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Lineare Funktionen zeichnen 06:19 min

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Transkript Lineare Funktionen zeichnen

Susi ist eine leidenschaftliche Bergsteigerin und hält ihre Wanderungen immer in einem Tagebuch fest. Da sie besonders an den Steigungen interessiert ist, kann sie ihre Wanderwege als Lineare Funktionen zeichnen. Wiederholen wir dazu doch einmal, was eine lineare Funktion überhaupt ist. Eine Funktion mit der Gleichung f von x gleich m mal x plus b heißt lineare Funktion. m ist dabei die Steigung und b der y-Achsenabschnitt. Der y-Achsenabschnitt ist dabei der Funktionswert an der Stelle x=0. Um den Graphen einer linearen Funktion zu zeichnen, welcher immer eine Gerade ist, gibt es mehrere Möglichkeiten. Beginnen wir dazu mit dieser Gleichung: f von x ist gleich 2x plus 3. Es genügt, mithilfe dieser Funktionsgleichung die Koordinaten zweier Punkte zu bestimmen. Setzen wir für x 0 ein, so erhalten wir 3. Wir haben also als ersten Punkt 0 3. Um einen zweiten Punkt zu erhalten, setzen wir nun für x 5 ein. Wir erhalten 13 und daher als zweiten Punkt 5 13. Wir wissen also, dass der Graph zu der Funktionsgleichung durch diese beiden Punkte verläuft. Tragen wir sie im Koordinatensystem ein und zeichnen eine Gerade durch die beiden Punkte so sehen wir, wie der Graph der linearen Funktion aussieht. Susi möchte nun die Graphen ihrer Wanderrouten in ihr Tagebuch zeichnen. Die erste Funktion, die sie sich notiert hat, lautet f von x ist gleich einhalb x plus 1. Zum Einzeichnen des zugehörigen Graphens in ein Koordinatensystem, müssen wir nicht immer zwei Punkte berechnen. Man kann ihn auch mithilfe von einem Punkt und der Steigung zeichnen. Oft bietet sich der Schnittpunkt mit der y-Achse als Ausgangspunkt an, hier also 0 1. Die Steigung beträgt ein Halb. Zum Einzeichnen des Steigungsdreiecks gehen wir also 1 Einheit nach rechts und dann eine halbe Einheit nach oben. Einfacher ist es manchmal Vielfache zu verwenden, also 2 Einheiten nach rechts und eine Einheit nach oben zu gehen. Verbinden wir den Ausgangspunkt nun mit diesem Punkt, haben wir den zugehörigen Graphen der linearen Funktion gefunden. Susi musste sich bei dieser Steigung ganz schön anstrengen! Beachte bei der Einzeichnung des Steigungsdreiecks, dass dies auf zwei verschiedene Weisen möglich ist: Bei einer positiven Steigung kann man entweder zuerst nach rechts und dann nach oben gehen oder zuerst nach links und dann nach unten. Für den nächsten Abschnitt ihrer Reise hat Susi die folgende Funktionsgleichung aufgeschrieben: f von x ist gleich minus ein Halb x plus 6. Wir können von dem Punkt 0 6 ausgehen und mithilfe der Steigung ein Steigungsdreieck einzeichnen. Wir gehen diesmal 4 Einheiten nach rechts. Da wir ein minus vor der Steigung haben, gehen wir diesmal nach unten. Aber wie viele Einheiten eigentlich? Da wir 4 Einheiten nach rechts gegangen sind, rechnen wir 4 mal minus ein Halb. Wir gehen also 2 Einheiten. nach unten. Das ging aber ganz schön schnell bergab für Susi. Beachte bei der Einzeichnung des Steigungsdreiecks, dass dies auch hier auf zwei verschiedene Weisen möglich ist: Bei einer negativen Steigung kann man entweder zuerst nach rechts und dann nach unten gehen oder zuerst nach links und dann nach oben. Schauen wir uns doch noch ein paar spezielle Funktionsgleichungen an und betrachten zunächst eine Gleichung, bei der sowohl die Steigung als auch der y-Achsenabschnitt gleich 0 ist. Dann bleibt als Gleichung ja nur noch f von x ist gleich 0. Die zugehörige Gerade ist identisch zur x-Achse. Susi ist wohl ganz unten angekommen. Wäre es nicht schön, wenn man einfach und schnell nach oben auf einen Berg kommen könnte? Ist m gleich 0, aber b ungleich 0, also zum Beispiel 4, so verschiebt sich die Gerade. Es ergibt sich eine zur x-Achse parallele Gerade. Ist andersherum m ungleich 0 und b gleich null, ergibt sich eine Funktionsgleichung der Form f von x ist gleich mx. Dann liegen proportionale Funktionen vor. Solche Funktionen verlaufen immer durch den Ursprung. Hui, da hat sie sich wohl mit einer Bergziege angefreundet. Während die beiden ihren Weg aufwärts fortführen, fassen wir zusammen. Möchte man den zugehörigen Graphen einer linearen Funktion zeichnen, so hat man die Möglichkeit zwei Punkte der Funktion zu verbinden oder den Graphen mithilfe der Steigung zu zeichnen. Dabei ist es wichtig darauf zu achten, ob die Steigung positiv oder negativ ist. Außerdem gibt es noch folgende Besonderheiten: Ist m=0 und b=0, so ist die Gerade identisch zur x-Achse. Ist m=0 und b ungleich 0, so ist die Gerade parallel zur x-Achse. Ist m ungleich 0 und b gleich 0, so liegt eine proportionale Funktion vor und die zugehörige Gerade verläuft durch den Ursprung. Und Susi hat es geschafft alles in ihr Tagebuch einzutragen. Doch was ist das?

