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Dichte – Verhältnis von Masse zu Volumen

Die Dichte gibt an, wie viel Masse ein bestimmtes Volumen eines Körpers besitzt. Sie wird berechnet als Verhältnis von Masse zu Volumen und in kg/m3 angegeben. Wie man die Dichte eines Körpers messen kann, lernst du im folgenden Artikel. PS. Vergiss nicht, die Aufgaben lösen zu probieren!

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Team Realfilm
Dichte – Verhältnis von Masse zu Volumen
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Grundlagen zum Thema Dichte – Verhältnis von Masse zu Volumen

Dichte – Definition

Bestimmt hast du schon einmal von der Dichte eines Körpers gehört.

Die Dichte $\varrho$ gibt an, wie viel Masse $m$ ein bestimmtes Volumen $V$ eines Körpers besitzt. Die Dichte ist also das Verhältnis von Masse zu Volumen:

$\varrho=\dfrac{m}{V}$

Die Dichte wird in der Einheit $\frac{\pu{kg}}{\pu{m}^3}$ angegeben. Ebenso möglich ist die Angabe in der Einheit $\frac{\pu{g}}{\pu{cm}^3}$.

Zwischen diesen Einheiten kann man folgendermaßen umrechnen:

$1\,000~\dfrac{\pu{kg}}{\pu{m}^3}=1~\dfrac{\pu{g}}{\pu{cm}^3}$

Dichten werden häufig verglichen. Mit der Dichte von Wasser ($1\,000~\frac{\pu{kg}}{\pu{m}^3}$) wird die Dichte anderer Stoffe verglichen, um zu prüfen, ob diese schwimmfähig sind. Besitzt ein massiver Körper eine höhere Dichte, wird dieser im Wasser sinken. Ist die Dichte des Körpers kleiner, so schwimmt er.

26336_Messung der Dichte

Dichte bestimmen

  • Um die Dichte eines unbekannten Körpers zu bestimmen, bestimmt man zunächst dessen Masse, indem man den Körper wiegt.
  • Außerdem muss man das Volumen bestimmen, das der Körper einnimmt. Dafür gibt es mehrere Wege.
  • Ist es ein einfacher geometrischer Körper, kann man seine Abmaße messen und dann sein Volumen berechnen.
  • Ist es ein unregelmäßiger Körper, nutzt man zum Beispiel die Überlaufmethode. Bei dieser wird der Körper vollständig in ein bis zum Rand mit Wasser gefülltes Gefäß getaucht und das Volumen des überlaufenden Wassers wird bestimmt. Dieses ist genauso groß wie das Volumen des Körpers, da nur das verdrängte Wasser übergelaufen ist.

Volumenbestimmung mit Hilfe der Überlaufmethode

  • Dann kann man aus den Messgrößen die Dichte des Körpers berechnen.

Dichtebestimmung – Feststoffe

Feststoffe besitzen im Vergleich zu Flüssigkeiten und Gasen eine hohe Dichte. Bei regelmäßigen Körpern wie einem Würfel kann das Volumen und damit die Dichte recht leicht bestimmt werden. Das Volumen eines Würfels errechnet sich durch die Multiplikation aller 3 Seitenlängen, also Höhe mal Breite mal Länge. Da bei einem Würfel alle Seiten gleich lang sind, kann man es vereinfachen zu Seitenlänge $a$ hoch 3.

$V_\text{Würfel}=a^3$

Für die Bestimmung der Masse brauchst du natürlich eine Waage. Der Rest ist Einsetzen in die Formel.

Archimedes_für_2020.jpg

Bei unregelmäßigen Körpern ist es aber etwas komplizierter. Eine Methode zur Volumenmessung von unregelmäßigen Körpern erfand Archimedes . Wenn ein Körper komplett in eine Flüssigkeit getaucht wird, verdrängt er genau sein eigenes Volumen an Wasser. Auf diese Weise kann man z. B. herausfinden, ob ein Gegenstand aus purem Gold oder nur vergoldet ist, da Gold eine spezifische Dichte aufweist.

