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Ungleichungen mit Multiplikation und Division lösen 03:36 min

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Transkript Ungleichungen mit Multiplikation und Division lösen

Für das Lösen von Ungleichungen mit Multiplikation und Division reisen wir heute weit zurück in die Vergangenheit. Guck mal, zwei Urzeitmenschen verspeisen gerade ihr Abendbrot. Was für ein Haufen an Knochen! Der eine Urzeitmensch wirft einen Knochen gegen den Felsen. Was für ein Spaß! Also warum nicht ein Spiel daraus machen? Sie einigen sich auf die Regeln. Jeder Treffer gibt 3 Punkte. Wirft man daneben, gibt es einen halben Minuspunkt. "Dieser Höhlenmensch hat 12 Punkte erzielt. Da wir nicht wissen, wie viele Teffer er gelandet hat, soll die Variable x für die Anzahl an Treffern stehen. Für jeden Treffer gibt es 3 Punkte. Trifft er mit jedem Wurf, ergibt das 3x gleich 12. Für jeden Wurf, der daneben geht, gibt's Abzüge. Es ist also möglich, dass er einige Male daneben geworfen hat." Schreiben wir die Ungleichung. 3x ist größer gleich 12. Um die Ungleichung zu lösen, dividierst du beide Seiten durch 3...x ist größer gleich 4. Der Höhlenmensch hat also 4 Mal oder öfter ins Schwarze getroffen. Nun ist der andere dran. Was? Er erzielt nur mickrige minus 11 Punkte?! Hätte er keinen einzigen Treffer gelandet, würde minus 1/2x gleich -11 sein. Vielleicht war die Anzahl seiner Würfe ins Aus aber auch höher und er hat zum Ausgleich tatsächlich ein paar Mal das Ziel getroffen. Deshalb lautet die Ungleichung: minus 1/2x ist kleiner gleich minus 11. Um die Ungleichung zu lösen, müssen wir beide Seiten durch minus 1/2 dividieren, was das Gleiche ist, wie beide Seiten mit dem Kehrwert von minus 1/2, also -2, zu multiplizieren. Da du mit einer negativen Zahl multiplizierst oder dividierst, darfst du nicht vergessen, das Ungleichheitszeichen umzudrehen. x ist größer gleich 22. Er hat also 22 Mal oder öfter denaben geworfen! Scheint nicht sein Spiel zu sein! Aber warum drehen wir das Ungleichheitszeichen um, wenn wir mit einer negativen Zahl multiplizieren oder durch eine negative Zahl dividieren? Schauen wir uns dazu ein Beispiel an. Minus 2 ist kleiner als 5. Was passiert, wenn wir beide Seiten durch minus 1 teilen, aber das Zeichen nicht umkehren? -2 geteilt durch -1 ist kleiner als 5 geteilt durch -1. Das ergibt 2 ist kleiner als -5! Und das stimmt sicher nicht! Wenn wir aber das Ungleichheitszeichen umdrehen, erhalten wir eine wahre Ungleichung. Also: Wird eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert oder durch sie dividiert, musst du das Ungleichheitszeichen umdrehen. Das schreit nach einer Revanche! Sieht gut aus. Yes! Was für ein Volltreffer! Oh – oooh. Dino böööööse.

4 Kommentare
  1. Gutes Video hat geholfen c:

    Von Th Lison, vor etwa einem Monat
  2. total süßes und verständliches Video:))

    Von Saehrendt, vor 3 Monaten
  3. cool!

    Von Luofamilie, vor 7 Monaten
  4. Witziges und sehr lehrreiches Video!!!
    Hab alles verstanden! :D

    Von Myrna M., vor 11 Monaten

Ungleichungen mit Multiplikation und Division lösen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Ungleichungen mit Multiplikation und Division lösen kannst du es wiederholen und üben.

  • Ergänze die Ungleichungen und Erklärungen.

    Tipps

    Wenn du dich fragst, ob du „$\leq$“ oder „$\geq$“ in eine Ungleichung einsetzen musst, hilft es manchmal, wenn du dir überlegst, wie die Aufgabenstellung mit den Worten mindestens und höchstens formuliert wäre.

