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Ungleichungen in zwei Schritten lösen 03:06 min

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Transkript Ungleichungen in zwei Schritten lösen

Kitty Katzenklo sitzt in ihrem Wohnzimmer und liest einen Brief von der Stadtverwaltung. Was für ein Schock! Es gibt ein neues Gesetz: Pro Haushalt sind nicht mehr als 10 Katzen erlaubt. Kitty weiß nicht mal, wie viele Katzen sie hat. Und sie zu zählen ist schwierig, denn die Tiere wuseln die ganze Zeit herum. Sie weiß aber, wie viele Dosen Fisch die Katzen fressen. Und das kann sie mit Ungleichung in zwei Schritten lösen. Zusammen haben ihre Katzen 50 Dosen Fisch in 5 Tagen gefressen. Jede Katze frisst mindestens eine Dose am Tag. Wir wollen wissen, wie viele Katzen Kitty besitzt. Dafür nutzen wir die Variable x. Doch Moment mal: Zwei der Katzen sind Vegetarier. Die Anzahl der Katzen, die Fisch fressen, ist also x-2. Fassen wir zusammen: Die fischbegeisterten Katzen, x-2, fressen in 5 Tagen 50 Dosen Fisch. Kitty weiß, dass jede Katze mindestens eine Dose Fisch am Tag frisst. Darum musst du ein Kleiner-Gleich-Zeichen zwischen die beiden Terme setzen. Starten wir mit der Berechnung: Zuerst lösen wir die Klammer mit dem Distributivgesetz auf. Du multiplizierst x mit 5 und erhältst 5x. Und du multiplizierst minus 2 mit 5, was minus 10 ergibt. Mit Umkehroperationen kannst du x isolieren. Die Umkehrung der Subtraktion ist die Addition, also addieren wird 10 zur linken Seite der Gleichung hinzu. Was wir auf der einen Seite tun, müssen wir auch auf der anderen tun: Wir addieren also 10 zur rechten Seite. 5x minus 10 plus 10 ergibt 5x. Und 50 plus 10 ist gleich 60. Das Kleiner-Gleich-Zeichen wir nur bei Multiplikation oder Division von negativen Zahlen umgedreht. Die Umkehrung der Multiplikation ist die Division, also teile beide Seiten durch 5. Das Ergebnis lautet: x ist kleiner gleich 12. Es sind also 2 vegetarische und 10 oder weniger Katzen, die Fisch fressen. Schauen wir uns die möglichen Lösungen auf einer Zahlengeraden an. Die Gesamtzahl der Katzen ist 12 oder weniger. Das sieht also so aus. Kitty kann aber keine negative Anzahl an Katzen haben, die kleinste mögliche Lösung ist also 0. Wir wissen ja, dass 2 der Katzen Vegetarier sind. Außerdem muss mindestens eine Katze Fisch fressen, denn irgendwer muss den Fisch ja gefressen haben. Es sind also mindestens 3 und höchstens 12 Katzen. Sie weiß darum leider nicht, ob sie die 10-Katzen- Obergrenze wirklich einhält. Problem gelöst.

Ungleichungen in zwei Schritten lösen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Ungleichungen in zwei Schritten lösen kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib an, welche Aussagen auf Ungleichungen zutreffen.

    Tipps

    Wenn man bei der Ungleichung $-5x \leq 10$ durch $-5$ teilt, ergibt sich $x \geq -2$. Das Ungleichheitszeichen dreht sich also um.

    Addition verhält sich zur Subtraktion, wie Multiplikation zur Division.

    Lösung

    Immer wenn bei einer Ungleichung durch eine negative Zahl dividiert wird oder mit einer negativen Zahl multipliziert wird, dreht sich das Ungleichheitszeichen um. So zum Beispiel im Fall von $-5x \leq 10$. Wenn man hier durch $-5$ teilt, ergibt sich $x \geq -2$. Ist der Faktor, durch den man teilt oder mit dem man multipliziert, positiv, so dreht sich das Ungleichheitszeichen nicht um.