Wusstest du schon?
Archimedes soll im Auftrag König Hierons II. von Sizilien die Echtheit einer neu angefertigten Krone aus Gold bestimmen. Dazu musste er natürlich irgendwie beweisen, dass die Krone aus Gold besteht – ohne sie zu beschädigen.
Beim Baden fiel ihm auf, dass sein Körper das Wasser verdrängte – er hatte eine Methode zur Bestimmung des Volumens eines beliebigen Festkörpers gefunden. Vor lauter Aufregung soll er nackt und ohne sich abzutrocknen durch die Straßen Syracus’ gerannt sein und “Heureka!” gerufen haben: Ich hab’s herausgefunden!

Dichtebestimmung – Flüssigkeiten und Gase

Natürlich besitzen auch Flüssigkeiten und Gase eine Dichte. Diese physikalische Größe ist eine Stoffkonstante, die abhängig ist von der Temperatur und dem Druck ist.

Flüssigkeiten besitzen keine feste Form. Sie nehmen die Form des Gefäßes an, in dem sie sich befinden. Darüber kann man auch ihr Volumen einstellen. Die Dichte von Flüssigkeiten kann wie folgt gemessen werden. Man gibt eine Flüssigkeit in ein Gefäß, auf dem das Volumen abgelesen werden kann.
Vorher muss dieses Gefäß gewogen werden. Das Gefäß wird dann samt Inhalt gewogen. Um nun die Masse der Flüssigkeit zu erhalten, musst du die Masse des Gefäßes von der Gesamtmasse abziehen. Es fehlt nur noch das Volumen, welches du am Gefäß ablesen kannst. Setze beide Größen nun in die Formel der Dichte ein und du erhältst die Dichte der gemessenen Flüssigkeit und kannst damit z. B. bestimmen, um welchen Stoff es sich handelt.

Gase haben weder eine feste Form, noch ein festes Volumen. Ihr Volumen ist nicht nur von der Temperatur, sondern auch vom Druck abhängig. Die Dichten von Gasen sind recht klein. Für die Berechnung des Volumens und anderen Größen für Gase bedient man sich des idealen Gasgesetzes.

$p\cdot~V=n\cdot~R\cdot~T$

Dichte berechnen

Bei typischen Dichteberechnungen sind Masse $m$ und das Volumen $V$ gegebene Größen. Ein Problem besteht oft in den gegebenen Einheiten.

Es gilt: $1\,000~\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}=1~\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}=1~\dfrac{\text{g}}{\text{m}\ell}=1~\dfrac{\text{kg}}{\ell}$

Dichte - Wasser

Die Dichte von Wasser beträgt etwa $1~\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}$. Welche Masse hat demnach das Wasser einer vollen Badewanne?

In eine Badewanne passen normalerweise $180~\ell$.

Gegeben: $V=180~\ell$ und $\varrho_\text{Wasser}=1~\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$

Gesucht: $m=~?$

Rechnung:

Aus $\varrho=\dfrac{m}{V}~$ folgt $~m=\varrho \cdot V$.

Das Volumen ist in Litern gegeben und die Dichte in Gramm pro Kubikzentimetern.
Um beides zu verknüpfen, müssen wir die Einheiten umrechnen.
Von oben wissen wir, dass gilt:

$1~\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}=1~\dfrac{\text{kg}}{\ell}$

Die Dichte von Wasser lässt sich also auch in Kilogramm pro Liter angeben:

$\varrho_\text{Wasser}=1~\dfrac{\text{kg}}{\ell}$

Also gilt:

$m=\varrho \cdot V = 1~\dfrac{\text{kg}}{\ell} \cdot 180~\ell = 180~\text{kg}$

Dichte – Beispiele aus dem Alltag

Die Dichte eines Durchschnittsmenschen liegt, je nachdem wie viel Luft er einatmet, zwischen $980\,\frac{\pu{kg}}{\pu{m}^3}$ und $1\,020\,\frac{\pu{kg}}{\pu{m}^3}$. Dies ermöglicht es uns, auf dem Wasser mit einer Dichte von $1\,000\,\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}$ zu treiben oder in diesem zu tauchen. Ist die Dichte des Wassers höher, wie im Toten Meer, fällt es uns sogar sehr schwer, unterzugehen.

Aber um wie ein Heliumballon durch die Luft zu schweben, ist unsere Dichte leider viel zu groß. Luft hat nur eine Dichte von $1{,}2041\,\frac{\pu{kg}}{\pu{m}^3}$. Und Helium hat gerade einmal eine Dichte von $0{,}1785\,\frac{\pu{kg}}{\pu{m}^3}$. Die Dichte bestimmt also maßgeblich, wie sich Körper in einem Medium verhalten.

