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Ungleichungen an der Zahlengeraden

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Team Digital
Ungleichungen an der Zahlengeraden
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Grundlagen zum Thema Ungleichungen an der Zahlengeraden

Inhalt

Einführung: Geschwindigkeitsbegrenzungen und Ungleichungen

Aus dem Straßenverkehr kennst du Geschwindigkeitsbegrenzungen wie z. B. $100~\frac{\text{km}}{\text{h}}$. Dies bedeutet, dass nur Geschwindigkeiten kleiner oder gleich $100~\frac{\text{km}}{\text{h}}$ erlaubt sind. Wir können dies mathematisch durch eine Ungleichung beschreiben. Aber wie kennzeichnet man Ungleichungen auf dem Zahlenstrahl?

Beispiele zu Ungleichungen auf dem Zahlenstrahl

Eine Maximalgeschwindigkeit von $100~\frac{\text{km}}{\text{h}}$ können wir durch folgende Ungleichung beschreiben:
$\quad x\leq 100$

Wir können diese Ungleichung am Zahlenstrahl markieren, indem wir bei der $100$ einen ausgefüllten Kreis einfügen. Dieser bedeutet, dass die $100$ eingeschlossen ist. Da außerdem alle Werte kleiner als $100$ beinhaltet sind, markieren wir diese vom Kreis aus mit einem Pfeil nach links:

Was sind Ungleichungen auf dem Zahlenstrahl?

Wir wollen nun die Ungleichung $x>-20$ am Zahlenstrahl darstellen. Dazu markieren wir die $-20$ mit einem Kreis, den wir diesmal jedoch nicht ausfüllen, da die $-20$ nicht eingeschlossen ist. Es sind nur Werte größer als $-20$ bei dieser Ungleichung erlaubt. Daher zeichnen wir von dem Kreis aus einen Pfeil nach rechts:

Ungleichung am Zahlenstrahl markieren

Regeln zum grafischen Darstellen von Ungleichungen auf dem Zahlenstrahl

Wir können Ungleichungen am Zahlenstrahl markieren. Dabei müssen wir Folgendes beachten:

  • $\leq \quad$ Wir zeichnen einen ausgefüllten Kreis und von dort einen Pfeil nach links.
  • $\geq \quad$ Wir zeichnen einen ausgefüllten Kreis und von dort einen Pfeil nach rechts.
  • $\lt \quad$ Wir zeichnen einen leeren Kreis und von dort einen Pfeil nach links.
  • $\gt \quad$ Wir zeichnen einen leeren Kreis und von dort einen Pfeil nach rechts.

Zusammenfassung: Ungleichungen an der Zahlengeraden

In diesem Video zu Ungleichungen am Zahlenstrahl werden verschiedene Ungleichungen am Zahlenstrahl dargestellt. Anhand der Beispiele wird das Vorgehen Schritt für Schritt erläutert. Dabei müssen wir besonders darauf achten, ob die Ungleichung Zeichen wie kleiner gleich bzw. größer gleich oder kleiner bzw. größer enthält. Abhängig davon zeichnen wir einen ausgefüllten oder einen leeren Kreis und markieren von dort den Zahlenstrahl nach links oder rechts.

Hier bei sofatutor findest du auch Arbeitsblätter und interaktive Übungen zum Thema Ungleichungen an der Zahlengeraden.

