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Bremsvorgang – gleichmäßig verzögerte Bewegung
Erfahre, wie die Physik einen Bremsvorgang beschreibt und was gleichmäßig verzögerte Bewegung bedeutet. Entdecke die Unterschiede zur gleichmäßig beschleunigten Bewegung und lerne die Formeln und Diagramme kennen. Interessiert? Das und vieles mehr findest du im folgenden Text!
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Grundlagen zum Thema Bremsvorgang – gleichmäßig verzögerte Bewegung
Der Bremsvorgang in der Physik
Hast du dich schon einmal gefragt, wie man einen Bremsvorgang beschreibt? Wenn ein Objekt mit einer konstanten Kraft abgebremst wird, bezeichnet man das in der Physik als gleichmäßig verzögerte Bewegung. Wir wollen uns im Folgenden genauer mit diesem Prozess beschäftigen.
Die gleichmäßig verzögerte Bewegung
Definition
Wir bezeichnen eine Bewegung als gleichmäßig verzögert, wenn eine konstante Beschleunigung $a$ der Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ entgegenwirkt.
Diese Definition kommt dir sicher bekannt vor. Sie ist der Definition der gleichmäßig beschleunigten Bewegung sehr ähnlich. Um den Unterschied zwischen der gleichmäßig verzögerten Bewegung und der gleichmäßig beschleunigten Bewegung zu erkennen, schauen wir uns noch einmal die Definition der Beschleunigung $a$ an. Diese ist definiert als die Änderung der Geschwindigkeit $\Delta v$ pro Zeitintervall $\Delta t$:
$a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1}$
In dieser Gleichung sind $t_1$ und $t_2$ die Zeitpunkte, zu denen die Geschwindigkeiten $v_1$ und $v_2$ gemessen werden. Dabei ist $t_2 > t_1$. Bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung wird die Geschwindigkeit mit der Zeit größer, also ist $v_2 > v_1$. Bei einer verzögerten Bewegung hingegen, also bei einem Bremsvorgang, wird die Geschwindigkeit mit der Zeit kleiner. Also ist $v_2 < v_1$. Daraus folgt, dass $v_2 - v_1$ negativ ist, und damit ist auch $a$ negativ. Der Unterschied zwischen einer beschleunigten und einer verzögerten Bewegung ist also das Vorzeichen der Beschleunigung. Man sagt deswegen auch, dass ein Bremsvorgang eine negative Beschleunigung ist.
Gleichmäßig verzögerte Bewegung – Diagramm
Mit diesem Wissen kennen wir auch schon die Formeln, mit denen man eine gleichmäßig verzögerte Bewegung berechnen kann – der einzige Unterschied zur gleichmäßig beschleunigten Bewegung ist ja das Vorzeichen von $a$. Wir können also dieselben Formeln nutzen, um ein Diagramm zu zeichnen. Wir müssen lediglich beachten, dass $a$ negativ ist. Zur Erinnerung schreiben wir die Formeln noch einmal auf. Wir beginnen mit der Formel für die Geschwindigkeit $v(t)$:
$v(t) = at + v_0$
Hier ist $t$ die Zeit, $v_0$ die Anfangsgeschwindigkeit und $a$ die Beschleunigung. Diese Gleichung beschreibt eine Gerade mit dem y-Achsenabschnitt $v_0$. Bei einer Beschleunigung steigt die Gerade mit fortschreitender Zeit $t$ an. Da $a$ bei der verzögerten Bewegung negativ ist, fällt die Gerade mit wachsendem $t$ ab:
Jetzt betrachten wir die zurückgelegte Strecke. Die Formel für die Strecke $s(t)$ lautet:
$s(t) = \frac{1}{2}at^{2}+v_0t$
Für eine beschleunigte Bewegung beschreibt diese Gleichung eine nach oben geöffnete Parabel. Durch das negative Vorzeichen bei der verzögerten Bewegung wird daraus eine nach unten geöffnete Parabel. Wir zeichnen die Parabel allerdings nur bis zu ihrem Scheitelpunkt – das ist gerade der Punkt, an dem die Geschwindigkeit null wird.
Mit diesem Wissen kannst du, je nachdem, welche Werte du gegeben hast, leicht den Bremsweg oder die negative Beschleunigung eines Beispielvorgangs berechnen. Du musst die Werte nur entsprechend in die Formeln einsetzen und umformen.
