Lineare Gleichungssysteme lösen – Übungen

Rechnung:

$$ \begin{array}{rrcll} y \text{ in I:} & 2x + (-x + 6) & = & 4 \\ & 2x - x + 6 & = & 4 \\ & x + 6 & = & 4 & \vert -6 \\ & x & = & -2 \\ \\ x = -2 \text{ in II:} & y & = & -(-2) + 6 \\ & y & = & 2 + 6 \\ & y & = & 8 \end{array}$$

Vorgehen:

• Wir setzen die rechte Seite der zweiten Gleichung direkt für $y$ in die erste Gleichung ein.
• Nach Umformen ergibt sich $x = -2$.
• Rückeinsetzen in die zweite Gleichung liefert $y = 8$.

Lösung:
$\underline{\underline{x = -2}}$ und $\underline{\underline{y = 8}}$

Rechnung:

$$\begin{array}{rrcll} \text{I:} & 3y - x & = & 7 & \vert -3y \\ & -x & = & 7 - 3y & \vert \cdot (-1) \\ & x & = & 3y - 7 \\ \\ x \text{ in II:} & 2(3y - 7) + y & = & -7 \\ & 6y - 14 + y & = & -7 \\ & 7y - 14 & = & -7 & \vert +14 \\ & 7y & = & 7 & \vert :7 \\ & y & = & 1 \\ \\ y \text{ in I:} & x & = & 3 \cdot 1 - 7 \\ & x & = & -4 \end{array}$$

Vorgehen:

• Erste Gleichung nach $x$ umstellen
• Ausdruck für $x$ in zweite Gleichung einsetzen und nach $y$ lösen
• Gefundenes $y$ in die erste Gleichung einsetzen, um $x$ zu berechnen

Lösung:
$\underline{\underline{x = -4}}$ und $\underline{\underline{y = 1}}$

Rechnung:

$$ \begin{array}{rrcll} \text{Gleichsetzen:} & -3y & = & 6 + y & \vert -y \\ & -4y & = & 6 & \vert :(-4) \\ & y & = & -1{,}5 \\ \\ y \text{ in I:} & -3 \cdot (-1{,}5) & = & 2x \\ & 4{,}5 & = & 2x & \vert :2 \\ & 2{,}25 & = & x \end{array}$$

Vorgehen:

• Beide Gleichungen enthalten $2x$ auf der rechten Seite – also setzen wir die linken Seiten gleich.
• Nach Umformung ergibt sich $y = -1{,}5$.
• Durch Einsetzen in eine der Ausgangsgleichungen erhalten wir $x = 2{,}25$.

Lösung:
$\underline{\underline{x = 2{,}25}}$ und $\underline{\underline{y = -1{,}5}}$

Rechnung:

$$ \begin{array}{rrcll} \text{II:} & 9 & = & 3x - y & \vert -3x \\ & 9 - 3x & = & -y \\ \\ \text{Gleichsetzen:} & 5 - x & = & 9 - 3x & \vert +3x \\ & 5 + 2x & = & 9 & \vert -5 \\ & 2x & = & 4 & \vert :2 \\ & x & = & 2 \\ \\ x \text{ in I:} & -y & = & 5 - 2 \\ & -y & = & 3 & \vert \cdot (-1) \\ & y & = & -3 \\ \end{array}$$

Vorgehen:

• Wir stellen die zweite Gleichung nach $-y$ um.
• Anschließend setzen wir die jeweils anderen Seiten gleich und lösen nach $x$.
• Mit dem Wert für $x$ eingesetzt in die erste Gleichung berechnen wir $y$.

Lösung:
$\underline{\underline{x = 2}}$ und $\underline{\underline{y = -3}}$

Rechnung:

$$\begin{array}{rrcll} \text{I:} & x + y & = & 5 \\ \text{II:} & y - x & = & 1 \\ \hline \text{I + II:} & 2y & = & 6 & \vert :2 \\ & y & = & 3 \\ \\ y \text{ in I:} & x + 3 & = & 5 & \vert -3 \\ & x & = & 2 \end{array}$$

Vorgehen:

• Durch Addition der Gleichungen heben sich die $x$-Terme auf.
• Wir berechnen $y$ und setzen diesen Wert in eine Gleichung ein, um $x$ zu bestimmen.