4 Kommentare
  1. Hallo Bredereckgmbh, du kannst jede beliebige Zahl in die Funktion einsetzen. Man muss nur zwei Punkte herausfinden, dann kann man die Funktion zeichnen. Für die Null ist die Rechnung häufig besonders einfach, deshalb wird sie gern gewählt, aber eigentlich ist das egal.
    Wenn du bei der Funktion f(x)=2x+3 die Werte x=1 und x=2 wählst, kommst du genauso auf zwei Punkte:
    (1|5) und (2|7). Sie ergeben dieselbe Gerade im Koordinatensystem.
    Liebe Grüße aus der Redaktion.

    Von Albrecht Kröner, vor etwa 2 Monaten
  2. Wie kommt man bei der ersten Aufgabe auf die 5 die ihr anstatt von x in die Gleichung getan habt?

    Von Bredereckgmbh, vor etwa 2 Monaten
  3. Koordinatensysteme schwer verständlich

    Von Joshua B., vor etwa 2 Monaten
  4. Soooo tolle Videos! :)
    Die retten mich immer vir jeder Ex :D

    Von Pink Fluffy Unicorn Dancing On Rainbow, vor 5 Monaten

Lineare Funktionen zeichnen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lineare Funktionen zeichnen kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe das Vorgehen beim Zeichnen des Graphen einer linearen Funktion.

    Tipps

    Hier siehst du ein mögliches Steigungsdreieck an dem Graphen der linearen Funktion $f(x)=\frac 32 x$.

    Die Normalform einer linearen Gleichung lautet:

    • $f(x)=mx+b$
    Dabei ist $m$ die Steigung und $b$ der $y$-Achsenabschnitt.

    Du siehst hier eine Gerade mit negativer Steigung (grün) und eine Gerade mit positiver Steigung (rot). Wie könnten die Steigungsdreiecke jeweils aussehen?

    Lösung

    Du kannst den Graphen einer linearen Funktion, welcher eine Gerade ist, auf zwei Arten bestimmen. Zum einen kannst du zwei Punkte der Funktion berechnen und mit diesen dann die Gerade in ein Koordinatensystem einzeichnen. Und zum anderen kannst du den $y$-Achsenschnittpunkt $S_y(0\vert b)$, den du mithilfe des $y$-Achsenabschnitts erhältst, und die Steigung nutzen, um über ein Steigungsdreieck die Gerade zu zeichnen. Dabei gehst du wie folgt vor:

    Variante 1

    Du berechnest zwei Punkte $P_1$ und $P_2$, indem du zwei beliebige $x$-Werte jeweils in die Funktion einsetzt und den zugehörigen $y$-Wert berechnest. Diese beiden Punkte trägst du dann in ein Koordinatensystem ein und zeichnest die Gerade durch diese Punkte durch.

