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Drehimpuls L 07:44 min

Textversion des Videos

Transkript Drehimpuls L

Hallo und Herzlich Willkomen zu Physik mit Kalle! Wir beschäftigen uns heute aus dem Gebiet Mechanik mit dem Drehimpuls L. Für dieses Video solltet Ihr bereits die vorhergehenden Filme über das Drehmoment und das Trägheitsmoment gesehen haben. Wir lernen heute, was der Drehimpuls ist, mit welcher Formel ich ihn berechnen kann und zum Schluss rechnen wir eine kleine Beispielaufgabe. Dann wollen wir mal. Der Drehimpuls L einer Rotation sagt (genau wie der Impuls p bei der Translation) etwas über die Wucht einer Drehbewegung aus. Wie wir wissen, ist der Impuls p bei der Translation: p = m × v Bis jetzt hatten wir bei der Rotation statt der Masse immer das Trägheitsmoment J und statt der Geschwindigkeit die Winkelgeschwindigkeit ω. Wir können also voraussagen, und das stimmt auch: Der Drehimpuls L = J × ω. An dieser Formel können wir sehen: Je größer das Trägheitsmoment und die Winkelgeschwindigkeit unseres Körpers, desto größer ist die Wucht seiner Drehbewegung. Ihr könnt das Ganze schnell an einem einfachen Beispiel nachvollziehen: Stellt Euch vor, Ihr habt ein leicht gebautes Windrad, z. B. aus Draht und Papier, und daneben stellt Ihr Euer Fahrrad auf den Kopf. Ihr könnt nun das Hinterrad mit den Pedalen beschleunigen und auf die gleiche Winkelgeschwindigkeit wie das Windrad bringen. Wenn Ihr nun wahnsinnig genug seid zu versuchen, die beiden zum Stillstand zu bringen, indem Ihr einfach Eure Finger zwischen die Windräder und zwischen die Speichen steckt, dann werdet Ihr sehen, was gemeint ist mit "Wucht der Drehbewegung". Der Fahrradreifen hat eine viel größere Masse und deshalb ein größeres Trägheitsmoment und kann Euch, bei einer schnell genugen Geschwindigkeit, wahrscheinlich ohne Probleme die Finger brechen, während Euch das Windrad nicht mehr als einen kleinen Schlag versetzen wird. Wie man den Drehimpuls eines relativ häufigen Spezialfalls ausrechnet und welche Formeln wir damit noch so gewinnen können, das sehen wir uns nun im nächsten Kapitel an. Wir betrachten folgenden Fall: Eine Masse m kreist um eine Achse, wie z. B. der Mond um die Erde. Wir wissen: L = J × ω. Wir müssen also sowohl das Trägheitsmoment als auch die Winkelgeschwindigkeit dieser Anordnung ausrechnen. Die Winkelgeschwindigkeit ist zum Glück nicht so schwer. Sie ist einfach die Bahngeschwindigkeit geteilt durch den Radius: ω = v / r. Ein bisschen schwieriger wird es für das Trägheitsmoment. Wir wissen, die allgemeine Formel war ein wenig kompliziert: J = ∫m r2 dm. Da wir in dieser Anordnung vereinfacht einen Massenpunkt betrachten, ist die gesamte Masse im Abstand r von der Drehachse. Das heißt: J = m × r2. Dadurch ergibt sich also: L = m × r2 × v / r. Wir können ein r kürzen und erhalten also: m × r × v. Da aber m × v genau der Impuls p unseres Massenpunktes ist, können wir auch schreiben: L = r × p. Wir erinneren uns: Der Zusammenhang von Kraft und Impuls bei der