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Was sind Variablen? 01:51 min

Textversion des Videos

Transkript Was sind Variablen?

Haushoch verliert Erik gerade gegen Sarah.

Ziel des Kartenspiels ist es, eine Straße von 5 Karten zu legen.

Sarah zieht die nächste Karte und hat Glück. Ein Joker! Schauen wir uns ihr Blatt einmal an.

Sarahs Blatt ist super: sie hat bereits eine 2, 3, 4 und 5 und mit dem Joker gewinnt sie die Partie. Der Joker kann hier die 1 ersetzen oder die 6. Ein Joker kann jede beliebige Karte des Decks ersetzen.

Variablen in der Mathematik

In der Mathematik gibt es etwas, das dem Joker sehr ähnlich ist: Variablen. Variablen kommen meist in Termen oder Gleichungen vor.

Ähnlich wie ein Joker können sie unterschiedliche Werte annehmen.

Eine Variable kann ein Buchstabe oder ein Symbol sein. Sie zeigt einen veränderlichen Wert an. Dabei nutzt man häufig Buchstaben wie x, y, a, ...

Die Variable x kann in dieser Gleichung durch 2 ersetzt werden, sodass wir eine wahre Aussage erhalten. x ist also gleich 2.

Beispiel für die Verwendung von Variablen

Sehen wir uns das bei einer Beispielaufgabe genauer an.

Stell dir vor, du hast einen neuen Handyvertag. Zur monatlichen Grundgebühr für dein Smartphone kommen 15€ pro Gigabyte Datenvolumen. Die Variable x entspricht der Anzahl an Gigabytes.

Als Term ausgedrückt heißt das:

25 Euro plus 15 Euro mal x.

So berechnest du die Kosten abhängig davon, wie viel Datenvolumen du verbrauchst.

Aber zurück zu Sarah und Erik. Mit wem textet Sarah da eigentlich die ganze Zeit?

29 Kommentare
  1. Fc bayern trikot away 17 18 21948

    Sara die Schummlerin!

    Von Yiren Y., vor 3 Tagen
  2. Jonas ohne rahmen

    Hallo A Huebsch,
    unterhalb des Videofensters siehst du die Textversion des Videos. Rechts daneben steht in einer kleinen Box „Arbeitsblätter zum Ausdrucken“. Dort kannst du dir die gesamte Übung als Arbeitsblatt ausdrucken.
    Viele Grüße aus der Redaktion

    Von Jonas Dörr, vor 9 Tagen
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    Für A Huebsch
    Man kann die Sachen ausdrucken, indem man sie als PDF herunterläd und sie dann ausdruck :) !

    Von Pro12345, vor 11 Tagen
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    Alles easy und cool gemacht

    Von Pro12345, vor 11 Tagen
  5. Sensenmann

    Richtig gutes Video und weiß jmd. wie man hier Klassenarbeiten ausdruckt oder Blätter zum lernen?

    Von A Huebsch, vor 11 Tagen
  1. Default

    cooles viedeo :)
    aber wo ist das ende?

    Von Poopalheike, vor 27 Tagen
  2. Default

    der arme erik hahahaha 😂😂😂😂😂😆

    Von Tatjanamat, vor etwa 2 Monaten
  3. Default

    ich habe ein fehler endeckt, sahra hat ein T-shirt an und ich frage mich, ob es geht, im T-shirt ,,ärmel,, jokerkarten zu verstecken...😆😁😇😄

    Von Tatjanamat, vor etwa 2 Monaten
  4. Jonas ohne rahmen

    Hallo Leimu118,
    du kannst die Geschwindigkeit unserer Videos selbst anpassen. Dafür klickst du einfach auf das kleine Tacho-Symbol unten rechts im Videofenster.
    Liebe Grüße aus der Redaktion.

    Von Jonas Dörr, vor 2 Monaten
  5. Default

    zulangsam abgespielt

    Von Leimu118, vor 2 Monaten
  6. Images

    Cool 😈

    Von Myrna M., vor 3 Monaten
  7. Images

    sehr gut erklärt!
    ich mag joker!

    Von Myrna M., vor 4 Monaten
  8. Karsten

    Hallo Steffi,

    ich kann kein Problem entdecken, wo genau tritt der Fehler auf?

    Liebe Grüße aus der Redaktion.

    Von Karsten Schedemann, vor 4 Monaten
  9. Default

    Hallo, leider zeigt es hier $ und viele andere Zeichen an.
    VG Si

    Von Steffi Sac, vor 4 Monaten
  10. Default

    Bei der vorletzten aufgabe steht gigabytes aber die grundgebüren wurde mitgerechnet

    Von Helgueichon, vor 4 Monaten
  11. Default

    Geht.Man hätte nach mehr erklären können

    Von Meike 11, vor 5 Monaten
  12. Default

    cooool!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

    Aber wie geht das spiel?

