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Zerfallsgesetz (Übungsvideo) 07:29 min

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Transkript Zerfallsgesetz (Übungsvideo)

Hallo, wir wollen uns heute mit der Lösung von Sachaufgaben zum Zerfallsgesetz beschäftigen. Du solltest dazu die Grundlagen über die Radioaktivität mitbringen, über Strategien zur Lösung von physikalischen Sachaufgaben Bescheid wissen und einige mathematische Grundkenntnisse verfügen.

Das Zerfallsgesetz

Zur Erinnerung wiederholen wir das Zerfallsgesetz einmal mit der Basis ½. Das lautet: N von t gleich N null mal einhalb hoch t geteilt durch T mit dem Index einhalb. Und mit der Basis e. N von t gleich N null mal e hoch Minus lambda mal t. Dabei bedeuten N(t) ist die Anzahl der nach Ablauf der Zeit t noch nicht zerfallenen Nuklide, N0 steht für die Anzahl der zu Beginn des Zeitabschnittes t vorhandenen instabilen Nuklide T1/2 ist die Halbwertszeit des Nuklids und lambda die Zerfallskonstante.

Die Zerfallskonstante Lambda

Hier sehen wir noch einmal eine Zerfallskurve. Auf der Ordinate ist die Anzahl N und auf der Abszisse die Zeit t dargestellt. Die Anzahl der unzerfallenen Nuklide nimmt exponentiell ab. Die Schnelligkeit des Zerfalls wird durch die Zerfallskonstante Lambda bestimmt. Es gilt der Zusammenhang: Zerfallskonstante lambda ist gleich natürlicher Logarithmus von 2 geteilt durch die Halbwertszeit T ein halb und mit ln von 2 ungefähr 0,693 erhält man 0,693 durch T ein halb.

Aufgabe 1 - Nuklide

Nun zur Aufgabe 1: Die Halbwertszeit von Radon 222 beträgt 3,8 Tage - wobei wir Tage mit d abkürzen. Wie viel Prozent einer bestimmten Nuklidanzahl von Radon 222 sind nach 5 Tagen noch vorhanden? Gegeben ist die Halbwertszeit mit 3,8 Tagen sowie die Zerfallszeit t von 5 Tagen.

Lösung

Gesucht ist die Anzahl der noch nicht zerfallenen Nuklide N nach diesen 5 Tagen. Nun zur Lösung: Wir wählen das Zerfallsgesetz mit der Basis ½, da die Halbwertszeit gegeben ist: N von t gleich N null mal ein halb hoch t geteilt durch die Halbwertszeit T mit dem Index ein halb. Nun werden die Größen eingesetzt. Es folgt N von t gleich N null mal ein halb hoch 5d geteilt durch 3,8 d. Mit dem Taschenrechner wird der Wert des Terms bestimmt. Wir erhalten etwa 0,4 mal N null. Damit sind nach 5 Tagen sind noch 40% der Nuklidanzahl vorhanden.

Aufgabe 2 - Zerfallskonstante

Nun zur zweiten Aufgabe: Die Halbwertszeit von Uran 234 beträgt 4,5∙109 Jahre , wobei Jahre mit a abgekürzt wird. Wie groß ist die Zerfallskonstante von Uran 234? Gegeben ist die Halbwertszeit mit 4,5 mal 10 hoch 9 Jahre. Gesucht ist lambda in Sekunde hoch minus 1.

Lösung

Nun zur Lösung: Wir benutzen die Gleichung für den Zusammenhang zwischen Halbwertszeit und Zerfallskonstante: lambda gleich ln zwei geteilt durch T mit dem Index ein halb ist gleich ln zwei geteilt durch 4,5 mal Zehn hoch 9 mal 365 für die Anzahl Tage, 24 für die Anzahl Stunden eines Tages und 3 600 s für die Anzahl Sekunden einer Stunde. Rechnen wir das mit dem Taschenrechner aus, so erhalten wir einen Wert von ungefähr 4,88 mal 10 hoch minus 18 Sekunde hoch -1. Das ist der Wert für die Zerfallskonstante von Uran 234.

Aufgabe 3 - Kernzerfall

Und hier ist die dritte Aufgabe: Die Zerfallskonstante des Chrom-Isotops Cr 51 beträgt 2,9∙10-7 s-1. Nach welcher Zeit t zerfallen 80% einer bestimmten Menge von Chrom 51- Kernen? Gegeben ist die Zerfallskonstante 2,9 mal 10 hoch minus 7 Sekunden hoch minus 1. Gesucht ist die Zeit in Tagen.