Translation wird durch das 2. Newtonsche Axiom festgelegt. Das lautet: F ist die Änderung des Impulses mit der Zeit oder: F = m × a. Dann wollen wir doch mal sehen, ob wir etwas Ähnliches erhalten, wenn wir die Änderung des Drehimpulses mit der Zeit betrachten. dL nach dt ist dann, da sich der Radius nicht ändert, der Radius mal die Änderung des Impulses mit der Zeit: dL / dt = r × dp / dt. Für dp nach dt können wir einfach, siehe oben, die Kraft einsetzen. Das ergibt also: r × F. Und das ist, wie wir wissen, das Drehmoment M. Die Grundgleichung der Rotation sagte aus: Das Drehmoment M ist das Trägheitsmoment J mal α: M = J × α. Ich kann also für dL nach dt auch schreiben: dL / dt = J × α. Wir erhalten also auch hier genau die gleiche Formel, wenn wir einfach die Kraft gegen das Drehmoment, den Impuls gegen den Drehimpuls, die Masse gegen das Trägheitsmoment und die Beschleunigung gegen die Winkelbeschleunigung austauschen.   Im letzten Kapitel wollen wir uns nun noch eine kleine Beispielaufgabe ansehen. Wir wollen folgende Aufgabe rechnen: Ein Fahrrad, zylinderförmige Vollgummireifen, die Masse soll 2 kg und der Radius 30 cm betragen, bewegt sich mit 25 km/h vorwärts. Berechnen Sie den Drehimpuls eines Rades! Gegeben ist: Der Radius ist 30 cm, also r = 0,3 m, die Masse beträgt r = 2 kg und die Geschwindigkeit v = 25 km/h. Geteilt durch 3,6 ergibt das ungefähr 6,9 m/s. Unser Fahrrad bewegt sich mit der Geschwindigkeit v vorwärts. Oder anders gesagt, der Boden bewegt sich mit der Geschwindigkeit v unter unserem Fahrrad weg. Das bedeutet, ein Punkt, der genau im Abstand r auf dem Reifen sitzt, hat die Bahngeschwindigkeit v. Damit können wir also ganz einfach die Winkelgeschwindigkeit ω ausrechnen: ω = v / r = 6,9m/s / 0,3m = 23/s Als nächstes brauchen wir das Trägheitsmoment. Das ist: J = ∫m r2 dm. Wenn Ihr gut seid, könnt Ihr es ausrechnen, für einen zylinderförmigen Körper solltet Ihr es aber eigentlich auswendig wissen. Es ist: 1/2 × m × r2 Eingesetzt ergibt das: (2kg × (0,3m)2) / 2 Unser Trägheitsmoment beträgt also: J = 0,3 kgm2 L = J × ω. Und die beiden haben wir gerade ausgerechnet. Ich muss also nur noch einsetzen, dann habe ich meinen Drehimpuls fertig ausgerechnet. Der Drehimpuls ist damit: L = 0,3kgm2 × 23/s = 6,9 kgm2/s Unser Antwortsatz lautet also: Der Drehimpuls eines Rades beträgt 6,9 kgm2/s.   Wir wollen noch einmal wiederholen, was wir heute gelernt haben: Der Drehimpuls L gibt an, wie groß die Wucht einer Drehbewegung ist. Die allgemeine Formel für den Drehimpuls lautet: L ist das Trägheitsmoment J mal die Winkelgeschwindigkeit ω: L = J × ω Für den Sonderfall, dass ein Körper der Masse m um eine Achse rotiert: L ist der Abstand des Körpers r mal sein Impuls p: L = r × p Für diesen Sonderfall haben wir hergeleitet, analog zum 2. Newtonschon Axiom, die Änderung des Drehimpulses mit der Zeit:dL/dt = M = J × α So, das war es schon wieder für heute. Ich hoffe, ich konnte Euch helfen. Vielen Dank fürs Zuschauen, vielleicht bis zum nächsten Mal,Euer Kalle

