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Drehmoment M 08:52 min

Textversion des Videos

Transkript Drehmoment M

Hallo und herzlich willkommen zu Physik mit Kalle! Wir machen heute ein neues Kapitel in der Mechanik auf, und zwar die Rotation starrer Körper. Und als Erstes wollen wir uns dafür das Drehmoment M ansehen. Wir lernen heute: Was Rotation ist und welche Rolle das Drehmoment für sie spielt. Mit welchen Formeln ich das ganze berechnen kann. Und zum Schluss sehen wir uns noch ein einfaches Beispiel an. Wir beschäftigen uns ja schon eine ganze Weile mit Bewegungen, zum Beispiel ein Auto fährt von A nach B oder Peter wirft einen Ball zu Paul. Was wir dabei meist nicht berücksichtigen ist, dass ein starrer Körper sich auf 2 Arten bewegen kann. Er kann eine Translation ausführen, das ist die klassische Bewegung, die wir bis jetzt hatten oder physikalisch gesagt: Der Schwerpunkt des Körpers ändert mit der Zeit seinen Ort. Er kann aber genauso eine Rotation ausführen, das heißt der Körper rotiert um eine feste Drehachse. Die beiden schließen sich übrigens gegenseitig nicht aus. Denkt nur an unsere Erde! Die Erde dreht sich um sich selbst, während sie mit einer ziemlich großen Geschwindigkeit durch das Weltall um die Sonne fliegt. Ein Körper, der sich bewegt, führt also eine Translation und/oder eine Rotation aus. Wie aber kommen dieses Bewegungen nun zustande? Wir wissen bereits, die Geschwindigkeit V der Translation kann durch Kräfte verändert werden, denn nach dem 2. Newtonschen Axiom, F=m×a, wirkt eine Kraft auf einen Körper, dann wird er beschleunigt. Ihr habt es euch wahrscheinlich schon gedacht, denn immerhin ist es der Titel des Videos. Die Rotationsgeschwindigkeit ω wird durch Drehmomente beeinflusst. Wir erinnern uns: ω war die Winkelgeschwindigkeit. Also die Änderung des Winkels Δφ geteilt durch die dafür benötigte Zeit δt. Wir merken uns also: Das Drehmoment M ist für die Rotation, was die Kraft für die Translation ist, nämlich das Mittel zur Veränderung des Bewegungszustandes. Wie das Ganze genauer aussieht und welche Formeln ich zur Berechnung verwenden darf, das sehen wir im nächsten Kapitel. Zum besseren Verständnis stellen wir uns einfach vor, wir sind auf einem Kinderspielplatz und schubsen dort ein kleines Kinderkarussell an. Dieses Kinderkarussell dreht sich um eine Achse in der Mitte, an der sie auch festgemacht ist - dies ist die Drehachse. Ich kann dieses Karussell nun anschieben, indem ich an einer bestimmten Stelle anpacke und schiebe. Wir zeichnen uns das Ganze kurz auf. Die Drehachse ω befindet sich in der Mitte, und wir wählen 2 verschiedene Punkte zum Anschieben und probieren aus, was passiert. Aus eigener Erfahrung und, wenn ihr euch an das Hebelgesetz erinnert, wisst ihr bestimmt, je weiter außen ihr anschiebt, desto weniger Kraft braucht ihr. Dafür müsst ihr aber auch eine längere Strecke schieben. Greife ich also, wie es meistens der Fall wird bei einem Karussell, ganz außen an und schiebe, dann wirkt im Abstand r2 von der Achse eine Kraft F - und genau das ist das Drehmoment, eine Kraft, die im Abstand r senkrecht zu r und der Drehachse angreift. Die Berechnung ist denkbar einfach. Das Drehmoment M=r×F×Sinus des Winkels α zwischen den beiden. Oder, in Vektorschreibweise: Der Vektor von M ist das Kreuzprodukt der Vektoren von r und F. Denn das Drehmoment soll ja senkrecht auf Radius und Kraft stehen. Wenn das Drehmoment nur den Betrag der Winkelgeschwindigkeit ändern soll und nicht deren Richtung, dann muss er genau parallel zu ihr sein. Wir überprüfen kurz: Senkrecht zur Kraft und zum Radius bedeutet, der Vektor unseres Drehmoments ist parallel zur Winkelgeschwindigkeit. Sehr gut! Die Einheit des Drehmoments ist, wie wir aus