sofatutor 30 Tage
kostenlos ausprobieren

Videos & Übungen für alle Fächer & Klassenstufen

Einsetzungsverfahren 05:25 min

Textversion des Videos

Transkript Einsetzungsverfahren

Das ist Harry Hering. Bei ihm muss immer alles im Gleichgewicht sein, wenn dies einmal nicht so ist, gibt es ein Problem. Das ist fast so wie bei linearen Gleichungssystemen. Und solche linearen Gleichungssysteme kann man mit dem Einsetzungsverfahren lösen. Schauen wir uns dazu diese beiden Gleichungen an. Auch diese Gleichung ist linear, auch wenn sie auf den ersten Blick nicht so aussieht. Zusammen ergeben sie ein lineares Gleichungssystem. Dieses zu lösen bedeutet, eine gemeinsame Lösung für beide Gleichungen zu finden. Das heißt, dass ein Wertepaar für x und y beide Gleichungen erfüllt. Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen kann genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen haben. Es gibt verschiedene Möglichkeiten es zu lösen. Wir werden uns nun das Einsetzungsverfahren ansehen. Das bietet sich vor allem an, wenn eine der Gleichungen nach einer Variablen aufgelöst ist. In unserem Beispiel ist die erste Gleichung nach y aufgelöst, die Voraussetzung ist also erfüllt. Der erste Schritt ist dann den Term dieser Variablen für die Variable in der anderen Gleichung einzusetzen. Dadurch erhalten wir eine Gleichung mit nur einer Variablen. Als zweiten Schritt formen wir die Gleichung so um, bis wir einen Wert für x herausfinden. Zunächst fassen wir hier zusammen. Dann addieren wir 18 und teilen durch 3. x ist also gleich 12. Nun müssen wir nur noch den Wert der anderen Variablen herausfinden, hier also y. Dafür setzen wir x in die andere Gleichung ein. Da diese schon nach y aufgelöst ist, können wir den Wert für x direkt ausrechnen. Dieses lineare Gleichungssystem hat also das Zahlenpaar (12I10) als Lösung. Als letzten Schritt wollen wir nun die Lösung überprüfen und die Probe durchführen. Dafür setzen wir die Werte für x und y in beide Gleichungen ein und überprüfen ob eine wahre Aussage entsteht. Wir rechnen also und sehen, dass bei beiden Gleichungen eine wahre Aussage herauskommt. Das Paar 12. 10 ist also tatsächlich die Lösung. Jetzt haben wir ein lineares Gleichungssystem gesehen, dass eine Lösung hat. Wie muss es denn aussehen, wenn es keine oder unendlich viele Lösungen hat? Betrachten wir dazu zunächst dieses Lineare Gleichungssystem. Setzen wir hier den Term für y in die andere Gleichung ein und versuchen nach x aufzulösen so sehen wir, dass wir eine Gleichung ohne Variable erhalten. Und diese ist offenbar nicht wahr, denn 9 ist ungleich -9. Daher hat dieses lineare Gleichungssystem keine Lösung. Schauen wir uns noch ein weiteres Beispiel an. Setzen wir den Term für y in die andere Gleichung ein und versuchen nach x aufzulösen, so erhalten wir 6=6. Hier haben wir also auch eine Gleichung ohne Variable, doch diesmal handelt es sich um eine wahre Aussage. Ist dies der Fall, so hat das lineare Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. Es gibt unendlich viele Wertepaare x und y, die beide Gleichungen erfüllen. Setzen wir für x zum Beispiel 2 ein und lösen nach y auf, so erhalten wir bei der ersten Gleichung y ist gleich 1 und bei der zweiten ebenfalls y ist gleich 1. Daher löst das Wertepaar (2I1) dieses lineare Gleichungssystem. Auch wenn wir für x 30 einsetzen und dies jeweils nach y auflösen erhalten wir den gleichen y-Wert. Also löst auch dieses Wertepaar das lineare Gleichungssystem. Während Harry weiter versucht sein Problem zu lösen, fassen wir zusammen. Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen kann genau eine Lösung, keine Lösung oder unendlich viele Lösungen haben. Eine Möglichkeit ein Lineares Gleichungssystem zu lösen ist das Einsetzungssverfahren. Voraussetzung dafür ist, dass eine der Gleichungen nach einer Variablen aufgelöst ist. Der erste Schritt ist dann den Term für die Variable in die andere Gleichung einzusetzen. Als zweiten Schritt findest du den Wert für diese Variable heraus. Der dritte Schritt ist dann, den Wert der anderen Variablen herausfinden. Dafür setzen wir den Wert der ersten Variablen in eine der Gleichungen ein. Vergiss nicht am Ende noch die Probe zu machen. Und Harry? Na, den Seemannsknoten hat er perfekt drauf.

