Energieerhaltungssatz am Beispiel des Fadenpendels

Energieerhaltungssatz am Beispiel des Fadenpendels Übung

• Nenne die Definition der Energieerhaltung.

  Tipps

  Energie ist in der Physik eine "Erhaltungsgröße". Was heißt es im Alltag, wenn einem etwas "erhalten" bleibt?

  Welche verschiedenen Energieformen kennst du schon?

  Welche Energieformen kommen beim Fadenpendel vor?

  Lösung

  Die erste Aussage ist fast buchstäblich der Energieerhaltungssatz. Dabei ist die Gesamtenergie die Summe aller Energien. Wenn eine Summe konstant bleibt, heißt das aber gleichzeitig, dass bei Zunahme eines Summanden ein anderer oder mehrere andere im gleichen Maß kleiner werden müssen. Daraus folgt, dass Energie niemals verschwindet, sondern immer nur in andere Energieformen umgewandelt wird (Aussage zwei).

  Diese müssen aber nicht immer potentielle und kinetische Energie sein. Wenn ich beispielsweise mit einem Katapult schieße, gewinnt das Geschoss an kinetischer Energie durch die Spannenergie des Katapults und nicht durch seine potentielle Energie. Daher ist Aussage drei falsch.

  Am Fadenpendel im Vakuum kann man den Energieerhaltungssatz gut verdeutlichen. Hier spielen nur kinetische und potentielle Energie eine Rolle. Sie werden immer wieder ineinander umgewandelt, so dass das Pendel im Prinzip ewig schwingt. Übrigens geht, auch wenn das Pendel nicht im Vakuum, sondern an der Luft schwingt, keine Energie verloren. Das Pendel würde durch die Luftreibung bis zum Stillstand abgebremst, dabei wird die kinetische Energie des Pendels durch die Stöße mit den Luftteilchen in Wärmeenergie umgewandelt.

• Gib an, was beim Schwingen eines Fadenpendels passiert.

  Tipps

  Wie lautet die Formel für die potentielle Energie? Welcher Wert aus der Formel ist an welchem Punkt maximal/minimal?

  Was bedeutet eine maximale/minimale potentielle Energie nach dem Energieerhaltungssatz für die kinetische Energie?

  Wovon hängt die kinetische Energie direkt ab?

  Lösung

  Man kann an beliebigen Punkten anfangen, den Pendelvorgang zu beschreiben, weil er periodisch ist. Das heißt, er durchläuft stets dieselben Stationen. Zwei Punkte sind allerdings prägnant: nämlich der Gleichgewichtspunkt (1.) und der der maximalen Auslenkung (2.).

  1. Hier ist der Abstand zum Boden am geringsten. Nach $E_{pot} = mg\Delta h$ hängt die potentielle Energie direkt vom Abstand vom Boden $\Delta h$ ab und ist damit minimal. Nach der Energieerhaltung muss also die kinetische Energie maximal sein und damit nach $E_{kin} = \frac{1}{2} mv^{2}$ auch die Geschwindigkeit.

  1. Am Punkt der größten Auslenkung ist der Abstand vom Boden und damit auch $\Delta h$ am größten. Somit ist die potentielle Energie maximal und die kinetische gleich null. An diesem Punkt muss somit auch die Geschwindigkeit des Pendels null sein. Hier ändert das Pendel seine Richtung und bleibt dadurch kurz stehen.

• Gib an, von welchem Sprungturm du springen musst.

  Tipps

  Wie hoch ist deine potentielle Energie beim Eintauchen?

  Lösung

  Gegeben ist die Eintauchgeschwindigkeit $v_e = 10 \frac{m}{s}$. Gesucht ist die Mindesthöhe zum Erreichen dieser Geschwindigkeit: $h_m$. Da wir hier die Reibung vernachlässigen können, wandelt sich unsere potentielle Energie, die wir auf dem Sprungturm haben ($E_{pot}$), bis zum Eintauchen komplett in kinetische Energie um ($E_{kin}$). Nach dem Energieerhaltungssatz gilt also:

  $E_{kin}=E_{pot}$.

