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Analogien bei Translation und Rotation 09:08 min

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Transkript Analogien bei Translation und Rotation

Hallo und herzlich willkommen. In diesem Video beschäftigen wir uns mit den Analogien bei Translation und Rotation. Obwohl beide Bewegungen anscheinend völlig verschieden sind, gibt es doch überraschende Ähnlichkeiten, die interessante Zusammenhänge zu Tage bringen Diese Zusammenhänge erleichtern es dir erheblich, dir die Formeln für die jeweiligen Bewegungen zu merken. Und deshalb werden wir hier Translations- und Rotationsbewegungen vergleichen. Dazu wirst du zuerst einen Überblick über die Gesetzmäßigkeiten der Translationsbewegung erhalten. Danach kommt ein Überblick über die Eigenschaften der Rotationsbewegung. Und zum Schluss wirst du sehen, welche Analogien es zwischen diesen beiden Bewegungsarten gibt. Und damit kann es auch schon losgehen. Unter Translation versteht man eine Bewegung, bei der sich alle Teile eines Körpers mit derselben Geschwindigkeit in dieselbe Richtung bewegen. Wenn du Auto fährst, ist das zum Beispiel eine Translation. Eine Translation, die auf einer geraden Linie abläuft, nennt man geradlinige Bewegung. Ein Körper hat eine Masse m. Sie gibt den Widerstand eines Körpers gegenüber einer Änderung seiner Bewegung an. So eine Änderung kann dabei eine Änderung der Richtung oder des Tempos der Bewegung sein. Diesen Widerstand nennt man auch Trägheit. Umso mehr Masse ein Körper hat, umso träger ist er. Die Einheit der Masse ist Kilogramm (kg). Bewegt sich der Körper, so hat er eine Geschwindigkeit V. Sie gibt nicht nur an, welche Strecke der Körper in welcher Zeit zurücklegt. Die Geschwindigkeit ist ein Vektor und hat als solcher eine Richtung und einen Betrag. Sie wird in Metern pro Sekunde (m/s) gemessen. Will man die Geschwindigkeit eines sich bewegenden Körpers ändern, so muss man ihn beschleunigen. Die Beschleunigung a gibt an, um welchen Wert sich die Geschwindigkeit in einem gewissen Zeitintervall ändert. Die Beschleunigung ist ebenfalls eine vektorielle Größe. Die Einheit der Beschleunigung sind Metern pro Sekunde zum Quadrat (m/s2). Damit ein Körper beschleunigt werden kann, muss eine Kraft wirken. Das ist das 2. Newtonsche Gesetz. Die Kraft F ist gleich dem Produkt. aus Masse und Beschleunigung. F = m * a. Somit ist auch die Kraft eine vektorielle Größe. Sie hat die Einheit Newton (N = kg*m/s2). Umso höher die Kraft, umso höher die Geschwindigkeitsänderung. Andererseits muss man für ein höheres Gewicht auch eine höhere Kraft aufwenden, um die gleiche Beschleunigung zu erreichen. Die Kraft ist Ursache für die Beschleunigung. Kraft und Beschleunigung zeigen somit immer in die gleiche Richtung. Außerdem hat jede Translation eine bestimmte Energie. Die Energie einer Translation nennt man kinetische Energie, kurz EKin. Sie ist EKin = ½ m * v2. Die kinetische Energie wird in Joule (J) gemessen. Die vier Größen Masse, Geschwindigkeit, Beschleunigung und Kraft reichen komplett aus, um alle Arten von Translationen zu beschreiben. Da es aber nicht nur Translationen gibt, wenden wir uns im nächsten Punkt der Rotation zu. Unter Rotation versteht man eine Bewegung eines starren Körpers um eine feste Rotationsachse. Das kann zum Beispiel eine rotierende Scheibe sein. Geschwindigkeit und Bewegungsrichtung der einzelnen Massepunkte sind nicht alle gleich. Im Inneren der Scheibe bewegen sich die Massepunkte langsamer als weiter draußen. Und die Richtung der Bewegung ist je nach Ort auf der Scheibe auch unterschiedlich. Ein weiteres Beispiel für eine Rotation ist ein Eiskunstläufer, der sich um seine eigene Achse dreht. Jeder Körper besitzt ein bestimmtes Trägheitsmoment j. Es gibt den Widerstand eines Körpers gegenüber einer Änderung seiner Rotationsbewegung an. Umso größer das Trägheitsmoment, umso größer der Widerstand gegen eine Änderung der Rotationsbewegung. Dabei ist zu beachten, dass ein Körper um viele Achsen rotieren kann. So muss die Scheibe nicht unbedingt um ihren Mittelpunkt rotieren. Die Rotationsachse könnte auch weiter am Rand liegen. Für jede unterschiedliche Rotationsachse hat der Körper ein anderes Trägheitsmoment. Das Trägheitsmoment wird in der Einheit Kilogramm Meterquadrat (kg * m2) angegeben. Rotiert ein Körper, so hat er eine gewisse Winkelgeschwindigkeit. Sie gibt an, welchen Winkel der rotierende Körper in welcher Zeit überschreitet. Die