Transkript Ungleichungen an der Zahlengeraden

Das hier ist Tim. Tim ist Trauzeuge bei der Hochzeit seines besten Freundes. Und er ist sehr spät dran. Die Geschwindigkeitsbegrenzung auf seinem Weg beträgt 100 Stundenkilometer. Er darf also nicht schneller als 100 km/h fahren. Dafür kann man Ungleichungen nutzen. Schauen wir mal an, wie du Ungleichungen an der Zahlengeraden darstellst. Geschwindigkeiten unter 100 km/h kannst du mit x ist kleiner als 100 ausdrücken. Zeichne an der Zahlengeraden einen leeren Kreis bei 100 und einen Pfeil nach links für alle Geschwindigkeiten kleiner als 100. Tim könnte aber auch genau 100 km/h fahren, was ebenfalls erlaubt ist. Eine Ungleichung, die Geschwindigkeiten kleiner oder gleich 100 ausdrückt, lautet: x ist kleiner gleich 100. An der Zahlengeraden lässt sich das mithilfe eines ausgefüllten Kreises bei 100 und einem Pfeil nach links darstellen. So sind alle Geschwindigkeiten kleiner als 100 km/h markiert und auch die 100 ist mit eingeschlossen. Denke daran, den Kreis auszufüllen, wenn du signalisieren willst, dass Tim auch genau 100 km/h fahren könnte. Der muss sich nun wirklich beeilen – er hat die Hochzeitstorte! Kann Tim auch schneller als 100 km/h fahren? Nicht ohne gegen die Verkehrsordnung zu verstoßen und eine satte Strafe zu riskieren. Alle möglichen Geschwindigkeiten über 100 km/h kannst du mit x ist größer als 100 ausdrücken. Auf der Zahlengeraden zeichnest du einen leeren Kreis bei der 100 sowie einen Pfeil nach rechts. So markierst du alle Geschwindigkeiten, die größer als 100 sind, und bei denen Tim eine Strafe riskiert. Du hast das Prinzip verstanden? Dann lass uns weitere Beispiele ansehen. x ist größer als minus 20. Zur Lösungsmenge gehören alle Zahlen, die größer als -20 sind. Also markierst du die -20 mit einem leeren Kreis und zeichnest einen Pfeil nach rechts. Wenn die Gleichung hingegen x ist kleiner gleich –20 lautet, müssen wir zwei Dinge verändern. Der Kreis muss ausgefüllt werden, da -20 Teil der Lösungsmenge ist. Außerdem muss der Pfeil nach links zeigen, da alle Zahlen kleiner als -20 zur Lösung gehören. Argh! Tim hat sich so auf das Tempo konzentriert, dass er das große Schlagloch völlig übersehen hat!

3 Kommentare

3 Kommentare
  1. Wir schreiben bald eine Klassenarbeit darüber und das hat so sehr geholfen ,danke !
    XD

    Von poppy, vor 5 Monaten
  2. 🪂

    Von Axel P., vor mehr als einem Jahr
  3. 🥇

    Von Yiren Y., vor mehr als 2 Jahren

Ungleichungen an der Zahlengeraden Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Ungleichungen an der Zahlengeraden kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Ungleichung für die dargestellte Zahlengerade an.

    Tipps

    Folgendes gilt für die Relationszeichen:

    $x>y\ \rightarrow$ $x$ ist größer als $y$.

    $x\geq y\ \rightarrow$ $x$ ist größer als $y$ oder gleich $y$.

    $x<y\ \rightarrow$ $x$ ist kleiner als $y$.

    $x\leq y\ \rightarrow$ $x$ ist kleiner als $y$ oder gleich $y$.

    Ungleichungen können auf einer Zahlengeraden wie folgt dargestellt werden:

    $x>5\ \rightarrow$ ein leerer Kreis bei der $5$ und ein von dem Kreis ausgehender Pfeil nach rechts.

    $x\geq 5\ \rightarrow$ ein voller Kreis bei der $5$ und ein von dem Kreis ausgehender Pfeil nach rechts.

    $x<5\ \rightarrow$ $x$ ein leerer Kreis bei der $5$ und ein von dem Kreis ausgehender Pfeil nach links.

    $x\leq 5\ \rightarrow$ $x$ ein voller Kreis bei der $5$ und ein von dem Kreis ausgehender Pfeil nach links.

    Lösung

    Bevor wir uns den abgebildeten Zahlenstrahl genauer ansehen, klären wir die Bedeutung der jeweiligen Relationszeichen. Folgendes gilt:

    $x>y\ \rightarrow$ $x$ ist größer als $y$.