    Variante 2

    Liegt die Funktionsgleichung in der Normalform $f(x)=mx+b$ vor, so erhältst du den $y$-Achsenschnittpunkt $S_y(0\vert b)$. Dann setzt du im $y$-Achsenschnittpunkt an und zeichnest das Steigungsdreieck ein. Dieses orientiert sich an dem Vorzeichen der Steigung. Für eine positive Steigung, also eine steigende Gerade, gehst du ....

    • ... nach rechts und nach oben oder ...
    • ... nach links und nach unten.
    Ist die Steigung negativ, also die Gerade fallend, so gehst du ....
    • ... nach links und nach oben oder ...
    • ... nach rechts und nach unten.
    Hier siehst du für eine positive und negative Steigung jeweils zwei Möglichkeiten ein Steigungsdreieck einzuzeichnen.

  • Skizziere die Graphen der gegebenen linearen Funktionen.

    Tipps

    Du kannst zwei Punkte einer linearen Funktion berechnen, indem du zwei $x$-Werte jeweils in die Funktionsgleichung einsetzt und den zugehörigen $y$-Wert bestimmst. Durch diese beiden Punkte zeichnest du dann die jeweilige Gerade.

    Du kannst den Graphen einer linearen Funktion auch mithilfe der Steigung und eines Punktes der Funktion zeichnen. Da alle Funktionsgleichungen in der Normalform $f(x)=mx+b$ vorliegen, bietet sich der $y$-Achsenschnittpunkt $S_y(0\vert b)$ an.

    Lösung

    Du kannst den Graphen einer linearen Funktion, welcher eine Gerade ist, auf zwei Arten bestimmen.

    Variante 1

    Du verwendest zwei Punkte der Funktion, um die Gerade durch diese Punkte in ein Koordinatensystem einzuzeichnen.

    Variante 2

    Du nutzt den $y$-Achsenschnittpunkt, den du mithilfe des $y$-Achsenabschnitts erhältst, und die Steigung, um über ein Steigungsdreieck die Gerade zu zeichnen.

    Wir nutzen im Folgenden die zweite Variante und erhalten die hier abgebildeten Geraden wie folgt:

    Blaue Gerade: $~f(x)= 2x+3$

    • Die Steigung $m=2$ ist positiv. Ausgehend von $S_y(0\vert 3)$ gehst du also einen Schritt nach rechts und zwei Schritte nach oben.
    Orange Gerade $~f(x)= 0x+4$
    • Die Steigung $m=0$ zeigt, dass die Gerade weder steigt, noch fällt. Sie ist also parallel zur $x$-Achse und verläuft durch den Punkt $S_y(0\vert 4)$.
    Rote Gerade $~f(x)= -\frac 12 x+6$
    • Die Steigung $m=-\frac 12$ ist negativ. Ausgehend von $S_y(0\vert 6)$ gehst du also zwei Schritte nach rechts und einen Schritt nach unten.
    Grüne Gerade$~f(x)= \frac 12 x+1$
    • Diesmal nutzen wir die Variante 1 und berechnen zwei Punkte der Funktion, durch diese die zugehörige Gerade verläuft. Wir rechnen hierzu die Funktionswerte für $x=0$ und $x=2$ und erhalten die folgenden beiden Punkte der grünen Gerade:
    $\qquad f(0)=\frac 12 \cdot 0+1=1\quad \rightarrow \quad P_1(0\vert 1)$

    $\qquad f(2)=\frac 12 \cdot 2+1=1+1=2\quad \rightarrow \quad P_2(2\vert 2)$

  • Ermittle die Geraden der jeweiligen linearen Funktionen.

    Tipps

    Die Normalform einer linearen Funktion lautet: $f(x)=mx+b$

    Dabei ist $m$ die Steigung und $b$ der $y$-Achsenabschnitt. Ist also in einer Funktionsgleichung kein $x$ enthalten, so ist $m=0$.

    Der $y$-Achsenabschnitt ist dabei der Funktionswert an der Stelle $x=0$.

