung ist also $(x|y)=(2|1)$.

    Du kannst die Lösung durch Einsetzen in das Gleichungssystem überprüfen: In der ersten Gleichung erhältst du $y =3\cdot 2-5 = 1$ und in der zweiten $y= 2\cdot 2 -3 = 1$. Somit sind beide Gleichungen erfüllt.

    Für die anderen Gleichungssysteme genügt es auch, die angegebenen Lösungen durch Einsetzen zu prüfen:

    Beispiel 2:

    Als nächstes betrachten wir das folgende lineare Gleichungssystem:

    $ \begin{array}{rll} \text{I} & y &=& 3x+2 \\ \text{II} & y &=& 4x +2 \end{array} $

    Mit dem Gleichsetzungsverfahren kommst du auf die Lösung $(x|y) = (0|2)$. Einsetzen in die Gleichungen ergibt $y =3\cdot 0+2 =2$ in der ersten Gleichung und $y = 4\cdot 0 +2 =2$ in der zweiten.

    Beispiel 3:

    Versuchen wir nun das folgende lineare Gleichungssystem zu lösen:

    $ \begin{array}{rll} \text{I} & y &=& x \\ \text{II} & y &=& x -6 \end{array} $

    Das Gleichsetzungsverfahren zeigt, dass das lineare Gleichungssystem keine Lösung besitzt. Denn das Gleichsetzungsverfahren liefert die Gleichung $x=x-6$. Subtraktion von $x$ liefert $0=-6$, was offensichtlich falsch ist.

    Beispiel 4:

    Wenden wir schließlich das Gleichsetzungsverfahren auf folgendes lineare Gleichungssystem an:

    $ \begin{array}{rll} \text{I} & y &=&-5x-7 \\ \text{II} & y &=& x -1 \end{array} $

    Das Gleichsetzungsverfahren ergibt die Lösung $(x|y) =(-1|-2)$. Die Probe zeigt, dass dieses Wertepaar beide Gleichungen erfüllt: In der ersten Gleichung erhältst du $y = (-5) \cdot (-1)-7 =5-7 = -2$ und in der zweiten Gleichung $y= (-1) -1 = -2$.

  • Überprüfe die Lösung.

    Tipps

    Setze den Wert $5$ an jeder Stelle für $x$ ein.

    Hier ist eine Beispielrechnung: Das Wertepaar $(x|y) =(1|-1)$ löst das lineare Gleichungssystem

    $\begin{array}{llll} \text{I} & y &=& 2x-3 \\ \text{II} & y &=& - x + 0 \end{array}$

    Denn Einsetzen von $x=1$ in die beiden Gleichungen ergibt:

    $\begin{array}{lll} -1 &=& 2\cdot 1-3 \\ -1&=& -1+ 0 \end{array}$

    Einsetzen von $x=5$ in die rechte Seite der ersten Gleichung ergibt den Term $6 \cdot 5-5$.

    Lösung

    Die Probe dient einerseits dazu, eine zuvor gefundene Lösung eines linearen Gleichungssystems zu überprüfen, dass also die angegebenen Werte wirklich beide Gleichungen lösen. Andererseits zeigt erst die Probe, dass eine Lösung des Gleichungssystems existiert.

    Bei der Probe setzt du die gegebenen oder gefundenen Werte in die beiden Gleichungen des Gleichungssystems ein. Die Probe ist erfolgreich, wenn beide Gleichungen nach dem Einsetzen eine offensichtlich richtige Gleichung ergeben. Ist dies nicht der Fall, so zeigt die Probe, dass das eingesetzte Wertepaar $(x|y)$ keine Lösung des Gleichungssystems ist.

    Durch Einsetzen von $(x|y) = (5|25)$ in das lineare Gleichungssystem folgt:

    $\begin{array}{llll} \text{I} & y &=& 6x-5 \\ \text{II} & y &=& 2x+15 \end{array}$

    $\begin{array}{llll} \text{I} & 25 &=& 6\cdot 5-5 \\ \text{II} & 25 &=& 2 \cdot 5+15 \end{array}$

    Da beide Gleichungen offensichtlich richtig sind, ist $(x|y) = (5|25)$ eine Lösung des linearen Gleichungssystems. Tatsächlich ist dies die einzige Lösung. Das kannst du aber an der Probe nicht erkennen, sondern dazu musst du das lineare Gleichungssystem, z. B. mit dem Gleichsetzungsverfahren, lösen.

  • Analysiere die Gleichungssysteme.

    Tipps

    Du kannst die rechten Seiten der Gleichungen nur dann gleichsetzen, wenn sie nach derselben Variablen aufgelöst sind.

    Lösung

    Folgende Gleichungen lassen sich mit dem Gleichsetzungsverfahren eindeutig lösen:

    $ \begin{array}{rll} \text{I} & y &=& x-2 \\ \text{II} & y &=& 2x-1 \end{array} $

    Gleichsetzen liefert die Gleichung $x-2=2x-1$ mit der Lösung $x=-1$. Eingesetzt in die erste Gleichung ergibt sich $y=-3$.

    $ \begin{array}{rll} \text{I} & y &=& 2x-2 \\ \text{II} & y &=& 3x-2 \end{array} $

    Das Gleichsetzungsverfahren ergibt die Lösung $(x|y) =(0|-2)$.

    $ \begin{array}{rll} \text{I} & x &=& 3y-2 \\ \text{II} & x &=& 2y-3 \end{array} $

    Gleichsetzen führt auf die Gleichung $3y-2=2y-3$ mit der eindeutigen Lösung $y=-1$. Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt $x=-5$.

    Folgende Gleichungen lassen sich nicht mit dem Gleichsetzungsverfahren oder nicht eindeutig lösen:

    $ \begin{array}{rll} \text{I} & y &=& x-2 \\ \text{II} & x &=& y-2 \end{array} $

    Die beiden Gleichungen sind nicht nach derselben Variablen aufgelöst und können daher nicht gleichgesetzt werden. Löst du das Gleichungssystem mit einem anderen Verfahren, so findest du, dass es keine Lösung hat.

    $ \begin{array}{rll} \text{I} & y &=& x-1 \\ \text{II} & x &=& y+1 \end{array} $

    Auch bei diesem linearen Gleichungssystem sind die beiden Gleichungen nicht nach derselben Variablen aufgelöst, so dass du das Gleichsetzungsverfahren nicht direkt anwenden kannst. Löst du die zweite Gleichung nach der Variablen $y$ auf, so ist sie mit der ersten identisch. Das lineare Gleichungssystem hat daher unendlich viele Lösungen.

    $ \begin{array}{rll} \text{I} & y &=& 2x-2 \\ \text{II} & y &=& 2x-3 \end{array} $

    Das Gleichsetzungsverfahren führt auf die Gleichung $2x-2=2x-3$. Dazu äquivalent ist die Gleichung $2=3$. Es gibt also kein $x$, das die Gleichung $2x-2=2x-3$ löst. Das lineare Gleichungssystem hat demnach keine Lösung.

    $ \begin{array}{rll} \text{I} & x &=& 3y-2 \\ \text{II} & x &=& 3y-3 \end{array} $

    Das Gleichsetzungsverfahren führt auf die Gleichung $3y-2=3y-3$ bzw. $-2=-3$. Das lineare Gleichungssystem hat daher keine Lösung.