2 Kommentare
  1. Hallo Lauradvl,

    dü könntest du zweite Gleichung zum Beispiel mit -2 multiplizieren und dann diese und die erste Gleichung addieren, damit sich die Variable f aufhebt. Die resultierende Gleichung kannst du nach g umstellen und die Lösung für g dann in eine der Gleichungen einsetzen, um f zu berechnen.

    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Cansu Ayguezel, vor 6 Monaten
  2. Wie würde man den die folgende Aufgabe berechnen ?
    | 4f+5g=3,5 |
    | 2f - 4g = 5 |

    Von Lauradvl, vor 6 Monaten

Einsetzungsverfahren Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Einsetzungsverfahren kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe die Eigenschaften von einem LGS mit zwei Variablen und wie du dieses lösen kannst.

    Tipps

    Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen kann durch zwei Geraden dargestellt werden. Zwei Geraden können entweder parallel zueinander sein, sich in einem Punkt schneiden oder identisch sein. Die Anzahl der gemeinsamen Punkte entspricht der Anzahl der Lösungen.

    Beim Einsetzungsverfahren setzt du den Term, der die eine Variable beschreibt, in die andere Gleichung ein.

    Lösung

    Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen kann genau eine Lösung, keine Lösung oder unendlich viele Lösungen besitzen. Das kannst du dir wie folgt vorstellen:

    • Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen stellt zwei Geraden dar. Zwei Geraden können entweder parallel zueinander sein (keine Lösung), sich in einem Punkt schneiden (eine Lösung) oder identisch sein (unendlich viele Lösungen).
    Es gibt verschiedene Verfahren, um ein LGS zu lösen. Eine Möglichkeit ist das Einsetzungsverfahren. Die Voraussetzung hierfür ist, dass eine der beiden Gleichungen nach einer der Variablen aufgelöst ist.

    • Zudem gibt es noch das Additionsverfahren und das Gleichsetzungsverfahren.
    Beim Einsetzungsverfahren gehst du wie folgt vor:

    Schritt 1: Setze den Term für die Variable in die jeweils andere Gleichung ein.
    Schritt 2: Löse die so entstandene Gleichung nach der anderen Variablen auf.
    Schritt 3: Setze die Lösung für die erste Variable in andere Gleichung ein.

    Die Lösung ist also immer ein Wertepaar.

    Abschließend überprüfst du mit Hilfe einer Probe deine Ergebnisse.

    • Hierzu setzt du die Lösungen für die beiden Variablen in beide Gleichungen ein und überprüfst, ob diese jeweils eine wahre Aussage liefern.
  • Berechne die Lösungen der linearen Gleichungssysteme.

    Tipps

    Fasse zunächst gleichartige Terme zusammen und stelle die Gleichung anschließend nach der jeweiligen Variablen um.

    Achte beim Umstellen der Gleichung darauf, dass du auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Rechenoperation durchführst.

    Lösung

    Gegeben ist das folgende lineare Gleichungssystem mit zwei Variablen:

    $ \left|\begin{array}{rcl} y &=& x-2 \\ 2x+y-16 &=& 18 \end{array}\right| \\ $

    Dieses lösen wir im Folgenden mit Hilfe des Einsetzungsverfahrens. Dieses Verfahren können wir nutzen, da die erste Gleichung nach der Variablen $y$ aufgelöst ist. Wir gehen wie folgt vor:

    Schritt 1: $\text{I}$ in $\text{II}$ einsetzen:

    $2x+x-2-16=18$

    Schritt 2: Gleichung nach $x$ auflösen:

    $\begin{array}{rcll} 2x+x-2-16 &=& 18 & \\ 3x-18 &=& 18 & \vert +18 \\ 3x &=& 36 & \vert :3 \\ x &=& 12 & \end{array}$

    Schritt 3: Lösung für $x$ in $\text{I}$ einsetzen:

    $y = 12-2 = 10$

    Probe:

    $\begin{array}{rcl} 10 &=& 12-2 \\ 10 &=& 10 \\ \\ \\ 2\cdot 12+10-16 &=& 18 \\ 24+10-16 &=& 18 \\ 18 &=& 18 \end{array}$

    Die Probe liefert für beide Gleichungen eine wahre Aussage. Damit ist die Lösung dieses LGS $(12\vert 10)$.

