Das hookesche Gesetz
- Federkraft und Hooke’sches Gesetz – Erklärung
- Federkraft – Definition
- Hooke’sches Gesetz – Defintion
- Federkraft und Hooke’sches Gesetz – Zusammenhang
- Federkraft und Hooke’sches Gesetz – Federkonstante
- Federkraft und Hooke’sches Gesetz – Federkonstante berechnen
- Federkraft und Hooke’sches Gesetz – graphisch darstellen
- Federkraft und Hooke’sches Gesetz – Zusammenfassung
- Häufig gestellte Fragen zum Thema Federkraft und Hooke’sches Gesetz
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Grundlagen zum Thema Das hookesche Gesetz
Federkraft und Hooke’sches Gesetz – Erklärung
Die Federkraft und das Hooke’sche Gesetz hängen physikalisch eng miteinander zusammen. Doch wie lautet das Gesetz von Hooke? Und wie funktioniert die Federkraft? In diesem Text werden Federkraft und das Hooke’sche Gesetz auf einfache Weise erklärt. Für die Herleitung des Hooke’schen Gesetzes ist es notwendig, sich zunächst die Federkraft anzuschauen.
Federkraft – Definition
Die Federkraft ist die Kraft, welche wirkt, wenn ein Körper elastisch verformt wird. Sie versucht den Körper in die Ursprungsform zurückzubringen und wirkt entgegen der ausgeübten Zugkraft, welche die Feder auseinander zieht. Die Federkraft wird auch Spannkraft oder Federspannkraft genannt.
Federkraft – Formel
Die Federkraft lässt sich mit der folgenden Formel berechnen:
$F=-D \cdot \Delta \ell$
Dabei ist $F$ die Federkraft in Abhängigkeit einer Änderung der sogenannten Ruhelänge, also der Ursprungslänge der Feder. Die Federkraft wird in der Einheit Newton $\left(\pu{N}\right)$ angeben. Die Variable $D$ beschreibt die Federkonstante in der Einheit Newton pro Meter $\left(\frac{\pu{N}}{\pu{m}}\right)$ und $\Delta \ell$ beschreibt die Längenänderung in Metern $\left(\pu{m}\right)$. Zur Bestimmung der Federkraft ist es also notwendig, die Federkonstante und die Längenänderung zu kennen. Die Ruhelänge der Feder beschreibt die Ausgangslänge, in welcher die Feder sich befindet, bevor sie auseinandergezogen wird. Ziehen wir die Feder in die Länge, so ändern wir ihre Länge. Dabei gilt:
- Es muss umso mehr Kraft aufgewendet werden, um die Änderung zu vergrößern, je größer die Längenänderung der Feder bereits ist.
- Die aufzuwendende Kraft ist abhängig von der Federkonstante.
Aus diesen beiden Beobachtungen fasste Robert Hooke das Hooke’sche Gesetz zusammen.
Hooke’sches Gesetz – Defintion
Das Hooke’sche Gesetz beschreibt die Wirkung einer Kraft auf linear elastische Körper. Ein linear elastischer Körper ändert gleichmäßig seine Länge $\ell$ bei einer Belastung durch eine Kraft $F$ und kehrt nach Ende der Belastung wieder in seine ursprüngliche Form zurück.
Die unterschiedlichen Bauformen und das damit verbundene Dehnungsverhalten linear elastischer Körper werden durch die Federkonstante $D$ ausgedrückt. Man spricht hier auch von der Härte einer Feder.
Hooke’sches Gesetz – Formel
Wirkt eine Kraft $F$ auf eine Feder mit der Federkonstante $D$, wird diese um die Längenänderung $\Delta \ell$ ausgelenkt.
$\Delta \ell = \dfrac{F}{D}$
Am häufigsten wird jedoch die Stärke einer wirkenden Kraft $F$ bestimmt. Dafür stellen wir die Formel nach $F$ um. Daraus ergibt sich die allgemeine Formulierung der Formel für das Hooke’sche Gesetz:
$F=D \cdot \Delta \ell$
Dabei wird die Kraft $F$ in der Einheit $\pu{N}$, die Längenänderung $\Delta \ell$ (manchmal auch $\Delta s$ oder $\Delta x$) in der Einheit $\pu{m}$ und die Federkonstante $D$ in der Einheit $\frac{\pu{N}}{\pu{m}}$ angegeben.
