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Was sind lineare Ungleichungen?

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Mathe-Team
Was sind lineare Ungleichungen?
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Was sind lineare Ungleichungen?

Lineare Ungleichungen bestehen aus zwei Termen, die durch eines der Relationszeichen <, >, ≤ oder ≥ verbunden sind. In diesem Video werde ich dir das Thema „Lineare Ungleichungen“ ausführlich erklären. Du wirst lernen, was lineare Ungleichungen sind und wie man sie löst. Dabei werde ich auch auf eine Besonderheit/ Ausnahme bei Äquivalenzumformungen von linearen Ungleichungen eingehen. Außerdem wirst du auch lernen, wie du die Lösung einer Ungleichung auf einer Zahlengeraden darstellen. Viel Spaß dabei!

Transkript Was sind lineare Ungleichungen?

Hallo, schön, dass du mal wieder da bist. Heute wollen wir gemeinsam die linearen Ungleichungen kennenlernen. Hierzu direkt ein kleines Beispiel: Die Summe von drei aufeinander folgenden natürlichen Zahlen ist kleiner als 45. Wie können die Zahlen heißen?

Was sind lineare Ungleichungen?

Du hast ja schon die linearen Gleichungen kennengelernt. Eine lineare Ungleichung ist im Prinzip dasselbe. Es gibt allerdings bei der Schreibweise einen kleinen Unterschied: Ungleichungen bestehen aus zwei Zahlen, Größen oder Termen, die durch ein Relationszeichen wie kleiner, größer, kleiner gleich oder größer gleich verbunden sind.

Beispielaufgabe 1 & Regeln beim Lösen von Ungleichungen

Unser Beispiel vom Anfang, dass die Summe von drei aufeinander folgenden natürlichen Zahlen ist kleiner als 45, führt auf folgende Ungleichung: Da es sich um drei aufeinanderfolgende Zahlen handelt, heißt die erste Zahl x, die zweite Zahl x + 1, und die dritte Zahl x + 2. Die Summe bedeutet das Ergebnis einer Additionsaufgabe. Dies führt zu folgendem Term: x plus in Klammern x plus 1 plus in Klammern x plus 2.

Die Summe soll kleiner als 45 sein. Deshalb darf man nun kein Gleichheitszeichen verwenden. Hier muss das Relationszeichen kleiner als hin. Die Ungleichung heißt also: x + x +1 + x + 2 ist kleiner 45, wobei das x aus dem Bereich der natürlichen Zahlen ist.

Nun müssen wir zunächst den Term auf der linken Seiten der Ungleichung zusammenfassen. Wir erhalten: 3x + 3 ist kleiner 45

Dann lösen wir die Ungleichung genauso wie wir eine Gleichung lösen. Es gelten dieselben Regeln. Eine Ausnahme gibt es allerdings. Auf die werden wir im 2.Beispiel noch zu sprechen kommen.

Zur Erinnerung hier noch einmal alle Regeln, die beim Lösen von Gleichungen verwendet werden dürfen.

  • Gleichungen werden mit Äquivalenzumformungen gelöst.
  • Auf beiden Seiten der Gleichungen wird derselbe Term addiert oder subtrahiert.
  • Beide Seiten der Gleichung werden mit derselben Zahl multipliziert oder durch dieselbe Zahl dividiert.
  • Nicht möglich sind die Multiplikation mit Null und die Division durch 0.

Wir lösen die Ungleichung nun einfach mal nach diesen Regeln. Zunächst subtrahieren wir die Ungleichung 3x+3<45 auf beiden Seiten 3 und erhalten. 3 x ist kleiner als 42. Nun dividieren wir die Ungleichung durch 3 und erhalten: x kleiner 14

Alle natürlichen Zahlen, die kleiner als 14 sind, erfüllen also die Ungleichung. Wir machen eine Probe. Als erste Zahl muss man also eine natürliche Zahl wählen, die kleiner als 14 ist. Nehmen wir einmal die Zahl 13 und machen die Probe.

Die zweite Zahl ist dann 14 und die dritte Zahl ist dann 15. Die Summe von 13, 14 und 15 ist 42 und somit kleiner als 45. Wenn man nun als erste Zahl 14 wählt , dann sind die beiden anderen Zahlen 15 und 16. Die Summe von 14, 15 und 16 ist 45, und dies darf laut Aufgabenstellung nicht sein. Wir haben also nun praktisch eine Probe durchgeführt.

