Freier Fall als beschleunigte Bewegung

Freier Fall als beschleunigte Bewegung Übung

• Vervollständige den Text über den freien Fall.

  Tipps

  Ein anderes Wort für Gravitationskraft ist Schwerkraft.

  Die Gravitationskraft geht von der Masse der Erde aus. Sie wirkt also in Richtung des Massezentrums.

  Gleichförmig beschleunigt bedeutet, dass die Beschleunigung gleich bleibt, dass sich also die Kraft nicht verändert.

  Gleichförmig bedeutet, dass keine Beschleunigung wirkt.

  Geradlinig bedeutet, dass die Bewegung keine Kurven enthält.

  Lösung

  Die Gravitationskraft wird umgangssprachlich auch Schwerkraft genannt. Dieser Name ist intuitiv nachvollziehbar. Denn das, was sich anzieht, sind die schweren Massen von zwei Körpern – hier die Massen von der Erde und von der fallenden Person.
  Im Vergleich dazu kommt es zum Beispiel bei der elektromagnetischen Kraft auf die Ladung der Körper an.

  In guter Näherung ist die Masse der Erde gleichmäßig in einer Kugelsymmetrie verteilt. Dies erklärt zum einen, warum die Erdbeschleunigung überall auf der Erdoberfläche fast gleich ist, und zum anderen, warum die Kraft in Richtung des Erdmittelpunktes wirkt.

  Die Vernachlässigung von Reibung bzw. dem Luftwiderstand ist eine Vereinfachung gegenüber der Realität. Die bremsende Kraft der Luft ist proportional zu der Fallgeschwindigkeit zum Quadrat $(v^2)$. Da die Geschwindigkeit am Anfang des freien Falls null ist und nur allmählich ansteigt, ist die Vereinfachung für kurze Fallzeiten unerheblich.

  In der Physik sind die Schlagworte „gleichförmig“, „geradlinig“ und „beschleunigt“ sehr wichtig, weil sie einem sofort mitteilen, mit welchen mathematischen Formeln man die Bewegung beschreiben kann. Beim freien Fall handelt es sich um eine gleichförmig beschleunigte, geradlinige Bewegung.

  Geradlinig heißt, die Bewegung erfolgt nur in eine Richtung.

  Beschleunigt heißt, die Geschwindigkeit ändert sich mit der Zeit.

  Gleichförmig beschleunigt heißt, die Beschleunigung ist die ganze Zeit gleich. Das heißt, es ändert sich weder ihr Betrag noch ihre Richtung.

• Ordne die physikalischen Größen ihren Bedeutungen zu.

  Tipps

  Die Fallbeschleunigung $g$ entspricht in allgemeineren physikalischen Formeln der Beschleunigung $a$. Eine Beschleunigung führt zu einer Geschwindigkeitsänderung.

  Die Fallhöhe $h$ entspricht in den üblichen Gleichungen der Mechanik der Strecke $s$, also einem zurückgelegten Weg.

  Die Fallgeschwindigkeit $v$ gibt an, wie schnell sich ein Körper im freien Fall bewegt.

  Lösung

  Der freie Fall lässt sich mit den Gleichungen für die gleichförmig beschleunigte, geradlinige Bewegung beschreiben. Es gilt:

  Geschwindigkeit $v$ zum Zeitpunkt $t$:

  $v(t) = a \cdot t + v_0$

  Zurückgelegte Strecke $s$ zum Zeitpunkt $t$:

  $s(t) = \dfrac{1}{2}\cdot a \cdot t^2 + v_0 \cdot t + s_0$

  Dabei ist $a$ die Beschleunigung. Größen mit einer kleinen tiefgestellten $0$ stehen für Anfangswerte. Das heißt, $v_0$ ist die Geschwindigkeit, die der Körper hatte, als die Messung begonnen hat, und $s_0$ ist der Abstand von einem gedachten Nullpunkt bei Start der Messung.

  Man kann den Startpunkt $s_0$ immer auf null setzen – dadurch ändert sich nichts an der Physik!

  Beim freien Fall setzen wir außerdem die Startgeschwindigkeit (in Fallrichtung) $v_0$ auf null. Die Beschleunigung ist hier die Fallbeschleunigung $g$. Der zurückgelegte Weg ist die Fallhöhe $h$.