    Von Mousaalbakour 1975, vor 6 Monaten
  13. Default

    Super Video hat mir sehr geholfen konnte mir es durch das Kartenspiel super merken!!!
    Der Schluss war wirklich cool

    Von Christoph B., vor 6 Monaten
  14. Legendary brawl stars wallpaper

    Danke hilft und ich werde mich jetzt auch noch weiter umschauen

    Von Deshad M., vor 7 Monaten
  15. Eisbaeren

    danke ich habe ech nichts voher verstanden :D

    Von Henrivdbanane, vor 7 Monaten
  16. Default

    Danke hat mir weitergeholfen :)

    Von Alenka H., vor 8 Monaten
  17. Images

    Habe es gut verstanden(:

    Von Lucian S., vor 12 Monaten
  18. Default

    Schönes Video hat mir sehr geholfen

    Von Annica Liebermann 1, vor etwa einem Jahr
  19. Default

    Ich finde Aufgabe 2 sehr schwer Ich würde diese Aufgaben etwas vereinfachen Wenn das geht

    Von Loreleykrueger, vor etwa einem Jahr
  20. Default

    danke für das Video und die Erklärung mal schauen ob ich es jetzt schaffe

    Von Waldburg, vor mehr als einem Jahr
  21. Default

    mega cool

    Von vanessa g., vor mehr als einem Jahr
  22. Default

    Hahaha wie geil vielen dank😍

    Von Josie H., vor mehr als einem Jahr
  23. Default

    hat mir sehr geholfen

    Von Alim Y., vor mehr als einem Jahr
  24. Default

    voll gut

    Von Katrin Schmid, vor mehr als einem Jahr
Mehr Kommentare

Was sind Variablen? Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Was sind Variablen? kannst du es wiederholen und üben.

  • Ergänze die Erklärung zu Variablen.

    Tipps

    Das Wort „Variable“ kommt von dem lateinischen „variabilis“ für „veränderlich“. Eine Variable wird auch oft als Veränderliche bezeichnet.

    Ein Term ist ein sinnvoller mathematischer Ausdruck, in welchem Zahlen, Variablen, Rechenzeichen und Klammern vorkommen.

    In einer Gleichung kommt ein Gleichheitszeichen vor. Links und rechts davon stehen Terme.

    Lösung

    Hier siehst du bereits, was eine Variable ist.

    Lass' uns dies einmal an dem Beispiel mit Eric und Sarah anschauen. Die beiden spielen Karten. Gewonnen hat, wer eine Straße hat, das heißt fünf aufeinanderfolgende Karten.

    Sarah hat die Karten mit dem Wert $2$, $3$, $4$ und $5$ und ... einen Joker. Diesen kann sie für jede beliebige Karte einsetzen. In diesem Beispiel wird sie den Joker für die $1$ oder $6$ einsetzen und hat somit eine Straße.

    Das Prinzip eines Jokers gibt es auch in der Mathematik: Variablen

    Die Variable ist eine Veränderliche. Du kannst jeden beliebigen Wert einsetzen.

    Ein Variable ist ein Buchstabe, oft werden $x$ oder $y$ oder $a$ verwendet, oder ein anderes Symbol.

    Variablen kommen zum Beispiel

    • in Termen, wie $7-x$ oder
    • in Gleichungen, wie $7-x=5$ vor.
    Bei Gleichungen ist das Ziel, einen Wert für die Variable zu finden, für den die Gleichung eine wahre Aussage darstellt.

    In dem Beispiel $7-x=5$ wäre dies $x=2$, denn es gilt:

    $7-2=5$ ✓

  • Gib an, für welchen Wert für $x$ die Gleichung erfüllt ist.

    Tipps

    Setze jeden der Werte für $x$ ein und prüfe, ob du eine wahre Aussage erhältst.

    Achte beim Einsetzen der Werte für $x$ auf die Vorzeichen und darauf, dass keine zwei Rechenoperationen direkt hintereinander stehen dürfen. Nutze dann Klammern. Beispielsweise gilt:

    $3-(-2)=3+2=5$

    Üblicherweise probierst du nicht verschiedene Werte. Das wäre zu aufwändig. Du löst die Gleichung.

    Subtrahiere auf beiden Seiten $7$.

    Du erhältst die Gleichung $-x=-2$.