Anmerkung zu dem Video Bremsvorgang – gleichmäßig verzögerte Bewegung
Wir haben in diesem Text und Video die gleichmäßig verzögerte Bewegung betrachtet. Das bedeutet, dass wir angenommen haben, dass die negative Beschleunigung $a$ konstant ist, also immer den gleichen Wert hat. Bei den meisten Bremsvorgängen, die du im Alltag beobachten kannst, ist diese Annahme allerdings nicht korrekt. Beim Bremsen mit dem Fahrrad oder Auto hängt die Bremskraft, also die negative Beschleunigung, zum Beispiel von der Geschwindigkeit ab. Allerdings wird die Berechnung der Geschwindigkeit und der Strecke in diesem Fall kompliziert. Deswegen rechnet man in Aufgaben meistens vereinfacht mit einer konstanten negativen Beschleunigung.
Kurze Zusammenfassung zum Video Bremsvorgang – gleichmäßig verzögerte Bewegung
In diesem Video lernst du, was der Unterschied zwischen einer gleichmäßig beschleunigten und einer verzögerten Bewegung ist. Du lernst die wichtigsten Formeln und Diagramme kennen. Im Video wird dir außerdem anhand eines Beispiels gezeigt, wie du eine konkrete Rechenaufgabe lösen kannst. Neben Text und Video findest du außerdem interaktive Übungen.
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30 Tage kostenlos testenBremsvorgang – gleichmäßig verzögerte Bewegung Übung
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Beschreibe die zurückgelegte Strecke eines bremsenden Autos.
TippsDas Auto fährt vorwärts in Richtung der Bremsung.
Die Beziehung zwischen der zurückgelegten Strecke und der Zeit ist nicht linear, sondern quadratisch.
Die zurückgelegte Strecke nimmt ab, da das Auto langsamer wird und schließlich zum Stillstand kommt.
Lösung- Die gesamte zurückgelegte Strecke ist negativ.
$\implies$ Diese Aussage ist falsch.- Die Zunahme der zurückgelegten Strecke wird immer geringer.
$\implies$ Diese Aussage ist richtig.- Die zurückgelegte Strecke nimmt linear ab.
$\implies$ Diese Aussage ist falsch.- Die zurückgelegte Strecke bleibt unverändert.
$\implies$ Diese Aussage ist falsch. -
Vervollständige die beiden Diagramme.
TippsIn einem Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm wird die Geschwindigkeit des Fahrzeugs (oder Objekts) über der Zeit dargestellt.
In einem Weg-Zeit-Diagramm wird der zurückgelegte Weg des Fahrzeugs (oder Objekts) über der Zeit dargestellt.
LösungEin Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm und ein Weg-Zeit-Diagramm einer gleichmäßig verzögerten Bewegung, wie sie bei einem Bremsvorgang auftreten, können wie folgt beschrieben werden:
Bremsvorgang im Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm (blauer Graph)
In einem Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm wird die Geschwindigkeit des Fahrzeugs (oder Objekts) über der Zeit dargestellt.
Bei einem Bremsvorgang mit gleichmäßiger Verzögerung beginnt die Geschwindigkeit des Fahrzeugs positiv, da es sich zunächst vorwärts bewegt.
Die Geschwindigkeit nimmt jedoch kontinuierlich ab, da die Bremskraft wirkt und das Fahrzeug verlangsamt.
Die Verzögerung erfolgt gleichmäßig. Daher zeigt das Diagramm eine lineare Abnahme der Geschwindigkeit über der Zeit an.
Die Geschwindigkeit erreicht schließlich den Wert null, wenn das Fahrzeug vollständig zum Stillstand kommt.
Die Kurve im Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm ist also eine Gerade, die von der Anfangsgeschwindigkeit des Fahrzeugs ausgeht und sich gleichmäßig in Richtung null bewegt.Bremsvorgang im Weg-Zeit-Diagramm (violetter Graph)
In einem Weg-Zeit-Diagramm wird der zurückgelegte Weg des Fahrzeugs (oder Objekts) über der Zeit dargestellt.
Da die Geschwindigkeit des Fahrzeugs im Laufe des Bremsvorgangs abnimmt, nimmt auch die Steigung der Kurve im Weg-Zeit-Diagramm ab.
Am Anfang ist die Steigung der Kurve hoch. Dies deutet darauf hin, dass das Fahrzeug eine große Strecke in kurzer Zeit zurücklegt, da es schnell ist.
Mit fortschreitender Zeit und zunehmender Bremsung nimmt die Steigung der Kurve ab, da das Fahrzeug langsamer wird und somit weniger Strecke pro Zeiteinheit zurücklegt.
Schließlich erreicht die Kurve den Punkt, an dem die Steigung null ist. Dies weist darauf hin, dass das Fahrzeug zum Stillstand gekommen ist und keinen zusätzlichen Weg zurücklegt.