  So vereinfachen und verändern sich die Formeln zu:

  Fallgeschwindigkeit $v$ zum Zeitpunkt $t$:

  $v(t) = g \cdot t$

  Fallhöhe bzw. Fallstrecke $h$ zum Zeitpunkt $t$:

  $h(t) = \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot t^2$

  Werfen wir abschließend noch einen Blick auf die Einheiten der ganzen Größen:

  • Die Fallzeit wird in $\text{s}$ angegeben,
  • die Fallbeschleunigung in $\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$,
  • die Fallhöhe in $\text{m}$ und
  • die Fallgeschwindigkeit in $\frac{\text{m}}{\text{s}}$.

• Berechne, wie lange es dauert, bis Newton vom Apfel getroffen wird.

  Tipps

  Die Fallhöhe $h$ ist die Distanz zwischen der ursprünglichen Höhe des Apfels und Newtons Kopf.

  Würde zum Beispiel ein Ziegel von einem $10~\text{m}$ hohen Dach auf ein $2~\text{m}$ hohes Auto fallen, wäre die Fallhöhe des Ziegels ${h = 10~\text{m} - 2~\text{m} = 8~\text{m}}$.

  Du musst die Fallhöhe $h$ und die Fallbeschleunigung $g$ in diese Gleichung einsetzen:

  $t = \sqrt{\dfrac{2\cdot h}{g}}$

  Dafür musst du zuerst die Fallhöhe $h$ berechnen.

  Die Fallbeschleunigung $g$ ist hier die Erdbeschleunigung.

  Lösung

  Zur Erinnerung: Die Formel für die Fallzeit ergibt sich durch die Umstellung der Formel der Fallhöhe.

  Du kannst die Formel für die Fallhöhe so umstellen:

  $\begin{array}{rll} h &= \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 &\vert \cdot 2\\ 2\cdot h &= g \cdot t^2 &\vert : g\\ \dfrac{2\cdot h}{g} &= t^2 &\vert \sqrt{\ }\\ t &= \sqrt{ \dfrac{2\cdot h}{g} } & \end{array}$

  Die Fallhöhe ist die Distanz zwischen der ursprünglichen Höhe des Apfels und Newtons Kopf, also:

  $h = 12~\text{m} - 1~\text{m} = 11~\text{m}$

  Setzen wir die Fallhöhe und die Erdbeschleunigung $g = 9{,}81 ~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ ein, ergibt sich:

  $t = \sqrt{ \dfrac{2 \cdot 11~\text{m} } {9{,}81~\frac{\text{m}} {\text{s}^2} }} = 1{,}50~\text{s}$

• Bestimme die Tiefe des Brunnens.

  Tipps

  Achtung: Einheiten nicht vergessen!

  Du benötigst die Formel für die Fallstrecke.

  Die Formel für die Fallstrecke ist diese:

  ${h = \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot t^2}$

  Lösung

  Egal ob Fallschirmabsprung, Apfel oder Stein: Alles fällt auf der Erde im freien Fall mit der Erdbeschleunigung $g$ und folgt dabei den Gesetzen der gleichförmig beschleunigten, geradlinigen Bewegung.

  In dieser Aufgabe war die Fallstrecke gesucht. Dass sie hier $z$ und nicht $s$ oder $h$ heißt, ist unerheblich. Es gilt:

  $z(t) = \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot t^2$

  Wir wissen aus der Messung von Tim, dass die Fallzeit $t=3~\text{s}$ beträgt. In der Aufgabenstellung steht, dass du mit $g = 10~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ rechnen sollst. Setzen wir diese beiden Werte in die Formel ein, ergibt sich:

  $\begin{array}{ll} z(t) &= \dfrac{1}{2} \cdot 10~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot (3~\text{s})^2\\ &= 5~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 9~\text{s}^2\\ &= \color{#99CC00}{45~\text{m}} \end{array}$

  Hinweis:

  Bei dieser Rechnung haben wir ein paar Vereinfachungen gegenüber der Realität vorgenommen. Wie immer beim freien Fall bleiben Luftwiderstand und Reibung unbeachtet. Hier kommt aber noch eine zusätzliche Vereinfachung dazu: Bis Tim das Aufschlagen des Steins hört, muss der Schall auch noch vom Grund des Brunnens zu Tim zurücklaufen.