    Beachte, dass du nicht wissen möchtest, was du für $-x$ einsetzen sollst, sondern, was du für $x$ einsetzen sollst.

    Multipliziere die Gleichung $-x=-7$ mit $(-1)$.

    Lösung

    $7-x=5$ ist eine Gleichung. Gesucht ist ein Wert für $x$, sodass die Gleichung eine wahre Aussage ist. Anders gefragt: Was musst du für $x$ einsetzen, damit die Gleichung erfüllt ist. Der korrekte werde für x ist 2, es gilt also: $x=2$

    Wir machen die Probe: $7-2=5$ ✓

    Üblicherweise erhältst du eine solche Lösung nicht, indem du genau hinschaust oder rätst. Du formst die Gleichung um. Dafür kannst du wie folgt vorgehen:

    • Du beginnst mit der Gleichung $7-x=5$.
    • Nun subtrahierst du auf beiden Seiten $7$ und erhältst $-x=-2$.
    • Zuletzt multiplizierst du mit $-1$ und kommst so zu $x=2$, der gesuchten Lösung.
  • Stelle den Term für die Kosten von Sarahs Handyvertrag auf.

    Tipps

    Beginne mit den festen Kosten: Überlege dir, welche der Kosten von dem Verbrauch abhängen.

    Sarah bezahlt $25~€$. Hinzu kommen

    • $15~€$ für ein Gigabyte Datenvolumen,
    • $30~€$ für zwei,
    • $45~€$ für drei ...

    Du siehst, die Kosten für das Datenvolumen hängen von dem Verbrauch ab.

    Wenn du eine Beschreibung wie zum Beispiel „Jeder Apfel kostet $50~ct$“ hast, musst du die $50~ct$ mit der Anzahl der Äpfel multiplizieren.

    Lösung

    Die Grundgebühr ist fest. Sie hängt nicht von dem Verbrauch ab. Deswegen muss sie auch nicht mit einer Variablen multipliziert werden.

    Die Kosten für das Datenvolumen hängen allerdings sehr wohl von dem Verbrauch ab, sie sind also variabel. Da pro Gigabyte Datenvolumen $15~€$ bezahlt werden müssen, ordnet man zunächst der unbekannten Zahl an verbrauchten Gigabytes die Variable $x$ zu.

    Das Schlüsselwort „je“ zeigt an, dass multipliziert werden muss.

    Die Kosten für das Datenvolumen betragen also: $15~€\cdot x$

    Zusammen, das bedeutet, dass die Kosten addiert werden müssen, können die Kosten für Sarahs Handyvertrag mit diesem Term beschrieben werden:

    $25~€+15~€\cdot x$

  • Bestimme das Datenvolumen, für welches beide Handyanbieter gleich teuer sind.

    Tipps

    Hier siehst du die Terme, die die Kosten bei den beiden Anbietern beschreiben:

    • Anbieter A: $50~€+10€\cdot x$ und
    • Anbieter B: $20~€+16€\cdot x$
    Anbieter B verlangt geringere Grundgebühren, allerdings kostet verbrauchtes Datenvolumen mehr.

    Beachte: „Günstiger“ bedeutet, dass Eric bei dem Anbieter weniger als bei dem anderen bezahlt.

    Wenn er bei beiden gleich viel bezahlt, ist es egal für welchen Anbieter er sich entscheidet.

    Dort, wo die beiden Geraden sich schneiden, kannst du das verbrauchte Datenvolumen auf der x-Achse ablesen, bei welchem die Tarife gleich teuer sind.

    Lösung

    Anbieter B hat niedrigere Grundgebühren, allerdings höhere Kosten pro verbrauchtem Gigabyte Datenvolumen.

    Das bedeutet, dass es eine Anzahl an verbrauchten Gigabytes gibt, für welche gilt, dass beide Anbieter gleich teuer sind. Bis dahin ist Anbieter B günstiger, ab da Anbieter A.

    Dies sind die Terme, die die Kosten bei den beiden Anbietern beschreiben:

    • Anbieter A: $50~€+10€\cdot x$ und
    • Anbieter B: $20~€+16€\cdot x$
    Du kannst die Gesamtkosten in Abhängigkeit vom verbrauchten Datenvolumen so wie in der Abbildung zu sehen darstellen.