    Lösung

    Du kannst die Gerade einer linearen Funktion zeichnen, indem du den $y$-Achsenschnittpunkt und die Steigung nutzt. Den $y$-Achsenschnittpunkt kannst du über den $y$-Achsenabschnitt in der Normalform einer linearen Funktion ermitteln. Mit einem Steigungsdreieck gelangst du dann zu der jeweiligen Geraden. Damit erhalten wir folgende Geraden:

    Grüne Gerade: $~f_1(x)= \frac 14x+1$

    • Die Steigung $m=\frac 14$ ist positiv. Ausgehend von $S_y(0\vert 1)$ gehst du also vier Schritte nach rechts und einen Schritt nach oben.
    Orange Gerade $~f_2(x)= 4x+1$
    • Die Steigung $m=4$ ist ebenfalls positiv. Ausgehend von $S_y(0\vert 1)$ gehst du also einen Schritt nach rechts und vier Schritte nach oben.
    Blaue Gerade $~f_3(x)= -x-1$
    • Die Steigung $m=-1$ ist negativ. Ausgehend von $S_y(0\vert -1)$ gehst du also einen Schritt nach rechts und einen Schritt nach unten.
    Violette Gerade$~f_4(x)= -1$
    • Die Steigung $m=0$ zeigt, dass die Gerade weder steigt, noch fällt. Sie ist also parallel zur $x$-Achse und verläuft durch den Punkt $S_y(0\vert -1)$.

  • Leite die Funktionsgleichungen der linearen Funktionen der jeweiligen Geraden her.

    Tipps

    Vor der Variablen $x$ steht die Steigung. Diese kannst du wie folgt ermitteln:

    positive Steigung: $m>0$

    • $\frac{\text{Schritte, die du nach oben gehst}}{\text{Schritte, die du nach rechts gehst}}$
    • $\frac{\text{Schritte, die du nach unten gehst}}{\text{Schritte, die du nach links gehst}}$
    negative Steigung: $m<0$

    • $\frac{\text{Schritte, die du nach oben gehst}}{\text{Schritte, die du nach links gehst}}$
    • $\frac{\text{Schritte, die du nach unten gehst}}{\text{Schritte, die du nach rechts gehst}}$

    Die Normalform einer linearen Funktion lautet $f(x)=mx+b$. Dabei ist $m$ die Steigung und $b$ der $y$-Achsenabschnitt. Damit ist $b$ die Stelle, an der die Gerade die $y$-Achse schneidet.

    Lösung

    Um die Funktionsgleichungen der linearen Funktionen ausgehend von ihren Graphen ermitteln zu können, müssen wir den jeweiligen Geraden die Steigung und den $y$-Achsenabschnitt entnehmen. Diese können wir dann in die Normalform von linearen Funktionen, nämlich $f(x)=mx+b$ einsetzen.

    Die Steigungen ermitteln wir, indem wir die Schritte ausgehend von einem Punkt Geraden zu einem weiteren Punkt der Geraden zählen. Dann rechnen wir wie folgt:

    positive Steigung: $m>0$

    • $\frac{\text{Schritte, die du nach oben gehst}}{\text{Schritte, die du nach rechts gehst}}$
    • $\frac{\text{Schritte, die du nach unten gehst}}{\text{Schritte, die du nach links gehst}}$
    negative Steigung: $m<0$

    • $-\frac{\text{Schritte, die du nach oben gehst}}{\text{Schritte, die du nach links gehst}}$
    • $-\frac{\text{Schritte, die du nach unten gehst}}{\text{Schritte, die du nach rechts gehst}}$
    Den $y$-Achsenabschnitt können wir einfach ablesen. Er entspricht der Stelle, an der die Gerade die $y$-Achse schneidet.

    Damit erhalten wir folgende Funktionsgleichungen:

    Gerade $f$

    Die Gerade schneidet die $y$-Achse bei $3$, also ist $b=3$. Wir zählen ausgehend von $(0\vert 3)$ zwei Schritte nach rechts und drei Schritte nach unten und kommen bei einem weiteren Punkt auf der Geraden an. Da wir nach rechts und nach unten gegangen sind, ist die Steigung negativ. Sie beträgt:

    • $m=-\frac{\text{Schritte, die du nach unten gehst}}{\text{Schritte, die du nach rechts gehst}}=-\frac 32$
    Damit erhalten wir die Funktionsgleichung: $~f(x)=-\frac 32x+3$

    Gerade $g$

    Genauso gehen wir auch bei dieser Geraden vor. Damit erhalten wir den $y$-Achsenabschnitt $b=0$ und folgende Steigung $m$:

    • $m=\frac{\text{Schritte, die du nach oben gehst}}{\text{Schritte, die du nach rechts gehst}}\frac {2}{1}=2$
    Die Funktionsgleichung lautet: $~g(x)=2x+0=2x$

    Gerade $h$

    Mit dem $y$-Achsenabschnitt $-2$ und der positiven Steigung $1$ erhalten wir: $~h(x)=1x-2=x-2$

  • Gib die Definition einer linearen Funktion wieder.

