Ungleichungen an der Zahlengeraden

Ungleichungen an der Zahlengeraden Übung

• Gib die Ungleichung für die dargestellte Zahlengerade an.

  Tipps

  Folgendes gilt für die Relationszeichen:

  $x > y\ \rightarrow$ $x$ ist größer als $y$.

  $x\geq y\ \rightarrow$ $x$ ist größer als $y$ oder gleich $y$.

  $x < y\ \rightarrow$ $x$ ist kleiner als $y$.

  $x\leq y\ \rightarrow$ $x$ ist kleiner als $y$ oder gleich $y$.

  Ungleichungen können auf einer Zahlengeraden wie folgt dargestellt werden:

  $x>5\ \rightarrow$ ein leerer Kreis bei der $5$ und ein von dem Kreis ausgehender Pfeil nach rechts.

  $x\geq 5\ \rightarrow$ ein voller Kreis bei der $5$ und ein von dem Kreis ausgehender Pfeil nach rechts.

  $x<5\ \rightarrow$ $x$ ein leerer Kreis bei der $5$ und ein von dem Kreis ausgehender Pfeil nach links.

  $x\leq 5\ \rightarrow$ $x$ ein voller Kreis bei der $5$ und ein von dem Kreis ausgehender Pfeil nach links.

  Lösung

  Bevor wir uns den abgebildeten Zahlenstrahl genauer ansehen, klären wir die Bedeutung der jeweiligen Relationszeichen. Folgendes gilt:

  $x > y\ \rightarrow$ $x$ ist größer als $y$.

  $x\geq y\ \rightarrow$ $x$ ist größer als $y$ oder gleich $y$.

  $x < y\ \rightarrow$ $x$ ist kleiner als $y$.

  $x\leq y\ \rightarrow$ $x$ ist kleiner als $y$ oder gleich $y$.

  Diese Ungleichungen können auch auf einem Zahlenstrahl dargestellt werden. Dabei gilt Folgendes:

  $x > y\ \rightarrow$ ein leerer Kreis bei $y$ und ein von dem Kreis ausgehender Pfeil nach rechts.

  $x\geq y\ \rightarrow$ ein voller Kreis bei $y$ und ein von dem Kreis ausgehender Pfeil nach rechts.

  $x < y\ \rightarrow$ $x$ ein leerer Kreis bei $y$ und ein von dem Kreis ausgehender Pfeil nach links.

  $x\leq y\ \rightarrow$ $x$ ein voller Kreis bei $y$ und ein von dem Kreis ausgehender Pfeil nach links.

  Nun betrachten wir den gegebenen Zahlenstrahl:

  Die Markierung auf der abgebildeten Zahlengeraden besteht aus einem vollen Kreis bei $100$ und einem vom Kreis ausgehenden Pfeil nach links. Ein voller Kreis bei $100$ bedeutet, dass die $100$ in $x$ enthalten ist. Außerdem sind alle Zahlen, die kleiner als $100$ sind in $x$ enthalten. Somit ist $x\leq 100$. Das Tempolimit beträgt also $100$ km/h.

• Stelle die Markierung auf der Zahlengeraden als Ungleichung dar.

  Tipps

  Wenn wir eine Ungleichung in der Form $x> -1$ haben, wissen wir, dass der Wert, den $x$ annehmen kann, größer als $-1$ ist.

  Diese Ungleichung können wir auf der Zahlengeraden darstellen, indem wir einen leeren Kreis bei der $-1$ und einen vom Kreis ausgehenden Pfeil nach rechts einzeichnen.

  Dies siehst du hier im Bild dargestellt.

  Folgende Regeln gelten für die Relationszeichen bei der Darstellung der Größe $x$ auf der Zahlengeraden:

  $x > y\ \rightarrow$ leerer Kreis bei $y$ & Pfeil nach rechts.

  $x\geq y\ \rightarrow$ voller Kreis bei $y$ & Pfeil nach rechts.

  $x < y\ \rightarrow$ leerer Kreis bei $y$ & Pfeil nach links.

  $x\leq y\ \rightarrow$ voller Kreis bei $y$ & Pfeil nach links.

  Lösung

  Schauen wir uns nun an Beispielen gemeinsam an, wie man Ungleichungen den Darstellungen auf dem Zahlenstrahl zuordnen kann.

  Beispiel 1

  • Dargestellt ist ein leerer Kreis bei $100$ und ein Pfeil nach links. Die Variable $x$ kann also jeden Wert, der kleiner als $100$ ist, annehmen. Es gilt somit $x<100$.