  • Ermittle die Lösungen der linearen Gleichungssysteme mittels Einsetzungsverfahren.

    Tipps

    Um das Einsetzungsverfahren anzuwenden, benötigst du eine Gleichung, die nach einer der Variablen umgestellt ist. Den Term für diese Variable setzt du dann in die andere Gleichung ein.

    Hebt sich beim Umstellen die Variable in einer Gleichung auf und liefert die Gleichung eine falsche Aussage, so hat dieses LGS keine Lösung.

    Lösung

    Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen kann genau eine Lösung, keine Lösung oder unendlich viele Lösungen besitzen.

    Es gibt verschiedene Verfahren, um ein LGS zu lösen. Eine Möglichkeit ist das Einsetzungsverfahren. Die Voraussetzung hierfür ist, dass eine der beiden Gleichungen nach einer der Variablen aufgelöst ist. Alle Gleichungssysteme in dieser Aufgabe erfüllen diese Bedingung. Du gehst nun wie folgt vor:

    Schritt 1: Setze den Term für die Variable in die jeweils andere Gleichung ein.
    Schritt 2: Löse die so entstandene Gleichung nach der anderen Variablen auf.
    Schritt 3: Setze die Lösung für die erste Variable in die andere Gleichung ein.

    Abschließend kannst du mit Hilfe einer Probe deine Ergebnisse überprüfen.

    Beispiel 1:

    $\left| \begin{matrix} x= 3y-18 \\ 3x+y = 16 \\ \end{matrix} \right|$

    Wir setzen den Term für $x$ aus der ersten Gleichung in die zweite Gleichung ein und stellen nach $y$ um:

    $\begin{array}{rcll} 3(3y-18)+y &=& 16 & \\ 9y-54+y &=& 16 & \\ 10y-54 &=& 16 & \vert +54 \\ 10y &=& 70 & \vert :10 \\ y &=& 7 & \end{array}$

    Diesen Wert setzen wir in die erste Gleichung ein, um $x$ zu berechnen:

    $x=3\cdot 7-18=21-18=3$

    Für $x=3$ und $y=7$ liefern beide Gleichungen eine wahre Aussage.

    Beispiel 2:

    $\left| \begin{matrix} x = 2y -1 \\ -2x+4y = 17 \\ \end{matrix} \right|$

    Durch Einsetzen des Terms für $x$ in die zweite Gleichung erhalten wir:

    $\begin{array}{rcl} -2(2y-1)+4y &=& 17 \\ -4y+2+4y &=& 17 \\ 2 &=& 17 \end{array}$

    Hier erhalten wir eine falsche Aussage. Damit hat dieses LGS keine Lösung.

    Beispiel 3:

    $\left| \begin{matrix} y= -3x+5 \\ 3(2x+y) = 6 \\ \end{matrix} \right|$

    Wir setzen den Term für $y$ in die zweite Gleichung ein:

    $\begin{array}{rcll} 3(2x-3x+5) &=& 6 & \\ 3(-x+5) &=& 6 & \\ -3x+15 &=& 6 & \vert -15 \\ -3x &=& -9 & \vert :(-3) \\ x &=& 3 & \end{array}$

    Diesen Wert setzen wir in die erste Gleichung ein, um $y$ zu berechnen:

    $y=-3\cdot 3+5=-9+5=-4$

    Für $x=3$ und $y=-4$ liefern beide Gleichungen eine wahre Aussage.

    Beispiel 4:

    $\left| \begin{matrix} x= 5-y \\ 2(x+y) = 10 \\ \end{matrix} \right|$

    Durch Einsetzen des Terms für $x$ in die zweite Gleichung erhalten wir:

    $\begin{array}{rcl} 2(5-y+y) &=& 10 \\ 10 &=& 10 \end{array}$

    Hier erhalten wir eine wahre Aussage, wobei sich die Variable aufhebt. Damit hat dieses LGS unendlich viele Lösungen.

