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Eigenschaften von Ungleichungen 06:10 min

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Transkript Eigenschaften von Ungleichungen

Jakob arbeitet als Fährtenleser in Tansania. Sein Spezialgebiet sind Krokodile. Bei seinen Beobachtungen hat er bemerkt, dass Krokodile, die fürs Mittagessen zwei Antilopen zur Auswahl haben, sich immer die größere aussuchen. Da das Krokodil sich immer für die größere Antilope entscheidet, muss es – Jakobs Meinung nach – Ungleichungen und ihre Eigenschaften verstehen. Vereinfacht sieht Jakob Folgendes: Jakob schätzt die kleinere Antilope auf 45 kg und die größere auf um die 53 kg. Mathematisch können wir das mit einem Vergleichszeichen, auch bekannt als Relationssymbol, ausdrücken, denn 45 ist kleiner als 53. Nicht vergessen: Kleiner- als- bzw. Größer-als-Zeichen sind immer zur größeren Zahl hin geöffnet, so, wie das Krokodil sein Maul in Richtung der fetteren Beute aufreißt. Im Moment herrscht in der Savanne Regenzeit und die Vegetation sprießt üppig. Weil es reichlich Futter gibt, haben die Antilopen jeweils 10 kg zugelegt. Vereinfacht sehen wir, dass 55 kleiner als 63 ist. Das ist die Regel zur Addition von Termen. Wir ändern hier das Vergleichssymbol nicht, weil wir auf beiden Seiten den gleichen Wert addiert haben. In der Trockenzeit verlieren die Antilopen aber jeweils 3 kg. Hier gilt die Regel zur Subtraktion von Termen. Das Kleiner-als-Zeichen bleibt auch hier richtig, weil wir von beiden Seiten den gleichen Wert abziehen. Oh je! Die Trockenzeit scheint gar kein Ende zu nehmen. Die Antilopen haben jetzt noch ein Viertel ihres Gewichts verloren, wiegen also nur noch drei Viertel ihres ursprünglichen Gewichts. Wir können also beide Seiten der Ungleichung mit drei Vierteln multiplizieren. Das kann man auch schreiben als 3 mal 52 geteilt durch 4 ist kleiner als 60 mal 3 geteilt durch 4. Wir können die Rechnung vereinfachen, indem wir jede Seite durch ihren größten gemeinsamen Teiler dividieren. Der GGT von 52 und 4 ist 4 und der GGT von 60 und 4 ist ebenfalls 4. Dank der größten gemeinsamen Teiler sieht die Rechnung doch schon viel einfacher aus. Die Ungleichung lässt sich weiter vereinfachen zu 39 ist kleiner als 45. Das ist die Regel zur Multiplikation und Division mit positiven Zahlen. Das Kleiner-als-Zeichen ist gleich geblieben, weil wir beide Seiten der Ungleichung mal 3 genommen und durch 4 geteilt haben. Schauen wir uns diese Ungleichung auf einem Zahlenstrahl an. Wir wissen, dass 39 kleiner als 45 ist. Außerdem wissen wir, was passiert, wenn wir mit positiven Zahlen multiplizieren oder durch positive Zahlen dividieren. Was passiert aber, wenn wir beide Seiten einer Ungleichung mit minus 1 multiplizieren? Was, minus 39 soll kleiner sein als minus 45? Kann das stimmen? Auf dem Zahlenstrahl sehen wir, dass minus 39 in Wahrheit größer ist als minus 45. Was können wir also tun, um diese Aussage wahr zu machen? Ganz klar, wir drehen das Vergleichszeichen um! Für die Multiplikation mit negativen Zahlen gilt also: Wenn man eine Zahl mit einer negativen Zahl multipliziert, erhält man eine Gegenzahl auf der anderen Seite der Null auf dem Zahlenstrahl. Nicht vergessen: Wenn du mit einer negativen Zahl multiplizierst, musst du das Vergleichszeichen umdrehen. Wir können eine Gegenprobe machen, indem wir die Aussage als Frage formulieren: Ist minus 39 größer als minus 45? Ja, das stimmt. Die Aussage unserer Ungleichung ist also wahr. Schauen wir uns eine andere Aufgabe an. Wir haben zwei Zahlen: minus 4 und plus 6. Wir können sagen, dass minus 4 kleiner als 6 ist. Aber was passiert, wenn wir beide Seiten durch minus 2 teilen? Die Vorzeichen der Zahlen ändern sich und ihre Beträge halbieren sich. Minus 4 geteilt durch minus 2 ergibt 2 und 6 geteilt durch minus 2 ergibt minus 3. Da sich die Vorzeichen unserer Zahlen geändert haben, müssen wir auch das Vergleichszeichen umdrehen. So lautet die Regel für die Division durch negative Zahlen. Als Gegenprobe lesen wir die Aussage als Frage: Ist 2 größer als minus 3? Ja, das stimmt. Hurra! Wow, das war eine Menge Stoff, also fassen wir besser noch mal zusammen. Wenn wir auf beiden Seiten einer Ungleichung die gleiche Zahl addieren oder subtrahieren, bleibt das Vergleichszeichen gleich. Wenn wir beide Seiten mit der gleichen positiven Zahl multiplizieren oder durch die gleiche positive Zahl dividieren, verändert sich das Vergleichszeichen ebenfalls nicht. Wenn wir aber die beiden Seiten einer Ungleichung mit einer negativen Zahl multiplizieren oder durch sie dividieren, müssen wir das Vergleichszeichen umkehren. Schauen wir noch mal, was Jakob macht. Hm, offenbar hat das Krokodil kein Interesse mehr an diesen ausgehungerten Antilopen. Moment mal, wen starrt das Krokodil denn so an?