    Das Distributivgesetz wird genutzt, um Terme der Form $(a+b) \cdot c$ oder $(a-b) \cdot c$ zu vereinfachen, also wenn Klammern multipliziert werden, in denen Differenzen oder Summen stehen.
    Nach dem Distributivgesetz gilt dann
    $(a+b) \cdot c= a \cdot c + b \cdot c$ und
    $(a-b) \cdot c= a \cdot c - b \cdot c$.

    Multiplikation und Division sind Umkehroperationen. Möchte man zum Beispiel bei der Ungleichung $5 \cdot x \leq 10$ das $x$ isolieren, so muss man die Umkehroperation zu $\cdot$ anwenden. Das ist $:$. Man kann also durch $5$ teilen und erhält \begin{align} 5 \cdot x &\, \leq \,10 \ \mid (:5)\\ x &\, \leq \, 2. \end{align}

    Addition und Subtraktion sind Umkehroperationen. Möchte man zum Beispiel bei der Ungleichung $ x+5 \leq 10$ das $x$ isolieren, so muss man die Umkehroperation zu $+$, also $-$ anwenden. Man kann also $5$ auf beiden Seiten subtrahieren und erhält \begin{align} x +5 &\, \leq \,10 \ \mid (-5)\\ x &\, \leq \, 5. \end{align}

    Die beiden Aussagen: „Die Umkehroperation zur Addition ist die Division.“ und „Immer wenn man bei einer Ungleichung durch eine positive Zahl teilt, wird das Ungleichheitszeichen umgedreht.“ sind falsch.

  • Stelle die gesuchte Ungleichung auf.

    Tipps

    $x$ ist die Anzahl aller Katzen. Weil zwei Katzen Vegetarier sind, gibt es $x-2$ Katzen, die Fisch fressen.

    Das Wort „mindestens“ bedeutet hier: Jede nicht-vegetarische Katze frisst eine Dose Fisch pro Tag oder mehr als eine Dose Fisch.

    Lösung

    Wir möchten die Gesamtanzahl der Katzen mit der Variable $x$ modellieren.
    Wir wissen, dass genau zwei Katzen keinen Fisch essen. Daher ist die Anzahl der Katzen, die Fisch essen, $x-2$.
    Diese $x-2$ viele Katzen haben also die $50$ Dosen Fisch in $5$ Tagen gegessen.
    Da wir wissen, dass jede Katze mindestens eine Dose Fisch pro Tag ist, kann die Anzahl der Tage $(5)$ multipliziert mit der Anzahl der Katzen, die Fisch essen, $(x-2)$, höchstens $50$ ergeben.
    Wenn wir dies in eine mathematische Gleichung übersetzen ergibt sich:

    $(x-2) \cdot 5 \leq 50$.

  • Berechne die Unbekannte $x$.

    Tipps

    Wenn auf einen Term der Form $(a-b) \cdot c$ das Distributivgesetz angewendet wird, ergibt sich $(a-b) \cdot c=a \cdot c - b \cdot c$. Für den Term $(x-3) \cdot 6$ ergibt sich demnach zum Beispiel
    $(x-3) \cdot 6= x \cdot 6 - 3 \cdot 6= 6x -18$.

    Um das $x$ auf einer Seite zu isolieren, ist es ratsam, zunächst alle auftauchenden Klammern aufzulösen.
    Anschließend lassen sich durch Umkehroperationen alle Terme, die ein $x$ enthalten, auf die eine Seite und alle anderen Terme auf die andere Seite der Ungleichung bringen.

    Lösung

    Um die Ungleichung $(x-2) \cdot 5 \leq 50$ zu vereinfachen, werden wir zunächst das Distributivgesetz auf die Klammer anwenden und anschließend Umkehroperationen verwenden, um $x$ zu isolieren.

    Bei der Anwendung des Distributivgesetzes ergibt sich $(x-2) \cdot 5= x \cdot 5 - 2 \cdot 5=5x-10$. Also bleibt insgesamt die Ungleichung $5x-10 \leq 50$.