Hooke’sches Gesetz – Gültigkeit
Für welches Material gilt das Hooke’sche Gesetz?
Das Gesetz gilt nicht für alle elastischen Körper. Es gilt nur für linear elastische Körper. Beispiele für linear elastische Körper sind Schraubenfedern.
Federkraft und Hooke’sches Gesetz – Zusammenhang
Es ist deutlich zu erkennen, dass die Formeln für die Federkraft und die für das Hooke’sche Gesetz sich nur durch das Vorzeichen vor der Federkonstante unterscheiden:
Federkraft: $F=-D \cdot \Delta \ell$
Hooke’sches Gesetz: $F=D \cdot \Delta \ell$
Das Hooke’sche Gesetz beschreibt die Kraft, welche die Feder auseinander zieht. Die Federkraft hingegen beschreibt die Kraft, welche der Zugkraft entgegenwirkt. Wenn die Feder im ausgedehnten Zustand festgehalten wird, müssen die Zugkraft und die Federkraft gleich groß sein. Wäre die Federkraft größer, so würde sich die Feder wieder zusammen ziehen. Wäre die Zugkraft größer, so könnte die Feder weiter auseinander gezogen werden. Daher berechnen sich beide Kräfte mithilfe der gleichen Formel. Das negative Vorzeichen gibt an, dass die Kräfte in entgegengesetzte Richtungen wirken.
Federkraft und Hooke’sches Gesetz – Federkonstante
Die Federkonstante ist für unterschiedliche Federn verschieden, sie ist die Kenngröße für jede Feder und beschreibt ihre Härte. Je größer die Federkonstante ist, desto schwerer lässt die Feder sich auseinanderziehen. Eine Feder mit einer größeren Federkonstante lässt sich bei gleicher Krafteinwirkung weniger stark ausdehnen als eine Feder mit einer kleineren Federkonstante. Die Federkonstante bleibt jedoch bei einer bestimmten Feder konstant.
Federkraft und Hooke’sches Gesetz – Federkonstante berechnen
Um die Federkonstante einer Feder zu bestimmen, wird die Formel für das Hooke’sche Gesetz nach $D$ umgestellt und wir erhalten:
$D=\dfrac{F}{\Delta \ell}$
Um $D$ zu berechnen, müssen die aufgewendete Kraft $F$ und die Längenänderung $\Delta \ell$ bekannt sein.
Federkraft und Hooke’sches Gesetz – graphisch darstellen
Das Hooke’sche Gesetz kann auch anhand eines Diagramms veranschaulicht werden. Dort wird auf der
Betrachten wir die folgenden Messwerte:
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|---|---|---|---|---|
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Tragen wir diese Werte nun in das Diagramm ein, so erhalten wir die mittlere, rote Gerade.
Die beiden anderen Geraden zeigen Federn mit je einer größeren und einer kleineren Federkonstante als die oben verwendete. Es gilt:
- Je größer die Federkonstante, desto größer ist der Anstieg der Geraden im Diagramm.
Ein größerer Anstieg bedeutet, dass die Gerade steiler verläuft. Eine größere Federkonstante bedeutet, dass die Feder härter ist. Da das Hooke’sche Gesetz nicht für alle elastischen Körper, sondern nur für linear elastische Körper gilt, muss die Kennlinie im Diagramm eine Gerade sein.
Federkraft und Hooke’sches Gesetz – Zusammenfassung
Die folgenden Stichpunkte fassen noch einmal die wichtigsten Informationen zur Federkraft und dem Hooke’schen Gesetz zusammen.
Federkraft
- Die Federkraft ist die Kraft, welche wirkt, wenn ein Körper elastisch verformt wird. Sie versucht, den Körper in die Ursprungsform zurückzubringen.