  • Bestimme die Unbekannten der gegebenen linearen Gleichungssysteme mit Hilfe des Einsetzungsverfahrens.

    Tipps

    Stelle eine der beide Gleichungen nach einer Variablen um und setze den Term für diese Variable in die anderen Gleichung ein.

    Mit einer Probe kannst du deine Lösungen überprüfen.

    Verwende das Distributivgesetz, um die gegebenen Gleichungen zu vereinfachen. Das Distributivgesetz lautet:

    $c(a+b)=ca+cb$

    Lösung

    Das Vorgehen in dieser Aufgabe wird am ersten Beispiel verdeutlicht. Gegeben ist das folgende lineare Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten:

    $ \left| \begin{matrix} x+26 &=& 7y \\ 2(x+y) &=& 6y-12 \end{matrix} \right| $

    Um dieses Gleichungssystem mittels Einsetzungsverfahren zu lösen, muss zunächst eine der beiden Gleichungen so umgeformt werden, dass eine Variable isoliert ist. Da die Variable $x$ in der ersten Gleichung bereits ohne Vorfaktor auftaucht, wählen wir diese Gleichung und formen sie um. Wir erhalten:

    $ \begin{array}{llll} x+26 &=& 7y & \vert -26 \\ x &=& 7y -26 & \end{array} $

    Den Term, den wir für die Variable $x$ erhalten haben, setzen wir nun in die zweite Gleichung ein:

    $ \begin{array}{llll} 2(7y -26+y) &=& 6y-12 & \\ 14y-52+2y &=& 6y-12 & \\ 16y-52 &=& 6y-12 & \vert -6y \\ 10-52 &=& -12 & \vert +52 \\ 10y &=& 40 & \vert :10\\ y &=& 4 \end{array} $

    Die Lösung für die Variable $y$ setzen wir nun in die nach $x$ umgestellte Gleichung von oben ein:

    $ \begin{array}{lll} x &=& 7\cdot 4-26 \\ x &=& 28-26 \\ x &=& 2 \end{array} $

    Somit erhalten wir folgende Lösungen:

    • $x=2$
    • $y=4$
    Genauso gehst du bei dem zweiten Beispiel vor. Du kannst hier die zweite Gleichung nach $x$ oder $y$ umstellen und in die erste einsetzen. Am Ende erhältst du folgende Lösung:

    • $x=3$
    • $y=1$
  • Gib an, welche Gleichungssysteme linear sind.

    Tipps

    Ein lineares Gleichungssystem besteht ausschließlich aus linearen Gleichungen.

    Eine lineare Gleichung mit zwei Unbekannten hat die allgemeine Form $Ax+By+C=0$ oder sie kann zumindest in diese Form umgestellt werden.

    Dabei sind die Koeffizienten $A$, $B$ und $C$ rationale Zahlen.

    Lösung

    Ein lineares Gleichungssystem besteht ausschließlich aus linearen Gleichungen. Eine lineare Gleichung mit zwei Unbekannten hat die allgemeine Form $Ax+By+C=0$ oder kann zumindest in diese Form umgestellt werden. Dabei sind die Koeffizienten $A$, $B$ und $C$ rationale Zahlen.

    Wir erkennen, dass jede Unbekannte in einer linearen Gleichung in einfacher Potenz, d. h. mit dem Grad $1$ vorkommt. Beachte, dass man den Exponenten $1$ in der Regel nicht hinschreibt. Es gilt: $x = x^1$. Dasselbe gilt für die anderen Variablen.

    Demnach handelt es sich in Beispiel 1 und 3 und 4 um lineare Gleichungssysteme, da alle Gleichungen lineare Gleichungen sind.

    $\left| \begin{array}{rcr} 3x+2y &=& 5 \\ x-y &=& 0 \\ \end{array} \right| $

    $\left| \begin{array}{rcr} x+y &=& 10 \\ 2x-y &=& 11 \\ \end{array} \right|$

    $\left| \begin{array}{rcr} 6(x+2) &=& 4y \\ 3x-y &=& -3 \\ \end{array} \right|$

    Bei dem letzten Gleichungssystem kannst du die erste Gleichung noch vereinfachen und umstellen:

    $\begin{array}{rcll} 6(x+2) &=& 4y & \\ 6x+12 &=& 4y & \vert -4y \\ 6x-4y+12 &=& 0 & \vert -12 \\ 6x-4y &=& -12 & \\ \end{array}$

    Wir erhalten also die allgemeine Form einer linearen Gleichung mit zwei Variablen.