  Beispiel 2

  • Abgebildet ist ein leerer Kreis bei $100$ und ein Pfeil nach rechts. Somit kann $x$ jeden Wert, der größer ist als $100$, annehmen. Es gilt also $x>100$.

  Beispiel 3

  • Gezeigt ist ein leerer Kreis bei $-20$ und ein Pfeil nach rechts. Also kann $x$ alle Werte größer als $-20$ annehmen. Wir erhalten somit die Ungleichung $x>-20$.

  Beispiel 4

  • Auf dem Zahlenstrahl ist ein voller Kreis bei $-20$ und ein Pfeil nach links zu sehen. Die Variable $x$ nimmt also einen Wert an, welcher kleiner als oder gleich $-20$ ist. Es folgt $x\leq -20$.

• Bestimme die jeweilige Ungleichung.

  Tipps

  Schau dir folgende Beschreibungen an:

  • Mindestens bedeutet, dass es von einer Sache nicht weniger gibt.

  • Maximal bedeutet, dass es von einer Sache nicht mehr gibt.

  Schau dir folgende Beispiele an, um die Relationszeichen zu verstehen:

  • Wenn $x>5$ ist, dann kann $x$ beispielsweise gleich $6$, $20$, $56$ oder $100$ sein.

  • Wenn $x\geq 5$ ist, dann kann $x$ beispielsweise gleich $5$, $20$, $56$ oder $100$ sein.

  • Wenn $x<5$ ist, dann kann $x$ beispielsweise gleich $4$, $0$, $-56$ oder $-100$ sein.

  • Wenn $x\leq 5$ ist, dann kann $x$ beispielsweise gleich $5$, $0$, $-56$ oder $-100$ sein.

  Lösung

  Bevor wir die gesuchten Ungleichungen gemeinsam aufstellen, soll dir im Folgenden die Bedeutung der Relationszeichen verdeutlicht werden:

  $x>y\ \rightarrow$ $x$ ist größer als $y$

  $x\geq y\ \rightarrow$ $x$ ist größer als $y$ oder gleich $y$

  $x < y\ \rightarrow$ $x$ ist kleiner als $y$

  $x\leq y\ \rightarrow$ $x$ ist kleiner als $y$ oder gleich $y$

  $x=y\ \rightarrow$ $x$ ist gleich $y$

  $x\neq y\ \rightarrow$ $x$ ist ungleich $y$

  Nun betrachten wir die Beispiele:

  Beispiel 1

  Frau Baum hat mindestens $6$ Katzen. Wie lautet die Ungleichung, wenn $x$ für die Anzahl der Katzen steht?

  Das Wort mindestens führt zu der Überlegung, dass es entweder $6$ oder mehr Katzen sind. Wir kommen also zu folgender Ungleichung:

  $x\geq 6$.

  Beispiel 2

  Antonia besitzt mehr als $13$ Plüschtiere. Wie lautet die Ungleichung, wenn $x$ für die Anzahl der Plüschtiere steht?

  Hier steht schon, dass es mehr als $13$ Plüschtiere gibt. Die daraus folgende Ungleichung ist:

  $x>13$.

  Beispiel 3

  Lukas hat in seiner Federtasche maximal fünf Stifte. Wie lautet die Ungleichung, wenn $x$ für die Anzahl der Stifte steht?

  Das Wort maximal führt zu der Überlegung, dass es fünf oder weniger Stifte sind. Wir erhalten folgende Ungleichung:

  $x\leq 5$.

  Beispiel 4

  Klara hat neun Paar Schuhe. Sabrina hat weniger als Klara. Wie lautet die Ungleichung, wenn $x$ für die Anzahl der Paare an Schuhen steht?

  Auch hier folgt die Ungleichung unmittelbar aus dem Text. Es sind weniger als neun Paar Schuhe. Es folgt:

  $x<9$.

• Ordne der Beschreibung die jeweilige Ungleichung zu.

  Tipps

  Ein voller Kreis auf einer Zahl der Zahlengeraden bedeutet, dass die Variable $x$ diese Zahl annehmen kann. Ist der Kreis leer, so kann $x$ diese Zahl nicht annehmen.

  Schau dir folgendes Beispiel an:

  $x>-20$.

  Lösung

  Gesucht sind die Ungleichungen zu verschiedenen Markierungen auf einer Zahlengeraden. Ungleichungen lassen sich wie folgt auf einer Zahlengeraden darstellen:

  $x>y\ \rightarrow$ leerer Kreis bei $y$ & Pfeil nach rechts.