Winkelgeschwindigkeit wird in der Einheit Rad pro Sekunde (rad/s) gemessen. Die Winkelgeschwindigkeit ist dabei ein Vektor mit Betrag und Richtung. Die Richtung der Winkelgeschwindigkeit zeigt immer entlang der Rotationsachse. Sie kann also nach oben oder nach unten zeigen. Um herauszufinden, in welche der beiden Richtungen sie zeigt, wendet man die „rechte Hand- Regel“ an. Dabei zeigen die Finger in Richtung der Drehbewegung. Dann spreizt man den Daumen senkrecht nach oben ab. Die Winkelgeschwindigkeit zeigt dann in die gleiche Richtung wie der Daumen. In unserem Fall also nach oben. Würde sich die Scheibe in die andere Richtung drehen, so würde die Winkelgeschwindigkeit nach unten zeigen. Um die Winkelgeschwindigkeit des Körpers zu ändern, muss eine Winkelbeschleunigung α anliegen. Sie gibt an, um wieviel sich die Winkelgeschwindigkeit in einem gewissen Zeitintervall ändert. Sie wird in der Einheit Rad pro Sekundequadrat (rad/s2) gemessen. Damit der rotierende Körper eine Winkelbeschleunigung erfährt, muss ein Drehmoment anliegen. Diesen Zusammenhang nennt man das “Grundgesetz der Dynamik der Rotation”. Das Drehmoment ist gleich dem Trägheitsmoment und Winkelbeschleunigung. M = j * α. Somit ist auch das Drehmoment eine vektorielle Größe. Als Produkt von Trägheitsmoment und Winkelbeschleunigung wird es in Kilogramm mal Meter zum Quadrat mal Rad pro Sekunde zum Quadrat (Kg * m2 * rad/s2) angegeben. Umso höher das Drehmoment, umso größer die Winkelbeschleunigung. Und umso schneller ändert sich die Winkelgeschwindigkeit. Andererseits muss man für ein höheres Trägheitsmoment auch ein höheres Drehmoment aufbringen, um die gleiche Winkelbeschleunigung zu erreichen. Das Drehmoment ist Ursache für die Winkelbeschleunigung. Drehmoment und Winkelbeschleunigung zeigen also immer in die gleiche Richtung. Wie bei der Translation hat auch jede Rotation eine bestimmte Energie. Die Energie einer Rotation nennt man Rotationsenergie. Sie ist gleich ½ mal dem Trägheitsmoment mal der Winkelgeschwindigkeit zum Quadrat. Erot = ½ J * w2. Die Rotationsenergie wird wie die kinetische Energie in Joule gemessen. Nachdem du jetzt einen Überblick über beide Bewegungsformen erhalten hast, wirst du sehen, welche Analogien es in der Dynamik der Translation und Rotation gibt. Sicher ist dir schon aufgefallen, dass einige Größen von Translation und Rotation sehr ähnlich sind. Zum Beispiel hindert die Masse beziehungsweise die Trägheit der Masse Änderungen der Bewegung einer Translation. Genauso hindert das Trägheitsmoment Änderungen der Rotationsbewegung. Masse und Trägheitsmoment sind also analoge Größen. Das bedeutet, dass das Trägheitsmoment in der Beschreibung der Rotation das Gegenstück zur Masse bei der Beschreibung der Translation ist. Ähnlich verhält es sich mit der Kraft bei der Translation und dem Drehmoment bei der Rotation. Auch sie sind analoge Größen. Das 2. Newtonsche Gesetz besagt, dass ein Körper seine Bewegung nur dann ändert, wenn eine Kraft wirkt. Analog dazu besagt das Grundgesetz der Dynamik der Rotation, dass sich eine Rotationsbewegung sich nur dann ändert, wenn ein Drehmoment wirkt. Und es gibt noch eine weitere Analogie zwischen Translation und Rotation. Vielleicht ist dir schon aufgefallen, dass die Ausdrücke für kinetische Energie und Rotationsenergie sehr ähnlich sind. Beide bestehen aus ½ mal der Größe, die die Bewegung hindert mal der jeweiligen Geschwindigkeit zum Quadrat. Somit sind kinetische Energie und Rotationsenergie auch analoge Größen. Du siehst, dass man in der Formel für die Energie nur die analogen Größen austauschen muss, um vom Ausdruck für die Translation auf den Ausdruck für die Rotation zu kommen. Die Struktur der Formeln ist gleich. So: was hast du eben gelernt. Translation und Rotation können über jeweils vier physikalische Größen beschrieben werden. Für die Translation sind das Masse, Geschwindigkeit, Beschleunigung und Kraft. Für die Rotation Trägheitsmoment, Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung und Drehmoment. Zwischen beiden Bewegungsarten bestehen Analogien. Das heißt, dass die Formeln für Kraft und Drehmoment sowie die Formeln für die Energie jeweils die gleiche Struktur haben. Tauscht man die analogen Größen gegeneinander aus, so kommt man von einem Ausdruck für die Translation direkt zu einem Ausdruck für die Rotation. Das war es zum Thema Analogie bei Translation und Rotation. Ich hoffe, du hast etwas gelernt. Tschüss und bis zum nächsten Mal.