Lösung:
$\underline{\underline{x = 2}}$ und $\underline{\underline{y = 3}}$

Rechnung:

$$ \begin{array}{rrcll} \text{I:} & -3 & = & 6y + 12x & \vert :(-3) \\ \text{II:} & 3 & = & 8x + 2y \\ \\ \text{Ia:} & 1 & = & -2y - 4x \\ \text{II:} & 3 & = & 8x + 2y \\ \hline \text{Ia + II:} & 4 & = & 4x & \vert :4 \\ & 1 & = & x \\ \\ x \text{ in II:} & 3 & = & 8 \cdot 1 + 2y & \vert -8 \\ & -5 & = & 2y & \vert :2 \\ & -2{,}5 & = & y \end{array}$$

Vorgehen:

• Wir teilen die erste Gleichung durch $-3$, um den Term $-2y$ zu erzeugen.
• Durch Addition eliminieren wir $y$ und lösen dann nach $x$ auf.
• Danach setzen wir den Wert für $x$ in eine der Gleichungen ein und berechnen $y$.

Lösung:
$\underline{\underline{x = 1}}$ und $\underline{\underline{y = -2{,}5}}$

$$ \begin{array}{rrcl} \text{I:} & y & = & 8 - 3x\\ \text{II:} & 4x - 2y & = & 6 \\ \\ y \text{ in II:} & 4x -2(8 - 3x) & = & 6 \\ && \dots \end{array}$$

• Wir nutzen das Einsetzungsverfahren.
  Da die erste Gleichung bereits nach $y$ aufgelöst ist, können wir den Term direkt in die zweite Gleichung einsetzen und damit $x$ berechnen.

$$ \begin{array}{rrcl} \text{I:} & 2y & = & 4x - 2 \\ \text{II:} & 2y & = & 3 - 5x \\ \\ \text{Gleichsetzen:} & 4x - 2 & = & 3 - 5x \\ && \dots \\ \end{array}$$

• Wir nutzen das Gleichsetzungsverfahren.
  Da bei beiden Gleichungen die linke Seite identisch ist, können wir die rechten Seiten direkt gleichsetzen und damit $x$ berechnen.

$$ \begin{array}{rrcl} \text{I:} & x - 4y & = & 3 \\ \text{II:} & 6x + 4y & = & 1 \\ \\ \text{I + II:} & 7x & = & 4 \\ && \dots \\ \end{array}$$

• Wir nutzen das Additionsverfahren.
  Da wir durch Addition der Gleichungen direkt die Variable $y$ eliminieren können, können wir damit $x$ berechnen.

$$ \begin{array}{rrcl} \text{I:} & 3x + 4y & = & 7 \\ \text{II:} & 7 - 2y & = & x \\ \\ x \text{ in I:} & 3(7 - 2y) & = & 7 \\ && \dots \end{array}$$

• Wir nutzen das Einsetzungsverfahren.
  Da wir die linke Seite der zweiten Gleichung direkt für $x$ in die erste Gleichung einsetzen können, können wir im nächsten Schritt direkt $y$ bestimmen.

$$ \begin{array}{rrcl} \text{I:} & 2y - 2x & = & 5 \\ \text{II:} & 2x + y & = & 1 \\ \\ \text{I + II:} & 3y& = & 6 \\ && \dots \end{array}$$

• Wir nutzen das Additionsverfahren.
  Da wir durch Addition der Gleichungen direkt die Variable $x$ eliminieren können, können wir damit $y$ berechnen.

Rechnung:
Wir nutzen das Einsetzungsverfahren, da die erste Gleichung bereits nach $x$ aufgelöst ist.

$$ \begin{array}{rrcll} x \text{ in II:} & 2(2y - 5) + y & = & 5 \\ & 4y - 10 + y & = & 5 \\ & 5y - 10 & = & 5 & \vert +10 \\ & 5y & = & 15 & \vert :5 \\ & y & = & 3 \\ \\ y = 3 \text{ in I:} & x & = & 2 \cdot 3 - 5 \\ & x & = & 6 - 5 \\ & x & = & 1 \end{array}$$

Vorgehen:

• Die erste Gleichung ist nach $x$ aufgelöst. Wir setzen den Ausdruck $2y - 5$ in die zweite Gleichung ein.
• Nach dem Umformen ergibt sich $y = 3$.
• Mit Rückeinsetzen erhalten wir $x = 1$.