- Die Federkraft lässt sich mit der folgenden Formel berechnen: $F=-D \cdot \Delta \ell$
Hooke’sches Gesetz
- Das Hooke’sche Gesetz beschreibt die Wirkung einer Kraft auf linear elastische Körper.
- Die Formel für das Hooke’sche Gesetz lautet: $F=D \cdot \Delta \ell$
Federkonstante
- Die Federkonstante ist die Kenngröße für jede Feder. Sie bleibt für eine bestimmte Feder immer konstant.
- Eine Feder mit einer größeren Federkonstante lässt sich bei gleicher Krafteinwirkung weniger stark ausdehnen als eine Feder mit einer kleineren Federkonstante.
- Die Federkonstante lässt sich berechnen mit: $D=\dfrac{F}{\Delta \ell}$
Häufig gestellte Fragen zum Thema Federkraft und Hooke’sches Gesetz
Transkript Das hookesche Gesetz
London, 1676 "Robert Hooke" hat eine wichtige Entdeckung gemacht. In seinem Leben, schon oft von der Konkurrenz um seinen Ruhm gebracht, beschließt er, seine Entdeckung verschlüsselt zu veröffentlichen. Das Kratzen seiner Feder erfüllt den Raum, als er die Geheimbotschaft notiert. Das “Hooke’sche Gesetz”. Ein paar Basics zu Kräften. Mit der physikalischen Größe Kraft beschreiben wir die Einwirkungen eines Körpers auf einen anderen. Ihre Wirkungen sind Bewegungsänderungen und Formänderungen. Nimmt der Körper nach dem Einwirken der Kraft wieder seine ursprüngliche Form an, sprechen wir von ELASTISCHER, andernfalls von plastischer Verformung. Wenn wir an einer Spiralfeder ziehen, üben wir eine Kraft aus, deren Wirkung eine elastische Verformung ist. Robert Hooke interessierte sich für den Zusammenhang zwischen der Verlängerung der Feder und der einwirkenden Kraft. Und er war “Curator of Experiments” der “Royal Society”. Also machte er ein Experiment. Aber wie? Man kann ja nicht wirklich einschätzen, ob man mit doppelter Kraft an etwas zieht. Robert Hooke hatte die Idee, Massestücke an die Feder zu hängen. Die kann man klar definiert dosieren. Um die Verlängerung "Delta-ell" zu messen, hängen wir ein Lineal so neben die Feder, dass seine Null auf der Höhe des Federendes ist. Dann legen wir eine Messwerttabelle an. Die Spalte für die wirkende Kraft lassen wir noch frei. Außerdem ergänzen wir die Werte für den Beginn der Messung. Ohne Gewicht keine Verlängerung. Wir beginnen mit fünfzig Gramm. Die Verlängerung beträgt fünf Zentimeter. Wir tragen dies in unsere Messwerttabelle ein. Nicht sehr spannend. Noch ein viertes Massenstück. "Oops, was geht denn DA ab? "Die Verlängerung beträgt siebenundzwanzig Zentimeter. Und die Feder ist KAPUTT. Wie auch immer die Verlängerung mit der wirkenden Kraft zusammenhängt, es scheint eine Grenze zu geben, ab der die elastische Verformung durch eine plastische ersetzt wird. Aber wo war denn jetzt in dem Experiment die Kraft? Die Kraft, die ein Körper aufgrund der Massenanziehung der Erde, also der Schwerkraft, auf seine Unterlage oder seine Aufhängung ausübt, nennen wir Gewichtskraft F-G. Sie hängt mit seiner Masse über den sogenannten ORTSFAKTOR zusammen, auf der Erde zirka zehn Newton pro Kilogramm. Jetzt können wir unsere Tabelle ergänzen. Fünfzig Gramm sind null komma null fünf Kilogramm, üben also auf der Erde eine Gewichtskraft von null komma null fünf mal zehn Newton, also null komma fünf Newton aus. Entsprechend können wir für die anderen Gewichte vorgehen. Null in die erste Zeile. Keine Masse, keine Gewichtskraft. Um nun unser Experiment auszuwerten, fertigen wir ein Diagramm an. Auf der y-Achse tragen wir die Kraft auf, auf der x-Achse die Verlängerung. Dann teilen wir sie ein und setzen Kreuze für die entsprechenden Messwertpaare. Sollen wir da jetzt eine Ausgleichsgerade legen? Nein. Das wäre ja