Stoff Dichte in $\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$ Dichte in $\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$
Stahl $7\,850$ $7{,}85$
Gold $19\,300$ $19{,}3$
Marmor $2\,700$ $2{,}70$
Benzin ca. $750$ ca. $0{,}75$
Holz ca. $500$ ca. $0{,}5$
Öl $900$ $0{,}9$
Wasser $997$ $0{,}997$
Luft $1{,}225$ $0{,}001225$
Diamant $3\,500$ $3{,}5$
Kohle $1\,300$ $1{,}3$

Dichte – Zusammenfassung

  • Die Dichte ist eine Materialkonstante, die für einen bestimmten Stoff den Quotienten aus der Masse $m$ des Körpers, der aus diesem Stoff besteht, und seinem Volumen $V$ angibt. Das Formelzeichen ist $\varrho$.

  • Es gilt: $\varrho=\dfrac{m}{V}$

  • Einheiten der Dichte sind $\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$, $\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$ und $\dfrac{\text{g}}{\text{m}\ell}$.

  • Es gilt: $1~\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}=1000~\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}= 1~\dfrac{\text{g}}{\text{m}\ell}$

  • Zu beachten ist, dass die Dichte eines Stoffes insbesondere bei Gasen von Umgebungsbedingungen, wie Temperatur und Druck abhängig ist.

Dichte – Übungen

Ein Glaser möchte einen Spiegel herstellen. Er möchte dazu seine Glasscheibe auf ein Silberbad legen, um das Silber auf einer Seite des Spiegels aufzubringen. Wird die Glasscheibe auf dem Silber schwimmen?
Welches Volumen hat ein massiver Holzwürfel mit der Masse $m=2~\text{kg}$
Welchen Radius hat eine Kugel aus massivem Fein-Gold, wenn sie eine Masse $m=1~\text{kg}$ hat?

Häufig gestellte Fragen zum Thema Dichte

Was gibt die Dichte an?
Wie berechnet man die Dichte eines Körpers?
Wie berechnet man die Dichte eines Stoffes?
Wie bestimmt man die Dichte einer Flüssigkeit?
Was ist der Unterschied zwischen Masse und Dichte?
Warum ist die Dichte wichtig?
Welche Dichte hat Wasser?
Welche Dichte hat Luft?
Was hat die höchste Dichte?
Welche Einheit wird zur Messung der Dichte verwendet?
Warum ändert sich die Dichte eines Stoffes mit der Temperatur?
Welche Rolle spielt die Dichte in der Archimedes-Methode zur Bestimmung der Dichte?

Transkript Dichte – Verhältnis von Masse zu Volumen

Wenn sich ein Zug zur Feierabendzeit mit Menschen füllt, befindet sich mehr Masse in den Abteilen, wodurch auch die Masse des gesamten Zuges zunimmt. Masse ist eine Maßeinheit dafür, wie viel Materie oder wie viel von einem Stoff sich in einem Körper befindet. Obwohl sich die Masse des Zuges erhöht, wenn mehr Menschen einsteigen, erhöht sich sein Volumen nicht – deswegen erhöht sich die Dichte des Zuges. Dichte ist die Masse innerhalb eines bestimmten Volumens. Stahl besitzt eine Dichte von 8 Gramm pro Kubikzentimeter. Das bedeutet, dass ein Würfel aus Stahl mit einer Seitenlänge von einem Zentimeter eine Masse von 8 Gramm besitzt. Bei einem Kubikmeter wären das 8000 Kilogramm. Unterschiedliche Materialien besitzen unterschiedliche Dichten. Stahl besitzt eine höhere Dichte als Schaumstoff, der wiederum eine höhere Dichte als Luft besitzt. Oft wird die Dichte eines Körpers mit der von Wasser verglichen. Süßwasser besitzt eine Dichte von 1 Gramm pro Kubikzentimeter oder 1000 Kilogramm pro Kubikmeter. Stahl besitzt also eine Dichte, die achtmal größer als die von Wasser ist. Wenn ein Körper eine höhere Dichte als Wasser besitzt, geht er darin unter. Besitzt er eine geringere Dichte, schwimmt er auf dem Wasser. Wenn ein Objekt schwimmen kann, bezeichnet man es als schwimmfähig. Was wird also mit ein paar Stahlmünzen passieren, die man ins Wasser wirft? Ganz genau – sie sinken, da Stahl eine höhere Dichte als Wasser hat.