    $x\geq y\ \rightarrow$ $x$ ist größer als $y$ oder gleich $y$.

    $x<y\ \rightarrow$ $x$ ist kleiner als $y$.

    $x\leq y\ \rightarrow$ $x$ ist kleiner als $y$ oder gleich $y$.

    Diese Ungleichungen können auch auf einem Zahlenstrahl dargestellt werden. Dabei gilt Folgendes:

    $x>y\ \rightarrow$ ein leerer Kreis bei $y$ und ein von dem Kreis ausgehender Pfeil nach rechts.

    $x\geq y\ \rightarrow$ ein voller Kreis bei $y$ und ein von dem Kreis ausgehender Pfeil nach rechts.

    $x<y\ \rightarrow$ $x$ ein leerer Kreis bei $y$ und ein von dem Kreis ausgehender Pfeil nach links.

    $x\leq y\ \rightarrow$ $x$ ein voller Kreis bei $y$ und ein von dem Kreis ausgehender Pfeil nach links.

    Nun betrachten wir den gegebenen Zahlenstrahl:

    Die Markierung auf der abgebildeten Zahlengeraden besteht aus einem vollen Kreis bei $100$ und einem vom Kreis ausgehenden Pfeil nach links. Ein voller Kreis bei $100$ bedeutet, dass die $100$ in $x$ enthalten ist. Außerdem sind alle Zahlen, die kleiner als $100$ sind in $x$ enthalten. Somit ist $x\leq 100$. Das Tempolimit beträgt also $100$ km/h.

  • Stelle die Markierung auf der Zahlengeraden als Ungleichung dar.

    Tipps

    Wenn wir eine Ungleichung in der Form $x>-1$ haben, wissen wir, dass der Wert, den $x$ annehmen kann, größer als $-1$ ist.

    Diese Ungleichung können wir auf der Zahlengeraden darstellen, indem wir einen leeren Kreis bei der $-1$ und einen vom Kreis ausgehenden Pfeil nach rechts einzeichnen.

    Dies siehst du hier im Bild dargestellt.

    Folgende Regeln gelten für die Relationszeichen bei der Darstellung der Größe $x$ auf der Zahlengeraden:

    $x>y\ \rightarrow$ leerer Kreis bei $y$ & Pfeil nach rechts.

    $x\geq y\ \rightarrow$ voller Kreis bei $y$ & Pfeil nach rechts.

    $x<y\ \rightarrow$ leerer Kreis bei $y$ & Pfeil nach links.

    $x\leq y\ \rightarrow$ voller Kreis bei $y$ & Pfeil nach links.

    Lösung

    Schauen wir uns nun an Beispielen gemeinsam an, wie man Ungleichungen den Darstellungen auf dem Zahlenstrahl zuordnen kann.

    Beispiel 1

    • Dargestellt ist ein leerer Kreis bei $100$ und ein Pfeil nach links. Die Variable $x$ kann also jeden Wert, der kleiner als $100$ ist, annehmen. Es gilt somit $x<100$.
    Beispiel 2

    • Abgebildet ist ein leerer Kreis bei $100$ und ein Pfeil nach rechts. Somit kann $x$ jeden Wert, der größer ist als $100$, annehmen. Es gilt also $x>100$.
    Beispiel 3

    • Gezeigt ist ein leerer Kreis bei $-20$ und ein Pfeil nach rechts. Also kann $x$ alle Werte größer als $-20$ annehmen. Wir erhalten somit die Ungleichung $x>-20$.
    Beispiel 4

    • Auf dem Zahlenstrahl ist ein voller Kreis bei $-20$ und ein Pfeil nach links zu sehen. Die Variable $x$ nimmt also einen Wert an, welcher kleiner als oder gleich $-20$ ist. Es folgt $x\leq -20$.
  • Bestimme die jeweilige Ungleichung.

    Tipps

    Schau dir folgende Beschreibungen an:

    • Mindestens bedeutet, dass es von einer Sache nicht weniger gibt.
    • Maximal bedeutet, dass es von einer Sache nicht mehr gibt.