Auch bei einer Ungleichung gibt es natürlich eine Lösungsmenge. Man schreibt sie folgendermaßen: Die Lösungsmenge L ist gleich die Menge aller x aus dem Bereich der natürlichen Zahlen mit der Eigenschaft x ist kleiner als 14.

Beispielaufgabe 2 & Regeln beim Lösen mit negativen Zahlen

Bis jetzt war noch fast alles wie bei den linearen Gleichungen. Nun kommen wir aber zu dem wichtigen Unterschied beim Lösen von linearen Ungleichungen. Als Beispiel verwenden wir -5x < 15 , wobei x Elemente aus dem Bereich der ganzen Zahlen sind.

Zunächst lösen wir die Aufgabe etwas komplizierter. Wir addieren auf beiden Seiten der Ungleichung 5x und erhalten 0 ist kleiner als 5x + 15. Nun subtrahieren wir auf beiden Seiten der Ungleichung 15 und erhalten - 15 ist kleiner als 5x. Jetzt dividieren wir beide Seiten der Ungleichung durch 5 und erhalten - 3 ist kleiner x oder anders ausgedrückt x ist größer als - 3.

Jetzt versuchen wir die Aufgabe unter Verwendung der bekannten Umformungsregeln schneller zu lösen: -5x ist kleiner als 15. Wir dividieren beide Seiten der Ungleichung durch -5 und erhalten x kleiner -3.

Aber halt, eben hatten wir x > -3 herausbekommen. Das ist ein Widerspruch zum jetzigen Ergebnis. Deshalb gibt es beim Umgang mit Ungleichungen auch folgende wichtige Regel:

Wenn man eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert beziehungsweise durch eine negative Zahl dividiert, dann muss man das Relationszeichen umdrehen.

Und dann passt auch alles wieder! Wir dividieren die Ungleichung -5x < 15 durch -5 und erhalten, wenn wir das Relationszeichen umdrehen x > -3. Und dies ist das Ergebnis, das wir eben herausgefunden haben.

Wir können unsere Ergebnisse auch auf der Zahlengerade verdeutlichen. Wenn x < 14 ist, dann müssen alle natürlichen Zahlen, die kleiner als 14 sind, die Ungleichung erfüllen. Bei unserem Beispiel waren dies alle natürlichen Zahlen, die links von der 14 liegen.

Wenn x > -3 ist, dann sind alle Zahlen, die größer als -3 sind, Lösungen der Ungleichung. Dies sind alle ganzen Zahlen, die rechts von der -3 liegen.

Wenn man die Relationszeichen < oder > in der Ungleichung hat, dann gehört die Grenze auch noch zur Lösungsmenge. Dann würde bei der Ungleichung x -3 auch noch die Zahl -3 zur Lösungsmenge gehören und deshalb auch auf der Zahlengeraden markiert sein.

Schluss

So, jetzt hast du Einiges über Ungleichungen gelernt. Du kannst einfache lineare Ungleichungen mit Hilfe von Äquivalenzumformungen lösen und die Lösungsmenge mit Hilfe einer Zahlengeraden darstellen. Ich hoffe, dass es dir Spaß gemacht hat!

17 Kommentare

17 Kommentare
  1. Bei der ersten Aufgabe der Übung, müsste da statt N nicht Z stehen, da es heißt größer -3? Dann gehört doch -2, -1 auch zur Lösungsmenge und das sind keine natürlichen Zahlen, oder habe ich da etwas falsch verstanden?
    Danke!
    Viele Grüße
    Murks

    Von Murks, vor etwa 2 Monaten
  2. Hallo Nriechers,

    was genau meinst du mit der „Intervallschreibweise“? Ich habe dir hier einen Text zu Intervallen herausgesucht, vielleicht hilft er dir:

    https://www.sofatutor.com/mathematik/zahlen-rechnen-und-groessen/teilbarkeit-und-mengen/intervall-was-ist-das

    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Cansu Ayguezel, vor etwa einem Jahr
  3. Ich würde mir sehr ein Video zur Intervallschreibweise wüschen

    Von Nriechers, vor etwa einem Jahr
  4. Hallo Orchidee Garten, bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Gerne kannst du dich auch an den Fach-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.