  Die gemessene Zeit setzt sich demnach zusammen aus der Fallzeit des Steins ($t_F$) und der Schalllaufzeit ($t_S$).

  Um die tatsächliche Tiefe des Brunnens zu bestimmen, müssen wir beide Zeiten zusammenrechnen. Mit der Fallzeit im freien Fall haben wir uns schon viel beschäftigt. Sie ist $t_F = \sqrt{\dfrac{2\cdot z}{g}}$. Die Schalllaufzeit ergibt sich aus der zurückgelegten Strecke des Schalls, also der Tiefe $z$ des Brunnens und der Schallgeschwindigkeit $v_S =340~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$. Dann gilt:

  $\begin{array}{ll} 3~\text{s} &= t_F + t_S\\ &= \sqrt{\dfrac{2\cdot z}{g}} + \dfrac{z}{v_S} \end{array}$

  Diese Gleichung können wir mit einem kleinen Trick lösen: Wir denken uns eine neue Variable $x$ aus und definieren sie als $x :~= \sqrt{z}$. Mit dieser neuen Variable wird die Gleichung zu einer einfachen quadratischen Gleichung, die wir zum Beispiel mit der $pq$-Formel lösen können:

  $\begin{array}{ll} 3 &= \sqrt{\dfrac{2}{g}} \cdot x + \dfrac{1}{v_S} \cdot x^2\\ &\Rightarrow x^2 + v_S \cdot \sqrt{\dfrac{2}{g}} \cdot x - v_S \cdot 3 = 0 \end{array}$

  Mit der $pq$-Formel ermitteln wir:

  $x \approx 6{,}44$

  Mit unserer Definition $x :~= \sqrt{z}$ können wir jetzt leicht $z$ finden, indem wir das Ergebnis von $x$ quadrieren. Wir erhalten eine Brunnentiefe von $z \approx 41{,}47~\text{m}$.

  Durch die Vernachlässigung der Schalllaufzeit haben wir die Brunnentiefe also um etwa $3{,}5~\text{m}$ überschätzt.

  So oder so ist es jedoch keine gute Idee, dass Tim einfach in den Brunnen springt!

• Vervollständige die Zusammenfassung der wichtigsten Gleichungen des freien Falls.

  Tipps

  Die Beschleunigung hat in dieser Aufgabe nicht – wie sonst üblich – das Formelzeichen $a$.

  Das Formelzeichen für die Fallgeschwindigkeit leitet sich von dem lateinischen Begriff „velocitas“ ab.

  Das Formelzeichen für die (Fall-)Strecke steckt im Wort. Manchmal wird beim freien Fall statt diesem Formelzeichen auch ein $h$ für Fallhöhe verwendet.

  Lösung

  Größen, die am Anfang eines physikalischen Vorgangs gemessen oder angenommen werden, werden üblicherweise mit einer kleinen tiefgestellten Null gekennzeichnet. Gemeint ist der Zeitpunkt $t=0$. Es ist also nur eine Kurzschreibweise für $v(t=0)=v_0$ und sagt im Allgemeinen nichts über den konkreten Wert der Größe aus. Beim freien Fall nehmen wir aber an, dass der fallende Körper vorher in Ruhe war, also eine Anfangsgeschwindigkeit $v_0=0$ in Fallrichtung hat.

  Die Fallbeschleunigung $g$ ist annähernd eine Konstante mit dem Wert $9{,}81~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ auf der Erde. Sollst du irgendetwas zum freien Fall ausrechnen, weißt du, dass du für $g$ keine Information aus der Aufgabe einsetzen musst. Du kannst dir zur Vereinfachung vorstellen, dass anstelle von $g$ eine $10$ in der Formel steht.

  In der Physik hat die Zeit immer das Formelzeichen $t$. Dieses leitet sich von dem lateinischen Wort „tempus“ ab.

  Die Formel für die Fallgeschwindigkeit kommt dir bestimmt aus anderen Physikaufgaben bekannt vor. Bei jeder beschleunigten Bewegung kann man die Geschwindigkeit nach einer bestimmten Zeit $t$ dadurch berechnen, dass man die Beschleunigung $a$ mit der verstrichenen Zeit $t$ multipliziert.