1 Kommentar
  1. sehr gut und hilfsreich. Danke dir und weiter so..

    Von Javidsharifi, vor mehr als 5 Jahren

Analogien bei Translation und Rotation Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Analogien bei Translation und Rotation kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib einen Überblick über die wichtigsten physikalischen Größen bei der Translation.

    Tipps

    Was beschreiben die Größen Geschwindigkeit und Beschleunigung anschaulich?

    Wie lautet das 2. Newtonsche Gesetz?

    Welche Größen sind für die Translationsenergie relevant?

    Lösung

    Eine Translationsbewegung wie von Fahrzeugen im Straßenverkehr wird durch die Größen Masse $m$, Geschwindigkeit $\vec v$ und Beschleunigung $\vec a$ beschrieben.

    Die Masse ist die grundlegende Eigenschaft eines Körpers bei der Translation. Sie beschreibt dessen Trägheit. Bei der Translation sind alle Körper aufgrund ihrer Trägheit bestrebt, ihren Bewegungszustand beizubehalten. Je höher dabei die Masse eines Körpers ist, desto mehr Widerstand setzt er einer Änderung seiner Bewegungsrichtung oder seiner Geschwindigkeit entgegen. Um den Bewegungszustand des Körpers zu beschreiben, ist es notwendig, seine Geschwindigkeit anzugeben, also wie viel Strecke er in einer bestimmten Zeit zurücklegt. Je mehr Strecke in einer bestimmten Zeit zurückgelegt wird, desto schneller ist der Körper. Außerdem ist die Kenntnis seiner Beschleunigung wichtig, also der Größe, die angibt, ob sich die Geschwindigkeit des Körpers mit der Zeit verändert. Je stärker sich die Geschwindigkeit in einer bestimmten Zeit ändert, desto stärker beschleunigt der Körper. Geschwindigkeit und Beschleunigung sind vektorielle Größen, das heißt, es zählt nicht nur der Betrag dieser Größe, sondern auch die Richtung, in die sie wirkt.

    Auf der Basis dieser drei Größen kann man zur Beschreibung der Translationsbewegung noch zwei weitere Größen ergänzen.

    Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz ist dies zum einen die Kraft, die bei nicht gleichförmigen Bewegungen zur Beschleunigung oder Verzögerung des Körpers führt. Diese Kraft ermittelt man aus den Größen Masse und Beschleunigung. Je schwerer ein Körper ist und je stärker er beschleunigt werden soll, desto größer ist die dafür notwendige Kraft. Zum anderen kann die Translationsenergie der Bewegung angegeben werden, also die Bewegungsenergie oder kinetische Energie des Körpers. Sie wird aus den Größen Masse und Geschwindigkeit ermittelt. Je schwerer und schneller ein Körper, desto größer ist seine kinetische Energie.