    Von Albrecht Kröner, vor mehr als einem Jahr
  5. gibts es andere möglichkeiten

    Von Orchidee Garten, vor mehr als einem Jahr
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Was sind lineare Ungleichungen? Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Was sind lineare Ungleichungen? kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, wie du die angegebene Ungleichung nach $x$ auflösen kannst.

    Tipps

    Ziel der Umformung ist es wie bei Gleichungen, nur $x$ auf einer Seite und Zahlen auf der anderen Seite der Ungleichung zu haben.

    Zum Abschluss einer solchen Aufgabe machst du noch eine Probe, um deine Lösung und somit deine Lösungsmenge zu verifizieren.

    Lösung

    Um die folgende Ungleichung

    $x + (x+1) + (x+2) < 45$

    nach $x$ aufzulösen, fasst du alle passenden Terme und Zahlen zusammen.

    $3x + 3<45$

    Jetzt bringst du die 3 auf die rechte Seite, indem du auf beiden Seiten $-3$ rechnest und bekommst dann:

    $3x<42$.

    Zum Schluss teilst du noch durch $3$ auf beiden Seiten und hast dann:

    $ x < 14$.

    Mit einer Probe überprüfst du dann deine Umformung, beispielsweise setzt du $x = 13$ in deine Ungleichung ein und erhältst

    $13 + (13+1) + (13+2) = 13+14+15 = 42 < 45$,

    was eine richtige Aussage ist.

    Mit $x = 14$ erhältst du allerdings

    $14+15+16 = 45 < 45$,

    was falsch ist.

    Damit kannst die Lösungsmenge angeben:

    $L=\{ x \in \mathbb{N} | x<14\}$.

    Mit einem Zahlenstrahl kannst du die Lösungsmenge grafisch darstellen.

  • Schildere, wie du Ungleichungen richtig umformen kannst.

    Tipps

    Addiere und subtrahiere gleiche Terme zusammen.

    Teile auf beiden Seiten der Ungleichung durch die Zahl vor dem $x$.

    Beachte: Falls durch eine negative Zahl geteilt wird, dreht sich das Relationszeichen um.

    Lösung

    Beim Umformen von Ungleichungen solltest du zuerst wie bei Gleichungen schauen, ob alle Zahlen in Abhängigkeit von $x$ auf der einen Seite sind und alle Zahlen auf der anderen Seite der Ungleichung stehen.

    1. Wir betrachten die folgende Ungleichung:

    $-5x < 15$.

    Methode 1: Unsere Ungleichung ist also schon in der richtigen Form. Dann musst du $:(-5)$ auf beiden Seiten rechnen und erhältst:

    $-5x < 15 \Leftrightarrow x > -3$.

    Der Grund für das Umdrehen des Relationszeichens ist das Teilen durch eine negative Zahl. Daraus bekommst du als Lösungsmenge:

    $L=\{x\in \mathbb{N} |x>-3\}$.

    Methode 2: Du könntest aber auch die Ungleichung so umformen, dass du das Teilen durch eine negative Zahl vermeidest:

    $-5x < 15 \Leftrightarrow -15 < 5x$.

    Dann müsstest du nur noch $: 5$ rechnen und erhältst:

    $-15 < 5x \Leftrightarrow -3 < x$.

    So erhältst du die gleiche Lösungsmenge wie oben:

    $L=\{x\in \mathbb{N} |x>-3\}$.

    Mit einer Probe kannst du dein Ergebnis kontrollieren. Setzt du beispielsweise $x = -2$ in deine Ungleichung ein, so erhältst du

    $-5 \cdot -2 = 10 < 15$,

    was richtig ist.

    Falls du aber $x = -3$ in deine Ungleichung einsetzt, erhältst du

    $-5 \cdot -3 = 15 <15$,

    was eine falsche Aussage ist.