25 Kommentare
25 Kommentare
  1. War sehr hilfreich. Danke ;-)

    Von C., vor 4 Monaten
  2. Musik am anfang ist voll cool :=)

    Von Maki, vor 10 Monaten
  3. Hallo Moss, danke für die Rückmeldung! Ich finde Hintergrundmusik in Lernvideos meistens auch eher ablenkend. Wie haben gerade ein neues Video zur Dichte produziert – ohne Musik. Hoffentlich gefällt dir das besser!

    Von Martin Fuge, vor mehr als einem Jahr
  4. Ich hatte Schwierigkeiten, mich zu konzentrieren aufgrund der Musik im Hintergrund.

    Von Leonard, vor mehr als einem Jahr
  5. Und auch wahr das mit dem Zug...
    wie in Munchen

    Von Ursula Schnagl, vor mehr als 2 Jahren
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Dichte – Verhältnis von Masse zu Volumen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Dichte – Verhältnis von Masse zu Volumen kannst du es wiederholen und üben.
  • Nenne einen Grund für die Beobachtung, dass Münzen im Wasser untergehen.

    Tipps

    Auch große Transportschiffe sind aus Metall.

    Lösung

    Die Dichte eines Stoffs oder eines Gegenstandes ist das Verhältnis seiner Masse zu seinem Volumen. Sie entscheidet beispielsweise darüber, welche Stoffe in einem Medium, wie Wasser oder eine andere Flüssigkeit, untergehen und welche darauf schwimmen. Die Dichte der Münzen ist höher als die Dichte des Wassers. Aus diesem Grund gehen alle Münzen unter.

    Die Masse eines Gegenstands allein entscheidet nicht darüber, ob der Gegenstand untergeht.
    Auch das Material allein ist nicht ausschlaggebend. Ebenso wenig sagt nur die Größe eines Körpers etwas über seine Schwimmfähigkeit aus.

  • Ordne unterschiedliche Stoffe nach ihrer Dichte.

    Tipps

    Eine Stahlstange hat eine höhere Masse als eine Schaumstoffstange, wenn sie die gleichen Maße hat.

    Es gibt zylinderförmige Schwimmhilfen aus Schaumstoff.

    Lösung

    Körper haben manchmal die gleiche Form, können aber aus anderen Materialien, Stoffen oder Elementen mit unterschiedlicher Dichte bestehen.

    Luft ist ein Gasgemisch mit einer Dichte von etwa $\rho_{Luft}=1,2\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}$.
    Schaumstoff besteht meist aus Kunststoffschaum. Er lässt sich leicht zusammendrücken, da er viele kleine Hohlräume hat. Er kommt zum Beispiel für Küchenschwämme, Matratzen oder Schwimmhilfen zum Einsatz. Die Dichte von Schaumstoff kann $\rho_{Schaumstoff}=16-60\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}$ betragen.
    Die Dichte von Wasser beläuft sich üblicherweise auf $\rho_{Wasser}=1000\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}$. Salziges Wasser besitzt allerdings eine etwas höhere Dichte, die vom Salzgehalt abhängig ist.
    Stahl übernimmt in der Rangfolge den letzten Platz, da seine Dichte mit $\rho_{Stahl}=8000\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}$ wesentlich höher als die von Wasser ist.

  • Bestimme das Resultat eines Schichtungsexperimentes mit Flüssigkeiten unterschiedlicher Dichte.

    Tipps

    Eine Schichtung von Flüssigkeiten ist besonders gut möglich, wenn sie sich nicht miteinander mischen.

    Honig hat eine sehr hohe Dichte und würde in dem Versuch daher die unterste Schicht in dem Glas bilden.

    Lösung

    In einem Versuch wird Essig in ein leeres Glas gegossen. Anschließend wird Öl hinzugegeben. Es kann beobachtet werden, dass sich das Öl schnell auf dem Essig absetzt. Dies ist nicht verwunderlich, da es sich um zwei Flüssigkeiten mit unterschiedlicher Dichte handelt. Das Öl hat mit $\rho_{Öl}=0,910\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}$ eine geringere Dichte als der Essig mit $\rho_{Essig}=1,049\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}$.

