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Trägheitsmoment J 07:40 min

Textversion des Videos

Transkript Trägheitsmoment J

Hallo und herzlich willkommen zu Physik mit Kalle. Wir beschäftigen uns heute, aus dem Kapitel "Mechanik", mit dem Trägheitsmoment J. Für dieses Video solltet Ihr bereits die Filme über das Drehmoment und die Winkelbeschleunigung gesehen haben. Wir lernen heute:Was ist das Trägheitsmoment J?Wie kann ich es berechnen?Zum Schluss sehen wir uns ein paar Beispiele an. Dann starten wir heute mit einem kleinen Experiment. Wir haben zwei Gegenstände, eine Rolle Klebeband und einen Klebestift. Wir legen sie hin und lassen sie beide gleichzeitig losrollen. Wir beobachten, der Klebestift beschleunigt schneller als die Klebebandrolle. Das liegt daran, dass sie unterschiedliche Trägheitsmomente haben. Was aber ist nun das Trägheitsmoment genau? Einfach gesagt können wir uns folgende Definition aufschreiben: Das Trägheitsmoment J gibt an, welche Winkelbeschleunigung α ein Körper aufgrund eines Drehmoments M erfährt. Wir hatten ja schon im letzten Video über die Winkelbeschleunigung festgestellt, dass wir leider kein Mittel haben, um Drehmoment und Winkelbeschleunigung zu verknüpfen. Das Trägheitsmoment scheint also dieses fehlende Glied zu sein. Leider hilft uns das aber auch nicht so richtig zu verstehen, was das Trägheitsmoment denn nun eigentlich ist. Deswegen schreiben wir den nächsten Merksatz auf: Das Trägheitsmoment hängt von der gewählten Drehachse ab und davon, wie die Masse des Körpers um diese Drehachse verteilt ist. Das heißt also, ein Körper kann viele verschiedene Trägheitsmomente haben, die davon abhängen, um welche Achse er rotieren soll. Dabei gilt folgende Faustregel. Je mehr von der Masse des Körpers von der Drehachse entfernt ist, desto größer ist das Trägheitsmoment für diese Achse. Und je größer das Trägheitsmoment ist, desto größer muss auch das Drehmoment sein um die gleiche Winkelbeschleunigung α zu erreichen. Erinnert Euch das an die Trägheit der Masse? Sehr gut. Soll es auch, denn das Trägheitsmoment ist für die Rotation das, was die Masse für die normale Translation, also die Bewegung von Punkt A zu Punkt B ist. Je größer das Trägheitsmoment einer Masse also ist, umso "stärker" wehrt sich der Körper dagegen zu rotieren. Wie ich dieses Trägheitsmoment nun berechnen kann, sehen wir uns im nächsten Kapitel an. Wir haben gehört, je größer das Trägheitsmoment ist, desto größer muss auch das Drehmoment sein, um die gleiche Winkelbeschleunigung α zu erzeugen. Die erste Formel, mit der wir das Trägheitsmoment ausrechnen können, lautet also: J=M/α. Dabei sehen wir auch gleich, die Einheit des Trägheitsmoments [J]=1Nms². Mit dieser Formel kann ich also das Trägheitsmoment ausrechnen, wenn ich M und α kenne. Viel wichtiger aber, wenn ich α nach drüben bringe, diese Formel M=J×α, hilft mir bei bekanntem Trägheitsmoment die Winkelbeschleunigung α auszurechnen, die aufgrund des Drehmoments M entsteht. Wenn Du diese Formel mit der Formel F=m×a vergleichst, verstehst du vielleicht, warum man das die Grundgleichung der Rotation nennt. So wie F=m×a die Grundgleichung der Bewegung ist, ist M=J×α die Grundgleichung der Rotation. Ich kann das Trägheitsmoment aber auch