Eigenschaften von Ungleichungen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Eigenschaften von Ungleichungen kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib die größere Zahl an.

    Tipps

    Rechne die Zahlen $45 + 10$ und $53+10$ aus und vergleiche sie.

    Das Vergleichszeichen entspricht dem Maul des Krokodils, es ist zur größeren Zahl hin geöffnet.

    Ist die erste Antilope schwerer als die zweite, und beide Antilopen nehmen $7~\text{kg}$ zu, so ist die erste Antilope hinterher immer noch schwerer als die zweite.

    Lösung

    Die $53~\text{kg}$-Antilope ist schwerer als die, die $45~\text{kg}$ wiegt. Das Relationssymbol öffnet sich zur größeren Zahl hin – genau wie das Maul des Krokodils. Es gilt also:

    $45 < 53$.

    In der Regenzeit nimmt das Gewicht jeder Antilope um $10~\text{kg}$ zu. Das Gewicht der Antilopen beträgt jetzt $55~\text{kg}$ bzw. $63~\text{kg}$. Hier ist also

    $\begin{array}{llll} &45+10 &{<} &53+10\\ \Leftrightarrow & 55 & {<} & 63\\ \end{array}$

    Das Relationssymbol ändert sich also nicht, wenn Du auf beiden Seiten der Ungleichung dieselbe Zahl addierst.

    In der anschließenden Trockenzeit verringert sich das Gewicht beider Antilopen wieder um jeweils $3~\text{kg}$. Das Gewicht der Antilopen beträgt jetzt $52~\text{kg}$ bzw. $60~\text{kg}$. Es ist also

    $\begin{array}{llll} &55-3 &{<} &63-3\\ \Leftrightarrow &52 & {<} & 60\\ \end{array}$

    Auch wenn du auf beiden Seiten einer Ungleichung dieselbe Zahl subtrahierst, ändert sich das Relationszeichen nicht.

  • Bestimme die Ungleichungen.

    Tipps

    Das Vergleichszeichen ist wie das Maul eines Krokodils: Es ist immer zur größeren Zahl hin geöffnet.

    Marie hat die Schuhgröße $36$, Markus hat eine $42$. Für die Schuhgrößen gilt daher:

    $36 < 42$.

    Bestimme zuerst die jeweils größere Zahl. Wähle dann das Vergleichszeichen aus, das zur größeren Zahl hin geöffnet ist.

    Lösung

    Das Vergleichszeichen ist wie das Maul eines Krokodils stets zur größeren Beute, d.h. zur größeren Zahl hin geöffnet. Der Vergleich der Körpergröße, des Schulwegs usw. ergibt folgende Ungleichungen:

    • Markus ist größer als Marie. Für die Körpergrößen in $\text{m}$ gilt: $1,82 > 1,65$.
    • Der Schulweg von Markus ist kürzer als der von Marie. Die Ungleichung für den Schulweg in $\text m$ lautet: $750 < 900$.
    • Markus längstes Wort hat weniger Buchstaben als das von Marie. Für die Anzahl der Buchstaben gilt die Ungleichung $15 < 17$.
    • Markus ist schneller am Ziel als Marie. Der Vergleich der Laufzeiten in $\text s$ liefert die Ungleichung $33 > 29$.
    • Marie läuft nicht ganz so schnell wie Markus. Der Vergleich ihrer Geschwindigkeiten in $\text{m/s}$ ergibt die Ungleichung $3,03 < 3,45$.
  • Benenne die Regeln zum Rechnen mit Ungleichungen.