Nun zur Lösung: Nach der Zeit t beträgt der Anteil der noch nicht zerfallenen Kerne 20%, also muss gelten: N von t gleich N null mal 0,2 Beachtet man N von t gleich N null mal 0,2 sowie N(t) gleich N null mal e hoch minus lambda mal t so erhält man nach Einsetzen der gegebenen Größen:

Lösung

N null mal 0,2 gleich N null mal e hoch minus 2,9 mal 10 hoch minus 7 mal Sekunde hoch minus eins mal t. Die Gleichung durch N null dividiert und es folgt 0,2 gleich e hoch minus 2,9 mal 10 hoch minus 7 mal Sekunde hoch minus eins mal t. Nun wird auf beiden Seiten logarithmiert und es folgt ln 0,2 gleich ln e hoch minus 2,9 mal 10 hoch minus 7 mal Sekunde hoch minus eins mal t. Wegen ln e hoch x gleich x folgt ln 0,2 gleich minus 2,9 mal 10 hoch minus 7 mal Sekunde hoch minus eins mal t.

Wir teilen durch minus 2,9 mal 10 hoch minus 7 mal Sekunde hoch minus eins und vertauschen die Seiten der Gleichung. Damit folgt t gleich ln 0,2 geteilt durch minus 2,9 mal 10 hoch minus 7 mal Sekunde hoch minus eins. Mit dem Taschenrechner erhalten wir schließlich das Ergebnis von ungefähr 5 549 786 Sekunden und das sind etwa 64 Tage. Nach dieser Zeit sind noch 20 % der Chrom-51-Kerne vorhanden.

Zusammenfassung zum Zerfallsgesetz

Wir fassen zusammen: In drei Sachaufgaben wurden Zusammenhänge zum Zerfallsgesetz behandelt. Dabei wurde das Zerfallsgesetz mit der Basis 1/2 und e benutzt. Außerdem wurde aus einer gegebenen Halbwertszeit die Zerfallskonstante berechnet. Das war‘s für heute. Ich hoffe, dir hat es wieder etwas Spaß gemacht und du hast alles verstanden. Bis zum nächsten Mal.

2 Kommentare
  1. Da nur noch ein Viertel der anfänglichen Konzentration vorhanden ist. Sind genau 2 Halbwertszeiten des C-14 verstrichen. Damit weißt du, wann die jetzige Mumie verstorben ist. Da sich der C-14 Anteil erst abbaut, nachdem der Organismus nicht mehr atmet.

    Von Karsten Schedemann, vor mehr als einem Jahr
  2. Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen bitte ?
    "Bei einer Mumie wurde festgestellt, dass der C-14 Anteil nur noch 25% des heutigen Anteils beträgt. Aauf welches Alter der Mumie kann man daraus schließen ?"
    Danke schonmal

    Von Sarahmonz02, vor mehr als einem Jahr

Zerfallsgesetz (Übungsvideo) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Zerfallsgesetz (Übungsvideo) kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe die Zerfallsgleichungen mit den Basen $\frac{1}{2}$ und $e$.

    Tipps

    Die tiefgestellte 0 gibt an, wie etwas zum Startzeitpunkt war.

    Ein großes $N$ wird in den Naturwissenschaften zumeist für eine Teilchenanzahl genutzt.

    Lösung

    Diese beiden Gleichungen werden in der Kernphysik genutzt. Man wählt die Gleichung nach der physikalischen Größe aus, die bekannt ist.

    Je nachdem, ob die Halbwertszeit oder die Zerfallskonstante eines Nuklides gegeben ist, entscheidet man, welche der Gleichungen verwendet wird.

  • Gib an, welches der Diagramme einen radioaktiven Zerfall darstellt.

    Tipps

    Wie muss der Zerfallsgraph verlaufen?

    Was ist das Besondere an der Halbwertszeit?

    Lösung

    Die Zerfallskurve des radioaktiven Zerfalls fällt exponentiell ab. Das Besondere an der Halbwertszeit ist, dass sich innerhalb dieser Zeitspanne die Teilchenanzahl immer genau halbiert.

  • Bestimme die Zeitspanne, nach der vom Nuklid Cobalt-60 nur noch 5% der Teilchen vorhanden sind.

    Tipps

    Zu jeder Zahl gehört eine Einheit.

    Gib das Ergebnis auf eine Nachkommastelle genau an.

    Lösung

    Gegeben: $T_{1/2}=5,3$ Jahre

    Gesucht: t

    Gleichung: $N(t)=N_0 \cdot (\frac{1}{2})^\frac{t}{T_{1/2}}$

    Zunächst stellen wir fest, dass $N(t)=N_0 \cdot 0,05$, da wir den Zeitpunkt suchen, zu dem nur noch 5% des Cobald-60 Nuklids vorhanden sind.