    Schau dir folgende Beispiele an, um die Relationszeichen zu verstehen:

    • Wenn $x>5$ ist, dann kann $x$ beispielsweise gleich $6$, $20$, $56$ oder $100$ sein.
    • Wenn $x\geq 5$ ist, dann kann $x$ beispielsweise gleich $5$, $20$, $56$ oder $100$ sein.
    • Wenn $x<5$ ist, dann kann $x$ beispielsweise gleich $4$, $0$, $-56$ oder $-100$ sein.
    • Wenn $x\leq 5$ ist, dann kann $x$ beispielsweise gleich $5$, $0$, $-56$ oder $-100$ sein.
    Lösung

    Bevor wir die gesuchten Ungleichungen gemeinsam aufstellen, soll dir im Folgenden die Bedeutung der Relationszeichen verdeutlicht werden:

    $x>y\ \rightarrow$ $x$ ist größer als $y$

    $x\geq y\ \rightarrow$ $x$ ist größer als $y$ oder gleich $y$

    $x<y\ \rightarrow$ $x$ ist kleiner als $y$

    $x\leq y\ \rightarrow$ $x$ ist kleiner als $y$ oder gleich $y$

    $x=y\ \rightarrow$ $x$ ist gleich $y$

    $x\neq y\ \rightarrow$ $x$ ist ungleich $y$

    Nun betrachten wir die Beispiele:

    Beispiel 1

    Frau Baum hat mindestens $6$ Katzen. Wie lautet die Ungleichung, wenn $x$ für die Anzahl der Katzen steht?

    Das Wort mindestens führt zu der Überlegung, dass es entweder $6$ oder mehr Katzen sind. Wir kommen also zu folgender Ungleichung:

    $x\geq 6$.

    Beispiel 2

    Antonia besitzt mehr als $13$ Plüschtiere. Wie lautet die Ungleichung, wenn $x$ für die Anzahl der Plüschtiere steht?

    Hier steht schon, dass es mehr als $13$ Plüschtiere gibt. Die daraus folgende Ungleichung ist:

    $x>13$.

    Beispiel 3

    Lukas hat in seiner Federtasche maximal fünf Stifte. Wie lautet die Ungleichung, wenn $x$ für die Anzahl der Stifte steht?

    Das Wort maximal führt zu der Überlegung, dass es fünf oder weniger Stifte sind. Wir erhalten folgende Ungleichung:

    $x\leq 5$.

    Beispiel 4

    Klara hat neun Paar Schuhe. Sabrina hat weniger als Klara. Wie lautet die Ungleichung, wenn $x$ für die Anzahl der Paare an Schuhen steht?

    Auch hier folgt die Ungleichung unmittelbar aus dem Text. Es sind weniger als neun Paar Schuhe. Es folgt:

    $x<9$.

  • Ordne der Beschreibung die jeweilige Ungleichung zu.

    Tipps

    Ein voller Kreis auf einer Zahl der Zahlengeraden bedeutet, dass die Variable $x$ diese Zahl annehmen kann. Ist der Kreis leer, so kann $x$ diese Zahl nicht annehmen.

    Schau dir folgendes Beispiel an:

    $x>-20$.

    Lösung

    Gesucht sind die Ungleichungen zu verschiedenen Markierungen auf einer Zahlengeraden. Ungleichungen lassen sich wie folgt auf einer Zahlengeraden darstellen:

    $x>y\ \rightarrow$ leerer Kreis bei $y$ & Pfeil nach rechts.

    $x\geq y\ \rightarrow$ voller Kreis bei $y$ & Pfeil nach rechts.

    $x<y\ \rightarrow$ leerer Kreis bei $y$ & Pfeil nach links.

    $x\leq y\ \rightarrow$ voller Kreis bei $y$ & Pfeil nach links.