    2. Analog geht es für die zweite Aufgabe:

    $\begin{align} && x + (x+1) + (x+2) &< 45 \\ &\Leftrightarrow& 3x + 3&< 45 &|& \text{ gleiche Terme addieren}\\ &\Leftrightarrow& x &< 14 &|& -3~|:3 \\ &\Rightarrow& L&=\{ x \in \mathbb{N} | x<14\} \end{align}$

    Für eine Probe kannst du $x = 13$ einsetzen und erhältst:

    $13 + (13+1) + (13+2) = 13 + 14 + 15 = 42 < 45$,

    was eine richtige Aussage ist. Mit $x = 14$ erhältst du allerdings eine falsche Aussage, denn:

    $14 + 15 + 16 = 45$ ist nicht kleiner, sondern gleich $45$.

  • Ordne den Ungleichungen die passenden Lösungsmengen in $\mathbb{N}$ zu.

    Tipps

    Löse erst die Ungleichung nach $x$ auf, indem du die Zahlen auf die eine Seite und die Variablen auf die andere Seite der Ungleichung schreibst. Dann teilst du noch durch die Zahl vor dem $x$ und bekommst eine Abschätzung für $x$.

    Erstelle zum Schluss eine Probe: Alle angegebenen $x$ in der Lösungsmenge müssen die Ungleichung erfüllen.

    Lösung

    1. Für die erste Ungleichung, formst du sie einzeln um und schreibst dann die passende Lösungsmenge auf:
    Um

    $x+(x-2)<8$

    nach $x$ aufzulösen, wendest du zuerst das Assoziativgesetz an und erhältst:

    $(x+x)-2<8$.

    Jetzt rechnest du in der Klammer die $x$ zusammen und bekommst:

    $2x-2<8$.

    Nachdem du $+2$ auf beiden Seiten gerechnest hast, folgt:

    $2x<10$.

    Um die $2$ vor dem $x$ wegzubekommen, rechnest du $:2$ und das ergibt:

    $x<5$.

    Daraus folgt:

    $L=\{x \in \mathbb{N} | x<5\}$.

    Für die nächsten Ungleichungen gehst du analog vor:

    $\begin{align} &2.& 4x-5x+3&>1 &|& \text{ Termumformung} \\ &\Leftrightarrow& -x + 3 &> 1 \quad &|& -3 \\ &\Leftrightarrow& -x &> -2 \quad &|& :(-1) \\ &\Leftrightarrow& x &< 2 \\ &\Rightarrow& L&=\{ x \in \mathbb{N} | x<2\} \end{align}$

    $\begin{align} &3.& x+(x-1)+(2-x) &\leq 8 &|& \text{ Termumformung} \\ &\Leftrightarrow& (x+x-x)+(-1+2) &\leq 8 &|& \text{ Termumformung} \\ &\Leftrightarrow& x+1 &\leq 8 &|& -1 \\ &\Rightarrow& L&=\{x \in \mathbb{N} | x \leq 7\} \end{align}$

    $\begin{align} &4.& -3x&<6 &|& :(-3) \\ &\Leftrightarrow& x&>-2 \\ &\Rightarrow& L&=\{ x \in \mathbb{Z} | x>-2\} \end{align}$

  • Bestimme die Anzahl der Lösungen in den natürlichen Zahlen der gegebenen Ungleichungen.

    Tipps

    Löse erst die Ungleichung separat nach $x$ auf und stelle dir dann die Lösungen auf dem Zahlenstrahl vor.

    Schau dir dann an, wie viele natürliche Zahlen in die Lösungsmenge passen.

    Lösung

    1. Für die folgende Ungleichung:
    $4x - 3 \leq 1$

    erhältst du nachdem du auf beiden Seiten $+3$ rechnest:

    $4x \leq 4$.

    Jetzt musst du nur noch $:4$ auf beiden Seiten rechnen und du bekommst:

    $x \leq 1$.

    Daraus folgt die Lösungsmenge:

    $L=\{ x \in \mathbb{N} | x \leq 1\}$.

    Da die natürlichen Zahlen von 0 bis unendlich gehen, kannst du in deine Lösungsmenge nur zwei natürliche Zahlen einsetzen.

    Für die nächsten Ungleichungen gehst du ganz analog zur ersten Ungleichung vor.