    Aufgepasst! Es gilt:

    • $5\geq2$, aber:
    • ${-5}\leq{-2}$.
    Lösung

    Höhlenmensch 1

    Der Höhlenmensch hat insgesamt $12$ Punkte erzielt. Da er für jeden Treffer $3$ Punkte erhalten hat, wissen wir, dass er mindestens $4$ mal geworfen haben muss. In diesem Fall hätte er nie daneben geworfen. Dann hätten wir eine Gleichung, die so aussehen müsste:

    $3 \cdot x = 12$.

    Falls er aber auch mal daneben geworfen hätte, hätte er seine Minuspunkte mit weiteren Würfen ausgleichen müssen und dann hätte er auch mehr Punkte durch Treffer erzielt. Also müssten in diesem Fall die $3 \cdot x$ größer sein als die $12$.

    Insgesamt lautet daher die Ungleichung:

    $3 \cdot x \geq 12$.

    Wir teilen noch durch $3$, eine positive Zahl, weswegen sich das Ungleichheitszeichen nicht umdreht:

    $x \geq 4$.

    Der Höhlenmensch hat mindestens $4$ Treffer erzielt.

    $~$

    Höhlenmensch 2

    Der Höhlenmensch hat bloß $-11$ Punkte erzielt. Da er für jeden Fehlwurf einen halben Minuspunkt bekommt, wissen wir, dass er mindestens $22$ Fehlwürfe gemacht hat. Dann hätte er nie getroffen. In diesem Fall hätten wir eine Gleichung:

    $-\frac{1}{2} \cdot x = -11$

    Falls er aber auch manchmal getroffen hätte, hätte er die erzielten Punkte wieder durch weitere Fehlwürfe ausgleichen müssen. Mehr Fehlwürfe bedeutet aber weniger Punkte. Deshalb kommen wir zu folgender Ungleichung:

    $-\frac{1}{2} \cdot x \leq -11$.

    Das dividieren wir durch $-\frac{1}{2}$. Das ist aber das Gleiche, als würden wir mit dem Kehrwert, also mit $-2$, multiplizieren. Weil wir mit einer negativen Zahl multiplizieren, dreht sich das Ungleichheitszeichen um. Das Ergebnis lautet:

    $x \geq 22$.

    Der Höhlenmensch hat mindestens $22$ mal daneben geworfen.

  • Nenne die richtigen Verfahrensweisen bei der Umformung von Ungleichungen.

    Tipps

    Du kannst dir eine konkrete Ungleichung aussuchen und diese mal mit positiven und mal mit negativen Zahlen multiplizieren oder dividieren.

    Denke über folgende Ungleichung nach:

    ${-5}\leq 2$.

    Wir multiplizieren mit einer negativen Zahl:

    ${-5}\leq 2~~\vert\cdot({-1})$.

    Dann entsteht folgende Ungleichung:

    $5\geq {-2}$.

    Was ist mit dem Ungleichheitszeichen passiert?

    Denke über folgende Ungleichung nach:

    ${-5}\leq 2$.

    Wir multiplizieren mit einer positiven Zahl:

    ${-5}\leq 2~~\vert\cdot 1$.

    Dann bleibt die Ungleichung identisch:

    ${-5}\leq 2$.

    Was ist mit dem Ungleichheitszeichen passiert?

    Lösung

    Für Ungleichungen gilt:

    Wenn man eine Ungleichung mit einer positiven Zahl multipliziert oder durch eine positive Zahl dividiert, dreht man das Ungleichheitszeichen nicht um.

    Wenn man eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert oder durch eine negative Zahl dividiert, dreht man das Ungleichheitszeichen um.

