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Energieerhaltungssatz am Beispiel des Fadenpendels 06:55 min

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Transkript Energieerhaltungssatz am Beispiel des Fadenpendels

Hallo und herzlich willkommen zu Physik mit Kalle. Wir wollen uns heute aus der Mechanik mit dem Energieerhaltungssatz beschäftigen. Wir lernen heute: Was der Energieerhaltungssatz besagt, was das Ganze bedeutet am Beispiel des Fadenpendels und zum Schluss wollen wir noch eine kleine Aufgabe dazu rechnen. Der Energieerhaltungssatz besagt, so kurz wie möglich formuliert, in einem abgeschlossenen System bleibt die Gesamtenergie erhalten. Abgeschlossenes System bedeutet ja, dass das System keine Energie mit der Außenwelt austauscht. Dann muss ich also einfach alle Energieformen zusammenzählen, also die kinetische, potenzielle, Rotationsenergie, die Reibungsenergie und was noch alles vorkommt und diese Summe, die Gesamtenergie, bleibt konstant. Wir wissen, dass man durch Verrichten von Arbeit Energieformen ineinander umwandeln kann. Das heißt, innerhalb meines Systems kann ich also Energie beliebig oft zwischen verschiedenen Energieformen hin- und herwandeln, die Summe aller Energien bleibt aber unverändert. Dies nennt man den Energieerhaltungssatz. Er wurde das erste Mal, unabhängig voneinander, von Julius Robert von Mayer und James Prescott Joule formuliert, ungefähr 1842. Was das Ganze bedeutet, am Beispiel des Fadenpendels, das sehen wir uns im nächsten Kapitel an. Rechts seht ihr ein Bild eines Pendels. Wie ihr wisst, schwingt ein Pendel, wenn man es einmal ausgelenkt hat, zwischen zwei Extrempunkten hin und her. Wobei es immer wieder seine Gleichgewichtslage durchquert. Es tut das, weil ein Fadenpendel während des Schwingvorganges kinetische Energie in potenzielle Energie und wieder zurück wandelt. Um zu verstehen, warum es das tut, betrachten wir zwei verschiedene Phasen des Schwingvorganges. Die Erste ist der Moment, in dem das Pendel genau durch die Gleichgewichtslage hindurchgeht. Die zweite Phase ist der Moment, in dem das Pendel seine maximale Auslenkung erreicht hat, kurz bevor es beginnt zurückzuschwingen. Beim Durchgang durch die Gleichgewichtslage hat das Pendel eine gewisse Geschwindigkeit. Man sagt eine kinetische Energie. Die kinetische Energie des Extrempunktes ist dagegen 0, denn dort bleibt das Pendel ja kurz stehen, das heißt, seine Geschwindigkeit v ist dort =0. Wir wissen, die Formel für die kinetische Energie E ist =½mv². Am Extrempunkt ist das Pendel ein wenig höher, als am Gleichgewichtspunkt. Das heißt, es hat gegenüber dem Gleichgewichtspunkt eine potenzielle Energie. Diese ist E=m×g×Delta h, wobei Delta h der Höhenunterschied ist. Wenn ich das Pendel in einem Vakuum betreibe, es also keine Luftreibung gibt, und auch die Reibung am Aufhängepunkt =0 ist, kommen beim Pendeln nur diese beiden Energieformen vor. Das heißt, ich kann den Energieerhaltungssatz benutzen und sagen: Die Summe der beiden Energien ist gleich. Damit entsteht der Schwingvorgang, den ihr in der Animation rechts sehen könnt. Da keine Energie an Reibung verloren geht, wird also mein Pendel für immer und ewig, oder zumindest solange mein Labor hält, weiterschwingen. Im letzten Kapitel wollen wir uns nun noch eine kurze Beispielaufgabe ansehen. Ein Pendel (Masse 200g, Länge 1m) wird um 10 cm ausgelenkt. Welche Geschwindigkeit hat es beim Durchqueren des Gleichgewichtspunkts? Gegeben ist also: Länge 1m, Masse 200g, die Auslenkung Delta x soll 10cm betragen und gesucht ist die Geschwindigkeit im Gleichgewichtspunkt vgg. Wir machen erstmal eine Skizze. Unser Pendel ist 1m lang und soll um 10 cm ausgelenkt werden. Wir betrachten das rechtwinklige Dreieck mit der von mir rot markierten Ankathete, die ich y nenne. Da die Geschwindigkeit und damit die kinetische Energie im Punkt der maximalen Auslenkung gleich 0 ist, kann ich folgende Formel aufstellen. ½mvgg²=m×g×Delta h. (Delta h= der Höhenunterschied). Die Masse kann ich rauskürzen, jetzt fehlt mir nur noch Delta h. Das ist in der Zeichnung der kleine blau markierte Teil. Ihr seht schnell, Delta h=1m-y. Das heißt, ich muss nur noch y ausrechnen. Das ist zum Glück relativ einfach. Wir benutzen den Satz des Pythagoras a²+b²=c² und stellen ihn nach y um. Wir erhalten y=\sqrt(1m²-10cm²). Damit ist y also die \sqrt(9900cm²) oder y=99,5cm und das ergibt für Delta h 0,5cm. Nun muss ich nur noch meine Gleichung nach vgg auflösen. Ich erhalte: vgg²=2×g×Delta h oder vgg=\sqrt(2×g×Delta h). Einsetzen ergibt: Die Geschwindigkeit im Gleichgewichtspunkt ist \sqrt(2×9,81m/s²×0,005m). Das ergibt eine Geschwindigkeit von 0,313 m/s oder 31,3 cm/s. Unser Antwortsatz lautet also: Bei einer Auslenkung von 10cm erreicht das Pendel beim Durchgang durch die Gleichgewichtslage, die Geschwindigkeit vgg=31,3 cm/s. Wir wollen noch mal wiederholen, was wir heute gelernt haben. In einem abgeschlossenen System bleibt die Gesamtenergie erhalten. Das heißt also Eges+Ekin+Epot+...=konstant. Für ein reibungsfreies Fadenpendel gilt: Für jeden Punkt auf der Pendelbahn ist die Summe aus Epot und Ekin konstant. In Formeln ausgedrückt mit dem Höhenunterschied Delta h zur Gleichgewichtslage heißt das: m×g×Delta h+½mv²=const. So, das war es schon wieder für heute. Ich hoffe ich konnte euch helfen. Vielen Dank fürs Zuschauen, vielleicht bis zum nächsten Mal, euer Kalle.  