Die Form der Kurve im Weg-Zeit-Diagramm ist gekennzeichnet durch eine allmähliche Abnahme. Sie spiegelt wider, wie die zurückgelegte Strecke im Laufe der Zeit abnimmt. -
Berechne den Bremsweg des Autos.
TippsFür eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung gilt für die Geschwindigkeit $v$:
$v=a\cdot t+v_0$
Da $v$ die Endgeschwindigkeit angibt und das Auto zum Stehen kommen soll, ist $v=0$.
Um $v_0$ in $\frac{\text{m}}{\text{s}}$ umzurechnen, teilst du durch $3{,}6$.
Für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung gilt für den Weg $s$:
$s=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot t^2+v_0\cdot t+s_0$
Dabei ist $s_0$ der Anfangsweg des Autos, der hier vernachlässigt wird, da das Auto bei $t=0$ bereits fährt.
LösungZunächst berechnen wir die Bremszeit $t$ mithilfe dieser Formel:
$v=a\cdot t+v_0~~~~~~~~~|-v_0$
$v-v_0=a\cdot t$
Da $v$ die Endgeschwindigkeit angibt und das Auto zum Stehen kommen soll, ist $v=0$:
$0-v_0=a\cdot t~~~~~~~~~|:a$
$\dfrac{-v_0}{a}=t$
Dabei ist $v_0$ die Anfangsgeschwindigkeit des Autos und $a$ die Bremsverzögerung. Aus der Aufgabenstellung sind folgende Werte gegeben:
- $v_0=30~\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$
- $a=-3~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$
Um $v_0$ in $\frac{\text{m}}{\text{s}}$ umzurechnen, teilen wir durch $3{,}6$:
$v_0=30~\dfrac{\text{km}}{\text{h}}:3{,}6=8{,}33~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$
Nun setzen wir die Werte in die Formel ein:
$t=\dfrac{-8{,}33~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}}{-3~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}}$
$\Rightarrow t \approx 2{,}78~\text{s}$
Jetzt können wir den Bremsweg $s$ berechnen, indem wir diese Formel verwenden:
$s=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot t^2+v_0\cdot t+s_0$
Dabei ist $s_0$ der Anfangsweg des Autos, der hier vernachlässigt wird, da das Auto bei $t=0$ bereits fährt.
Wir setzen die Werte ein:
$s=\dfrac{1}{2}\cdot \left( -3~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}\right)\cdot ({2{,}78~\text{s}})^2+8{,}33~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 2{,}78~\text{s}$
$\Rightarrow s \approx 11{,}57~\text{m}$
Der Bremsweg beträgt also ungefähr $11{,}57~\text{m}$.
-
Bestimme, ob der Bremsweg ausreicht, um das Hindernis nicht zu treffen.
TippsFür eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung gilt für die Geschwindigkeit $v$:
$v=a\cdot t+v_0$
Für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung gilt für den Weg $s$:
$s=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot t^2+v_0\cdot t+s_0$
Dabei ist $s_0$ der Anfangsweg des Autos, der hier vernachlässigt wird, da das Auto bei $t=0$ bereits fährt.
Weil der Fahrer allerdings noch eine Reaktionszeit hat, bevor mit dem Bremsen anfängt, musst du zu der Formel noch $+ v_0\cdot t_R$ hinzufügen.
LösungZunächst berechnen wir die Bremszeit $t$ mithilfe folgender Formel:
$v=a\cdot t+v_0~~~~~~~~~|-v_0$
$\Rightarrow v-v_0=a\cdot t$
Da $v$ die Endgeschwindigkeit angibt und das Auto zum Stehen kommen soll, ist $v=0$:
$0-v_0=a\cdot t~~~~~~~~~|:a$
$\Rightarrow \dfrac{-v_0}{a}=t$
Hier beschreibt $v_0$ die Anfangsgeschwindigkeit des Autos und $a$ die Bremsverzögerung. Aus der Aufgabenstellung sind folgende Werte gegeben:
- $v_0=50~\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$
- $a=-6~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$
Um $v_0$ in $\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ umzurechnen, teilen wir durch $3{,}6$:
$v_0=50~\dfrac{\text{km}}{\text{h}}:3{,}6=13{,}89~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$
Nun setzen wir die Werte in die Formel ein:
$t=\dfrac{-13{,}89~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}}{-6~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}}$
$\Rightarrow t \approx 2{,}32~\text{s}$
Jetzt können wir den Bremsweg $s$ berechnen, indem wir folgende Formel verwenden:
$s=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot t^2+v_0\cdot t+s_0$
Dabei ist $s_0$ der Anfangsweg des Autos, der hier vernachlässigt wird, da das Auto bei $t=0$ bereits fährt. Da der Fahrer allerdings noch eine Reaktionszeit hat, bevor er mit dem Bremsen anfängt, müssen wir zu der Formel noch ${+ v_0\cdot t_R}$ hinzufügen:
$s=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot t^2+v_0\cdot t+v_0\cdot t_R$
Wir setzen die Werte ein:
$s=\dfrac{1}{2}\cdot \left(-6~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}\right)\cdot \left({2{,}32~\text{s}}\right)^2+13{,}89~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 2{,}32~\text{s}+13{,}89~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 1~\text{s}$
$\Rightarrow s \approx 30{,}03~\text{m}$
Das Auto kommt also noch rechtzeitig zum Stehen mit einem Bremsweg von ungefähr $30{,}03~\text{m}$.
