Über 1,6 Millionen Schüler*innen nutzen sofatutor!
  • 93%

    haben mit sofatutor ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert

  • 94%

    verstehen den Schulstoff mit sofatutor besser

  • 92%

    können sich mit sofatutor besser auf Schularbeiten vorbereiten

Bewegungen in s-t-Diagrammen und v-t-Diagrammen

Inhaltsverzeichnis zum Thema Bewegungen in s-t-Diagrammen und v-t-Diagrammen
Du möchtest schneller & einfacher lernen?

Dann nutze doch Erklärvideos & übe mit Lernspielen für die Schule.

Kostenlos testen
Du willst ganz einfach ein neues Thema lernen
in nur 12 Minuten?
Du willst ganz einfach ein neues
Thema lernen in nur 12 Minuten?
  • Das Mädchen lernt 5 Minuten mit dem Computer 5 Minuten verstehen

    Unsere Videos erklären Ihrem Kind Themen anschaulich und verständlich.

    92%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim selbstständigen Lernen.
  • Das Mädchen übt 5 Minuten auf dem Tablet 5 Minuten üben

    Mit Übungen und Lernspielen festigt Ihr Kind das neue Wissen spielerisch.

    93%
    der Schüler*innen haben ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert.
  • Das Mädchen stellt fragen und nutzt dafür ein Tablet 2 Minuten Fragen stellen

    Hat Ihr Kind Fragen, kann es diese im Chat oder in der Fragenbox stellen.

    94%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim Verstehen von Unterrichtsinhalten.
Bewertung

Ø 4.3 / 36 Bewertungen
Die Autor*innen
Avatar
Team Digital
Bewegungen in s-t-Diagrammen und v-t-Diagrammen
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse

Grundlagen zum Thema Bewegungen in s-t-Diagrammen und v-t-Diagrammen

Bewegung und Koordinatensysteme

Wir wollen uns heute mit der Kinematik beschäftigen. Das Wort Kinematik stammt aus dem Altgriechischen und bedeutet Bewegung. Es beschreibt ein Teilgebiet der Physik, das sich mit der Bewegung von Körpern beschäftigt, indem es Zeit, Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung miteinander in einen Zusammenhang bringt. Ein wichtiges Instrument, um diese Zusammenhänge zu untersuchen, sind Koordinatensysteme. Je nachdem, welche Größen man betrachtet, unterscheidet man zwischen verschiedenen Diagrammtypen.

Das Weg-Zeit-Diagramm

In der Physik beschreibt man in einem Weg-Zeit-Diagramm den Zusammenhang zwischen Zeit und zurückgelegter Strecke. Auf der x‑Achse wird die Zeit $\text{t}$ angegeben, meistens in der Einheit Sekunden, die mit $\text{s}$ abgekürzt wird. Auf der y‑Achse wird die zurückgelegte Strecke $\text{s}$, also der Weg, angegeben. Üblicherweise nutzt man hier die Einheit Meter, abgekürzt mit $\text{m}$. Es ist wichtig, dass es sich um die zurückgelegte Strecke und nicht um den Ort oder den Abstand zu einem Bezugspunkt handelt. Bei einer gleichförmigen Kreisbewegung um einen festen Punkt nimmt beispielsweise die zurückgelegte Strecke linear mit der Zeit zu, obwohl der Körper immer wieder an seinen Ausgangspunkt zurückkehrt. Auch ein Auto, das in einer Zeit $t_1$ erst 20 Meter vorwärts und dann 20 Meter rückwärts fährt, legt eine Strecke von 40 Metern zurück, obwohl es am Ende wieder am gleichen Ort ist. Im Weg-Zeit-Diagramm wäre also der y‑Wert zum Zeitpunkt $t_1$ die Strecke $s(t_1) = 40~\text{m}$.

Die Steigung des Weg-Zeit-Diagramms gibt an, welche Strecke in einer bestimmten Zeit zurückgelegt wird. Das ist genau die Definition für die Geschwindigkeit $v$. Aufgrund der Abkürzungen Strecke $s$ und Zeit $t$ nennt man das Weg-Zeit-Diagramm auch s-t-Diagramm.