berechnen, wenn ich nur die Verteilung der Masse im Körper ansehe. Wir schauen uns wieder unsere beiden Beispiele von gerade eben an. Wenn ihr hofft, hier eine leichte Formel zu finden, muss ich euch leider enttäuschen. Das Trägheitsmoment ist im Allgemeinen schwer zu berechnen. Man kann es mithilfe folgender Formel berechnen. Das Trägheitsmoment J eines Körpers ist das Integral über die gesamte Masse von r²dm. Für manche Körper, bei denen die Masse auf eine relative leichte Art und Weise verteilt ist, kann man mit dieser Formel aber trotzdem etwas anfangen. Wir betrachten zum Beispiel unsere Klebebandrolle links. Ein Körper, dessen gesamte Masse m im Abstand r zur Drehachse ist, also ein Ring oder eben wie in unserem Beispiel, eine sehr dünne Klebebandrolle, hat das Trägheitsmoment J=m×r². Es wird in der Schule wahrscheinlich nicht von Euch verlangt, das Trägheitsmoment eines Körpers auszurechnen, aber es ist wahrscheinlich, dass ihr zumindest ein paar einfache kennen solltet. Deswegen schauen wir uns nun, im letzten Kapitel, ein paar Beispiele an. In der Animation seht Ihr einige rotierende Körper und die dazugehörigen Trägheitsmomente. Wir fangen mal von rechts, von den einfachen Sachen an. Als Erstes sehen wir zwei rotierende Stäbe. Beim Ersten geht die Drehachse genau durch die Mitte beim Zweiten durch das Ende. Wie Ihr seht, ist das Trägheitsmoment des unteren Stabes 4× so hoch, wie das des Oberen. Das bedeutet, die Masse ist im Schnitt 4× so weit entfernt von der Drehachse.Als Nächstes betrachten wir den Unterschied zwischen einer rotierenden Vollkugel und einer rotierenden Hohlkugel. Wir sehen, hier ist der Unterschied, also der Quotient Trägheitsmoment pro Masse, gar nicht mehr so groß. Die massive Kugel hat das Drehmoment 2/5 m×R², während die Hohlkugel das Drehmoment 2/3 m×R² hat. Nun kommen wir zu dem Fall, den wir bereits eben schon hatten, bei unserem Rollwettbewerb. Das Trägheitsmoment eines Vollzylinders beträgt ½mR² und das Trägheitsmoment eines Hohlzylinders mR². Zumindest diese beiden solltet Ihr kennen. Als Letztes sehr Ihr das komplizierte Beispiel, die rotierende Teekanne. Als Letztes sehr Ihr das komplizierte Beispiel, die rotierende Teekanne. Aber ganz ehrlich gesagt, ich wüsste auch nicht, wo, ich da anfangen sollte. Wenn Euch so etwas in einer Prüfung begegnet, dann ist normalerweise immer das Trägheitsmoment mit angegeben. Wir wollen noch mal wiederholen, was wir heute gelernt haben. Das Trägheitsmoment J eines Körpers hängt von der gewählten Drehachse und der Verteilung der Masse um diese Achse ab. Es gibt an, welche Winkelbeschleunigung der Körper aufgrund eines auf ihn wirkenden Drehmoments erfährt. Wir hatten gehört: Wirkt auf einen Körper das Drehmoment M, so erfährt er die Winkelbeschleunigung α und diese beiden hängen über das Trägheitsmoment J miteinander zusammen. Man nennt dies, die Grundgleichung der Rotation und sie lautet M=J×α. Man kann das Trägheitsmoment eines Körpers aber auch berechnen, wenn man die exakte Geometrie und Masseverteilung kennt. Diese Berechnung ist aber eher schwierig. Ihre Formell autet: J=Integral über die Masse von r²dm. So das wars schon wieder für heute, ich hoffe ich konnte Euch helfen. Vielen Dank fürs Zuschauen und bis bald, Euer Kalle.

