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Ungleichungen an der Zahlengeraden

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Team Digital
Ungleichungen an der Zahlengeraden
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Ungleichungen an der Zahlengeraden Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Ungleichungen an der Zahlengeraden kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Ungleichung für die dargestellte Zahlengerade an.

    Tipps

    Folgendes gilt für die Relationszeichen:

    $x > y\ \rightarrow$ $x$ ist größer als $y$.

    $x\geq y\ \rightarrow$ $x$ ist größer als $y$ oder gleich $y$.

    $x < y\ \rightarrow$ $x$ ist kleiner als $y$.

    $x\leq y\ \rightarrow$ $x$ ist kleiner als $y$ oder gleich $y$.

    Ungleichungen können auf einer Zahlengeraden wie folgt dargestellt werden:

    $x>5\ \rightarrow$ ein leerer Kreis bei der $5$ und ein von dem Kreis ausgehender Pfeil nach rechts.

    $x\geq 5\ \rightarrow$ ein voller Kreis bei der $5$ und ein von dem Kreis ausgehender Pfeil nach rechts.

    $x<5\ \rightarrow$ $x$ ein leerer Kreis bei der $5$ und ein von dem Kreis ausgehender Pfeil nach links.

    $x\leq 5\ \rightarrow$ $x$ ein voller Kreis bei der $5$ und ein von dem Kreis ausgehender Pfeil nach links.

    Lösung

    Bevor wir uns den abgebildeten Zahlenstrahl genauer ansehen, klären wir die Bedeutung der jeweiligen Relationszeichen. Folgendes gilt:

    $x > y\ \rightarrow$ $x$ ist größer als $y$.

    $x\geq y\ \rightarrow$ $x$ ist größer als $y$ oder gleich $y$.

    $x < y\ \rightarrow$ $x$ ist kleiner als $y$.

    $x\leq y\ \rightarrow$ $x$ ist kleiner als $y$ oder gleich $y$.

    Diese Ungleichungen können auch auf einem Zahlenstrahl dargestellt werden. Dabei gilt Folgendes:

    $x > y\ \rightarrow$ ein leerer Kreis bei $y$ und ein von dem Kreis ausgehender Pfeil nach rechts.

    $x\geq y\ \rightarrow$ ein voller Kreis bei $y$ und ein von dem Kreis ausgehender Pfeil nach rechts.

    $x < y\ \rightarrow$ $x$ ein leerer Kreis bei $y$ und ein von dem Kreis ausgehender Pfeil nach links.

    $x\leq y\ \rightarrow$ $x$ ein voller Kreis bei $y$ und ein von dem Kreis ausgehender Pfeil nach links.

    Nun betrachten wir den gegebenen Zahlenstrahl:

    Die Markierung auf der abgebildeten Zahlengeraden besteht aus einem vollen Kreis bei $100$ und einem vom Kreis ausgehenden Pfeil nach links. Ein voller Kreis bei $100$ bedeutet, dass die $100$ in $x$ enthalten ist. Außerdem sind alle Zahlen, die kleiner als $100$ sind in $x$ enthalten. Somit ist $x\leq 100$. Das Tempolimit beträgt also $100$ km/h.

  • Stelle die Markierung auf der Zahlengeraden als Ungleichung dar.

    Tipps

    Wenn wir eine Ungleichung in der Form $x> -1$ haben, wissen wir, dass der Wert, den $x$ annehmen kann, größer als $-1$ ist.

    Diese Ungleichung können wir auf der Zahlengeraden darstellen, indem wir einen leeren Kreis bei der $-1$ und einen vom Kreis ausgehenden Pfeil nach rechts einzeichnen.

    Dies siehst du hier im Bild dargestellt.

    Folgende Regeln gelten für die Relationszeichen bei der Darstellung der Größe $x$ auf der Zahlengeraden:

    $x > y\ \rightarrow$ leerer Kreis bei $y$ & Pfeil nach rechts.

    $x\geq y\ \rightarrow$ voller Kreis bei $y$ & Pfeil nach rechts.

    $x < y\ \rightarrow$ leerer Kreis bei $y$ & Pfeil nach links.

    $x\leq y\ \rightarrow$ voller Kreis bei $y$ & Pfeil nach links.

    Lösung

    Schauen wir uns nun an Beispielen gemeinsam an, wie man Ungleichungen den Darstellungen auf dem Zahlenstrahl zuordnen kann.