Das Ort-Zeit-Diagramm

Will man nicht nur die zurückgelegte Strecke untersuchen, sondern auch den Ort, nutzt man ein Ort-Zeit-Diagramm. Auf der x-Achse wird hier auch die Zeit $\text{t}$ angegeben, aber auf der y-Achse der Ort, an dem sich das Objekt gerade befindet. Wenn wir nur eine Dimension betrachten, können wir den Ort als Abstand zu einem Referenzpunkt beschreiben. Das könnte zum Beispiel die Höhe über dem Boden sein, wenn wir etwas senkrecht nach oben werfen und es auch senkrecht wieder nach unten fällt. Oder eben ein Auto, das gerade vorwärts und rückwärts fährt. Im Ort-Zeit-Diagramm wäre also der y-Wert zum Zeitpunkt $t_1$ für das vor- und zurückfahrende Auto $s(t_1) = 0~\text{m}$. Beim Ort-Zeit-Diagramm spielt also die Richtung der Bewegung eine Rolle – in einer Dimension ändert sich zum Beispiel das Vorzeichen. Das Weg-Zeit-Diagramm ist deswegen auch ein Spezialfall des Ort-Zeit-Diagramms: Es wird nur der Betrag der Geschwindigkeit berücksichtigt. Die Steigung im Weg-Zeit-Diagramm ist also immer positiv oder null, während sie im Ort-Zeit-Diagramm auch negativ sein kann. Wenn die Bewegung nur in eine Richtung erfolgt, sich das Vorzeichen also nicht ändert, sind Weg-Zeit-Diagramm und Ort-Zeit-Diagramm daher äquivalent.

Das Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm

Auch im Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm wird auf der x-Achse die Zeit $\text{t}$ angegeben. Auf der y-Achse tragen wir die Geschwindigkeit $\text{v}$ des Objekts ein. Die Geschwindigkeit wird in der Physik meistens in Metern pro Sekunde, also $\frac{\text{m}}{\text{s}}$, angegeben. Man kann also ablesen, welche Geschwindigkeit ein Objekt zu jedem Zeitpunkt seiner Bewegung hat. Das Diagramm gibt also die Steigung des Ort-Zeit-Diagramms wieder.

Aber auch die Steigung des Geschwindigkeit-Zeit-Diagramms hat eine physikalische Bedeutung. Sie zeigt, wie stark sich die Geschwindigkeit ändert: Je größer die Steigung, desto schneller ändert sich die Geschwindigkeit. Und diese Änderung entspricht gerade der Beschleunigung. Aufgrund der Abkürzungen für Geschwindigkeit $(v)$ und Zeit $(t)$ nennt man das Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm auch v-t-Diagramm.

Beispiele

Um die Diagramme der Bewegung etwas anschaulicher zu machen, wollen wir zwei Beispiele betrachten.

Gleichförmige Bewegung

Wir betrachten ein Paket, das auf einem Förderband liegt, als Beispiel für eine gleichförmige Bewegung. Gleichförmig bedeutet, dass die Geschwindigkeit konstant ist. Schauen wir uns also an, wie man in diesem Fall ein Weg-Zeit-Diagramm erstellen kann.

Das Paket liegt zum Zeitpunkt $t=0$ am Anfang des Förderbandes. Diesen Punkt wählen wir als Bezugspunkt, dort ist also $s=0$. Nach $5~\text{s}$ ist das Paket $10~\text{m}$ nach rechts gefahren. Im Koordinatensystem können wir dazu einen Punkt bei $(t = 5~\text{s}, s = 10~\text{m})$ zeichnen. Nach weiteren $5~\text{s}$ ist das Paket auch weitere $10~\text{m}$ gefahren, da die Geschwindigkeit konstant ist. Wir können also einen Punkt bei $(t = 10~\text{s}, s = 20~\text{m})$ einzeichnen. Wenn wir so weitermachen, können wir alle Punkte am Ende mit einer Geraden verbinden. Für diese Gerade gilt allgemein die Geradengleichung:

$s(t) = v_0 \cdot t + x_0$

Das $s(t)$ steht für die zurückgelegte Strecke $s$ zur Zeit $t$, $v_0$ ist die Geschwindigkeit und $s_0$ die vor $t=0~\text{s}$ zurückgelegte Strecke. In unserem Fall ist $s_0=0$. Wir erhalten dann das folgende Diagramm:

st diagramm der gleichmfoermigen bewegung

Die Geschwindigkeit entspricht der Steigung dieser Geraden und beträgt $2~\frac{\text{m}}{\text{s}}$. Das Geschwindigkeitsdiagramm entspricht wieder der Geschwindigkeit und ist eine Konstante mit der Gleichung $v(t) = 2~\frac{\text{m}}{\text{s}}$.

Du kannst aus dem v-t-Diagramm auch die Beschleunigung ablesen, denn die ist durch die Steigung gegeben. Diese ist bei einer Konstanten überall null. Das entspricht der Definition einer gleichförmigen Bewegung: Die Bewegung ist nicht beschleunigt.