Unfug. Ab einer BESTIMMTEN Kraft haben sich die Verhältnisse GEÄNDERT – die Feder wurde plastisch verformt. Davor aber liegen ja alle Kreuze tatsächlich auf einer Ursprungsgeraden. Bis zu welcher Kraft die Feder elastisch reagiert, ist unklar – sie ist ja leider kaputt. Wir markieren das, indem wir die Ursprungsgerade über den letzten sicheren Punkt hinaus nur gestrichelt einzeichnen. Wenn die Werte einer Messung alle auf einer Urspungsgeraden liegen, sind die beiden beteiligten physikalischen Größen zueinander proportional. Die Proportionalitätskonstante wird meist Federkonstante genannt und erhält das Formelzeichen D. Die Einheit der Federkonstante ist Newton pro Meter. Wir können die Federkonstante in unserer Messung mit einem Steigungsdreieck ermitteln: Die Federkonstante unserer Feder ist also D gleich ein Newton durch zehn Zentimeter gleich ein Newton durch “null komma ein” Meter gleich zehn Newton pro Meter. Die Federkonstante beschreibt die sogenannte Steifigkeit der Feder, anders ausgedrückt, wie hart oder weich die Feder ist. In einem “F-über-Delta-ell”-Diagramm erkennt man eine härtere Feder an der steileren Ursprungsgerade, denn die Federkonstante entspricht ja der Steigung der Geraden. Je größer sie ist, desto mehr Kraft muss für eine bestimmte Verlängerung aufgewandt werden, das heißt, desto härter ist die Feder. Das Hooke'sche Gesetz lautet: Im Bereich der elastischen Verformung gilt für eine Schraubenfeder: Die Verlängerung delta l (ell) ist proportional zur einwirkenden Kraft. Diese Art der Verformung nennt man linear-elastisch. Du wirst auch Formulierungen des Hooke'schen Gesetzes mit einem Minuszeichen finden. Hier ist mit F nicht die Kraft gemeint, mit der die Feder verlängert wurde, sondern diejenige, die die Feder einer Verlängerung entgegenbringt. Mit beiden Versionen dieser Formel können Kraft und Auslenkung bei einer elastischen Verformung berechnet werden. Und bevor wir das Rätsel um die Geheimbotschaft lösen, fassen wir zusammen: Nimmt ein Körper nach dem Einwirken einer Kraft wieder seine ursprüngliche Form an, sprechen wir von elastischer, andernfalls von plastischer Verformung Wenn wir an einer Spiral- oder Schraubenfeder ziehen, üben wir eine Kraft aus, deren Wirkung eine – wenn wir es nicht übertreiben – elastische Verformung ist. Das Hooke'sche Gesetz lautet: Im Bereich elastischer Verformung gilt: Die Verlängerung delta l (ell) ist proportional zur einwirkenden Kraft. Die Proportionalitätskonstante nennen wir Federkonstante D. Diese Art der Verformung nennt man linear-elastisch. Und was bedeutet nun das geheimnisvolle Anagramm? Es ist Latein. Ut tensio sic vis. "Wie die Ausdehnung, so die Kraft." Schlauer Fuchs, der Hooke, oder?
Das hookesche Gesetz Übung
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Beschreibe das grundlegende Prinzip von Kräften.
TippsHier siehst du eine plastische Verformung.
Hier siehst du eine elastische Verformung.
Wenn wir an einer Feder ziehen und loslassen, dann nimmt sie wieder ihre ursprüngliche Form an.
LösungDie Kraft ist eine fundamentale physikalische Größe von großer Bedeutung, insbesondere in der Mechanik. Die physikalische Größe Kraft ermöglicht es uns, die Auswirkungen eines Körpers auf einen anderen zu beschreiben. Diese Auswirkungen können Bewegungsänderungen und Formveränderungen sein. Wenn der Körper nach der Einwirkung der Kraft seine ursprüngliche Form wieder annimmt, dann sprechen wir von einer elastischen Verformung. Andernfalls bezeichnen wir es als plastische Verformung. Ziehen wir an einer Spiralfeder, üben wir eine Kraft aus, die zu einer elastischen Verformung führt.