  Beim freien Fall ist diese Beschleunigung die Fallbeschleunigung $g$. Wie $g$ haben alle Beschleunigungen die Einheit $\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$. Wenn man eine Beschleunigung mit einer Zeit (in Sekunden, $\text{s}$) multipliziert, kürzen sich die Sekunden und als Einheit bleibt $\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ übrig – das ist die richtige Einheit für Geschwindigkeiten.

  Auch die Formel für die Fallstrecke kommt dir bestimmt bekannt vor. Sie ist ebenfalls genau die gleiche, die man für jede gleichförmig beschleunigte, geradlinige Bewegung verwendet. Wenn du weißt, dass du eine Strecke in Meter ausrechnen willst, dann kannst du dir leicht herleiten, dass du bei dieser Formel die Zeit quadrieren musst, damit sich das $\text{s}^2$ aus dem Nenner bei der Beschleunigung wegkürzt. Danach musst du nur noch an den Faktor $\dfrac{1}{2}$ denken.

• Entscheide, welche Aussagen über den freien Fall auf Merkur und Jupiter zutreffen.

  Tipps

  Erinnere dich an die Formeln für die gleichmäßig beschleunigte, geradlinige Bewegung.

  Es gilt:

  $h(t) = \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot t^2$ und ${v(t) = g \cdot t}$

  Wie schwer uns ein Objekt erscheint, hängt von der Größe der Schwerkraft ab, die auf das Objekt wirkt. Die Schwerkraft berechnet sich als ${F = m \cdot g}$, wobei $m$ die Masse von dem Objekt ist.

  Lösung

  Die Fallzeit berechnen wir mit der folgenden Formel:

  $t = \sqrt{\dfrac{2 \cdot h}{g}}$

  Für Jupiter und Merkur müssen wir in dieser Formel jeweils die dort geltende Schwerebeschleunigung einsetzen. Es gilt demnach:

  $t_{\text{Erde}} = \sqrt{\dfrac{2 \cdot h} {g_{\text{Erde}} } } \qquad t_{\text{Planet}} = \sqrt{\dfrac{2 \cdot h} {g_{\text{Planet}} } }$

  Diese beiden Gleichungen können wir zu einer zusammenfassen, indem wir beide Gleichungen nach $2\cdot h$ auflösen und dann gleichsetzen:

  ${2\cdot h = g_{\text{Erde}} \cdot t_{\text{Erde}}^2} \qquad {2\cdot h = g_{\text{Planet}} \cdot t_{\text{Planet}}^2}$

  $\implies g_{\text{Erde}} \cdot t_{\text{Erde}}^2 = g_{\text{Planet}} \cdot t_{\text{Planet}}^2$

  Wir formen jetzt nach $t_{\text{Planet}}$ um:

  $t_{\text{Planet}} = \sqrt{\dfrac{g_{\text{Erde}}}{g_{\text{Planet}} } } \cdot t_{\text{Erde}}$

  Hier sehen wir, dass das Verhältnis der Fallzeiten auf unterschiedlichen Planeten dem Faktor $\sqrt{\dfrac{g_{\text{Erde}}}{g_{\text{Planet}}}}$ entspricht. Setzen wir die jeweiligen Schwerebeschleunigungen ein, erhalten wir für die Venus etwa $1{,}6$ und für den Jupiter etwa $0{,}6$.

  $\Rightarrow$ Die Aussage „Die Fallzeit eines Objektes auf dem Merkur ist $3{,}7$-mal größer als auf der Erde und auf dem Jupiter $24{,}8$-mal kleiner.“ ist demnach falsch.

  Für die Fallgeschwindigkeit gilt diese Formel:

  $v = g \cdot t$

  Da die Fallzeit auf allen Planeten gleich, nämlich $10~\text{s}$, sein soll, ist wieder nur die Schwerebeschleunigung der Planeten unterschiedlich und wir können die Gleichungen zusammenfassen. Es gilt:

  $v_{\text{Planet}} = \dfrac{g_{\text{Planet}}}{g_{\text{Merkur}}} \cdot v_{\text{Merkur}}$

  Wir sehen: Das Verhältnis der Fallgeschwindigkeiten entspricht genau dem Verhältnis der Schwerebeschleunigungen zueinander. Es gilt also:

  $\begin{array}{lccr} v_{\text{Erde}} &= 2{,}6 \cdot v_{\text{Merkur}}\\ v_{\text{Jupiter}} &= 6{,}7 \cdot v_{\text{Merkur}} \end{array}$

  $\Rightarrow$ Die Aussage „Lässt man den gleichen Gegenstand auf Erde, Merkur und Jupiter fallen und misst die Fallgeschwindigkeit jeweils nach $10~\text{s}$, stellt man fest, dass das Objekt auf dem Merkur am langsamsten fällt, auf der Erde etwa $2{,}6$-mal so schnell und auf dem Jupiter etwa $6{,}7$-mal so schnell.“ ist demnach richtig.

