Exponentialfunktion – Definition und Erklärung

Exponentialfunktion – Definition und Erklärung Übung

• Bestimme die Funktionswerte.

  Tipps

  Bei der Funktion $f(x)=2^x$ verdoppelt sich der Funktionswert, wenn der $x$-Wert um $1$ zunimmt.

  Den Funktionswert $f(0) =2^0$ findest du, indem du den Funktionswert $f(1) =2^1$ durch $2$ dividierst.

  Ist $g(x) =3^x$, so ist $g(1)=3^1=3$ und $g(-2) = 3^{-2}=\frac{1}{9}$.

  Lösung

  Bei einer Exponentialfunktion steht die Variable im Exponenten. Dadurch vervielfacht sich der Funktionswert bei regelmäßiger Zunahme der $x$-Werte immer um denselben Faktor. Der Faktor für die Vervielfachung der Funktionswerte bei Zunahme von $+1$ der $x$-Werte entspricht dem Funktionswert $f(1)$.

  Bei der Funktion $f(x) = 2^x$ verdoppelt sich also der Funktionswert, wenn der $x$-Wert um $1$ wächst und halbiert sich der Funktionswert, wenn sich der Abstand um $1$ verringert.

  So erhältst du folgende Wertetabelle:

  $ \begin{array}{|r|l|l|} \hline \\ x & f(x) & 2^x \\ \hline \\ -2 & 0,25 & 2^{-2} \\ \hline \\ -1 & 0,5 & 2^{-1} \\ \hline \\ 0 & 1 & 2^0 \\ \hline \\ 1 & 2 & 2^1 \\ \hline \\ 2 & 4 & 2^2 \\ \hline \\ 3 & 8 & 2^3 \\ \hline \end{array} $

• Vervollständige die Sätze.

  Tipps

  $f(x) = x^2$ ist keine Exponentialfunktion, aber $f(x) = 3^x$ ist eine Exponentialfunktion.

  Ist $f(x) = 3^x$, so ist $f(4) = 3^4= 3 \cdot 3^3 = 3 \cdot f(3) = 3 \cdot 3 \cdot f(2)\ldots$

  In dem Term $a^b$ ist $a$ die Basis und $b$ der Exponent.

  Der Term $a^b$ ist eine Potenz.

  Im Term $c\cdot d$ sind $c$ und $d$ Faktoren.

  Lösung

  Bei einer Exponentialfunktion steht die Variable im Exponenten. Dadurch ändert sich der Funktionswert bei einem Zuwachs des $x$-Wertes um $1$ jeweils um denselben Faktor. Umgekehrt ist jede Funktion mit dieser Eigenschaft eine Exponentialfunktion. Die verschiedenen Funktionswerte einer Exponentialfunktion sind jeweils verschiedene Potenzen derselben Basis.

  Der Graph einer Exponentialfunktion ist aufgrund des (beim Exponenten $x$) stets zunehmenden bzw. (beim Exponenten $-x$) stets abnehmenden Zuwachses gekrümmt, und zwar immer nur in eine Richtung.

  Mit diesen Überlegungen kommst du auf folgende Sätze:

  • Die Variable einer Exponentialfunktion ... steht im Exponenten.
  • Der Graph einer Exponentialfunktion ... ist gekrümmt.
  • Eine Funktion, bei der sich die Funktionswerte von jedem ganzzahligen $x$-Wert zum nächsten verdoppeln, ... ist eine Exponentialfunktion.
  • Jeder einzelne Funktionswert einer Exponentialfunktion ... ist jeweils eine andere Potenz zu derselben Basis.

• Bestimme die Funktionswerte.

  Tipps

  Die Funktion $f(x) = 2^x$ nimmt nur positive Werte an.

  Setze den gegebenen Wert für $x$ in die Funktion ein und rechne den Funktionswert aus.

  Für $f(x) = 5^x$ und $x=-1$ ist $f(-1) = 5^{-1} = \frac{1}{5} = 0,\!2$.

  Lösung

  Die Funktionswerte einer Exponentialfunktion sind verschiedene Potenzen einer festgelegten Basis. Du kannst die Funktionswerte ausrechnen, indem du den vorgegebenen Wert der Variablen in den Funktionsterm einsetzt. Dann rechnest du den konkreten Wert der entsprechenden Potenz aus:

  • Für die Funktion $f(x) = 3^x$ und die Stelle $x=1$ findest du den Funktionswert $f(1) = 3^1 = 3$.

  • Bei der Exponentialfunktion $f(x) = 2^x$ und der Stelle $x=2$ ist $f(2)=2^2 = 4$.
  • Für $f(x) = 0,5^x$ und den $x$-Wert $x=-1$ findest du den Funktionswert $f(-1) = (0,\!5)^{-1} = \dfrac{1}{\frac{1}{2}} = 2$.
  • Für die Funktion $f(x) = 10^x$ erhältst du an der Stelle $x=-2$ den Funktionswert $f(-2) = 10^{-2} = \dfrac{1}{10^2} = \dfrac{1}{100} = 0,\!01$.
  • Die Funktion $f(x) = 2^x$ hat an der Stelle $x=4$ den Funktionswert $f(4) = 2^4 =16$.
  • Bei $f(x) = 10^x$ findest du zu $x=3$ den Funktionswert $f(3) = 10^3 = 1\,000$.

• Analysiere die Werte.

  Tipps

  Bei einer Exponentialfunktion ist jeder Funktionswert eine Potenz derselben Basis.