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Definiere das hookesche Gesetz.
TippsDas Gesetz gilt nicht für alle elastischen Körper.
Es gilt nur für linear elastische Körper. Beispiele für linear elastische Körper sind Schraubenfedern.
LösungDie Ruhelänge der Feder beschreibt die Ausgangslänge, in welcher die Feder sich befindet, bevor sie auseinandergezogen wird. Ziehen wir die Feder in die Länge, so ändern wir ihre Länge. Dabei gilt:
Es muss umso mehr Kraft aufgewendet werden, um die Änderung zu vergrößern, je größer die Längenänderung der Feder bereits ist. Die aufzuwendende Kraft ist abhängig von der Federkonstante.
Daraus fasste Robert Hooke das hookesche Gesetz zusammen:
Das hookesche Gesetz beschreibt die Wirkung einer Kraft auf linear elastische Körper. Ein linear elastischer Körper ändert gleichmäßig seine Länge $\Delta l$ bei einer Belastung durch eine Kraft $F$ und kehrt nach Ende der Belastung wieder in seine ursprüngliche Form zurück.
$\Rightarrow$ Diese Antwort ist richtig.
Das hookesche Gesetz besagt, dass die Ausdehnung $\Delta l$ eines elastischen Körpers proportional zur auf ihn ausgeübten Kraft $F$ ist und dass er nach der Belastung seine Form nicht mehr vollständig zurückgewinnt.
$\Rightarrow$ Diese Antwort ist falsch.
Das hookesche Gesetz beschreibt, dass die Wirkung einer Kraft $F$ auf einen Körper nicht von seiner Elastizität abhängt und dass die Längenänderung $\Delta l$ unabhängig von der aufgebrachten Kraft ist.
$\Rightarrow$ Diese Antwort ist falsch.
Das hookesche Gesetz besagt, dass die Verformung eines Körpers proportional zur Fläche $A$ ist, auf die die Kraft $F$ wirkt, und dass sich der Körper nicht mehr in seine ursprüngliche Form zurückbewegt.
$\Rightarrow$ Diese Antwort ist falsch.
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Vervollständige die folgende Tabelle.
TippsDie Kraft, die ein Körper aufgrund der Massenanziehung der Erde, also der Schwerkraft, auf seine Unterlage oder seine Aufhängung ausübt, nennen wir Gewichtskraft $F_g$.
Du kannst die Gewichtskraft $F_g$ berechnen mit $F_g=m\cdot g$, wobei der Ortsfaktor $g= 10~\dfrac{\text{N}}{\text{kg}}$ ist.
Beachte, dass du die Masse in die SI-Einheit $\text{kg}$ umrechnen musst.
Beispielsweise sind $60~\text{g} = 0{,}06~\text{kg}$ und üben also auf der Erde eine Gewichtskraft von $0{,}06~\text{kg}\cdot10~\frac{\text{N}}{\text{kg}}= 0{,}6~\text{N}$ aus. Entsprechend kannst du für die anderen Gewichte vorgehen.
LösungDie Kraft, die ein Körper aufgrund der Massenanziehung der Erde, also der Schwerkraft, auf seine Unterlage oder seine Aufhängung ausübt, nennen wir Gewichtskraft $F_g$. Sie hängt mit seiner Masse über den sogenannten Ortsfaktor $g$ zusammen, die auf der Erde circa $10~\frac{\text{N}}{\text{kg}}$ beträgt.
Wir können die Kraft berechnen mit $F_g=m\cdot g$, wobei der Ortsfaktor $g= 10~\dfrac{\text{N}}{\text{kg}}$ ist.
Die Masse müssen wir in die SI-Einheit $\text{kg}$ umrechnen:
Beispielsweise sind $60~\text{g} = 0{,}06~\text{kg}$ und üben also auf der Erde eine Gewichtskraft von $0{,}06~\text{kg}\cdot10~\frac{\text{N}}{\text{kg}}= 0{,}6~\text{N}$ aus. Entsprechend kannst du für die anderen Gewichte vorgehen.