    Bei dem Beispiel 2 handelt es sich um ein nichtlineares Gleichungssystem, da einige Variable mit dem Exponenten $2$ vorkommen:

    $\left| \begin{array}{rcr} 2x^2+y &=& 3 \\ 2x+2y^2 &=& 4 \\ \end{array} \right|$

  • Erschließe die Lösungen des linearen Gleichungssystems.

    Tipps

    Vereinfache zunächst beide Gleichungen so weit wie möglich. Nutze dann das Einsetzungsverfahren. Stelle dafür eine der beiden Gleichungen nach einer Variablen um und setze den resultierenden Term in die andere Gleichung ein.

    Schau dir folgendes Beispiel an:

    $ \left| \begin{matrix} x^2+2x+y &=& x^2+x+2 \\ x &=& y \end{matrix} \right| $

    Wir vereinfachen die erste Gleichung:

    $ \begin{array}{llll} x^2+2x+y &=& x^2+x+2 &\vert -x^2 \\ 2x+y &=& x+2 &\vert -x \\ x+y &=& 2 & \end{array} $

    Nun kann die Gleichung $x=y$ in die vereinfachte Gleichung eingesetzt und die Variable $y$ berechnet werden. Anschließend wird die Lösung für die Variable $y$ in die Gleichung $x=y$ eingesetzt und die Variable $x$ berechnet.

    Lösung

    Es ist das folgende Gleichungssystem gegeben:

    $ \left| \begin{matrix} 3x(x+2)+y &=& 3x^2+13x-2(y+1) \\ 5x-3y &=& 4(y-4)-2 \end{matrix} \right| $

    Auf den ersten Blick könnte man vermuten, dass es sich bei der ersten Gleichung um eine quadratische Gleichung handelt. Allerdings lässt sich die Gleichung vereinfachen. Nach der Vereinfachung erkennt man, dass es sich hierbei um eine lineare Gleichung handelt. Lass uns die erste Gleichung gemeinsam vereinfachen:

    $ \begin{array}{rcll} 3x(x+2)+y &=& 3x^2+13x-2(y+1) & \\ 3x^2+6x+y &=& 3x^2+13x-2y-2 & \vert -3x^2 \\ 6x+y &=& 13x-2y-2 & \vert -13x \\ -7x+y &=& -2y-2 & \vert +2y \\ -7x+3y &=& -2 & \end{array} $

    Außerdem vereinfachen wir die zweite Gleichung, um beurteilen zu können, welche der beiden Gleichungen sich für das Einsetzungsverfahren besser eignet. Wir erhalten:

    $ \begin{array}{rcll} 5x-3y &=& 4(y-4)-2 & \\ 5x-3y &=& 4y-16-2 & \\ 5x-3y &=& 4y-18 & \vert -4y \\ 5x-7y &=& -18 & \end{array} $

    Es macht keinen großen Unterschied, welche Gleichung wir nach einer der Variablen umstellen, also stellen wir im Folgenden die erste Gleichung nach $y$ um:

    $ \begin{array}{rcll} -7x+3y &=& -2 & \vert +7x \\ 3y &=& 7x-2 & \vert :3 \\ y &=& \frac 73x-\frac 23 & \end{array} $

    Diesen Term setzen wir nun in unsere zweite Gleichung ein:

    $ \begin{array}{rcll} 5x-3(\frac 73x-\frac 23) &=& 4(\frac 73x-\frac 23-4)-2 & \\ 5x-7x+2 &=& 4(\frac 73x-\frac {14}3)-2 & \\ -2x+2 &=& \frac {28}3x-\frac {56}3-2 & \\ -2x+2 &=& \frac {28}3x-\frac {62}3 & \vert \cdot 3\\ -6x+6 &=& 28x-62 & \vert -6 \\ -6x &=& 28x-68 & \vert -28x \\ -34x &=& -68 & \vert :(-34) \\ x &=& 2 & \end{array} $

    Nun setzen wir $x=2$ in die nach $y$ umgestellte Gleichung ein:

    $ \begin{array}{rcll} y &=& \frac 73\cdot 2-\frac 23 & \\ y &=& \frac {14}3-\frac 23 & \\ y &=& \frac {12}3 & \\ y &=& 4 \end{array} $