    Dann stellen wir die erste Gleichung um und setzen ein:

    $\begin{align*} N(t)&=N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^\frac{t}{T_{1/2}}\\ 0,05\cdot N_0&=N_0\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^\frac{t}{T_{1/2}} ~~\qquad | : N_0~~| \ln(...)\\ \ln(0,05)&=\frac{t}{T_{1/2}} \cdot \ln\left(\frac{1}{2}\right) \qquad |\cdot T_{1/2} : \ln(\frac{1}{2}) \\ t&= \frac{\ln(0,05)}{\ln(\frac{1}{2})} \cdot T_{1/2} \end{align*}$

    Dann setzen wir alle Werte ein und berechnen die Zeit t.

    $t= \frac{\ln(0,05)}{\ln(\frac{1}{2})} \cdot 5,3$ Jahre $ = 22,9 $ Jahre

  • Gib an, wie schnell der Zerfall im Diagramm abläuft.

    Tipps

    Die Achseneinteilung ist in allen Graphen gleich.

    Was wird beim Zerfall kleiner?

    Lösung

    Die Geschwindigkeit des Zerfalls erkennt man am Verlauf der Exponentialfunktion: Je näher an der y-Achse die Halbwertszeit $T_{1/2}$ liegt, desto schneller sind die Nuklide zerfallen.

    Zu jedem Vielfachen der Halbwertszeit sind statistisch genau die Hälfte der verbliebenen Nuklide zerfallen.

  • Berechne den prozentualen Anteil der Teilchen, die nach einer bestimmten Anzahl von Jahren noch vorhanden sind.

    Tipps

    Mit der Wertetabelle kannst du vergleichen, ob deine Ergebnisse stimmen können.

    Achte darauf, in welchem Zusammenhang die Jahreszahlen im Text genannt werden.

    Die Zeit der Pharaonen, war grob vor 4000 Jahren.

    Lösung

    Zuerst ermitteln wir, was gegeben und gesucht ist.

    Gegeben: $\lambda=1,21 \cdot 10^{-4} \frac{1}{a}$

    Gesucht: $N(9000a)$, $N(5000a)$, $N(4000a)$

    Die Gleichung, die verwendet wird, lautet:

    $N(t)=N_0 \cdot e^{-\lambda \cdot t}$

    Aus der Wertetabelle können wir entnehmen, dass die Ergebnisse zwischen 88,60% und 29,82% liegen müssen.

    $N(9000a)=100 \cdot e^{-1,21 \cdot 10^{-4} \frac{1}{a} \cdot 9000 a}=33,66 \%$

    $N(5000a)=100 \cdot e^{-1,21 \cdot 10^{-4} \frac{1}{a} \cdot 5000 a}=54,61 \%$

    $N(4000a)=100 \cdot e^{-1,21 \cdot 10^{-4} \frac{1}{a} \cdot 4000 a}=61,63 \%$

  • Berechne die Zerfallskonstanten der radioaktiven Stoffe.

    Tipps

    Ordne die Zerfälle zunächst nach ihrer Geschwindigkeit.

    Je kleiner die Zerfallskonstante, desto langsamer der Zerfall.

    Lösung

    Gegeben: $N_0$ = 100% und jeweils N(t).

    Gesucht: $\lambda_{Nuklid}$

    Gleichung: $N(t)=N_0 \cdot e^{-\lambda \cdot t}$

    Umstellung:

    $\begin{align*} N(t)&=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t} ~~\qquad | N_{0}=1~| \ln (...) \\ \ln N(t)&=-\lambda \cdot t \qquad \qquad |:t\\ \frac{-\ln{N(t)}}{t}&=\lambda \end{align*}$

    Zu beachten ist, dass wir t in Sekunden umrechnen. N(t) ist nun als Dezimalzahl anzugeben. Bei 10% muss beispielsweise 0,1 eingesetzt werden.

    $\lambda=\frac{-\ln{0,1}}{3,1536 \cdot 10^{9}s}=7,30145 \cdot 10^{-10} \frac{1}{s}$

    Zu jedem Nuklid gehört eine eigene Zerfallskonstante. Sie bestimmt, wie schnell das Nuklid zerfällt.

    Polonium-210 ist ein sehr gefährliches Nuklid, genau wie Cäsium-137 und Iod-131. Kohlenstoff-14 hingegen ist ein körpereigenes Nuklid.