Beschleunigte Bewegung – Darstellung im Diagramm

Was ist wohl besser für ein Rennen? Eine größere Höchstgeschwindigkeit, oder eine größere BESCHLEUNIGUNG? Beim START ist wohl klar, wer die Nase vorn hat. Aber wie's am Ende ausgeht, können wir nach diesem Video zur "Beschleunigten Bewegung" besser einschätzen. Insbesondere schauen wir hier auf die "Darstellung im Diagramm" solcher Bewegungen. Kurze Wiederholung: Die Beschleunigung "a" ist die RATE, mit der die Geschwindigkeit "v" eines Körpers ZU- oder ABnimmt, also die GeschwindigkeitsÄNDERUNG. Sie wird in "Meter-pro-Sekunde zum QUADRAT" angegeben. Bei einer "gleichmäßig beschleunigten Bewegung" ist die Beschleunigung "konstant", zum Beispiel "a gleich Eins-Komma-eins Meter pro Sekunde-Quadrat". Das kann man auch in einem "Beschleunigungs-Zeit-Diagramm" darstellen. Allerdings ist das ziemlich banal, denn es zeigt einfach eine "Konstante", hier beim Wert "Eins-Komma-eins". Das "GESCHWINDIGKEITS-Zeit-Diagramm" ist da schon interessanter, denn die Geschwindigkeit steigt linear proportional zur Zeit, entsprechend der Formel "v gleich a mal t". Aber wie kommt man eigentlich von dem EINEN auf das ANDERE? Wenn wir uns "a mal t" genauer ansehen, stellen wir fest, dass das GENAU die Fläche unter der Konstanten im LINKEN Diagramm ist. Die HÖHE dieses Rechtecks ist der Wert "a", und die GRUNDLINIE ist durch den Wert "t" bestimmt. Der STEIGT natürlich mit der ZEIT. SO wird dann auch die Fläche des Rechtecks größer und die Gerade im rechten Diagramm steigt EBENSO – wie es die Formel "a mal t" vorgibt. Dasselbe Spiel wiederholt sich beim "WEG-Zeit-Diagramm". Aber das sieht doch völlig anders aus und die Formel für die Strecke ist quadratisch! Wir schauen wieder nach links und sehen uns die Fläche unter der Geraden an. Diese ist begrenzt durch die Werte "v" und "t", allerdings ist es diesmal ein DREIECK. Die Formel für die Fläche muss also einHALB "v mal t" sein. Und da "v" gleich "a mal t" ist, wird daraus "Einhalb mal a mal t zum Quadrat". Passt also perfekt! Und das macht ja auch Sinn, denn da die GESCHWINDIGKEIT mit der Zeit steigt, kommt mit jeder Sekunde ein GRÖẞERES Flächenstück unter der Geraden dazu. Es wird also in jeder weiteren Sekunde MEHR Strecke zurückgelegt als in der Sekunde davor. Genau das spiegelt die Parabel wider. Man kann hier ablesen, dass der KÖRPER, beispielsweise ein Auto, in "fünfundzwanzig Sekunden" von "Null" bis zur Geschwindigkeit "achtundzwanzig Meter pro Sekunde" beschleunigt, und dabei "dreihundertvierundvierzig Meter" zurücklegt. Aber wie sieht es eigentlich aus, wenn wir keine GLEICHMÄSSIG beschleunigte Bewegung haben? (Also die Geschwindigkeit nicht LINEAR zunimmt?) Nehmen wir an, die Geschwindigkeitszunahme des Autos sieht stattdessen SO aus. HIER gibt es eine UNgleichmäßige Beschleunigung, denn die Geschwindigkeit nimmt mal stark und mal weniger stark zu und am Ende gar nicht mehr. Allerdings können wir auch sehen, dass die Geschwindigkeitszunahme ZWISCHEN den verschiedenen Zeitpunkten durchaus linear verläuft. Unsere Formeln bleiben also weiterhin gültig, wenn wir einfach jeden der vier Abschnitte EINZELN betrachten. Lass uns mal die interessanten Punkte aus dem Diagramm ablesen und in eine Wertetabelle eintragen. Unsere Formel "v gleich a mal t" (beziehungsweise "a gleich v durch t") gilt für jeden Abschnitt zwischen zwei Punkten, aber "a" ist von Abschnitt zu Abschnitt unterschiedlich groß. Das berücksichtigen wir mit der Schreibweise "DELTA-v durch DELTA-t". Um die verschiedenen Werte für "a" zu ermitteln, müssen wir jeweils die DIFFERENZ aus End- und Anfangspunkt eines Abschnitts berechnen. In den ersten fünf Sekunden der Bewegung kommen wir damit auf DIESE Beschleunigung, in den nächsten fünf auf den DOPPELTEN Wert, dann wieder auf den Anfangswert, und schließlich auf die Beschleunigung "Null" im letzten Abschnitt. In einem "BESCHLEUNIGUNGS-Zeit-Diagramm" würden diese Werte SO aussehen. Es gibt also einen abrupten Wechsel zwischen den Abschnitten, in denen die Beschleunigung jeweils konstant, aber eben unterschiedlich groß ist. Mit diesen Werten können wir nun auch die zurückgelegte WEGSTRECKE berechnen. Wieder müssen wir die Abschnitte als Teilstrecken betrachten, also jeweils "DELTA-s" in Bezug auf "DELTA-t" berechnen. Dazu kommt noch, dass es in jedem Abschnitt (mit Ausnahme des ersten) eine "Anfangsgeschwindigkeit" gibt, die miteinberechnet werden muss; nämlich die im VORHERIGEN Abschnitt erreichte Geschwindigkeit. Die kennen wir jeweils schon. So kommen wir nach einigem Einsetzen und Rechnen auf die VIER Teilstrecken. Diese müssen wir Schritt für Schritt aufaddieren, um die Gesamtstrecke am Ende eines jeden Abschnitts zu erhalten. Puh, was für ein Rechenfest! Aber am Ende kommt ein wunderschönes "WEG-Zeit-Diagramm" dabei heraus. Im letzten Abschnitt steigt die Kurve dabei LINEAR an. Die BESCHLEUNIGUNG ist hier zwar "gleich Null", aber trotzdem fährt das Auto ja noch mit seiner Endgeschwindigkeit weiter und legt dabei mehr Strecke zurück. Wenn wir uns um die einzelnen Abschnitte gar nicht kümmern und einfach die "Gesamtstrecke" durch die insgesamt verstrichene Zeit teilen, erhalten wir die DURCHSCHNITTSgeschwindigkeit der Bewegung. Das sind hier rund zwanzig Meter pro Sekunde. Auf solchen Durchschnittswerten basiert beispielsweise die Angabe von Fahrtzeiten bei Navigationssoftware. Und damit geht's auf die Zielgerade und wir fassen zusammen: Bei einer "gleichmäßig beschleunigten Bewegung" zeigt das "Beschleunigungs-Zeit-Diagramm" eine Konstante. Die Formel für die GESCHWINDIGKEIT ergibt sich aus der Fläche unter dem Graphen. In gleicher Weise kann die Bewegungsgleichung und das "Weg-Zeit-Diagramm" aus der GESCHWINDIGKEIT abgeleitet werden. Eine UNgleichmäßig beschleunigte Bewegung wird ABSCHNITTSWEISE betrachtet, wobei die in den Abschnitten zurückgelegten Teilstrecken ADDIERT werden. Aber egal wie und wann man beschleunigt, am Ende eines Rennens zählt die schnellste GESAMTzeit. Und da hilft es, wenn man in ALLEN Bereichen stark ist.