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Berechne die Längenausdehnung $\Delta l$.
TippsIn der Aufgabe hast du Folgendes gegeben:
- $D=2~\dfrac{\text{N}}{\text{cm}}$
- $F=12~\text{N}$
Die Formel zur Berechnung lautet:
$F=D\cdot\Delta l$
Da $\Delta l$ gesucht ist, musst du die Formel nach $\Delta l$ umstellen.
$F=D\cdot\Delta l \qquad|:D$
$\dfrac{F}{D}=\Delta l$
Setze nun deine Werte ein und berechne.
LösungIn der Aufgabe haben wir Folgendes gegeben:
- $D=2~\dfrac{\text{N}}{\text{cm}}$
- $F=12~\text{N}$
Die Formel zur Berechnung lautet:
$F=D\cdot\Delta l$
Da $\Delta l$ gesucht ist, müssen wir die Formel nach $\Delta l$ umstellen:
$F=D\cdot\Delta l \qquad|:D$
$\dfrac{F}{D}=\Delta l$
Dann setzen wir unsere Werte ein:
$\dfrac{12~\text{N}}{2~\frac{\text{N}}{\text{cm}}}$$=\Delta l$
$\Rightarrow \Delta l = 6~\text{cm}$
Die Längenausdehnung der Feder beträgt also $\Delta l = 6~\text{cm}$.
-
Definiere den Härtegrad der Federn in einem $F$-über-$\Delta l$-Diagramm.
TippsDie Federkonstante beschreibt die sogenannte Steifigkeit der Feder – anders ausgedrückt: wie hart oder weich die Feder ist. In einem $F$-über-$\Delta l$-Diagramm erkennt man eine härtere Feder an der steileren Ursprungsgerade, denn die Federkonstante entspricht der Steigung der Geraden.
Je größer die Federkonstante ist, desto mehr Kraft muss für eine bestimmte Verlängerung aufgewandt werden. Das heißt: Je größer die Federkonstante, desto härter ist die Feder.
LösungDie Federkonstante beschreibt die sogenannte Steifigkeit der Feder – anders ausgedrückt: wie hart oder weich die Feder ist. In einem $F$-über-$\Delta l$-Diagramm erkennt man eine härtere Feder an der steileren Ursprungsgerade, denn die Federkonstante entspricht der Steigung der Geraden.
Je größer die Federkonstante ist, desto mehr Kraft muss für eine bestimmte Verlängerung aufgewandt werden. Das heißt: Je größer die Federkonstante, desto härter ist die Feder. -
Berechne die Federkonstante $D$.
TippsIn der Aufgabe hast du Folgendes gegeben:
- $\Delta l=4~\text{cm}$
- $F=12~\text{N}$
Die Formel zur Berechnung lautet:
$F=D\cdot\Delta l$
Da $D$ gesucht ist, musst du die Formel umstellen:
$F=D\cdot\Delta l\qquad|:\Delta l$
$\dfrac{F}{\Delta l}=D$
Setze jetzt deine Werte ein.
LösungIn der Aufgabe haben wir Folgendes gegeben:
- $\Delta l=4~\text{cm}$
- $F=12~\text{N}$
Die $4~\text{cm}$ müssen wir noch in Meter umrechnen. Dabei gilt:
$1~\text{m} = 100~\text{cm}~\Rightarrow~0{,}04~\text{m}=4~\text{cm}$
Die Formel zur Berechnung lautet:
$F=D\cdot\Delta l$
Da $D$ gesucht ist, müssen wir die Formel umstellen:
$F=D\cdot\Delta l\qquad|:\Delta l$
$\dfrac{F}{\Delta l}=D$
Dann setzen wir unsere Werte ein:
$\dfrac{12~\text{N}}{0{,}04~\text{m}}=D$
$\Rightarrow D= 300~\dfrac{\text{N}}{\text{m}}$
Die Federkonstante beträgt also $D=300~\dfrac{\text{N}}{\text{m}}$.
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sehr gut