M=r×F schnell sehen können, das Newtonmeter. Als Nächstes wollen wir uns ansehen, welche Arbeit ich verrichtet habe, also welche Energie ich übertragen habe, wenn ich meinen Körper um einen Winkel Δφ drehe. Ich habe dabei ein Segment des Kreises zurückgelegt, und zwar s. Wie wir wissen, ist Arbeit gleich Kraft mal Weg. Die Formel für die Länge des Kreissegmentes s ist: s=r×Δφ. Damit ist die aufgebrachte Energie also F×r×Δφ. Und für F×r kann ich gleich das Drehmoment M einsetzen. Die Energie W ist also M×Δφ. Verrichte ich diese Arbeit in einer Zeit Δt, dann kann ich auch eine Leistung ausrechnen. P ist ja immer Energie/Zeit, also ΔW/Δt. Damit kann ich schreiben: P=M×ΔW/Δt. Wie ihr wisst, heißt die Winkelgeschwindigkeit nicht zum Spaß so. ω gibt mir an, wie groß der Winkel Δφ ist, der in der Zeit Δt überstrichen wird. Für Δφ/Δt kann ich also gleich ω einsetzen. Und damit ergibt sich: Die Leistung P=M×ω. Als Letztes wollen wir uns noch einen kurzen Spezialfall ansehen: Stellen wir uns vor, an einem Punkt unserer Drehscheibe greift eine Kraft F1 an, an einem 2. greift eine Kraft F2 in eine andere Richtung an. Die beiden Kräfte sollen nun so groß sein, dass die Drehmomente M1 und M2 genau gleich groß sind. Dann passiert nämlich Folgendes: Hat sich das Rad vorher schon bewegt, wird es sich mit gleichbleibender Geschwindigkeit weiterbewegen. Hat es vorher stillgestanden, steht es auch weiterhin still. Wie für die Kräfte bei der Translation, gibt es also auch für die Drehmomente bei der Rotation eine Art Trägheitsprinzip. Und dieses lautet: Ist die Summe aller wirkenden Drehmomente 0, so rotiert der Körper mit konstanter Winkelgeschwindigkeit weiter. Oder, wenn er vorher in Ruhe war, bleibt er in Ruhe. Mathematisch kann ich das schnell so aufschreiben: M1+M2, also die Summe aller Drehmomente, =0 und daraus folgt ω= konstant. So, genug Formeln für heute! Zum Schluss schauen wir uns noch kurz ein kleines Beispiel an: Links seht ihr als Beispiel ein rotierendes Fahrradpedal. Wie ihr sehen könnt, befindet sich in der Mitte die Drehachse. Die Punkte, die weiter weg von der Drehachse sind, bewegen sich schneller - die, die näher dran sind, bewegen sich langsamer. Am Langsamsten bewegen sich die Punkte, die auf der Drehachse liegen, denn diese bewegen sich gar nicht. Und das schreiben wir uns gleich mal auf: Alle Punkte des Körpers, die auf der Drehachse liegen, verändern ihre Position nicht. Alle anderen bewegen sich auf einer Kreisbahn um die Achse. Wenn ihr das nächste Mal an eurem Fahrrad seid, könnt ihr es leicht am Pedal oder, noch besser, am Vorderrad, ausprobieren. Die Formel für das Drehmoment lässt sich leicht nachprüfen. Je kleiner der Abstand r zur Achse, desto größer ist die Kraft, die für dasselbe M aufgebracht werden muss. Allerdings ist natürlich auch der Weg, der für dieses M zurückgelegt werden muss, kleiner, je kleiner r ist. Wir wollen noch mal wiederholen, was wir heute gelernt haben: Die Bewegung eines starren Körpers besteht aus Translation und/oder Rotation. Durch ein Drehmoment, also eine Kraft F, die im Abstand r zur Drehachse angreift, kann die Winkelgeschwindigkeit verändert werden. Die Formel des Drehmoments lautet: Das Drehmoment M=r×F×Sinus des Winkels α zwischen den beiden. Oder in Vektorschreibweise: Der Vektor von M ist das Kreuzprodukt der Vektoren von r und F. Die verrichtete Arbeit W = das Drehmoment M, mal der überstrichene Winkel Δφ. Und die dabei aufgebrachte Leistung P=M×ω. Außerdem gilt auch hier das Trägheitsprinzip: Ist die Summe aller Drehmomente gleich 0, so ist die Winkelgeschwindigkeit konstant. So, das war's schon wieder für heute. Ich hoffe, ich konnte euch helfen! Vielen Dank fürs Zuschauen, vielleicht bis zum nächsten Mal - euer Kalle!