  Wir setzen die Formeln für beide Energien ein und bekommen:

  $\frac{1}{2} mv^{2} = mg\Delta h$.

  Wir kürzen $m$ heraus und stellen nach $\Delta h$ um:

  $\Delta h = \frac{v^{2}}{2g}$.

  $= \frac{\left(10\frac{m}{s}\right)^{2}}{2 \cdot 9,81\frac{m}{s^{2}}} \approx 5,097 m$

  Also reicht der 5-Meter-Turm nicht ganz aus. Du musst mindestens vom 7,5-Meter-Turm springen, um deine Freunde nass zu spritzen.

• Erkläre, welcher Gegenstand schneller im Tal ist.

  Tipps

  Was hat diese Aufagbe mit Energieerhaltung zu tun?

  Was verlieren die Gegenstände auf dem Weg ins Tal und was gewinnen sie dabei?

  Lösung

  Pauls Kassette kommt zuerst unten an. Auf Eis kann man die Reibung in dem Fall vernachlässigen. Wichtig ist hierbei, dass die potentielle Energie bei beiden gleich groß ist. Die Kassette wandelt ihre potentielle Energie jedoch komplett in kinetische Energie um, während der Fußball zusätzlich potentielle Energie in Rotationsenergie umwandelt:

  $E_{Kassette}=E_{kin}+E_{pot}$

  $E_{Flasche}=E_{kin}+E_{pot}+E_{rot}$.

• Gib an, wie sich die Energie bei einem fahrenden Zug verhält.

  Tipps

  Was besagt der Energieerhaltungssatz?

  Lösung

  Hier geht es vor allem darum, sich klarzumachen, dass es in einem System viele verschiedene Energieformen geben kann. Diese werden stets ineinander umgewandelt.

  Beim Zug wurde früher über eine Dampfmaschine Druck erzeugt, ein Kolben bewegt und damit die Räder des Zuges in Bewegung gesetzt hat. Eine klassische Umwandlung von thermischer in mechanische Energie. Heutzutage wird die kinetische Energie durch elektrische Energie gewonnen.

  Während einer Zugfahrt reibt der Zug an die Luft und wandelt so einen Teil seiner kinetischen Energie in Wärmeenergie um. Diese muss beim Fahren stets kompensiert werden.

• Berechne den Reibungsverlust eines Quaders beim Herunterrutschen einer schiefen Ebene.

  Tipps

  Wie groß ist die potentielle Energie des Quaders, wenn er unten ankommt?

  In welche Energieformen hat sie sich umgewandelt?

  Lösung

  Um diese Aufgabe zu lösen, müssen wir uns klarmachen, dass die potentielle Energie des Quaders in Reibungsenergie und kinetische Energie umgewandelt wird: $E_{pot}=E_{kin}+E_R$. Am Ende der Strecke ist $E_{pot}$ also komplett in kinetische Energie und Reibungsenergie umgewandelt worden. Die Reibungsenergie, die auf der Strecke insgesamt benötigt wird, erhalte ich also durch:

  $E_R = E_{pot} - E_{kin}$ .

  Also muss ich nur noch $E_{pot}$ und $E_{kin}$ berechnen. Dazu benutze ich die Angaben aus der Aufgabenstellung:

  $E_{pot}=mg\Delta h = 1 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^{2}} \cdot 5m = 49,05 J$

  $E_{kin}=\frac{1}{2} m v^{2}=2 J$

  $E_R = E_{pot} - E_{kin} = 49,05 J - 2 J = 47,05 J$

  Die Antwort ist also: Beim Hinunterrutschen der Bahn gehen $47,05 J$ der ursprünglichen $49,05 J$ durch Reibung verloren.