    Also gilt für die einzelnen Aussagen:

    Aussage 1

    „Wenn man eine Ungleichung mit einer positiven Zahl multipliziert, dreht man das Ungleichheitszeichen niemals um.“ Das ist wahr. Multiplikation mit positiven Zahlen wirkt sich nicht auf das Ungleichheitszeichen aus:

    ${-2} \leq 4~~\vert \cdot 3$

    ${-6} \leq 12$

    Aussage 2

    „Wenn man eine Ungleichung durch eine positive Zahl dividiert, dreht man das Ungleichheitszeichen immer um.“ Das ist falsch. Bei der Division durch eine positive Zahl verändert sich das Ungleichheitszeichen nicht:

    $4 \geq {-2} ~~\vert :2$

    $2 \geq {-1}$

    Aussage 3

    „Wenn man eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert, dreht man das Ungleichheitszeichen immer um. Das ist richtig. Man dreht das Ungleichheitszeichen bei der Multiplikation mit negativen Zahlen um:

    ${-3} \leq 5~~\vert \cdot \left( {-2} \right)$

    $6 \geq {-10}$

    Aussage 4

    „Wenn man eine Ungleichung durch eine negative Zahl dividiert, dreht man das Ungleichheitszeichen immer um.“ Das ist richtig. Man dreht das Ungleichheitszeichen bei der Division durch negative Zahlen um:

    $6 \geq {-4}~~\vert :\left( {-2} \right)$

    ${-3}\leq 2$

  • Leite aus den Textaufgaben Ungleichungen ab und löse sie.

    Tipps

    Mindestens bedeutet gleich oder größer als.

    Mehr als bedeutet nur größer als.

    Zum Beispiel:

    Paul leiht sich bei seinen Freunden manchmal $5$ Euro. Er weiß nicht mehr, bei wie vielen Freunden er sich Geld geliehen hat. Er weiß nur noch, dass er mindestens $20$ Euro Schulden hat.

    Die Ungleichung sieht dann so aus:

    $-5 \cdot x \leq -20$.

    Lösung

    Aufgabe 1

    Tim hat jeden Tag der Woche, also an insgesamt $7$ Tagen, mindestens $20$ Liegestütze gemacht. Gesucht ist die Gesamtzahl der Liegestütze. „Mindestens“ bedeutet, er hat jeden Tag $20$ oder mehr Liegestütze gemacht. Also ist die Gesamtzahl größer oder gleich $7\cdot 20$.

    $\begin{array}{rcl} x & \geq & 7\cdot 20 \\ x & \geq & 140 \end{array}$

    Aufgabe 2

    Caroline hat an $4$ Tagen Nudeln gegessen. Insgesamt hat sie weniger als zwei Packungen mit je $250$ Gramm Nudeln gegessen. Gesucht ist die Gramm, die sie pro Portion gegessen hat. „Weniger“ bedeutet, dass die Portion kleiner ist, als wenn sie alle $500$ Gramm Nudeln gegessen hätte. Also kannst du folgende Ungleichung aufstellen:

    $\begin{array}{rcll} 4 \cdot x & \lt & 2\cdot 250 \\ 4 \cdot x & \lt & 500 & \vert :4 \\ x & \lt & 125 \end{array}$

    Aufgabe 3

    In Sabines Haus wohnen mindestens $36$ Bewohner. Gesucht sind die Bewohner pro Wohnung. Insgesamt gibt es $18$ Wohnungen. „Mindestens“ bedeutet, dass es wirklich genau $36$ oder mehr Bewohner sind:

    $\begin{array}{rcll} 6 \cdot 3 \cdot x & \geq & 36 \\ 18 \cdot x & \geq & 36 & \vert :18 \\ x & \geq & 2 \end{array}$

    Aufgabe 4

    Karl hat bei mehreren Freunden jeweils $10$ Euro Schulden. Er hat mehr als $50$ Euro Schulden. Gesucht ist die Zahl der Freunde, bei denen Karl Schulden hat. Ginge es nur um die Beträge, könnte man folgende Ungleichung aufstellen:

    $\begin{array}{rcl} 10 \cdot x & \gt & 50 \end{array}$

    Weil es aber um Schulden geht, sollen die Werte negativ werden. Dann muss sich aber das Ungleichheitszeichen umdrehen, weil das gleichbedeutend ist, als würde man obige Gleichung mit $-1$, also einer negativen Zahl, multiplizieren:

    $\begin{array}{rcll} {-10} \cdot x & \lt & {-50} & \vert : \left({-10} \right) \\ x & \gt & 5 \end{array}$

    Beachte, dass sich beim letzten Schritt das Ungleichheitszeichen wieder umgedreht hat.

  • Beschreibe, wie du die Ungleichung nach $x$ auflöst.