1 Kommentar
  1. Wo erfahre ich etwas über die WinkelGESCHWINDIGKEIT?
    Ich finde kein passendes Video dazu und es wäre wirklich SEHR wichtig....

    Von Isi95, vor fast 7 Jahren

Drehmoment M Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Drehmoment M kannst du es wiederholen und üben.

  • Nenne die Definitionen und Beispiele für die Rotation und Translation.

    Tipps

    Überlege, wie sich ein Kinderkarussell bewegt und wie sich der Ort deines Schrankes verändert, wenn du ihn verrückst.

    Wie lauten die Formelzeichen für die Geschwindigkeit einer Bewegung und für die Drehgeschwindigkeit?

    Lösung

    Die Translation ist eine fortschreitende Bewegung. Das heißt, einzelne Punkte des Körpers bewegen sich entlang von Bahnen, wobei die Punkte des Körpers immer parallel zueinander verlaufen. Stelle dir vor, du guckst von oben auf die Situation: Du fährst mit einem Freund oder einer Freundin in einem Zug und er/sie sitzt versetzt zwei Reihen hinter dir. Jetzt werden eure Ortsveränderungen durch die Bewegung des Zuges mit einer feinen Linie markiert. Dabei kannst du erkennen, dass die Bahnen in dem Zug immer parallel zueinander sind.

    Die Rotation ist eine Drehbewegung. Bei dieser Bewegung sind die Bahnen, auf denen sich die einzelnen Punkte des Körpers entlang bewegen, Kreisbahnen. Das kannst du dir vielleicht noch einfacher vorstellen. Du guckst wieder von oben auf die Situation: Du fährst diesmal mit deiner Freundin/deinem Freund auf dem Kettenkarussell. Du sitzt ganz außen und sie/er innen. Eure Bewegungen werden wieder mit einer feinen Linie markiert. Daraus folgen zwei Kreisbahnen um die Mitte des Karussells, also die Drehachse.

  • Berechne die Arbeit $W$ der Rotation.

    Tipps

    Welche Einheit hat s, cm oder m?

    Wie lautet die Formel zur Berechnung der Arbeit $W$ ?

    Welche physikalische Einheit gehört zur Arbeit $W$?

    Lösung

    Für die Berechnung der verrichteten Arbeit $W$ benötigst du in diesem Fall nicht das Drehmoment $M$.

    Du benutzt also nur die Formel für die Arbeit $W = F \cdot r \cdot \Delta \varphi$. Die Kraft $F$ ist dir gegeben und den Winkel $\Delta \varphi$ kannst du mit der vorgegebenen Formel berechnen. Den Radius kannst du ganz einfach ermitteln mit $r = \frac{d}{2} $. Bei dem Radius musst du zusätzlich noch die Einheit verändern und mal 5 Umdrehungen rechnen.

    $\Delta \varphi=2\cdot \pi \cdot z=2\cdot \pi \cdot 5=10 \pi$

    Diese Werte setzt du anschließend in die Gleichung ein:

    $W= 0,5 \text{N} \cdot 0,06 \text{m} \cdot 10 \pi$ und daraus folgt: $W\approx 0,94 \text{Nm}$.

  • Gib die physikalischen Größen für die Translation und Rotation an.

    Tipps

    Wie kannst du die allgemeinen Formeln mit den speziellen Formeln der Rotation vereinfachen?

    Was sind die physikalischen Größen und was beschreiben sie?

    Lösung

    Auch beim Thema der Rotation spielt die Berechnung eine große Rolle. Dafür werden die allgemeinen Formeln in spezielle Formeln, die nur für die Rotation gelten, umgewandelt.

    Zuerst benötigen wir die spezifische physikalische Größe des Drehmoments $M$. Das Drehmoment beschreibt die Drehwirkung einer Kraft $F$, die im Abstand $r$ zur Drehachse, senkrecht zu $r$ und zur Drehachse, angreift. Das Drehmoment $M$ ist also: $M = r \cdot F \cdot \sin(\alpha)$.