    Beispiel 1

    • Dargestellt ist ein leerer Kreis bei $100$ und ein Pfeil nach links. Die Variable $x$ kann also jeden Wert, der kleiner als $100$ ist, annehmen. Es gilt somit $x<100$.
    Beispiel 2

    • Abgebildet ist ein leerer Kreis bei $100$ und ein Pfeil nach rechts. Somit kann $x$ jeden Wert, der größer ist als $100$, annehmen. Es gilt also $x>100$.
    Beispiel 3

    • Gezeigt ist ein leerer Kreis bei $-20$ und ein Pfeil nach rechts. Also kann $x$ alle Werte größer als $-20$ annehmen. Wir erhalten somit die Ungleichung $x>-20$.
    Beispiel 4

    • Auf dem Zahlenstrahl ist ein voller Kreis bei $-20$ und ein Pfeil nach links zu sehen. Die Variable $x$ nimmt also einen Wert an, welcher kleiner als oder gleich $-20$ ist. Es folgt $x\leq -20$.
  • Bestimme die jeweilige Ungleichung.

    Tipps

    Schau dir folgende Beschreibungen an:

    • Mindestens bedeutet, dass es von einer Sache nicht weniger gibt.
    • Maximal bedeutet, dass es von einer Sache nicht mehr gibt.

    Schau dir folgende Beispiele an, um die Relationszeichen zu verstehen:

    • Wenn $x>5$ ist, dann kann $x$ beispielsweise gleich $6$, $20$, $56$ oder $100$ sein.
    • Wenn $x\geq 5$ ist, dann kann $x$ beispielsweise gleich $5$, $20$, $56$ oder $100$ sein.
    • Wenn $x<5$ ist, dann kann $x$ beispielsweise gleich $4$, $0$, $-56$ oder $-100$ sein.
    • Wenn $x\leq 5$ ist, dann kann $x$ beispielsweise gleich $5$, $0$, $-56$ oder $-100$ sein.
    Lösung

    Bevor wir die gesuchten Ungleichungen gemeinsam aufstellen, soll dir im Folgenden die Bedeutung der Relationszeichen verdeutlicht werden:

    $x>y\ \rightarrow$ $x$ ist größer als $y$

    $x\geq y\ \rightarrow$ $x$ ist größer als $y$ oder gleich $y$

    $x < y\ \rightarrow$ $x$ ist kleiner als $y$

    $x\leq y\ \rightarrow$ $x$ ist kleiner als $y$ oder gleich $y$

    $x=y\ \rightarrow$ $x$ ist gleich $y$

    $x\neq y\ \rightarrow$ $x$ ist ungleich $y$

    Nun betrachten wir die Beispiele:

    Beispiel 1

    Frau Baum hat mindestens $6$ Katzen. Wie lautet die Ungleichung, wenn $x$ für die Anzahl der Katzen steht?

    Das Wort mindestens führt zu der Überlegung, dass es entweder $6$ oder mehr Katzen sind. Wir kommen also zu folgender Ungleichung:

    $x\geq 6$.

    Beispiel 2

    Antonia besitzt mehr als $13$ Plüschtiere. Wie lautet die Ungleichung, wenn $x$ für die Anzahl der Plüschtiere steht?

    Hier steht schon, dass es mehr als $13$ Plüschtiere gibt. Die daraus folgende Ungleichung ist:

    $x>13$.

    Beispiel 3

    Lukas hat in seiner Federtasche maximal fünf Stifte. Wie lautet die Ungleichung, wenn $x$ für die Anzahl der Stifte steht?

    Das Wort maximal führt zu der Überlegung, dass es fünf oder weniger Stifte sind. Wir erhalten folgende Ungleichung:

    $x\leq 5$.

    Beispiel 4

    Klara hat neun Paar Schuhe. Sabrina hat weniger als Klara. Wie lautet die Ungleichung, wenn $x$ für die Anzahl der Paare an Schuhen steht?

    Auch hier folgt die Ungleichung unmittelbar aus dem Text. Es sind weniger als neun Paar Schuhe. Es folgt:

    $x<9$.

  • Ordne der Beschreibung die jeweilige Ungleichung zu.

    Tipps

    Ein voller Kreis auf einer Zahl der Zahlengeraden bedeutet, dass die Variable $x$ diese Zahl annehmen kann. Ist der Kreis leer, so kann $x$ diese Zahl nicht annehmen.

    Schau dir folgendes Beispiel an:

    $x>-20$.