    Demnach gelten folgende Ungleichungen für die gegebenen Zahlengeraden:

    Beispiel 1

    Abgebildet ist eine Zahlengerade mit einem leeren Kreis bei der $6$ und einem Pfeil nach rechts:

    • $x>6$.
    Beispiel 2

    Abgebildet ist eine Zahlengerade mit einem leeren Kreis bei der $6$ und einem Pfeil nach links:

    • $x<6$.
    Beispiel 3

    Abgebildet ist eine Zahlengerade mit einem vollen Kreis bei der $6$ und einem Pfeil nach rechts:

    • $x\geq 6$.
    Beispiel 4

    Abgebildet ist eine Zahlengerade mit einem vollen Kreis bei der $6$ und einem Pfeil nach links:

    • $x\leq 6$.
  • Gib die Bedeutung der vorgegebenen Relationszeichen wieder.

    Tipps

    Auf den drei Zahlengeraden siehst du folgende Ungleichungen:

    1. $x\leq 11$
    2. $x<8$
    3. $x\leq 12$
    Ein voller Kreis auf der Zahlengeraden bedeutet, dass die Größe $x$ diesen Zahlenwert annehmen kann. Ein leerer Kreis bedeutet, dass die Größe $x$ diesen Zahlenwert nicht annehmen kann.

    Die beiden Relationszeichen $<$ und $>$ kannst du dir wie den Mund eines sehr hungrigen Menschen vorstellen.

    Dieser öffnet seinen Mund natürlich lieber der größeren Menge an Kuchen, also lieber $4$ statt $2$ Stück Kuchen.

    Lösung

    Folgendes gilt für die Relationszeichen:

    $x>y\ \rightarrow$ $x$ ist größer als $y$.

    $x\geq y\ \rightarrow$ $x$ ist größer als oder gleich $y$.

    $x<y\ \rightarrow$ $x$ ist kleiner als $y$.

    $x\leq y\ \rightarrow$ $x$ ist kleiner als oder gleich $y$.

    Für die beiden anderen Fälle gelten die folgenden beiden Relationszeichen. Diese sind oben nicht zu finden:

    $x$ ist gleich $y\ \rightarrow\ x=y$.

    $x$ ist ungleich $y\ \rightarrow\ x\neq y$ .

  • Bestimme die zutreffende Markierung auf der Zahlengeraden.

    Tipps

    Folgendes gilt für die Darstellung auf einer Zahlengeraden:

    $x>y\ \rightarrow$ leerer Kreis bei $y$ & Pfeil nach rechts.

    $x\geq y\ \rightarrow$ voller Kreis bei $y$ & Pfeil nach rechts.

    Wenn der Fall "kleiner als" betrachtet wird, verläuft der Pfeil nach links.

    Lösung

    Folgende Regeln gelten für die Relationszeichen bei der Darstellung der Variable $x$ auf der Zahlengeraden:

    $x>y\ \rightarrow$ leerer Kreis bei $y$ & Pfeil nach rechts.

    $x\geq y\ \rightarrow$ voller Kreis bei $y$ & Pfeil nach rechts.

    $x<y\ \rightarrow$ leerer Kreis bei $y$ & Pfeil nach links.

    $x\leq y\ \rightarrow$ voller Kreis bei $y$ & Pfeil nach links.

    Demnach erhalten wir für die gegebenen Beispiele folgende Markierungen auf der Zahlengeraden:

    Beispiel 1

    $x>125$

    • Auf der Zahlengeraden ist ein leerer Kreis bei der $125$ und ein Pfeil nach rechts.
    Beispiel 2

    $x\leq 5$

    • Auf der Zahlengeraden ist ein voller Kreis bei der $5$ und ein Pfeil nach links.
    Beispiel 3

    $x\geq -2$

    • Auf der Zahlengeraden ist ein voller Kreis bei der $-2$ und ein Pfeil nach rechts.
    Beispiel 4

    $x<-56$

    • Auf der Zahlengeraden ist ein leerer Kreis bei der $-56$ und ein Pfeil nach links.
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