4 Kommentare
  1. @Elisabeth: Du hast richtig gerechnet! Die Lösung im Video, 6,9kg*m^2/s, ist falsch (siehe Kommentar weiter unten). Lg

    Von Nikolai P., vor mehr als 6 Jahren
  2. Warum funktioniert die Rechnung nicht, wenn ich alles in einem Schritt mache:
    L=J x omega

    = 1/2 mr2 x v/r

    ich kürze r, es bleibt: 1 kg x 0,3 m x 6,94 m/s = 2,08 kg x m2/s (statt 20,7 kgm2/s)

    Also, warum kann man die beiden Formeln nicht gleich zusammenfassen?

    Vielen Dank!

    Von Elisabeth 1, vor mehr als 6 Jahren
  3. Du hast vollkommen recht, da ist uns wohl ein kleiner Fehler eingeschlichen. Gut mitgedacht!

    Von Nikolai P., vor etwa 7 Jahren
  4. Hallo Jakob,
    müsste bei 6:12 Min beim Quadrieren von 0,3m nicht 0,09m² herauskommen. Oder irre ich mich da?

    Von Sofa1122, vor etwa 7 Jahren

Drehimpuls L Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Drehimpuls L kannst du es wiederholen und üben.

  • Fasse dein Wissen über den Drehimpuls L zusammen.

    Tipps

    Worin unterscheiden sich Translation und Rotation?

    Mit Hilfe welcher Größen werden beide Bewegungsarten beschrieben?

    Lösung

    Mit Translationsbewegungen hast du dich in der Physik wahrscheinlich schon häufiger beschäftigt. Ein Körper bewegt sich entlang eines Weges. Er besitzt eine bestimmte Masse, die ihn träge macht. Man kann ihm eine Geschwindigkeit, einen Impuls und eine Beschleunigung zuordnen. Auf ihn können Kräfte wirken, die seinen Bewegungszustand verändern.

    Analog kann man auch bei Rotationsbewegungen vorgehen. Bei Drehbewegungen liegt eine Bewegung um eine Rotationsachse vor. Hier werden die Größen Trägheitsmoment, Winkelgeschwindigkeit, Drehimpuls und Winkelbeschleunigung zur Beschreibung verwendet. Drehmomente verändern den Bewegungszustand des Körpers entgegen der Wirkung des Trägheitsmomentes.

  • Gib an, wie der Drehimpuls für den folgenden Spezialfall ermittelt werden kann.

    Tipps

    Jede Größe aus der allgemeinen Gleichung für den Drehimpuls wird durch einen anderen Ausdruck ersetzt.

    Von welchen Größen hängt die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ ab?

    In welchem Verhältnis stehen diese Größen zueinander?

    Von welchen Größen hängt das Trägheitsmoment $J$ ab?

    In welchem Verhältnis stehen diese Größen zueinander?

    Lösung

    Die Winkelgeschwindigkeit eines Massepunktes auf einer Kreisbahn kann aus dem Quotienten von Bahngeschwindigkeit und Bahnradius ermittelt werden: $\omega=\frac vr$.

    Das Trägheitsmoment eines Massepunktes auf einer Kreisbahn beträgt: $J=m\cdot r^2$.

    Die Herleitung der modifizierten Formel erfolgt dann durch Ersetzen der beiden Größen und Kürzen:

    $\begin{align} L&=J\cdot \omega\\ L&=m\cdot r^2 \cdot \frac vr\\ L&=m\cdot r\cdot v\\ L&=r\cdot p \end{align}$

  • Gib an, wie die Drehimpulsänderung für den Spezialfall eines kreisenden Massepunktes bestimmt werden kann.

    Tipps

    Setze für den Drehimpuls die Formel für den Spezialfall ein. Welche Größe ist konstant und kann vorgezogen werden?

    Ersetze den Ausdruck $\frac {dp} {dt}$ mit Hilfe des 2. Newtonschen Axioms.

    Wie ist das Drehmoment definiert?

    Wie kann das Drehmoment mit Hilfe des Trägheitsmomentes ausgedrückt werden?

    Lösung

    Die Herleitung setzt sich aus folgenden Schritten zusammen:

    $1.~\frac {dL} {dt}=r\cdot \frac {dp} {dt}$ (Einsetzen von $L=r\cdot p$ und Vorziehen der Konstante $r$)

    $2.~r\cdot \frac {dp} {dt}=r\cdot F$ (Einsetzen des 2. Newtonschen Axioms $F=\frac {dp} {dt}$)

    $3.~r\cdot F=M$ (Einsetzen der Definitionsgleichung des Drehmomentes $M=r\cdot F$)

    $4.~M=J\cdot \alpha$ (Einsetzen der Grundgleichung der Rotation $M=J\cdot \alpha$)

    Somit ergibt sich für den Spezialfall einer Punktmasse, die auf einer Kreisbahn rotiert, die Formel: $\frac {dL} {dt}=J\cdot \alpha$. Der Drehimpuls ändert sich, sobald auf die Punktmasse eine Winkelbeschleunigung wirkt. Das heißt, dass sich der Drehimpuls der Punktmasse nur dann ändert, wenn ein Drehmoment auf die Masse wirkt. Wirkt kein Drehmoment, so bewegt sich die Punktmasse mit konstanter Tangentialgeschwindigkeit auf der gegebenen Kreisbahn weiter.

