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Wachstum und Zerfall

Schauen wir uns zunächst ein paar Beispiele für Wachstums- und Zerfallsprozesse an, um einen Eindruck zu gewinnen, wo Exponentialfunktionen angewendet werden.

Wachstum(-sprozesse)

  • Wenn du Geld anlegst, erhältst du von der Bank Zinsen. Das angelegte Geld nimmt exponentiell zu, solange du kein Geld abhebst. Wie viel Geld dabei herauskommt, berechnest du Du mit der Zinsrechnung.
  • Die Vermehrung von Bakterienkulturen wird häufig als exponentiell beschrieben.

Zerfall(-sprozesse)

  • Der Milchschaum in einem Latte Macchiato oder die Schaumkrone auf einem Bier zerfallen exponentiell.
  • Der Zerfall von radioaktiven Nukliden wird exponentiell genannt.

Um solche Prozesse zu beschreiben, verwendet man Exponentialfunktion.

Was ist eine Exponentialfunktion?

Das Besondere bei Exponentialfunktionen ist, dass die unabhängige Größe, die Variable, im Exponenten steht. Eine Exponentialfunktion hat die allgemeine Form

$f(x)=c\cdot a^x$

Dabei sind

  • $x$ die Variable und
  • $a\in \mathbb{R}^+$ die Basis der Exponentialfunktion und
  • $c\in \mathbb{R}$ eine Konstante. Diese steht für den Anfangswert bei exponentiellen Prozessen.

Üblicherweise schreibt man Exponentialfunktionen mit der Basis $e\approx2,71828$, der Euler'schen Zahl. Wie dies bei allgemeiner Basis $a$ gemacht wird - wie also zwischen der allgemeinen Darstellung und der natürlichen Exponentialfunktion gewechselt wird -, siehst du hier:

$f(x)=c\cdot a^x=c\cdot e^{\ln(a^x)}$

Dabei haben wir $e^{\ln(x)}=x$ verwendet sowie die Rechenregel für Logarithmen: $\log(p^{q})=q\cdot \log( p)$. Diese Regel gilt für jeden Logarithmus, unabhängig von der Basis. Damit ist

$f(x)=c\cdot e^{\ln(a^x)}=c\cdot e^{\ln(a)\cdot x}$.

Die natürliche Exponentialfunktion

Eine Exponentialfunktion mit der Basis $e$ wird als natürliche Exponentialfunktion bezeichnet, zum Beispiel $f(x)=e^{x}$.

Etwas allgemeiner kann eine natürliche Exponentialfunktion so aussehen:

$f(x)=c\cdot e^{kx}$

Dabei sind

  • $x$ die Variable (häufig wird die Zeit für $x$ eingesetzt, dann wird auch die Variable $t$ für „time“ verwendet),
  • $e$ die Euler'sche Zahl und
  • $c$ sowie $k$ Parameter. Im Zusammenhang mit Wachstums- und Zerfallsprozessen ist $c>0$ der Anfangswert.

Einfluss der Parameter auf Funktionsgraph

Betrachten wir in diesem Zusammenhang nur die Parameter $c$ und $k$, welche besonders interessant sind.

Den Funktionsgraphen der Funktion $f(x)=1 \cdot e^{1 \cdot x} = e^x$ mit $c=1$ und $k=1$ kannst du hier sehen:

1030_e_x.jpg

Du kannst bereits die folgenden Eigenschaften erkennen: Der Graph von $f(x)=e^x$

  • ist streng monoton wachsend,
  • schneidet die y-Achse bei $1$ und
  • liegt komplett oberhalb der x-Achse ($e^x>0$ für alle $x\in\mathbb{R}$) und insbesondere gilt $e^x\neq 0$.

Diese Eigenschaften gelten für alle $k>0$, sofern $c=1$ ist. Schauen wir uns noch einige andere Möglichkeiten an:

  • Bei $f(x)=e^{-x}$ mit $c=1$ und $k=-1$ wird der Graph an der y-Achse gespiegelt: Er verläuft also monoton fallend. Die übrigen Eigenschaften bleiben erhalten.
  • Bei $f(x)=-e^{x}$ mit $c=-1$ und $k=1$ wird der Graph an der x-Achse gespiegelt. Er verläuft dann monoton fallend, liegt komplett unterhalb der x-Achse und schneidet die y-Achse bei $c$. Es ist $f(x)<0$.
  • Bei $f(x)=-e^{-x}$ mit $c=-1$ und $k=-1$ ist der Graph für negative $k$ an der x-Achse gespiegelt. Der Graph ist monoton steigend, liegt komplett unterhalb der x-Achse und schneidet die y-Achse bei $c$.

Beispiele

Wachstumsprozess

Paul legt $c=1500~€$ zu einem Zinssatz von $p=1,65\%$ an. Wie entwickelt sich das Kapital im Laufe der Jahre? Zuerst bestimmst du den Wachstumsfaktor $a$:

$a=1+\frac{1,65}{100}=1,0165$

Damit ist die Wachstumsfunktion gegeben durch:

$f(x)=1500\cdot 1,0165^x$

Wieder ist $x$ die Zeit in Jahren. $f(x)$ gibt das Kapital nach $x$ Jahren an. Diese Funktion kannst du auch mit der Basis $e$ schreiben:

$f(x)=1500\cdot e^{0,016x}$

Der Graph dieser Funktion ist monoton wachsend und schneidet die y-Achse bei $1500$.

Zerfallsprozess

Der Baumbestand eines Waldes in Hektar nimmt pro Jahr um $15\%$ ab. Zu Beginn der Beobachtung beträgt der Baumbestand $250$ Hektar. Zunächst bestimmst du die Basis $a$. Diese ist der Faktor, mit welchem der Zerfall beschrieben werden kann:

$a=1-\frac{15}{100}=0,85$

Nun kannst du die Zerfallsfunktion angeben:

$f(x)=250\cdot 0,85^x$

Die Variable $x$ steht für die Zeit in Jahren. $f(x)$ gibt den Baumbestand nach $x$ Jahren an. Mit der Basis $e$ kannst du dies so schreiben:

$f(x)=250\cdot e^{-0,163x}$

Der Graph dieser Funktion ist monoton fallend und schneidet die y-Achse bei $250$.

zerstörter Wald

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