  Für die Fallhöhen verwenden wir folgende Formel:

  $h(t) = \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot t^2$

  In dieser Formel sehen wir, dass die Fallhöhe $h$ und die Schwerebeschleunigung proportional zueinander sind.

  $\Rightarrow$ Die Aussage „Die Fallhöhe auf einem Planeten nach einer bestimmten Zeit ist umgekehrt proportional zu der Fallbeschleunigung dieses Planeten.“ ist falsch.

  Wenn wir in die Gleichung zur Fallhöhe die jeweiligen Werte der Schwerebeschleunigung auf den verschiedenen Planeten und die Fallzeit von $10~\text{s}$ einsetzen, dann können wir überprüfen, dass die folgende Aussage stimmt:

  „Nach $10~\text{s}$ Fallzeit wäre ein Objekt auf dem Jupiter bereits etwa $1\,240~\text{m}$ gefallen, auf der Erde etwa $490~\text{m}$ und auf dem Merkur nur etwa $185~\text{m}$.“

  $\begin{array}{rcl} h_{\text{Jupiter}}=& \dfrac{1}{2} \cdot 24{,}8~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 10^2~\text{s}^2 &=1\,240~\text{m}\\ & & \\ h_{\text{Erde}} =& \dfrac{1}{2} \cdot 9{,}8~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 10^2~\text{s}^2 &= 490~\text{m}\\ & & \\ h_{\text{Merkur}} =& \dfrac{1}{2} \cdot 3{,}7~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 10^2~\text{s}^2 &= 185~\text{m} \end{array}$

  Betrachten wir abschließend noch die Aussage: „Wenn wir versuchen würden, ein Objekt auf dem Merkur bzw. Jupiter hochzuheben, würde es sich für uns wegen der geänderten Schwerebeschleunigung leichter (Merkur) bzw. schwerer (Jupiter) anfühlen.“

  $\Rightarrow$ Die Aussage ist wahr, was dir wahrscheinlich sofort intuitiv klar war. Aber das können wir natürlich auch berechnen:

  Wie schwer uns etwas erscheint, hängt davon ab, welche Kraft wir aufbringen müssen, um das Objekt anzuheben. Oder anders formuliert: Es hängt davon ab, wie groß die Schwerkraft ist, die wir überwinden müssen.

  Die Schwerkraft hat die folgende Formel:

  $F_g = m \cdot g$, wobei $m$ die Masse des Objektes ist, auf das die Schwerkraft wirkt, und $g$ die Schwerebeschleunigung

  Wenn wir ein Gewicht schätzen sollen, dann gehen wir von der uns bekannten Schwerebeschleunigung von $9{,}8~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ aus. Da dieser Wert auf anderen Planeten anders ist, rechnen wir den Unterschied der Masse des Objektes zu. Mathematisch könnte man das so ausdrücken:

  $\begin{array}{ll} F_{g,\,\text{Planet}} &= m \cdot g_{\text{Planet}} \\ &= m \cdot \left( x \cdot g_{\text{Erde}} \right)\\ &= \left( x \cdot m \right) \cdot g_{\text{Erde}} \end{array}$

  Der Ausdruck $\left( x \cdot m \right)$ beschreibt die gesuchte scheinbare Masse auf einem anderen Planeten, wobei gilt:

  ${x = \dfrac{g_{\text{Planet}}}{g_{\text{Erde}}}}$

  Auf dem Jupiter erscheinen uns deswegen Objekte $2{,}5$-mal schwerer als auf der Erde. Auf dem Merkur würden sie uns $0{,}4$-mal so leicht vorkommen. Eine volle $1~\ell$ Flasche Wasser würde auf dem Merkur demnach nur $400~\text{g}$ wiegen, auf dem Jupiter hingegen $2{,}5~\text{kg}$!