  • Gib die Einheiten der physikalischen Größen von Translation und Rotation an.

    Tipps

    Ergänze zunächst den Tabellenkopf.

    Suche nun in der ersten Spalte für jede Rotationsgröße die analoge Translationsgröße.

    Ergänze in der zweiten Spalte die Formelzeichen der Rotation.

    Füge in der dritten Spalte die Einheiten der Translation hinzu.

    Lösung

    Aus den beschreibenden Größen für Translations- und Rotationsbewegungen leiten sich ebenfalls die Einheiten für die wirkende Kraft beziehungsweise das wirkende Drehmoment ab:

    $[F]=1\frac {kg\cdot m} {s^2}$ und

    $[M]=1\frac {kg\cdot m^2\cdot rad} {s^2}$.

    Die Energien der Translation und der Rotation werden beide in Joule (J) angegeben.

  • Benenne die wichtigsten physikalischen Größen der Rotation.

    Tipps

    Welche Formelzeichen beschreiben welche physikalische Größe der Rotation?

    Was bedeuten die Größen $\vec {\omega}$ und $\vec {\alpha}$ anschaulich?

    Wie lautet das Grundgesetz der Dynamik der Rotation?

    Mit welchen Größen wird die Rotationsenergie bestimmt?

    Lösung

    Eine Rotationsbewegung wie bei einer rotierenden Scheibe ist durch die Größen Trägheitsmoment $J$, Winkelgeschwindigkeit $\vec {\alpha}$ und Winkelbeschleunigung $\vec {\omega}$ gekennzeichnet.

    Das Trägheitsmoment beschreibt den Widerstand, den ein rotierender Körper einer Änderung seiner Rotationsbewegung entgegensetzt. Je höher das Trägheitsmoment eines Körpers ist, desto größer ist die Kraft, die zum Beschleunigen oder Verlangsamen der Rotationsbewegung nötig ist. Zum Beschreiben einer Rotationsbewegung ist eine Geschwindigkeit notwendig. Da aber beispielsweise die Punkte im inneren Bereich einer rotierenden Scheibe schneller sind als im äußeren Bereich, ist die Angabe einer Winkelgeschwindigkeit sinnvoll. Diese beschreibt, wie schnell sich der Rotationswinkel einer Scheibe verändert. Eine hohe Winkelgeschwindigkeit bedeutet, dass sich die Scheibe schnell um ihre Rotationsachse dreht. Um die Rotationsbewegung zu beschreiben, muss darüber hinaus die Winkelbeschleunigung angegeben werden. Erhöht sich die Winkelgeschwindigkeit mit der Zeit, so dreht sich die Scheibe immer schneller. Sie besitzt eine hohe Winkelbeschleunigung. Geschwindigkeit und Beschleunigung sind vektorielle Größen, das heißt, es zählt nicht nur der Betrag dieser Größe, sondern auch die Richtung, in die sie wirken.

    Auf der Grundlage dieser Größen kann man bei der Rotationsbewegung noch zwei weitere Größen einführen.

    Nach dem Grundgesetz der Dynamik der Rotation ändert eine rotierender Körper seinen Bewegungszustand immer dann, wenn ein Drehmoment auf ihn wirkt. Dieses verlangsamt oder beschleunigt die Rotation. Je höher das Trägheitsmoment des Körpers und je stärker die gewünschte Beschleunigung, desto größer muss das wirkende Drehmoment sein. Darüber hinaus kann man die Energie angeben, die ein Körper aufgrund seiner Rotation besitzt. Diese ist umso höher, je größer das Trägheitsmoment des Körpers ist und je höher seine Winkelgeschwindigkeit ist, das heißt, je schneller er sich dreht.

  • Erkläre, wie die Analogien von Translation und Rotation in den Formeln erkennbar sind.

    Tipps

    Was ist bei Translation und Rotation jeweils die Ursache für eine Bewegungsänderung?

    Welche Eigenschaft des Körpers bedingt bei Translation und Rotation jeweils die Trägheit, also den Widerstand gegen eine Bewegungsänderung?

    Welche Struktur haben die gesuchten Formeln jeweils und welche Größen müssen eingesetzt werden?