2 Kommentare
  1. Gutes Video. Wäre super wenn man ein Video zur Berechnung der Flächenträgheitsmomente mit Integralen machen würde. Mit zusammengesetzten Flächen

    Von Black Brush, vor etwa 5 Jahren
  2. Sehr gutes Video, der direkte Vergleich zwischen Translation und Rotation trägt viel zum Verständnis bei!

    Von Studiosus Chemicus, vor fast 6 Jahren

Trägheitsmoment J Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Trägheitsmoment J kannst du es wiederholen und üben.

  • Definiere das Trägheitsmoment.

    Tipps

    Was gibt das Trägheitsmoment an?

    Wovon ist das Trägheitsmoment abhängig?

    Lösung

    Das Trägheitsmoment gibt an, wie leicht oder schwer ein Körper um eine gewählte Drehachse rotiert. Dabei ist die Form des Körpers entscheidend. Viel ausschlaggebender aber ist die Verteilung der Masse des Körpers um die Drehachse. Je weiter diese von der Drehachse entfernt ist, umso größer ist das Trägheitsmoment.

    Wenn wir davon ausgehen, dass ein Klebestift und eine Kleberolle die gleiche Masse haben, hat die Kleberolle trotzdem das größere Trägheitsmoment. Bei dem Klebestift ist die Masse sehr nah an der Drehachse verteilt und bei der Kleberolle ist die Masse viel weiter davon entfernt.

  • Berechne das Trägheitsmoment.

    Tipps

    Wie lautet die Formel für das Trägheitmoment J für eine Vollkugel?

    Überlege, was du mit den gegeben Größen machen musst. (Einheiten, Umformungen)

    Lösung

    Für die Berechnung des Trägheitsmoments musst du dir zunächst die richtige Formel raussuchen. Für die Vollkugel wäre dies: $J= \frac{2}{5}\cdot m \cdot R^2$.

    Anschließend überprüfst du, welche Größen du gegeben hast und welche du für die Berechnung brauchst. Hier hast du den Äquatordurchmesser und die Masse der Erde gegeben. Du brauchst den Radius und die Masse. Also musst du den Durchmesser halbieren.

    Danach überprüfst du, welche Einheiten du hast und welche du brauchst. Zur Erinnerung: Das Trägheitsmoment hat die Einheit $[J]= 1 Nm \cdot s^2 = 1 kg \cdot m^2$. Also musst du die Kilometer noch in Meter umwandeln.

    Nun musst du nur noch die Werte in die Formel einsetzen:

    $ J = \frac{2}{5} \cdot 5,974\cdot 10^{24} kg \cdot (6.378,16 \cdot 10^3 m)^2 = 9,721 \cdot 10^{37} kg \cdot m^2 $.

    Das Trägheitsmoment der Erde ist also $J = 9,721 \cdot 10^{37} kg \cdot m^2 $.

  • Gib die Formeln für das Trägheitsmoment an.

    Tipps

    Von welchen physikalischen Größen hängt das Trägheitsmoment ab?

    Wie lauten die Einheiten?

    Lösung

    Das Trägheitsmoment zu berechnen ist relativ schwer. In den meisten Fällen muss eine solche Berechnung in der Schule nicht vorgenommen werden. Wenn doch, dann sind in den meisten Fällen vereinfachte Formeln vorgegeben, die für den einzelnen Körper gelten.

    Wie bei der Translation die Grundgleichung für jede Bewegung $F = M \cdot a$ ist, so ist $M = J \cdot \alpha$ die Grundgleichung für die Rotation.

    Die Berechnung für jeden Körper lässt sich über das Integral $J = \int\limits_mr^2dm$ durchführen. Es gibt die Abhängigkeit des Abstands der Masse zur Drehachse an.

    Wie jedoch bereits gesagt, gibt es für einige Grundformen schon spezifische Formeln. Zum Beispiel für die Kleberolle, bei der die gesamte Masse im Abstand $r$ zur Drehachse verteilt ist. Die Formel dafür lautet: $J = m \cdot r^2$

  • Wende die Formeln zur Berechnung des Trägheitsmoments an.

    Tipps

    Wie lautet die Formel zur Berechnung des Trägheitsmoments einer Vollkugel?