    Tipps

    Ist eine Antilope größer als die andere, so gilt dasselbe, nachdem beide Antilopen um $7~\text{kg}$ zu- oder abgenommen haben.

    Verdoppelt sich das Gewicht beider Antilopen, so ist die Antilope, die vorher schwerer als die andere war, auch danach schwerer.

    Nimmt die leichtere Antilope schneller zu als die schwerere, kann es sein, dass sie sie irgendwann „überholt“ – die Relation zwischen ihnen kann sich also nach einiger Zeit umkehren.

    Lösung

    Folgende Aussagen sind richtig.

    „Multipliziert man beide Seiten einer Ungleichung mit derselben positiven Zahl, so ändert sich das Vergleichszeichen nicht.“

    „Addiert man auf beiden Seiten einer Ungleichung dieselbe Zahl, so ändert sich das Vergleichszeichen nicht.“

    „Dividiert man beide Seiten einer Ungleichung durch dieselbe negative Zahl, so dreht sich das Vergleichszeichen um.“

    Die folgenden Aussagen dagegen sind falsch.

    „Dividiert man beide Seiten einer Ungleichung durch dieselbe positive Zahl, so dreht sich das Vergleichszeichen um.“

    • Bei Multiplikation beider Seiten mit derselben positiven Zahl oder Division durch dieselbe positive Zahl ändert sich das Vergleichszeichen nicht.
    „Addiert man auf beiden Seiten einer Ungleichung dieselbe negative Zahl, so dreht sich das Vergleichszeichen um.“

    • Addition und Subtraktion beider Seiten einer Ungleichung mit derselben Zahl ändert das Vergleichszeichen nicht. Egal, ob diese Zahl positiv oder negativ ist!
    „Addiert man auf beiden Seiten einer Ungleichung eine positive Zahl, so ändert sich das Vergleichszeichen nicht.“

    • Das Vergleichszeichen ändert sich nicht, wenn man auf beiden Seiten dieselbe Zahl addiert. Wenn man dagegen verschiedene Zahlen addiert, so kann sich das Vergleichszeichen umdrehen: $1<2$, aber $1+5 > 2+3$. Das Vergleichszeichen dreht sich aber nicht immer um: Addieren wir bei der Ungleichung $1<2$ auf der linken Seite $3$ und auf der rechten Seite $5$, so erhalten wir die neue Ungleichung $1+3 < 2+5$.
    „Multipliziert man beide Seiten einer Ungleichung mit $-1$, so ändert sich das Vergleichszeichen nicht.“

    • Bei Multiplikation beider Seiten einer Ungleichung mit derselben negativen Zahl (oder Division durch dieselbe negative Zahl) dreht sich das Vergleichssymbol um.
  • Erschließe die Ungleichungen.

    Tipps

    Mit der Höhe der Schulden ist nicht der Wert auf dem Konto gemeint.

    Berechne die Temperaturschwankung in $\%$ und vergleiche dies mit der Erderwärmung.

    Lösung

    Folgende Aussagen sind falsch:

    • „Ein neuartiges Tuning von Rennwagen verbessert die beiden schnellsten Wagen um $7\%$, alle anderen um $10\%$. Das Tuning wird auf alle Rennwagen angewendet. Die beiden schnellsten Wagen sind nach dem Tuning dieselben wie vorher.“ Würden alle Rennwagen um denselben Faktor schneller, so würde sich die Relation nicht ändern. Ist die Verbesserung aber abhängig von der Schnelligkeit, so kann die Verbesserung die Relationen verändern. Fährt z.B. der zweitbeste Rennwagen vor dem Tuning bis zu $328~\text{km/h}$, der drittbeste aber nur $320~\text{km/h}$, so betragen die Spitzengeschwindigkeiten nach dem Tuning $328~\text{km/h} \cdot 1,07 \approx 351~\text{km/h}$ bzw. $320~\text{km/h} \cdot 1,1 \approx 353~\text{km/h}$.
    • „Männliche Greifvögel sind durchschnittlich $\frac{1}{3}$ kleiner als Weibchen derselben Art. Die Männchen können sich um $\frac{1}{4}$ aufplustern. Sie werden dadurch größer als die Weibchen.“ Die Größe der Männchen beträgt $\frac{2}{3}$ der Größe der Weibchen. Das Aufplustern um $\frac{1}{4}$ bedeutet Multiplikation der Größe mit $\frac{5}{4}$. Da $\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} < 1$, sind auch die aufgeplusterten Männchen kleiner als die Weibchen.
    Folgende Aussagen sind richtig:

    • „Der Investor $A$ hat weniger auf dem Konto als der Investor $B$. Die Bank erlaubt, dass jeder doppelt so viel ausgibt, wie er auf dem Konto hat. Nachdem beide Investoren so viel ausgegeben haben, wie die Bank erlaubt, ist der Kontostand von $A$ höher als der von $B$.“ Hat ein Investor $1000$ € auf dem Konto, so erlaubt die Bank ihm, $2000$ € auszugeben. Sein Kontostand in € beträgt danach $1000-2000 = -1000$. Bei jedem der Investoren ist der Kontostand am Ende das Negative des Kontostandes am Anfang. Ist der Kontostand von $A$ am Anfang kleiner als der von $B$, so das Negative des Kontostandes von $A$ am Anfang größer als das Negative des Kontostandes von $B$ am Anfang. Mit anderen Worten: der Kontostand von $A$ am Ende ist größer als der von $B$ am Ende.
    • „Ein männlicher Orang-Utan ist im Schnitt $80\%$ schwerer als ein weiblicher. Zwei Weibchen wiegen mehr als ein Männchen.“ Zwei Weibchen wiegen zweimal so viel wie ein Weibchen. Ein Männchen wiegt nur $80\%$ mehr als ein Weibchen, d.h. $1,8$-mal so viel wie ein Weibchen. Da $1,8 < 2$, ist ein Männchen leichter als zwei Weibchen.
  • Analysiere die Ungleichungen.

    Tipps

    Trage verschiedene Zahlen auf dem Zahlenstrahl ein und überlege, ob sich die Größenrelation unter den Rechenoperationen verändert.

    $1 < 2$, aber $-1 > -2$.

    Der Addition positiver Zahlen entspricht eine Verschiebung auf dem Zahlenstrahl nach rechts.

    Die Subtraktion einer negativen Zahl ist dasselbe wie die Addition einer positiven Zahl.

    Lösung

    Das Vergleichszeichen ändert sich nicht, wenn man auf beiden Seiten einer Ungleichung dieselbe Zahl addiert oder subtrahiert. Es ändert sich auch nicht, wenn man beide Seiten mit derselben positiven Zahl multipliziert oder durch dieselbe positive Zahl dividiert.

    Bei Multiplikation mit derselben negativen oder Division durch dieselbe negative Zahl kehrt sich dagegen das Vergleichszeichen um.

    Es ergibt sich daher die folgende Zuordnung.

    Das Vergleichszeichen dreht sich um bei

    • Multiplikation mit $-1$,
    • Division durch $-\frac{3}{4}$,
    • Multiplikation mit $\frac{3}{-4}$ und
    • Division durch $-1$.
    Das Vergleichszeichen bleibt erhalten bei

    • Addition von $-\frac{3}{4}$,
    • Addition von $0$,
    • Subtraktion von $-2$ und
    • Multiplikation mit $-(-2)$.
  • Ermittle äquivalente Ungleichungen.

    Tipps

    Versuche nicht, die Paare durch Einsetzen konkreter Zahlen zu finden.

    Multiplikation der Ungleichungen mit $(-1)$ liefert eine äquivalente Ungleichung mit umgekehrtem Relationssymbol.

    Multiplikation einer Ungleichung mit $a$ liefert eine äquivalente Ungleichung, denn $a>0$.

    Lösung

    Bei Ungleichungen ändert sich das Vergleichszeichen nicht, wenn wir

    • auf beiden Seiten dieselbe Zahl addieren oder subtrahieren.
    • beide Seiten mit derselben positiven Zahl multiplizieren oder durch dieselbe positive Zahl dividieren.
    Das Vergleichszeichen kehrt sich um, wenn wir

    • beide Seiten mit derselben negativen Zahl multiplizieren oder durch sie dividieren.
    Daraus ergeben sich folgende äquivalente Paare von Ungleichungen.

    • $n<m$ $\;\Rightarrow\;$ $-m < -n \;$ (Multiplikation mit $-1$)
    • $a \cdot b < a$ $\;\Rightarrow\;$ $-b > -1 \;$ (Division durch $-a$)
    • $m < n$ $\;\Rightarrow\;$ $m \cdot m < m \cdot n \;$ (Multiplikation mit $m$)
    • $a < b$ $\;\Rightarrow\;$ $2a < a+b \;$ (Addition von $a$)
    • $b < a$ $\;\Rightarrow\;$ $1 < \frac{a}{b} \;$ (Division durch $b$)
    Alle diese Umformumgen können auch rückgängig gemacht werden. Sie sind daher Äquivalenzumformungen.