    Tipps

    Durch eine Zahl zu dividieren ist dasselbe, wie mit dem Kehrwert dieser Zahl zu multiplizieren.

    Du kannst eine Gleichung zum Beispiel durch $\frac{1}{2}$ teilen, aber auch genauso gut mit $2$ multiplizieren.

    Multiplikation mit positiven Zahlen bewirkt mit dem Ungleichheitszeichen dasselbe wie Division mit positiven Zahlen.

    Multiplikation mit negativen Zahlen bewirkt mit dem Ungleichheitszeichen dasselbe wie Division mit negativen Zahlen.

    Multiplizieren mit einer positiven Zahl dreht „$\geq$“ niemals um.

    Lösung

    Für Ungleichungen gilt:

    Wenn man eine Ungleichung mit einer positiven Zahl multipliziert oder durch eine positive Zahl dividiert, dreht man das Ungleichheitsszeichen nicht um.

    Wenn man eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert oder durch eine negative Zahl dividiert, dreht man das Ungleichheitsszeichen um.

    Folglich gilt für:

    Ungleichung 1: $~~3\cdot x \geq 12~~\vert :3$

    Weil man durch eine positive Zahl dividiert, dreht sich „$\geq$“ nicht um. Das Ergebnis ist $x\geq4$.

    Ungleichung 2: $~~3\cdot x \geq 12~~\vert \cdot \frac{1}{3}$

    Weil man mit einer positiven Zahl multipliziert, dreht sich „$\geq$“ nicht um. Das Ergebnis ist $x\geq4$.

    Ungleichung 3: $~~-\frac{1}{2}\cdot x\leq -11~~\vert :\left( -\frac{1}{2} \right)$

    Weil man durch eine negative Zahl dividiert, dreht sich „$\leq$“ um. Das Ergebnis ist $x\geq22$.

    Ungleichung 4:$~~-\frac{1}{2}\cdot x\leq -11~~\vert \cdot \left( -2 \right)$

    Weil man mit einer negativen Zahl multipliziert, dreht sich „$\leq$“ um. Das Ergebnis ist $x\geq22$.

  • Bestimme die Lösungen der Ungleichungen.

    Tipps

    $<$ und $>$ verhalten sich beim Multiplizieren und Dividieren genau wie $\leq$ und $\geq$.

    Durch eine Zahl zu dividieren ist dasselbe wie mit dem Kehrwert dieser Zahl zu multiplizieren.

    Von $\frac{1}{2}$ ist zum Beispiel $2$ der Kehrwert.

    Vielleicht schaust du dir auch dieses Beispiel an:

    $9\cdot x \leq 27~~\vert :3$

    $x \leq 9$

    Lösung

    Aufgabe 1: $~~~4\cdot x \leq 20$

    Wir teilen durch $4$, um $x$ zu isolieren:

    $4\cdot x \leq 20~~\vert :4$.

    Weil wir durch eine positive Zahl teilen, bleibt das Ungleichheitszeichen unverändert.

    $x\leq 5$

    Aufgabe 2: $~~~{-4}\cdot x > 20$

    Wir teilen durch ${-4}$.

    $-4\cdot x > 20~~\vert :(-4)$

    Weil wir durch eine negative Zahl teilen, dreht sich das Ungleichheitszeichen um.

    $x< -5$

    Aufgabe 3: $~~~-4\cdot x \leq 20$

    Wir multiplizieren mit dem Kehrwert von $-4$, also mit $-\frac{1}{4}$.

    $-4\cdot x \leq 20~~\vert \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)$

    Weil wir mit einer negativen Zahl multiplizieren, dreht sich das Ungleichheitszeichen um.

    $x\geq -5$

    Aufgabe 4: $~~~4\cdot x > 20$

    Wir multiplizieren mit dem Kehrwert von $4$, also mit $\frac{1}{4}$.

    $4\cdot x > 20~~\vert \cdot \frac{1}{4}$

    Weil wir mit einer positiven Zahl multiplizieren, bleibt das Ungleichheitszeichen unverändert.

    $x> 5$

    Aufgabe 5: $~~~-4\cdot x \geq 20$

    Wir multiplizieren mit dem Kehrwert von $-4$, also mit $-\frac{1}{4}$.