    Lösung

    Aus den beiden verallgemeinerten Formeln lassen sich die jeweiligen Formeln für Translation und Rotation bilden, sobald die passenden Größen eingesetzt werden. (siehe Formeln)

    Die Ursache für eine Bewegungsänderung ist eine wirkende Kraft beziehungsweise ein Drehmoment. Sie wird ermittelt durch Multiplikation zweier Größen: der Eigenschaft des Körpers, die die Trägheit bedingt (also Masse beziehungsweise Trägheitsmoment) und der Beschleunigung des Körpers (Beschleunigung beziehungsweise Winkelbeschleunigung).

    Die Bewegungsenergie der Translation beziehungsweise Rotation erhält man wiederum durch Multiplikation der Eigenschaft des Körpers mit der Geschwindigkeit des Körpers (Geschwindigkeit beziehungsweise Winkelgeschwindigkeit) zum Quadrat. Außerdem wird noch mit dem Faktor ein halb multipliziert.

    Analogien können also durchaus eine gute Merkhilfe sein. Wichtiger ist jedoch, dass sie das Auge für Strukturen und Verallgemeinerungen schärfen und so die Wissenschaft Physik hoffentlich für dich etwas durchschaubarer machen.

  • Erläutere die verschiedenen Bewegungen der Erde.

    Tipps

    Die beiden Bewegungen der Erde überlagern sich natürlich. Darauf kommt es hier jedoch erstmal nicht an.

    Weitere Einflussfaktoren auf die Bewegungen der Erde bleiben hier unberücksichtigt.

    Lösung

    Die Erde beschreibt eine Rotationsbewegung um die Erdachse und eine Translationsbewegung auf ihrer Bahn um die Sonne.

    Diese beiden Bewegungen überlagern sich und werden von weiteren Faktoren (Anziehungskraft des Mondes, ungleiche Dichteverteilung in der Erde) beeinflusst.

    So wirkt bei der Rotation der Erde ein Drehmoment durch die Massen von Sonne und Mond, das die Ausrichtung Erdachse beständig, aber sehr geringfügig verändert.

    Bei der Translationsbewegung um die Sonne bewirkt die Drehimpulserhaltung außerdem eine stetige Änderung des Betrages der Bahngeschwindigkeit. In Sonnennähe bewegt sich die Erde schneller, in Sonnenferne langsamer.

  • Vergleiche Translations- und Rotationsbewegung miteinander.

    Tipps

    Welche Analogien zwischen Translation und Rotation gibt es?

    Lösung

    Translations- und Rotationsbewegungen scheinen auf den ersten Blick sehr verschieden zu sein. Natürlich beschreiben sie sehr unterschiedliche Bewegungsprozesse. Trotzdem sucht man in der Physik nach Wegen, diese Prozesse miteinander vergleichbar zu machen. Dies funktioniert, wenn man bei der Beschreibung der Prozesse ähnliche Strukturen verwendet.

    Beobachtet man Bewegungen, so kann man sie beschreiben: Wie schnell, also mit welchem Geschwindigkeitsbetrag, und auf welcher Bahn, also mit welcher Geschwindigkeitsrichtung, bewegt sich der Körper? Ändert er seine Geschwindigkeit in Betrag oder Richtung mit der Zeit, liegt also eine Beschleunigung vor? Daher wurden sowohl bei der Translation als auch bei der Rotation eine Geschwindigkeit und eine Beschleunigung definiert.

    Man kann darüber hinaus auch nach der Ursache für die Bewegungsprozesse suchen. In der Physik besitzt dort jeder Körper eine Eigenschaft, die einer Bewegungsänderung einen Widerstand entgegensetzt. Bei der Translation ist das die Trägheit aufgrund der Masse des Körpers, bei der Rotation das Trägheitsmoment aufgrund der Form und Massenverteilung des Körpers. Demnach muss es eine weitere Größe geben, die den Körper zwingt, seinen Bewegungszustand zu ändern. Dafür wurde im Bereich der Translation der Kraftbegriff in der Physik eingeführt. Bei der Rotation heißt das Gegenstück Drehmoment. Für eine Bewegungsänderung muss immer Arbeit an dem Körper verrichtet werden, daher kann man Translation und Rotation auch auf energetischer Ebene betrachten.