    Tipps

    Der Graph einer linearen Funktion mit dem $y$-Achsenabschnitt $0$ ist eine Gerade, die durch den Koordinatenursprung verläuft.

    Die Gerade einer linearen Funktion in Normalform schneidet die $y$-Achse im Punkt $(0\vert b)$.

    Lösung

    Eine Funktion mit der Gleichung $f(x)=mx+b$ heißt lineare Funktion. $m$ ist dabei die Steigung und $b$ der $y$-Achsenabschnitt. Der $y$-Achsenabschnitt ist dabei der Funktionswert an der Stelle $x=0$. Wir betrachten nun noch folgende Spezialfälle:

    Spezialfall $m=0$

    Der Graph einer linearen Funktion $f(x)=mx+b$ mit der Steigung $m=0$ ist eine zur $x$-Achse parallele Gerade, die die $y$-Achse bei $b$ schneidet. Eine solche lineare Funktion nennt man auch konstante Funktion.

    Spezialfall $b=0$

    Der Graph einer linearen Funktion $f(x)=mx+b$ mit dem $y$-Achsenabschnitt $b=0$ ist eine Gerade, die durch den Koordinatenursprung verläuft. Eine solche lineare Funktion nennt man auch proportionale Funktion.

  • Entscheide, welche Lage die Geraden der jeweiligen linearen Funktionen zueinander haben.

    Tipps

    Du siehst hier zwei zueinander parallele Geraden. Parallele Geraden haben stets denselben Abstand zueinander und schneiden sich somit nie.

    Hier siehst du einen rechten Winkel. Ein rechter Winkel hat genau $90^\circ$.

    Sind zwei Geraden parallel zueinander, so haben sie dieselbe Steigung $m$.

    Hat eine Gerade die Steigung $m$ und eine andere die Steigung $-\frac 1m$, so schneiden sich diese Geraden in einem rechten Winkel.

    Lösung

    Zunächst zeichnen wir die Geraden der jeweiligen Funktionen. Wir erhalten folgende Geraden:

    • Für die Funktion $f$ erhalten wir die blaue Gerade mit der Steigung $3$ und dem $y$-Achsenabschnitt $-1$. Beim Zeichnen dieser Geraden gehst du also vom Punkt $(0\vert -1)$ einen Schritt nach rechts und drei Schritte nach oben.
    • Die gelbe Gerade erhalten wir für die Funktion $g$. Sie hat die Steigung $-\frac 13$ und den $y$-Achsenabschnitt $-1$. Beim Zeichnen dieser Geraden gehst du also vom Punkt $(0\vert -1)$ drei Schritte nach rechts und einen Schritt nach unten.
    • Für die Funktion $h$ erhalten wir die grüne Gerade mit der Steigung $3$ und dem $y$-Achsenabschnitt $1$. Beim Zeichnen dieser Geraden gehst du also vom Punkt $(0\vert 1)$ einen Schritt nach rechts und drei Schritte nach oben.
    • Die rosafarbene Gerade erhalten wir für die Funktion $i$. Sie hat die Steigung $2$ und den $y$-Achsenabschnitt $0$. Es handelt sich also um eine proportionale Funktion. Die Gerade einer solchen Funktion verläuft durch den Koordinatenursprung. Beim Zeichnen dieser Geraden gehst du also vom Punkt $(0\vert 0)$ einen Schritt nach rechts und zwei Schritte nach oben.
    Damit erhalten wir also die hier abgebildeten Geraden. Diese haben folgende Lagebeziehungen zueinander:

    • Die Geraden $f$ und $h$ sind parallel zueinander.
    • Die Geraden $f$ und $g$ schneiden sich in einem rechten Winkel im Punkt $(0\vert -1)$.
    • Die Geraden $h$ und $i$ schneiden sich im Punkt $(-1\vert -2)$.
    • Die Geraden $f$ und $i$ schneiden sich im Punkt $(1\vert 2)$.