11 Kommentare
  1. wie kann man die 3. Übungsaufgabe lösen, wenn man keine Masse gegeben hat?

    Von Beate Toscano, vor 22 Tagen
  2. @Aylin Hamza
    h entspricht der Höhe die das Pendel zu einem gewissen Zeitpunkt hat, im Verhältnis zur Ruhelage (und damit der Fadenlänge) .
    h wird benötigt, um die potentielle Energie des Pendels zu einem Zeitpunkt t hat zu berechnen.
    Zum gleichen Zeitpunkt t kann man auch die kinetische Energie berechnen und mit der potentiellen Energie gleichsetzen - dies beschreibt die Energieerhaltung.
    Das Ziel der Aufgabe ist es, v auszurechnen. Somit benötigen wir h um mit dem Energieerhaltungssatz die gesuchte Größe ausrechnen zu können.
    Häufig kann man h geometrisch ermitteln, je nach gegebenen Größen.
    In diesem Fall ergibt sich h=l-y. l=Länge des Fadens und y der markierte Teil. Denn uns ist noch der senkrechte Abstand von der Ursprungslage zum Pendel gegeben (Delta x). Dieser bildet mit y ein rechteckiges Dreieck, bei dem wir zwei Seiten (Die Hypothenuse entspricht der Fadenlänge) gegeben haben und somit h ausrechnen können. Hierzu wird der Satz des Pythagoras verwendet und h ergibt sich zu 0,5 aus y=99,5 cm und h=l-y=100-99,5=0,5 cm.

    Von Karsten Schedemann, vor fast 2 Jahren
  3. Wieso wird hier h = 0.5cm bei der Formel eingesetzt und wieso sucht man diesen Wert?

    Von Deleted User 461219, vor fast 2 Jahren
  4. @Claudia Daume:
    Wie man in der Rechnung prima sehen kann, spielt die Masse des Pendels keine Rolle. Bei Minute 4:28 kürzt sich die Masse auf beiden Seiten der Gleichung weg.