    • Du siehst, dass die rote Gerade (Anbieter B) bis zu einem gewissen Datenvolumen unterhalb der blauen (Anbieter A) liegt. Das liegt daran, dass die Grundgebühren bei Anbieter B niedriger sind als die von A.
    • Es gibt ein Datenvolumen ($5$ Gigabytes), bei welchem beide Anbieter gleich teuer sind.
    • Ab da ist Anbieter A günstiger, da dieser günstiger im Bezug auf das verbrauchte Datenvolumen ist.
    Wier setzen nun verschiedene Werte für das Datenvolumen ein und erhalten so die Gesamtkosten:

    $0$ Gigabyte:

    • Anbieter A $50~€+10~€\cdot 0=50~€$
    • Anbieter B $20~€+16€\cdot 0=20~€$. Hier ist Anbieter B günstiger.
    $2$ Gigabyte:
    • Anbieter A $50~€+10~€\cdot 2=70~€$
    • Anbieter B $20~€+16€\cdot 2=52~€$. Hier ist Anbieter B günstiger.
    $3$ Gigabyte:
    • Anbieter A $50~€+10~€\cdot 3=80~€$
    • Anbieter B $20~€+16€\cdot 3=68~€$. Hier ist Anbieter B günstiger.
    $5$ Gigabyte:
    • Anbieter A $50~€+10~€\cdot 5=100~€$
    • Anbieter B $20~€+16€\cdot 5=100~€$. Bei diesem Datenvolumen sind beide Anbieter gleich teuer, bis hierhin ist also Anbieter B günstiger.
    $6$ Gigabyte:
    • Anbieter A $50~€+10~€\cdot 6=110~€$
    • Anbieter B $20~€+16€\cdot 6=116~€$. Hier ist Anbieter A günstiger.
  • Entscheide, welcher der beiden Handyanbieter günstiger für Eric ist.

    Tipps

    Beachte, dass nur die von der Variablen abhängigen Kosten, das sind die Kosten für das Datenvolumen, mit der Variablen multipliziert werden.

    Wenn du den Term kennst, kannst du jeweils für $x$ der Wert $3$ einsetzen.

    Schaue dir diese Beispiel an:

    Die Kosten bei einem weiteren Anbieter C teilen sich auf in $10~€$ Grundgebühren und $25~€$ pro verbrauchtes Gigabyte Datenvolumen. Du Gleichung, die die Gesamtkosten darstellt lautet:

    $10~€+25~€\cdot x$

    Also müsste Eric für $3$ Gigabyte

    $10~€+25~€\cdot 3=10~€+75~€=85~€$

    bezahlen. Dieser Anbieter ist teurer als Anbieter A und B.

    Lösung

    Du stellst zunächst für jeden der beiden Anbieter den Term auf, der die Kosten beschreibt.

    Anbieter A:

    • Zu den Grundgebühren $20~€$
    • werden die Gebühren für das verbrauchte Datenvolumen, also $18~€\cdot x$, addiert.
    • Dies führt zu: $20~€+18~€\cdot x$
    Ebenso kannst du den Term bei Anbieter B aufstellen: $15~€+19~€\cdot x$

    Eric möchte nun wissen, welcher der beiden Anbieter bei $3$ Gigabytes Datenvolumen günstiger ist. Eric setzt jeweils für $x$ die Zahl $3$ in die beiden Termen ein:

    • Anbieter A: $20~€+18~€\cdot 3=20~€+54~€=74~€$
    • Anbieter B: $15~€+19~€\cdot 3=15~€+57~€=72~€$
    Eric sieht, dass Anbieter B günstiger ist.

  • Ermittle die Anzahl der Hunde in dem Rudel.

    Tipps

    Wenn du eine solche Gleichung $2y=14$ lösen sollst, musst du durch $2$ dividieren:

    $y=14:2=7$

    Umgekehrt ist $2\cdot 7=14$ ✓

    Du kannst auch bei der Addition die Umkehraufgabe durchführen:

    • $x+3=8$
    • Subtrahiere $3$. Dann erhältst du $x=8-3=5$.
    • Führe eine Probe durch $5+3=8$ ✓
    Lösung

    Das Doppelte der Anzahl der Hündinnen ist die Unbekannte $10$. Damit kannst du die Anzahl der Hündinnen ausrechnen: $2y=10$

    Kannst du die Lösung schon sehen? Du kannst durch $2$ dividieren: $y=10:2=5$

    Damit weißt du schon, dass es $5$ Hündinnen gibt.

    Wie viele Rüden gibt es? Die Anzahl der Rüden plus $3$ ist ebenfalls $10$, es gilt: $x+3=10$

    Subtrahiere $3$ von $10$. So kommst du zu $x=10-3=7$.

    Nun wissen wir, dass es sieben ($7$) Rüden und fünf ($5$) Hündinnen gibt. Das sind dann zusammen $5+7=12$ Hundekinder in dem Rudel.

    Gut gerechnet: Jetzt ist Zeit zum Toben.