    Nun möchten wir die Terme , die kein $x$ enthalten auf die rechte Seite des Ungleichheitszeichen bringen. Da die Umkehroperation zu $-$ gerade $+$ ist, addieren wir daher $+10$ auf beiden Seiten, um den Term $-10$ auf der linken Seite zu eliminieren. Damit ergibt sich insgesamt $5x \leq 60$.

    Um nun $x$ auf der linken Seite vollständig zu isolieren, müssen wir den Vorfaktor $5$ eliminieren. Da die Umkehroperation zu $\cdot$ gerade $:$ ist, teilen wir auf beiden Seiten durch $5$ und erhalten insgesamt $x \leq 12$.

  • Ermittle die zugehörigen mathematischen Schreibweisen.

    Tipps

    Wenn auf dem Schiff maximal $50$ Großabteile wären, so lautete die Ungleichung $y \leq 50$.

    Die Anzal der übrigen Fahrzeuge, wenn es $30$ Wohnmobile auf dem Schiff gäbe, wäre $x-30$.

    Die Anzahl der Kleinabteile auf dem Schiff ist maximal so groß, wie die maximale Anzahl an Fahrzeugen vermindert um die Anzahl der Großabteile.

    Lösung

    • „Die Anzahl der Fahrzeuge ist maximal $50$.“
    Da wir die Anzahl der Fahrzeuge mit der Variable $x$ modellieren, gilt $x \leq 50$.

    • „Es sind $20$ LKW geladen. Wie hoch ist die Anzahl der übrigen Fahrzeuge?“
    Wenn sich auf dem Schiff $20$ LKW befinden und $x$ die Gesamtanzahl der Fahrzeuge ist, so ist die Anzahl der übrigen Fahrzeuge gegeben durch $x-20$.

    Da sich maximal $50$ Fahrzeuge auf dem Schiff befinden, also nach Abzug der $20$ LKW maximal $30$ andere Fahrzeuge, ergibt sich die Ungleichung $x-20 \leq 30$.

    • „Geladen sind $20$ LKW und mindestens $10$ Wohnmobile. Wie viele Großabteile gibt es?“
    Da Wohnmobile und LKW in Großabteilen untergebracht werden, muss es mindestens $10+20=30$ Großabteile geben. Da das Schiff maximal $50$ Fahrzeuge aufnehmen kann, kann die Anzahl an Großabteilen die $50$ nicht überschreiten.

    Daher gilt für die Anzahl an Großabteilen $y$ gerade $30 \leq y \leq 50$.

    • „Auf dem Schiff gibt es $30$ LKW und Wohnwagen. Wie viele PKW sind auf dem Schiff?“
    Da PKW nur in Kleinabteilen untergebracht werden können, gibt es maximal so viele PKW auf dem Schiff wie Kleinabteile zur Verfügung stehen. Da das Schiff maximal $50$ Fahrzeuge aufnehmen kann und $y$ die Anzahl der Großabteile ist, ist die Anzahl der Kleinabteile gegeben durch $50-y$.

    Da $x$ die Anzahl aller Fahrzeuge auf dem Schiff ist und es genau $30$ LKW und Wohnwagen gibt, beträgt die Anzahl der PKW $x-30$.

    Insgesamt ergibt sich $x-30 \leq 50-y$.

    Das $\leq$-Zeichen rührt daher, dass nicht alle Abteile belegt sein müssen.

  • Ermittle die Lösung der gegebenen Ungleichungen.

    Tipps

    Bei der Division oder Multiplikation einer Ungleichung mit einer negativen Zahl dreht sich das Ungleichheitszeichen um.

    Man kann das Distributivgesetz anwenden, wenn Klammern multipliziert werden, in denen Differenzen oder Summen stehen. Das Distributivgesetz lautet:

    $(a-b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c$.