  • Erkläre, wie sich die Bewegung der Eiskunstläuferin verändert.

    Tipps

    Welche physikalische Größe der Rotation ändert sich durch das Ausstrecken der Arme?

    Wie ändert sich die Massenverteilung der Eiskunstläuferin in Bezug auf die Rotationsachse?

    Welche Größe muss sich demnach auch ändern, damit der Drehimpuls konstant bleibt?

    Argumentiere mit Hilfe der Formel $L=J\cdot \omega$.

    Lösung

    Streckt die Eiskunstläuferin bei der Pirouette die Arme nach außen, so ändert sich ihr Trägheitsmoment $J$: Ein Teil ihrer Körpermasse wird weiter von der Rotationsachse durch ihre Körpermitte wegverlagert. Dadurch erhöht sich das Trägheitsmoment.

    Der Drehimpuls $L$ der Eisläuferin bleibt bei der Drehung konstant, da kein äußeres Drehmoment wirkt. Demnach muss sich wegen $L=J\cdot \omega$ die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ verringern. Die Eiskunstläuferin wird langsamer, wenn sie die Arme nach außen streckt. Zieht sie die Arme wieder an den Körper, so wird sie erneut schneller.

  • Berechne den Bahndrehimpuls des Erdmondes.

    Tipps

    Betrachte die Bewegung des Mondes idealisiert als Kreisbewegung eines Massepunktes.

    Welche Größen sind gegeben, welche ist gesucht?

    Welche spezielle Formel kann zur Lösung herangezogen werden?

    Gegeben:

    $m=7,4\cdot 10^{22}~kg$

    $v=1000\frac ms$

    $r=3,8\cdot 10^8 \frac ms$

    Gesucht:

    $L$

    Lösung: $L=r\cdot p=r\cdot m\cdot v$

    Lösung

    Die Bewegung des Mondes um die Erde kann als Kreisbewegung eines Massepunktes idealisiert werden.

    Dann ist zur Bestimmung des Drehimpulses die Kenntnis des Trägheitsmomentes und der Winkelgeschwindigkeit nicht notwendig. Stattdessen kann der Bahndrehimpuls aus den Daten von Kreisbahnradius des Mondes sowie Impuls des Mondes (Mondmasse mal Bahngeschwindigkeit) ermittelt werden.

    Gegeben:

    $m=7,4\cdot 10^{22}~kg$

    $v=1000\frac ms$

    $r=3,8\cdot 10^8 \frac ms$

    Gesucht:

    $L$

    Lösung:

    $\begin{align} L&=r\cdot p=r\cdot m\cdot v\\ L&=3,8\cdot 10^8~m\cdot 7,4\cdot 10^{22}~kg\cdot 10^3\frac ms\\ L&=2,8\cdot 10^{34}\frac{m^2~kg} {s} \end{align}$

  • Ermittle den Drehimpuls der Erde.

    Tipps

    Setze Masse und Radius in die Formel zur Berechnung des Trägheitsmomentes einer homogenen Kugel ein.

    Rechne den Radius in Meter um.

    Die Kreisfrequenz $\omega$ berechnet sich mit der Formel $\omega=\frac {2\pi} {T}$.

    Die Umlaufdauer T muss von Stunden und Minuten in Sekunden umgerechnet werden.

    $T=23\cdot 60\cdot 60~s+56\cdot 60~s$

    Lösung

    Im Einzelnen ergibt sich der Drehimpuls der Erde, der durch die Erdrotation auftritt, zu:

    $J=\frac 25 \cdot 5,97\cdot 10^{24}~kg \cdot (6,37\cdot 10^6~m)^2=9,7 \cdot 10^{37} \frac {m^2} {kg}$

    $\omega=\frac {2\pi} {T}=\frac {2\pi} {23\cdot 60\cdot 60~s+56\cdot 60~s}=7,3 \cdot 10^{-5} \frac 1s$

    $L=J\cdot \omega=9,7 \cdot 10^{37} \frac {m^2} {kg}\cdot 7,3 \cdot 10^{-5} \frac 1s=7,1 \cdot 10^{33}\frac {m^2~s} {kg}$