    Die Masse der Kugel lässt sich folgendermaßen aus der Dichte berechnen: $ m = \rho \cdot V$.

    Lösung

    Für die Berechnung des Trägheitsmoments musst du dir zunächst die richtige Formel raussuchen. Für die Vollkugel wäre dies: $J= \frac{2}{5}\cdot m \cdot R^2$.

    Anschließend überprüfst du, welche Größen du gegeben hast und welche du für die Berechnung brauchst. Hier hast du den Äquatordurchmesser und die Dichte der Erde gegeben. Du brauchst den Radius und die Masse. Also musst du den Durchmesser halbieren. Und die Masse musst du durch die Dichte und das Volumen bestimmen. Die Formel lautet dafür: $ m= \rho \cdot V$ mit $V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3$. Damit folgt durch Einsetzen in die Formel: $J= \frac{8}{15} \cdot \rho \cdot \pi \cdot r^5$.

    Danach überprüfst du, welche Einheiten du hast und welche du brauchst. Zur Erinnerung: Das Trägheitsmoment hat die Einheit $[J]= 1 Nm \cdot s^2 = 1 kg \cdot m^2$. Also musst du die Kilometer noch in Meter umwandeln. Nun musst du nur noch die Werte in die Formel einsetzen: $ J = \frac{8}{15} \cdot 5500 \cfrac{kg}{m^3} \cdot \pi \cdot (6.378,16 \cdot 10^3 m)^5 = 9,727 \cdot 10^{37} kg \cdot m^2 $ .

    Das Trägheitsmoment der Erde ist also $J = 9,727 \cdot 10^{37} kg \cdot m^2 $.

  • Vergleiche die Trägheitsmomente der Körper.

    Tipps

    Ist der Körper hohl oder mit Masse ausgefüllt?

    Lösung

    Um das Trägheitsmoment abschätzen zu können, musst du dir zunächst die Form des Körpers und die Verteilung der Masse angucken.

    Es gilt: Je weiter die Masse von der Drehachse entfernt ist, desto größer ist das Trägheitsmoment. Das ist also die erste Frage: Ist der Körper hohl?

    Dann ist der nächste Schritt zu überprüfen, d.h., wie viel der Masse aufgrund der Form des Körpers von der Drehachse entfernt ist. Also ist der nächste Schritt zu überprüfen: Welche Form hat der Körper und wie weit ist damit die Masse immer von der Drehachse entfernt?

    Du kannst dir im Allgemeinen merken, dass eine Kugel ein kleineres Trägheitsmoment hat als ein Zylinder. Natürlich nur bei gleicher Masse und Radius der Körper und wenn die Drehachsen durch den Mittelpunkt gehen.

  • Entscheide, ob es sich um ein einfach zu berechnendes Trägheitsmoment handelt.

    Tipps

    Wie ist die Masse verteilt?

    Überlege doch mal, ob du die Formen der Körper einfach beschreiben kannst.

    Lösung

    Um das Trägheitsmoment eines Körpers zu berechnen, gibt es folgende Formel: $J = \int\limits_mr^2dm$.

    Dabei handelt es sich einfach gesagt um die Verteilung der Masse im Abstand zur Drehachse. Also wie ist die Masse um die Drehachse verteilt: Ist sie nah an der Drehachse oder weit entfernt? Ist sie gleichmäßig verteilt, gibt es eine gleichmäßige Oberfläche, usw?

    Mit diesen Eigenschaften der Körper lässt sich die Komplexität des Trägheitsmoments beschreiben. Hat man eine exakte geometrische Form wie eine Kugel oder einen Zylinder, ist die Berechnung des Trägheitsmoments deutlich einfacher als bei einem Körper (z. B. der Gesteinsklumpen) mit vielen Ecken, Kanten, Ausbuchtungen, usw.

    Für die einfachen geometrischen Körper kannst du im Tafelwerk oder im Internet auch Formeln für das Trägheitsmoment finden.