-
Benenne die wichtigsten Aspekte einer gleichmäßig verzögerten Bewegung.
TippsBei der Verzögerung gibt es eine negative Beschleunigung.
Beim Bremsvorgang nimmt die Geschwindigkeit ab.
Im Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm erkennt man eine lineare Abnahme.
Im Weg-Zeit-Diagramm erkennt man eine nach unten geöffnete Parabel.
LösungDer Bremsvorgang in der Physik beschreibt die gleichmäßig verzögerte Bewegung eines Objekts, wenn es mit einer konstanten Kraft abgebremst wird. Dabei wird eine negative Beschleunigung der Anfangsgeschwindigkeit entgegengesetzt. Der Hauptunterschied zwischen einer gleichmäßig beschleunigten und einer verzögerten Bewegung liegt im Vorzeichen der Beschleunigung:
Bei der Verzögerung ist die Beschleunigung negativ. Die Geschwindigkeit des Objekts nimmt im Laufe des Bremsvorgangs kontinuierlich ab, was in einem Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm durch eine lineare Abnahme dargestellt wird. Entsprechend nimmt auch der zurückgelegte Weg des Objekts ab, was in einem Weg-Zeit-Diagramm durch eine nach unten geöffnete Parabel beschrieben wird.
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Berechne, wie lange eine Ampel Gelb zeigen muss.
TippsDie Ampel sollte mindestens so lange auf Gelb stehen, wie das Auto zum Bremsen vor der Ampel braucht, damit die fahrende Person nach ihrer Entscheidung noch genügend Zeit hat.
Die Formel für die Geschwindigkeit $v$ einer beschleunigten Bewegung lautet:
$v= a\cdot t + v_0$
Dabei ist $v_0$ die Anfangsgeschwindigkeit.
Beim Bremsen wird untersucht, wann das Auto zum Stehen kommt und die Geschwindigkeit $v=0$ erreicht wird.
Mit dem Ansatz kann für das Ausrechnen die Formel für die Geschwindigkeit nach der Bremszeit $t$ umgestellt werden.
Um die Zeit für die Ampeln zu ermitteln, muss die Reaktionszeit mitberücksichtigt werden.
LösungUm die Zeit zu berechnen, die die Ampel Gelb zeigen muss, damit eine sichere Entscheidung zwischen Anhalten oder Durchfahren möglich ist, müssen wir die zur Verfügung stehende Reaktionszeit der fahrenden Person sowie die Bremszeit berücksichtigen.
Zuerst müssen wir die Bremszeit $t$ berechnen, die das Fahrzeug benötigt, um bei einer Bremsverzögerung von ${a = -4 ~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}}$ von $30~\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ auf $0~\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ abzubremsen. Die Formel für die Geschwindigkeit einer beschleunigten Bewegung lautet:
$v= a\cdot t + v_0$
Dabei ist $v_0 = 30~\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ die Anfangsgeschwindigkeit.
Da wir die Zeit berechnen wollen, die das Auto braucht, um die Geschwindigkeit $v=0$ zu erreichen, setzen wir den Ansatz in die Formel ein:
$0 = a \cdot t + v_0$
$\Leftrightarrow t = \dfrac{-v_0}{a}$
Jetzt müssen wir die Anfangsgeschwindigkeit umrechnen:
$v_0=30~\dfrac{\text{km}}{\text{h}} = \dfrac{30}{3{,}6}~\dfrac{\text{m}}{\text{s}} = 8{,}33~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$
Insgesamt ergibt sich dann:
$\Rightarrow t = \dfrac{-8{,}33~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}}{-4 ~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}} \approx 2{,}08~\text{s}$
Nun müssen wir noch die Reaktionszeit berücksichtigen:
$2{,}08~\text{s}+1{,}5~\text{s}=3{,}58~\text{s}$
Die Ampel sollte somit $3{,}58~\text{s}$ lang Gelb zeigen, damit eine sichere Entscheidung zwischen Anhalten oder Durchfahren möglich ist.
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