    $\begin{align} &2.& x+(x+2)+(1-3x) &\geq 1 &|& \text{ Termumformung} \\ &\Leftrightarrow& -x+3 &\geq 1 &|& -3 \\ &\Leftrightarrow& -x &\geq -2 &|&: (-1) \\ &\Leftrightarrow& -x &\leq 2 \\ &\Rightarrow& L&=\{x \in \mathbb{N} | x \leq 2\}=\{0;1;2\} \end{align}$

    $\begin{align} &3.& 2x - 4 &\leq 8 &|& +4 \\ &\Leftrightarrow& -2x &\leq 12 &|& :2 \\ &\Leftrightarrow& -x &\leq 6 \\ &\Rightarrow& L&=\{x \in \mathbb{N} | x \leq 6\} = \{0;1;2;3;4;5;6\} \end{align}$

    $\begin{align} &4.& x+(4-3x) &> -12 &|& \text{ Termumformung} \\ &\Leftrightarrow& -2x +4 &> -12 &|& -4 \\ &\Leftrightarrow& -2x &> -16 &|& :(-2) \\ &\Leftrightarrow& -x&<8 \\ &\Rightarrow& L&=\{x \in \mathbb{N} | x<8\} = \{0;1;2;3;4;5;6;7\} \end{align}$

    Die Ungleichungen haben also $2$, $3$, $7$ bzw. $8$ Lösungen in den natürlichen Zahlen. Nach der Anzahl der Lösungen kannst du die Ungleichungen sortieren.

  • Ergänze die Eigenschaften und Regeln von Ungleichungen.

    Tipps

    Du benutzt beim Umformen von Ungleichungen die gleichen Schritte wie Gleichungen bis auf eine Ausnahme.

    Beim Multiplizieren und Dividieren von negativen Zahlen musst du allerdings vorsichtig sein.

    Beim Multiplizieren und Dividieren mit 0 musst du eine Regel beachten, die auch für Gleichungen gilt.

    Lösung

    Für das Umformen von Ungleichungen benutzt du einige Regeln, die auch für Gleichungen gelten. Du addierst oder subtrahierst gleiche Terme bzw. multiplizierst und dividierst dieselbe Zahl jeweils auf beiden Seiten der Gleichung. Jeder Schritt ist eine Äquivalenzumformung.

    Das Multiplizieren und Dividieren mit 0 ist aber nicht möglich. Außerdem gibt es noch eine andere Ausnahmeregel, die du beachten musst. Das Relationszeichen dreht sich beim Multiplizieren und Dividieren mit einer negativen Zahl.

    Zum Abschluss solltest du noch deine Lösung mit Hilfe einer Probe kontrollieren. Das Ergebnis gibst du dann durch die zugehörige Lösungsmenge an. Dann kannst du deine Lösung noch mit einer Zahlengerade graphisch darstellen, um dir das bildlich vorzustellen.

  • Bestimme die richtige Ungleichung und passende Lösungsmenge zur gegebenen Aufgabe.

    Tipps

    Die erste und kleinste dieser vier natürlichen Zahlen nennst du $x$.

    Dann musst du deine aufgestellte Ungleichung nach $x$ auflösen und deine Lösungsmenge angeben.

    Mache zum Schluss eine Probe, um dein Ergebnis zu überprüfen.

    Lösung

    Du bezeichnest die erste und kleinster Zahl der natürlichen Zahlen mit $x$. Damit lauten die vier aufeinanderfolgenden Zahlen $x$, $x+1$, $x+2$ und $x+3$. Da deren Summe kleiner als 66 sein soll, erhältst du die Ungleichung:

    $x+(x+1)+(x+2)+(x+3) < 66$.

    Mit Zusammenfassen bekommst du:

    $4x + 6 < 66$.

    Nun rechnest du $-6$ auf beiden Seiten:

    $4x<60$.

    Jetzt musst du nur noch $:4$ rechnen und daraus folgt dann:

    $x<15$.

    Zusammen ergibt das die Lösungsmenge:

    $L=\{x \in \mathbb{N}|x<15\}$.

    Mit einer Probe kannst du dann dein Ergebnis überprüfen.

    Beispielsweise für $x = 14$ erhalten wir:

    $14+15+16+17 = 62 < 66$.

    Für $x=15$ erhältst du eine Zahl, die nicht kleiner als 66 ist, denn $15+16+17+18 = 66$. Damit hast du richtig umgeformt.

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