  Bei einer Funktion der Form $f(x) = a^x$ ist $a = f(1)$.

  Lösung

  Die Funktionswerte einer Exponentialfunktion sind jeweils Potenzen einer festgelegten Basis. Du kannst von dem Funktionswert eindeutig auf die Basis zurückschließen, wenn du weißt, zu welchem $x$-Wert der Funktionswert gehört. Für jede Exponentialfunktion $f(x) = a^x$ ist der Funktionswert $f(1)$ die Basis $a$, denn $f(1) = a^1 = a$. Der Funktionswert an der Stelle $x=2$ ist das Quadrat der Basis, denn $f(2) = a^2$.

  Ist z. B. $f(1) = 0,\!5$, so handelt es sich um die Funktion $f(x) = 0,\!5^x$. Ist dagegen $f(-1) = 10$, so ist $f(-1) = a^{-1} = \frac{1}{a} = 10$, also ist $a=\frac{1}{10} = 0,\!1$.

  So erhältst du folgende Zuordnungen, indem du die Zahlenwerte für $x$ einsetzt:

  $f(x) = 0,\!5^x$:

  • $f(1) = 0,\!5^1= 0,\!5$
  • $f(-1) = 0,\!5^{-1}=2$
  • $f(2) = 0,\!5^2=0,\!25$

  
  

  $f(x) = 3^x$:

  • $f(2) = 3^2= 9$
  • $f(3) = 3^3= 27$
  • $f(-1) = 3^{-1}= \frac{1}{3}$

  
  

  $f(x) = 10^x$:

  • $f(-1)= 10^{-1}= 0,\!1$
  • $f(3) = 10^3= 1\,000$
  • $f(-3)= 10^{-3} = 0,\!001$

  
  

  $f(x) = 0,\!1^x$:

  • $f(2)= 0,\!1^2 = 0,\!01$
  • $f(-1)= 0,\!1^{-1} = 10$
  • $f(-2) = 0,\!1^{-2}= 100$

• Beschrifte die Funktion.

  Tipps

  Die rechte Seite der Funktionsgleichung ist der Funktionsterm.

  In dem Term $b^a$ ist $a$ der Exponent und $b$ die Basis.

  Die Unbestimmte einer Funktion heißt Variable.

  Lösung

  Eine Funktion beschreibt man meistens durch eine Funktionsgleichung, die angibt, wie der Funktionswert aus der Variablen berechnet wird. Die rechte Seite der Funktionsgleichung ist der Funktionsterm. Die Exponentialfunktion mit der Basis $2$ wird durch folgende Funktionsgleichung beschrieben:

  $f(x) = 2^x$

  Das $x$ in $f(x)$ ist die Variable der Funktion. In dem Funktionsterm $2^x$ heißt $2$ die Basis und $x$ der Exponent. Bei einer Exponentialfunktion steht die Variable also im Exponenten.

• Erschließe die Funktionsgraphen.

  Tipps

  Bestimme einen oder mehrere Funktionswerte, um die Graphen zuzuordnen. Der Funktionswert bei $x=0$ ist hierbei oft eine gute Wahl.

  Die Funktion $f(x) = 2^x$ erfüllt $f(0) = 2^0 = 1$.

  Lösung

  Der Graph einer Funktion besteht aus allen Punkten der Form $P(x|f(x))$. Du kannst die Graphen zuordnen, indem du Funktionswerte berechnest und im Koordinatensystem abträgst.

  Der Graph einer Exponentialfunktion der Form $f(x) = a^x$ hat zwei besonders leicht zu erkennende Punkte, die zu den Stellen $x=0$ und $x=1$ gehören. Für $x=0$ ist nämlich stets $f(0) = a^0 = 1$ und an der Stelle $x=1$ ergibt sich $f(1) = a^1 = a$. Daher gehört der Punkt $P(0|1)$ zu jeder Exponentialfunktion $f(x) = a^x$ für jedes beliebige $a \neq 0$. Der Punkt $P(1|a)$ gehört zum Graphen der Exponentialfunktion für genau einen festen Wert $a$.

  Bei der Funktion $f(x) = 2 \cdot 2^x$ ist aber Vorsicht geboten: Es handelt sich nicht um eine reine Exponentialfunktion, sondern jeder Wert des Exponentialterms wird noch mit $2$ multipliziert. Daher ist bei dieser Funktion $f(0) = 2 \cdot 2^0 = 2 \cdot 1 = 2$. Der Punkt $P(0|1)$ gehört also nicht zum Funktionsgraphen der Funktion $f(x) = 2 \cdot 2^x$. Stattdessen gehört der Punkt $P(0|2)$ zum Graphen dieser Funktion.

  Eine Wertetabelle hilft dir, die Funktionsgraphen zu identifizieren. Für die Funktion $f(x) = 2^{-x}$ findest du folgende exemplarische Wertepaare:

  $ \begin{array}{|r|l|l|} \hline x & 2^x & f(x) \\ \hline -2 & 2^{-(-2)} & 4 \\ \hline -1 & 2^{-(-1)} & 2 \\ \hline 0 & 2^0 & 1 \\ \hline 1 & 2^{-1} & 0,\!5 \\ \hline 2 & 2^{-2} & 0,\!25 \\ \hline \vdots & \vdots & \vdots \\ \hline \end{array} $

  Im Bild siehst du nur die korrekt markierten Exponentialfunktionen.