Lösung:
$\underline{\underline{x = 1}}$ und $\underline{\underline{y = 3}}$

Rechnung:
Wir nutzen das Additionsverfahren, da der $x$-Term bei Addition der Gleichungen verschwindet.

$$\begin{array}{rrcll} \text{I:} & -3x + 10y & = & -1 \\ \text{II:} & 3x + 20y & = & 16 \\ \hline \text{I + II:} & 30y & = & 15 & \vert :30 \\ & y & = & 0{,}5 \\ \\ y \text{ in I:} & -3x + 10 \cdot 0{,}5 & = & -1 \\ & -3x + 5 & = & -1 & \vert -5 \\ & -3x & = & -6 & \vert :(-3) \\ & x & = & 2 \end{array}$$

Vorgehen:

• Durch Addition der Gleichungen heben sich die $x$-Terme auf.
• Wir lösen nach $y$ und setzen diesen Wert ein, um $x$ zu berechnen.

Lösung:
$\underline{\underline{x = 2}}$ und $\underline{\underline{y = 0{,}5}}$

Rechnung: Wir nutzen das Gleichsetzungsverfahren, da die linken Seiten der Gleichungen identisch sind.

$$ \begin{array}{rrcll} \text{Gleichsetzen:} & 2x - 3 & = & -7{,}5 - x & \vert +x \\ & 3x - 3 & = & -7{,}5 & \vert +3 \\ & 3x & = & -4{,}5 & \vert :3 \\ & x & = & -1{,}5 \\ \\ x \text{ in I:} & 6y & = & 2 \cdot (-1{,}5) - 3 \\ & 6y & = & -3 - 3 \\ & 6y & = & -6 & \vert :6 \\ & y & = & -1 \end{array}$$

Vorgehen:

• Da bei beiden Gleichungen $6y$ auf der linken Seite steht, setzen wir die rechten Seiten gleich.
• Wir lösen nach $x$ auf und setzen den berechneten Wert in eine der Ursprungsgleichungen ein, um $y$ zu bestimmen.

Lösung:
$\underline{\underline{x = -1{,}5}}$ und $\underline{\underline{y = -1}}$

Rechnung:
Wir nutzen das Additionsverfahren, da wir die zweite Gleichung durch $2$ dividieren können, ohne dass Brüche entstehen. Damit erzeugen wir den komplementären Term $2x$ zu $-2x$ auf der rechten Seite der ersten Gleichung.

$$ \begin{array}{rrcll} \text{I:} & 16y & = & 22 - 2x \\ \text{II:} & -4 & = & 4x + 8y & \vert :2 \\ \\ \text{I:} & 16y & = & 22 - 2x \\ \text{IIa:} & -2 & = & 2x + 4y \\ \hline \text{I + IIa:} & 16y - 2 & = & 22 + 4y & \vert -4y \\ & 12y - 2 & = & 22 & \vert +2 \\ & 12y & = & 24 & \vert :12 \\ & y & = & 2 \\ \\ y \text{ in I:} & 16 \cdot 2 & = & 22 - 2x \\ & 32 & = & 22 - 2x & \vert -22 \\ & 10 & = & - 2x & \vert :(-2) \\ & -5 & = & x \end{array}$$

Vorgehen:

• Wir teilen die zweite Gleichung durch $2$, um passende Vielfache zu erzeugen.
• Durch Addition der Gleichungen eliminieren wir $x$ und berechnen $y$.
• Dann setzen wir $y$ in die erste Gleichung ein, um $x$ zu berechnen.

Lösung:
$\underline{\underline{x = -5}}$ und $\underline{\underline{y = 2}}$

Rechnung:
Wir nutzen das Einsetzungsverfahren, da sich die zweite Gleichung in nur einem Schritt nach $x$ auflösen lässt.

$$\begin{array}{rrcll} \text{II:} & x + 3y & = & -5 & \vert -3y \\ & x & = & -5 - 3y \\ \\ x \text{ in I:} & 5(-5 - 3y) - 2y & = & -8 \\ & -25 - 15y - 2y & = & -8 \\ & -25 - 17y & = & -8 & \vert +25 \\ & -17y & = & 17 & \vert :(-17) \\ & y & = & -1 \\ \\ y \text{ in II:} & x & = & -5 - 3 \cdot (-1) \\ & x & = & -5 + 3 \\ & x & = & -2 \end{array}$$

Vorgehen:

• Zweite Gleichung nach $x$ umstellen
• Ausdruck für $x$ in erste Gleichung einsetzen und nach $y$ lösen
• Gefundenes $y$ in die zweite Gleichung einsetzen, um $x$ zu berechnen