    Lösung

    Gesucht sind die Ungleichungen zu verschiedenen Markierungen auf einer Zahlengeraden. Ungleichungen lassen sich wie folgt auf einer Zahlengeraden darstellen:

    $x>y\ \rightarrow$ leerer Kreis bei $y$ & Pfeil nach rechts.

    $x\geq y\ \rightarrow$ voller Kreis bei $y$ & Pfeil nach rechts.

    $x < y\ \rightarrow$ leerer Kreis bei $y$ & Pfeil nach links.

    $x\leq y\ \rightarrow$ voller Kreis bei $y$ & Pfeil nach links.

    Demnach gelten folgende Ungleichungen für die gegebenen Zahlengeraden:

    Beispiel 1

    Abgebildet ist eine Zahlengerade mit einem leeren Kreis bei der $6$ und einem Pfeil nach rechts:

    • $x>6$.
    Beispiel 2

    Abgebildet ist eine Zahlengerade mit einem leeren Kreis bei der $6$ und einem Pfeil nach links:

    • $x<6$.
    Beispiel 3

    Abgebildet ist eine Zahlengerade mit einem vollen Kreis bei der $6$ und einem Pfeil nach rechts:

    • $x\geq 6$.
    Beispiel 4

    Abgebildet ist eine Zahlengerade mit einem vollen Kreis bei der $6$ und einem Pfeil nach links:

    • $x\leq 6$.
  • Gib die Bedeutung der vorgegebenen Relationszeichen wieder.

    Tipps

    Auf den drei Zahlengeraden siehst du folgende Ungleichungen:

    1. $x\leq 11$
    2. $x<8$
    3. $x\leq 12$
    Ein voller Kreis auf der Zahlengeraden bedeutet, dass die Größe $x$ diesen Zahlenwert annehmen kann. Ein leerer Kreis bedeutet, dass die Größe $x$ diesen Zahlenwert nicht annehmen kann.

    Die beiden Relationszeichen $<$ und $>$ kannst du dir wie den Mund eines sehr hungrigen Menschen vorstellen.

    Dieser öffnet seinen Mund natürlich lieber der größeren Menge an Kuchen, also lieber $4$ statt $2$ Stück Kuchen.

    Lösung

    Folgendes gilt für die Relationszeichen:

    $x>y\ \rightarrow$ $x$ ist größer als $y$.

    $x\geq y\ \rightarrow$ $x$ ist größer als oder gleich $y$.

    $x < y\ \rightarrow$ $x$ ist kleiner als $y$.

    $x\leq y\ \rightarrow$ $x$ ist kleiner als oder gleich $y$.

    Für die beiden anderen Fälle gelten die folgenden beiden Relationszeichen. Diese sind oben nicht zu finden:

    $x$ ist gleich $y\ \rightarrow\ x=y$.

    $x$ ist ungleich $y\ \rightarrow\ x\neq y$ .

  • Bestimme die zutreffende Markierung auf der Zahlengeraden.

    Tipps

    Folgendes gilt für die Darstellung auf einer Zahlengeraden:

    $x>y\ \rightarrow$ leerer Kreis bei $y$ & Pfeil nach rechts.

    $x\geq y\ \rightarrow$ voller Kreis bei $y$ & Pfeil nach rechts.

    Wenn der Fall "kleiner als" betrachtet wird, verläuft der Pfeil nach links.

    Lösung

    Folgende Regeln gelten für die Relationszeichen bei der Darstellung der Variable $x$ auf der Zahlengeraden:

    $x>y\ \rightarrow$ leerer Kreis bei $y$ & Pfeil nach rechts.

    $x\geq y\ \rightarrow$ voller Kreis bei $y$ & Pfeil nach rechts.

    $x < y\ \rightarrow$ leerer Kreis bei $y$ & Pfeil nach links.

    $x\leq y\ \rightarrow$ voller Kreis bei $y$ & Pfeil nach links.

    Demnach erhalten wir für die gegebenen Beispiele folgende Markierungen auf der Zahlengeraden:

    Beispiel 1

    $x>125$

    • Auf der Zahlengeraden ist ein leerer Kreis bei der $125$ und ein Pfeil nach rechts.
    Beispiel 2

    $x\leq 5$

    • Auf der Zahlengeraden ist ein voller Kreis bei der $5$ und ein Pfeil nach links.
    Beispiel 3

    $x\geq -2$

    • Auf der Zahlengeraden ist ein voller Kreis bei der $-2$ und ein Pfeil nach rechts.
    Beispiel 4

    $x<-56$

    • Auf der Zahlengeraden ist ein leerer Kreis bei der $-56$ und ein Pfeil nach links.