    Um auszurechnen, welche Energie ich benötige, um den Körper um den Winkel $\Delta \varphi$ zu drehen, brauche ich die Formel der Arbeit $W$. Dafür gilt im Allgemeinen: Die Arbeit ist gleich der Kraft mal dem Weg $W = F \cdot s$. Für den Weg $s$ im Kreissegment kann man schreiben: $ s = r \cdot \Delta \varphi $. Daraus kann man die Arbeit für die Rotation jetzt spezifisch schreiben als $W = M \cdot \Delta \varphi$.

    Wenn die Arbeit $W$ in einer bestimmten Zeit verrichtet wird, kann auch die Leistung $P$ berechnet werden. Die Leistung $P$ ist im Allgemeinen die Arbeit $W$ pro benötigter Zeit $\Delta t$. Dafür kann man in der Rotation schreiben: $P = M \cdot \frac{\Delta \varphi}{\Delta t}$. Da jetzt die Winkelgeschwindigkeit $\omega = \frac{\Delta \varphi}{\Delta t}$ in der Rotation gilt, kann man die Leistung einer Rotation wie folgt beschreiben: $P = M \cdot \omega$.

    Damit kannst du viele Rechnungen bei einer Rotation durchführen.

  • Bestimme die Ergebnisse.

    Tipps

    Achte auf die korrekten Einheiten.

    Lösung

    Diese Beispiele sind alles Rechnungen zum Drehmoment und der Rotation.

    Du benötigst für die Berechnung diese Formeln:

    $M = F \cdot r$ und

    $W = F \cdot r \cdot \Delta \varphi$.

  • Ordne die Formelzeichen zu.

    Tipps

    Was ist der Radius im Kreis?

    Wo greift die Kraft am Kreis an?

    Lösung

    Die Drehachse $\vec \omega$ ist in der Mitte des rotierenden Körpers.

    Die Punkte, an denen die Kraft für eine Bewegung wirken kann, liegen auf dem Radius. Sie haben als Wert den Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zu sich, in diesem Fall: $r_1$ und $r_2$.

    Die Kraft $F$ wirkt am Punkt mit Abstand $r_2$, also dem Radius. Die Kraft wirkt für das Drehmoment immer senkrecht zu $r$ und zur Drehachse.

    Die Änderung des Winkels $\Delta \varphi$ wird an der Drehachse abgelesen.

    Das dazugehörige Kreissegment $s$ ist der Teil des Kreisbogens, der vom Winkel $\Delta \varphi$ eingeschlossen ist.

  • Prüfe Aussagen zur Translation und Rotation.

    Tipps

    Denke nochmal daran, was eine Rotation in Bezug auf einen Körper ist.

    Von welchen Größen hängt das Drehmoment ab?

    Lösung

    Alle Körper, die um eine Drehachse rotieren, sind Beispiele für die Rotation.

    Die Punkte, die näher an der Drehachse liegen, bewegen sich langsamer und die Punkte, die weit entfernt von der Drehachse liegen, bewegen sich schneller. Das lässt sich ganz einfach erklären: Die Punkte, die weiter entfernt liegen, müssen für die gleiche Winkeldifferenz in der gleichen Zeit ein größeres Segment des Kreisbogens zurücklegen. Dafür müssen sie sich also auch schneller bewegen.

    Die Arbeit, die verrichtet werden muss, hängt natürlich von der Größe des Rads ab. Hier ein Rechenbeispiel:

    Wir haben zwei Räder: eins mit dem Radius $r_1=0,5 \text{m}$ und eins mit dem Radius $r_2= 1\text{m}$. Beide Räder drehen wir außen mit der Kraft $F = 3 \text{N}$ um zwei Umdrehungen. Daraus ergibt sich ein Winkel $\Delta \varphi = 2 \cdot \pi \cdot 2 = 4 \pi \approx 12,6$.

    Daraus folgt für das kleine Rad: $W = 3 \text{N} \cdot 0,5 \text{m} \cdot 12,6 \approx 18,85 \text{Nm}$.

    Für das große Rad folgt: $W = 3 {N} \cdot 1 \text{m} \cdot 12,6 \approx 37,70 \text{Nm}$.

    Wie du siehst, hängt die zu verrichtende Arbeit und damit auch das Drehmoment stark von der Größe des Rades ab.