    Lösung

    Bei der Vereinfachung der Ungleichungen kann man nach den folgenden beiden Schritten vorgehen:
    1) Anwendung des Distributivgesetzes, um die Klammer aufzulösen
    2) Umkehroperationen anwenden, um $x$ zu isolieren

    • $(x-2) \cdot 5 \leq 30$
    Wenn wir das Distributivgesetz auf die Klammer anwenden, ergibt sich $5x-10 \leq 30$.
    Die Umkehroperation zu $-$ ist $+$. Daher addieren wir als nächstes $+10$ auf beiden Seiten der Ungleichung. Es ergibt sich $5x \leq 40$.
    Die Umkehroperation zur Multiplikation ist die Division. Daher teilen wir auf beiden Seiten nun durch $5$ und erhalten $x \leq 8$.

    • $(x+3) \cdot 8 \geq -16$
    Wenn wir das Distributivgesetz auf die Klammer anwenden, ergibt sich $8x+24 \geq -16$.
    Die Umkehroperation zu $+$ ist $-$. Daher subtrahieren wir als nächstes $24$ auf beiden Seiten der Ungleichung. Es ergibt sich $8x \geq -40$.
    Die Umkehroperation zur Multiplikation ist die Division. Daher teilen wir auf beiden Seiten nun durch $8$ und erhalten $x \geq -5$.

    • $(x+2) \cdot (-4) \leq 20$
    Wenn wir das Distributivgesetz auf die Klammer anwenden, ergibt sich $-4x-8 \leq 20$.
    Die Umkehroperation zu $-$ ist $+$. Daher addieren wir als nächstes $+8$ auf beiden Seiten der Ungleichung. Es ergibt sich $-4x \leq 28$.
    Die Umkehroperation zur Multiplikation ist die Division. Daher teilen wir auf beiden Seiten nun durch $-4$ und erhalten $x \geq -7$, da wir bei der Division durch eine negative Zahl das Ungleichheitszeichen umkehren müssen.

    • $(-x-1) \cdot 20 \geq 40$
    Wenn wir das Distributivgesetz auf die Klammer anwenden, ergibt sich $-20x-20 \geq 40$.
    Die Umkehroperation zu $-$ ist $+$. Daher addieren wir als nächstes $+20$ auf beiden Seiten der Ungleichung. Es ergibt sich $-20x \geq 60$.
    Die Umkehroperation zur Multiplikation ist die Division. Daher teilen wir auf beiden Seiten nun durch $-20$ und erhalten $x \leq -3$, da wir bei der Division durch eine negative Zahl das Ungleichheitszeichen umkehren müssen.

  • Leite die gesuchte Ungleichung her und löse sie.

    Tipps

    Wenn $x$ die Anzahl der Katzen von Nikki ist, so besitzt sie insgesamt $x+3$ Tiere.

    Man kann das Distributivgesetz anwenden, wenn Klammern multipliziert werden, in denen Differenzen oder Summen stehen. Nach dem Distributivgesetz gilt zum Beispiel $(a-b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c$.

    Lösung

    Wenn $x$ die Anzahl von Nikkis Katzen ist, so besitzt sie insgesamt $x+3$ viele Tiere. Diese $x+3$ vielen Tiere konsumieren in $4$ Tagen maximal $60$ Packungen Tierfutter.
    Da wir wissen, dass jedes Tier mindestens eine Packung Tierfutter am Tag frisst, gilt daher die Gleichung: $(x+3) \cdot 4 \leq 60$.

    Bei der Vereinfachung der Ungleichungen kann man nach den folgenden beiden Schritten vorgehen:
    1) Anwendung des Distributivgesetzes, um die Klammer aufzulösen
    2) Umkehroperationen anwenden, um $x$ zu isolieren

    Wenn wir das Distributivgesetz auf die Klammer anwenden, ergibt sich $4x+12 \leq 60$.
    Die Umkehroperation zu $+$ ist $-$. Daher subtrahieren wir als nächstes $12$ auf beiden Seiten der Ungleichung. Es ergibt sich $4x \leq 48$.
    Die Umkehroperation zur Multiplikation ist die Division. Daher teilen wir auf beiden Seiten nun durch $4$ und erhalten $x \leq 12$.