    Wichtig ist der Höhenunterschied Delta h, den Kalle hier schrittweise bestimmt. Wenn du aber h schon gegeben hast, dann kannst du dies direkt in die Gleichung einsetzen.
    LG, Max

    Von Maximilian T., vor mehr als 5 Jahren
  5. Was ist wenn ich bei einer ähnlichen Aufgabe nur h gegeben habe und nicht die masse

    Von Claudia Daume, vor mehr als 5 Jahren
  1. Dankeschön

    Von Elias H., vor mehr als 5 Jahren
  2. @Eliashaddad:
    h=Höhe
    v=Geschwindigkeit
    g=Erdbeschleunigung
    Das Dreieck (das ist ein großes Delta)steht für eine Änderung. Also bedeutet Delta h z.B. eine Änderung der Höhe.
    Lg, Nikolai

    Von Nikolai P., vor mehr als 5 Jahren
  3. für was stehen die variablen genau in der Gleichung?
    m= Masse
    V= ?
    g=?
    dreieck=?
    h=?

    Von Elias H., vor mehr als 5 Jahren
  4. Dankeschön für diese super Erklärung!!!

    Von Elias H., vor mehr als 5 Jahren
  5. @Jonas K.:Kalle hat schon recht mit dem was er sagt und schreibt. In deiner Rechnung wäre y ja die Wurzel aus eine negativen Zahl, das macht für eine Strecke keinen Sinn!

    Von Nikolai P., vor mehr als 6 Jahren
  6. Bei 5:05 ist ein Fehler. Es müsste so stehen: y=/(10cm)^2-(1m)^2

    Von Jonas K., vor mehr als 6 Jahren
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Energieerhaltungssatz am Beispiel des Fadenpendels Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Energieerhaltungssatz am Beispiel des Fadenpendels kannst du es wiederholen und üben.

  • Nenne die Definition der Energieerhaltung.

    Tipps

    Energie ist in der Physik eine "Erhaltungsgröße". Was heißt es im Alltag, wenn einem etwas "erhalten" bleibt?

    Welche verschiedenen Energieformen kennst du schon?

    Welche Energieformen kommen beim Fadenpendel vor?

    Lösung

    Die erste Aussage ist fast buchstäblich der Energieerhaltungssatz. Dabei ist die Gesamtenergie die Summe aller Energien. Wenn eine Summe konstant bleibt, heißt das aber gleichzeitig, dass bei Zunahme eines Summanden ein anderer oder mehrere andere im gleichen Maß kleiner werden müssen. Daraus folgt, dass Energie niemals verschwindet, sondern immer nur in andere Energieformen umgewandelt wird (Aussage zwei).

    Diese müssen aber nicht immer potentielle und kinetische Energie sein. Wenn ich beispielsweise mit einem Katapult schieße, gewinnt das Geschoss an kinetischer Energie durch die Spannenergie des Katapults und nicht durch seine potentielle Energie. Daher ist Aussage drei falsch.

    Am Fadenpendel im Vakuum kann man den Energieerhaltungssatz gut verdeutlichen. Hier spielen nur kinetische und potentielle Energie eine Rolle. Sie werden immer wieder ineinander umgewandelt, so dass das Pendel im Prinzip ewig schwingt. Übrigens geht, auch wenn das Pendel nicht im Vakuum, sondern an der Luft schwingt, keine Energie verloren. Das Pendel würde durch die Luftreibung bis zum Stillstand abgebremst, dabei wird die kinetische Energie des Pendels durch die Stöße mit den Luftteilchen in Wärmeenergie umgewandelt.

  • Gib an, wie sich die Energie bei einem fahrenden Zug verhält.

    Tipps

    Was besagt der Energieerhaltungssatz?

    Lösung

    Hier geht es vor allem darum, sich klarzumachen, dass es in einem System viele verschiedene Energieformen geben kann. Diese werden stets ineinander umgewandelt.

    Beim Zug wurde früher über eine Dampfmaschine Druck erzeugt, ein Kolben bewegt und damit die Räder des Zuges in Bewegung gesetzt hat. Eine klassische Umwandlung von thermischer in mechanische Energie. Heutzutage wird die kinetische Energie durch elektrische Energie gewonnen.

    Während einer Zugfahrt reibt der Zug an die Luft und wandelt so einen Teil seiner kinetischen Energie in Wärmeenergie um. Diese muss beim Fahren stets kompensiert werden.

  • Berechne den Reibungsverlust eines Quaders beim Herunterrutschen einer schiefen Ebene.

    Tipps

    Wie groß ist die potentielle Energie des Quaders, wenn er unten ankommt?

    In welche Energieformen hat sie sich umgewandelt?

    Lösung

    Um diese Aufgabe zu lösen, müssen wir uns klarmachen, dass die potentielle Energie des Quaders in Reibungsenergie und kinetische Energie umgewandelt wird: $E_{pot}=E_{kin}+E_R$. Am Ende der Strecke ist $E_{pot}$ also komplett in kinetische Energie und Reibungsenergie umgewandelt worden. Die Reibungsenergie, die auf der Strecke insgesamt benötigt wird, erhalte ich also durch:

    $E_R = E_{pot} - E_{kin}$ .