  $x\geq y\ \rightarrow$ voller Kreis bei $y$ & Pfeil nach rechts.

  $x < y\ \rightarrow$ leerer Kreis bei $y$ & Pfeil nach links.

  $x\leq y\ \rightarrow$ voller Kreis bei $y$ & Pfeil nach links.

  Demnach gelten folgende Ungleichungen für die gegebenen Zahlengeraden:

  Beispiel 1

  Abgebildet ist eine Zahlengerade mit einem leeren Kreis bei der $6$ und einem Pfeil nach rechts:

  • $x>6$.

  Beispiel 2

  Abgebildet ist eine Zahlengerade mit einem leeren Kreis bei der $6$ und einem Pfeil nach links:

  • $x<6$.

  Beispiel 3

  Abgebildet ist eine Zahlengerade mit einem vollen Kreis bei der $6$ und einem Pfeil nach rechts:

  • $x\geq 6$.

  Beispiel 4

  Abgebildet ist eine Zahlengerade mit einem vollen Kreis bei der $6$ und einem Pfeil nach links:

  • $x\leq 6$.

• Gib die Bedeutung der vorgegebenen Relationszeichen wieder.

  Tipps

  Auf den drei Zahlengeraden siehst du folgende Ungleichungen:

  1. $x\leq 11$
  2. $x<8$
  3. $x\leq 12$

  Ein voller Kreis auf der Zahlengeraden bedeutet, dass die Größe $x$ diesen Zahlenwert annehmen kann. Ein leerer Kreis bedeutet, dass die Größe $x$ diesen Zahlenwert nicht annehmen kann.

  Die beiden Relationszeichen $<$ und $>$ kannst du dir wie den Mund eines sehr hungrigen Menschen vorstellen.

  Dieser öffnet seinen Mund natürlich lieber der größeren Menge an Kuchen, also lieber $4$ statt $2$ Stück Kuchen.

  Lösung

  Folgendes gilt für die Relationszeichen:

  $x>y\ \rightarrow$ $x$ ist größer als $y$.

  $x\geq y\ \rightarrow$ $x$ ist größer als oder gleich $y$.

  $x < y\ \rightarrow$ $x$ ist kleiner als $y$.

  $x\leq y\ \rightarrow$ $x$ ist kleiner als oder gleich $y$.

  Für die beiden anderen Fälle gelten die folgenden beiden Relationszeichen. Diese sind oben nicht zu finden:

  $x$ ist gleich $y\ \rightarrow\ x=y$.

  $x$ ist ungleich $y\ \rightarrow\ x\neq y$ .

• Bestimme die zutreffende Markierung auf der Zahlengeraden.

  Tipps

  Folgendes gilt für die Darstellung auf einer Zahlengeraden:

  $x>y\ \rightarrow$ leerer Kreis bei $y$ & Pfeil nach rechts.

  $x\geq y\ \rightarrow$ voller Kreis bei $y$ & Pfeil nach rechts.

  Wenn der Fall "kleiner als" betrachtet wird, verläuft der Pfeil nach links.

  Lösung

  Folgende Regeln gelten für die Relationszeichen bei der Darstellung der Variable $x$ auf der Zahlengeraden:

  $x>y\ \rightarrow$ leerer Kreis bei $y$ & Pfeil nach rechts.

  $x\geq y\ \rightarrow$ voller Kreis bei $y$ & Pfeil nach rechts.

  $x < y\ \rightarrow$ leerer Kreis bei $y$ & Pfeil nach links.

  $x\leq y\ \rightarrow$ voller Kreis bei $y$ & Pfeil nach links.

  Demnach erhalten wir für die gegebenen Beispiele folgende Markierungen auf der Zahlengeraden:

  Beispiel 1

  $x>125$

  • Auf der Zahlengeraden ist ein leerer Kreis bei der $125$ und ein Pfeil nach rechts.

  Beispiel 2

  $x\leq 5$

  • Auf der Zahlengeraden ist ein voller Kreis bei der $5$ und ein Pfeil nach links.

  Beispiel 3

  $x\geq -2$

  • Auf der Zahlengeraden ist ein voller Kreis bei der $-2$ und ein Pfeil nach rechts.

  Beispiel 4

  $x<-56$

  • Auf der Zahlengeraden ist ein leerer Kreis bei der $-56$ und ein Pfeil nach links.