    Nun wird vorsichtig – über den Rücken eines Löffels – Wasser am Rand des Glases hinzugegossen. Das Wasser hat eine Dichte von $\rho_{Wasser}=1,000\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}$. Daher kann beobachtet werden, dass sich eine Wasserschicht zwischen dem Essig und dem Öl bildet. Schließlich hat das Wasser eine höhere Dichte als das Öl, jedoch eine geringere Dichte als der Essig.

  • Erkläre die Dichteanomalie des Wassers.

    Tipps

    In einem tiefen See gibt es auch eine Schichtung von Wasser. Umso dichter das Wasser, desto tiefer liegt die Schicht.

    Lösung

    Die Abbildung zeigt zwei Diagramme. In beiden ist die Veränderung der Dichte $\rho$ über die Temperatur T dargestellt. Die Dichte des Wassers ist bei niedrigen Temperaturen bis zu 0 °C sehr niedrig. Das erklärt auch, weshalb Eisberge und Eiswürfel schwimmen. Ab 0 °C schmilzt Wasser und seine Dichte steigt stark an. Doch hier muss genauer hingesehen werden – daher das zweite Diagramm. Zwischen 0 bis 4 °C steigt die Dichte weiter an, ehe sie wieder abfällt. So erreicht Wasser seine größte Dichte von etwa $1000\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}$ bei einer Temperatur von etwa 4 °C.

    Aus diesem Grund hat die unterste Schicht des Gewässers im oberen Bild im Sommer und im Winter immer etwa 4 °C, während kälteres oder wärmeres Wasser aufgrund der geringeren Dichte in den oberen Schichten auftritt.

    Zur Dichteanomalie des Wassers zählt, dass sich die Dichte des Wassers sprunghaft verringert, wenn das Wasser gefriert. Die Dichte von Eis liegt deutlich unter der Dichte von flüssigem Wasser. Deshalb schwimmt Eis auf dem Wasser und geht nicht darin unter.

    Für die Lebewesen im Wasser ist die Dichteanomalie sehr wichtig, denn wenn das Eis bis auf den Grund sinken würde, oder sich das Wasser auf dem Grund bis unter 0 °C Celsius abkühlen würde, dann würden auch die Pflanzen und Tiere im Winter einfrieren und sterben. Zudem würde der Ozean ab einer bestimmten Tiefe ebenfalls nur aus Eis bestehen.

  • Nenne die Formel zur Berechnung der Dichte.

    Tipps

    Wenn die Masse steigt und das Volumen gleich bleibt, steigt die Dichte.

    Lösung

    Die Formel zur Berechnung der Dichte lautet:
    $\text{Dichte}=\frac{\text{Masse}}{\text{Volumen}}$
    Die Dichte ist also dann besonders hoch, wenn sich in einem kleinen Volumen viel Masse befindet.

  • Erläutere die dichteabhängige Fähigkeit eines Körpers, im Wasser zu schwimmen oder sinken.

    Tipps

    Ein Heißluftballon kann aufsteigen, weil er ein sehr großes Volumen mit geringerer Dichte als die ihn umgebende Luft hat.

    Erst wenn ein Luftballon mit viel Helium gefüllt wird, vergrößert sich sein Volumen. Dann wird seine durchschnittliche Dichte geringer als die Luft um ihn herum – er steigt auf.

    Lösung

    Für die Schwimmfähigkeit eines Schiffes sind nur dessen Volumen und die Masse ausschlaggebend. Diese beiden Größen bestimmen die Dichte des Körpers.

    Es ist daher naheliegend, Schiffe aus einem Material zu bauen, das selbst eine geringere Dichte als Wasser besitzt – wie zum Beispiel Holz. So wurde es in vergangenen Jahrhunderten auch gehandhabt. Das Material ist aber nicht entscheidend für die Schwimmfähigkeit. Verwendet man ein Material, das eine größere Dichte als Wasser besitzt, muss das Volumen durch Hohlräume vergrößert werden, bis die Gesamtdichte des Schiffes kleiner als die von Wasser ist.

    Auf diese Art und Weise können Schiffe sogar aus Stahl gebaut werden. Obwohl ein massiver Körper aus Stahl im Wasser sinken würde, schwimmt ein Schiff aus Stahl, weil es über genügend große Hohlräume im Inneren verfügt.