Lösung:
$\underline{\underline{x = -2}}$ und $\underline{\underline{y = -1}}$

Rechnung:
Wir nutzen das Gleichsetzungsverfahren, da die linken Seiten der Gleichungen identisch sind.

$$ \begin{array}{rrcll} \text{Gleichsetzen:} & 4x & = & 7 - 3x & \vert +3x \\ & 7x & = & 7 & \vert :7 \\ & x & = & 1 \\ \\ x \text{ in I:} & 2y - 4 & = & 4 \cdot 1 \\ & 2y - 4 & = & 4 & \vert +4 \\ & 2y & = & 8 & \vert :2 \\ & y & = & 4 \end{array}$$

Vorgehen:

• Wir setzen die Terme auf den rechten Seiten gleich, da die linken Seiten übereinstimmen.
• Nun können wir nach $x$ auflösen.
• Mit dem Wert für $x$ berechnen wir $y$.

Lösung:
$\underline{\underline{x = 1}}$ und $\underline{\underline{y = 4}}$

Variablen definieren:

• $x$: Alter von Elli
• $y$: Alter von Ellis Tante

Gleichungen aufstellen:

• $\text{I:}~~ y = x + 34$
  (Ellis Tante ist $34$ Jahre älter)
• $\text{II:}~~ y = 4 \cdot (x - 5)$
  (vor $5$ Jahren war sie viermal so alt)

Rechnung:
Wir setzen die Terme auf der rechten Seite gleich.

$$ \begin{array}{rrcll} \text{Gleichsetzen:} & x + 34 & = & 4 \cdot (x - 5) \\ & x + 34 & = & 4x - 20 & \vert -x \\ & 34 & = & 3x - 20 & \vert +20 \\ & 54 & = & 3x & \vert :3 \\ & 18 & = & x \\ \\ x \text{ in I:} & y & = & 18 + 34 \\ & y & = & 52 \end{array}$$

Antwort:
Elli ist $18$ Jahre alt und ihre Tante ist $52$.

Variablen definieren:

• $x$: Anzahl der Zweibettzimmer
• $y$: Anzahl der Dreibettzimmer

Gleichungen aufstellen:

• $\text{I:}~~ x + y = 60$
  (insgesamt gibt es $60$ Zwei- und Dreibettzimmer)
• $\text{II:}~~ 2x + 3y = 132$
  (das Hotel hat $132$ Betten:
  $2x$ in $x$ Zwei- und $3y$ in $y$ Dreibettzimmern)

Rechnung:
Wir stellen die erste Gleichung nach $x$ um und setzen den Term in die zweite Gleichung ein.

$$\begin{array}{rrcll} \text{I:} & x + y & = & 60 & \vert -y \\ & x & = & 60 - y \\ \\ x \text{ in II:} & 2(60 - y) + 3y & = & 132 \\ & 120 - 2y + 3y & = & 132 \\ & 120 + y & = & 132 & \vert -120 \\ & y & = & 12 \\ \\ y \text{ in I:} & x & = & 60 - 12 \\ & x & = & 48 \end{array}$$

Antwort:
Das Hotel Sofa-Stay hat $48$ Zweibettzimmer und $12$ Dreibettzimmer.

Variablen definieren:

• $a$: Länge des Rechtecks in $\text{cm}$
• $b$: Breite des Rechtecks in $\text{cm}$

Gleichungen aufstellen:

• $\text{I:}~~ a = 1{,}5b$
  (die Länge $a$ ist eineinhalb mal so lang wie die Breite $b$)
• $\text{II:}~~ 2a + 2b = 50$
  (der Umfang $2a + 2b$ ist $50~\text{cm}$)

Rechnung:
Wir setzen den Term $1{,}5b$ aus der ersten Gleichung für $a$ in die zweite Gleichung ein.

$$\begin{array}{rrcll} a \text{ in II:} & 2 \cdot 1{,}5b + 2b & = & 50 \\ & 3b + 2b & = & 50 \\ & 5b & = & 50 & \vert :5 \\ & b & = & 10 \\ \\ b \text{ in I:} & a & = & 1{,}5 \cdot 10 \\ & a & = & 15 \end{array}$$

Antwort:
Das Rechteck hat eine Länge von $15~\text{cm}$ und eine Breite von $10~\text{cm}$.