    Also muss ich nur noch $E_{pot}$ und $E_{kin}$ berechnen. Dazu benutze ich die Angaben aus der Aufgabenstellung:

    $E_{pot}=mg\Delta h = 1 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^{2}} \cdot 5m = 49,05 J$

    $E_{kin}=\frac{1}{2} m v^{2}=2 J$

    $E_R = E_{pot} - E_{kin} = 49,05 J - 2 J = 47,05 J$

    Die Antwort ist also: Beim Hinunterrutschen der Bahn gehen $47,05 J$ der ursprünglichen $49,05 J$ durch Reibung verloren.

  • Gib an, was beim Schwingen eines Fadenpendels passiert.

    Tipps

    Wie lautet die Formel für die potentielle Energie? Welcher Wert aus der Formel ist an welchem Punkt maximal/minimal?

    Was bedeutet eine maximale/minimale potentielle Energie nach dem Energieerhaltungssatz für die kinetische Energie?

    Wovon hängt die kinetische Energie direkt ab?

    Lösung

    Man kann an beliebigen Punkten anfangen, den Pendelvorgang zu beschreiben, weil er periodisch ist. Das heißt, er durchläuft stets dieselben Stationen. Zwei Punkte sind allerdings prägnant: nämlich der Gleichgewichtspunkt (1.) und der der maximalen Auslenkung (2.).

    1. Hier ist der Abstand zum Boden am geringsten. Nach $E_{pot} = mg\Delta h$ hängt die potentielle Energie direkt vom Abstand vom Boden $\Delta h$ ab und ist damit minimal. Nach der Energieerhaltung muss also die kinetische Energie maximal sein und damit nach $E_{kin} = \frac{1}{2} mv^{2} $ auch die Geschwindigkeit.
    1. Am Punkt der größten Auslenkung ist der Abstand vom Boden und damit auch $\Delta h$ am größten. Somit ist die potentielle Energie maximal und die kinetische gleich null. An diesem Punkt muss somit auch die Geschwindigkeit des Pendels null sein. Hier ändert das Pendel seine Richtung und bleibt dadurch kurz stehen.
  • Gib an, von welchem Sprungturm du springen musst.

    Tipps

    Wie hoch ist deine potentielle Energie beim Eintauchen?

    Lösung

    Gegeben ist die Eintauchgeschwindigkeit $v_e = 10 \frac{m}{s}$. Gesucht ist die Mindesthöhe zum Erreichen dieser Geschwindigkeit: $h_m$. Da wir hier die Reibung vernachlässigen können, wandelt sich unsere potentielle Energie, die wir auf dem Sprungturm haben ($E_{pot}$), bis zum Eintauchen komplett in kinetische Energie um ($E_{kin}$). Nach dem Energieerhaltungssatz gilt also:

    $E_{kin}=E_{pot}$.

    Wir setzen die Formeln für beide Energien ein und bekommen:

    $\frac{1}{2} mv^{2} = mg\Delta h$.

    Wir kürzen $m$ heraus und stellen nach $\Delta h$ um:

    $\Delta h = \frac{v^{2}}{2g}$.

    $= \frac{\left(10\frac{m}{s}\right)^{2}}{2 \cdot 9,81\frac{m}{s^{2}}} \approx 5,097 m$

    Also reicht der 5-Meter-Turm nicht ganz aus. Du musst mindestens vom 7,5-Meter-Turm springen, um deine Freunde nass zu spritzen.

  • Erkläre, welcher Gegenstand schneller im Tal ist.

    Tipps

    Was hat diese Aufagbe mit Energieerhaltung zu tun?

    Was verlieren die Gegenstände auf dem Weg ins Tal und was gewinnen sie dabei?

    Lösung

    Pauls Kassette kommt zuerst unten an. Auf Eis kann man die Reibung in dem Fall vernachlässigen. Wichtig ist hierbei, dass die potentielle Energie bei beiden gleich groß ist. Die Kassette wandelt ihre potentielle Energie jedoch komplett in kinetische Energie um, während der Fußball zusätzlich potentielle Energie in Rotationsenergie umwandelt:

    $E_{Kassette}=E_{kin}+E_{pot}$

    $E_{Flasche}=E_{kin}+E_{pot}+E_{rot}$.