    $-4\cdot x \geq 20~~\vert \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)$

    Weil wir mit einer negativen Zahl multiplizieren, dreht sich das Ungleichheitszeichen um.

    $x\leq -5$

  • Prüfe die Ungleichungen und Umformungen auf Richtigkeit.

    Tipps

    Multiplikation mit und Division durch eine negative Zahl dreht das Ungleichheitszeichen um.

    Durch eine Zahl zu dividieren ist dasselbe wie mit dem Kehrwert dieser Zahl zu multiplizieren.

    Betrachte auch dieses Beispiel:

    $10\cdot x\leq40~~\vert :10$

    $x\geq 4$

    Wir haben durch eine positive Zahl geteilt. Also ist das Ungleichheitszeichen in der zweiten Zeile falsch.

    Lösung

    Aufgabe 1:$~~~5\cdot x\leq15$

    Wir können durch $5$ teilen:

    $5\cdot x\leq15~~\vert :5$.

    Wir teilen durch eine positive Zahl, also dreht sich das Ungleichheitszeichen nicht um. Das war der Fehler in der Aufgabe.

    $x\nobreakspace\leq\nobreakspace3$

    Aufgabe 2: $~~~{-12}\cdot x\leq36$

    Wir können durch ${-12}$ teilen:

    ${-12}\cdot x\leq36~~\vert :({-12})$.

    Weil wir durch eine negative Zahl teilen, dreht sich das Ungleichheitszeichen um. Das war der Fehler in der Aufgabe.

    $x\geq{-3}$

    Aufgabe 3: $~~~{-6}\cdot x\leq {-36}$

    Wir können durch ${-6}$ teilen, das ist dasselbe wie mit dem Kehrwert, also $-\frac{1}{6}$, zu multiplizieren. In der Aufgabe war der Kehrwert falsch gebildet.

    ${-6}\cdot x\leq {-36}~~\vert \cdot \left( -\frac{1}{6}\right)$

    Weil wir mit einer negativen Zahl multiplizieren, dreht sich das Ungleichheitszeichen um:

    $x\geq6$.

    Aufgabe 4: $~~~{-8}\cdot x\geq {-48}$

    Um das Minus auf beiden Seiten zu eliminieren, können wir zunächst mit ${-1}$ multiplizieren:

    ${-8}\cdot x\geq {-48}~~\vert \cdot ({-1})$.

    Weil wir mit einer negativen Zahl multiplizieren, dreht sich das Ungleichheitszeichen um. Jetzt teilen wir durch $8$:

    $8\cdot x\leq48~~\vert :8$

    Weil wir durch eine positive Zahl teilen, bleibt das Ungleichheitszeichen gleich. Das war der Fehler in der Aufgabe.

    $x\leq6$

    Aufgabe 5: $~~~{-4}\cdot x\geq {-40}$

    Um das Minus zu eliminieren, können wir zunächst durch ${-1}$ dividieren:

    ${-4}\cdot x\geq {-40}~~\vert :({-1})$.

    Weil wir durch eine negative Zahl teilen, dreht sich das Ungleichheitszeichen um. Das war in der Aufgabe falsch. Wir teilen dann durch $4$. Das ist aber dasselbe wie mit dem Kehrwert $\frac{1}{4}$ zu multiplizieren:

    $4\cdot x\leq40~~\vert \cdot\frac{1}{4}$.

    Weil wir mit einer positiven Zahl multiplizieren, verändert sich das Ungleichheitszeichen diesmal nicht. Das war in der Aufgabe richtig. Dennoch steht in dieser Zeile ein falsches Ungleichheitszeichen, was aber ein Folgefehler ist.

    $x\leq10$

    Aufgabe 6: $~~~7\cdot x\leq42$

    Wir können durch $7$ teilen, das ist aber dasselbe wie mit dem Kehrwert $\frac{1}{7}$ zu multiplizieren. In der Aufgabe wurde durch den Kehrwert geteilt. Das war der Fehler.

    $7\cdot x\leq42~~\vert \cdot \frac{1}{7}$

    Weil wir mit einer positiven Zahl multiplizieren, ändert sich das Ungleichheitszeichen nicht:

    $x\leq6$.