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

Als zweites Beispiel betrachten wir eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Gleichmäßig beschleunigt bedeutet, dass sich die Geschwindigkeit ändert, aber die Beschleunigung einen konstanten Wert hat. Das ist zum Beispiel der Fall, wenn wir einen Ball aus großer Höhe, zum Beispiel aus einem Hubschrauber, fallen lassen und den Luftwiderstand vernachlässigen. Wir gehen wie im ersten Beispiel vor und betrachten die zurückgelegte Strecke zu verschiedenen Zeitpunkten. Zum Zeitpunkt $t=0$, an dem wir den Ball loslassen, befindet er sich noch am Ausgangspunkt, hat also noch keine Strecke zurückgelegt. Durch die Erdanziehung wird der Ball aber nach unten beschleunigt. Nach einer Zeit $t=1~\text{s}$ ist er um $5~\text{m}$ nach unten gefallen. Nach insgesamt $2~\text{s}$ hat er bereits $20~\text{m}$ zurückgelegt. Man sieht schon beim Einzeichnen, dass sich die Steigung zwischen den Punkten vergrößert hat – der Ball fällt immer schneller. Nach $3~\text{s}$ hat er bereits $45~\text{m}$ zurückgelegt. Die Form dieser Kurve nennt man eine Parabel und sie wird durch die folgende Gleichung beschrieben:

$s(t) = \frac{1}{2}a \cdot t^{2} + v_0 \cdot t + s_0$

Das $s(t)$ steht wieder für die zurückgelegte Strecke, $a$ steht für die Beschleunigung (hier die Erdbeschleunigung), $v_0$ für die Anfangsgeschwindigkeit und $s_0$ für die zum Zeitpunkt $t=0$ zurückgelegte Strecke. In unserem Beispiel sind $s_0$ und $v_0$ beide null.

st diagramm der gleichmaessig beschleunigten bewegung

Im Gegensatz zum Paket auf dem Laufband ändert sich in diesem Beispiel die Geschwindigkeit mit der Zeit. Deswegen zeigt auch das Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm keine Konstante mehr, sondern eine ansteigende Gerade. Diese Gerade kann durch die folgende Geradengleichung beschrieben werden:

$v=a \cdot t + v_0$

Transkript Bewegungen in s-t-Diagrammen und v-t-Diagrammen

Der hellgrüne Wagen startet, doch kurze Zeit später auch der dunkelgrüne: Eine Verfolgungsjagd Der dunkelgrüne ist schneller. Und es kommt zum CRASH!!!! O NOOOOO! Bestimmt sieht das jetzt so aus. Hä? Wieso fahren die einfach weiter? Dieses Video "Bewegungen in s-t-Diagrammen und v-t-Diagrammen" hat eine Antwort. Genau darum geht es in beiden Diagrammen – um Bewegungen. Und das macht sie so genial wie kompliziert! Eine Bewegung ist die Veränderung der Lage eines Körpers im RAUM und in der ZEIT! Die Zeit ermöglicht ja erst Veränderung. Wie hält man aber Veränderung in einer Zeichnung fest? Aus Mathe kennen wir Funktionsgraphen. In ihnen werden die Werte einer Funktion in Abhängigkeit einer Variablen x festgehalten. Für viele verschiedene x'e gibt es jeweils die zugehörigen Funktionswerte. Genau so gehen wir bei einem s-t-Diagramm vor, einem "Weg-Zeit-Diagramm". Die Variable, der wir einen Wert zuordnen, ist die Zeit. Demnach tragen wir die Zeit in der x-Achse auf. Nun ordnen wir verschiedenen ZeitPUNKTEN jeweils die Lage des Körpers zu. Dazu verwenden wir die y-Achse. Die Lage notieren wir als den Abstand von einem Bezugspunkt, der im Koordinatenursprung liegt. Das könnte die Startlinie, oder eine Bushaltestelle sein. Wir bezeichnen diesen Abstand vom Bezugspunkt mit s. Schon ohne Einheiten lassen sich dem Diagramm Informationen entnehmen! Was passiert hier zum Beispiel? Der Körper fährt durch die Berge! Nope, silly! Unser Diagramm gibt nur die Entfernung von einem bestimmten Punkt an – Informationen wie hoch und runter oder rechts und links ENTHÄLT es gar nicht. Was wir ablesen können, ist, dass sich der Körper zunächst eine Weile von seinem Startpunkt entfernt. Dann gibt es einen Zeitpunkt, an dem seine Entfernung vom Startpunkt nicht mehr zunimmt. In dem zeitlich darauf folgenden Teil nimmt seine Entfernung wieder ab! An einem bestimmten Zeitpunkt nimmt seine Entfernung dann nicht mehr ab. Dann entfernt sich der Körper wieder. Was bedeutet das nun? Was auch immer sich da bewegt, zunächst hat es sich vom Startpunkt entfernt, dann ist es STEHENGEBLIEBEN und wieder ein Stück umgekehrt, wieder STEHENGEBLIEBEN und dann wieder in die ursprüngliche Richtung weiter gegangen. Wir können aus dem Diagramm nicht schließen, ob es sich hierbei um einen Spaziergänger handelt, dem etwas runtergefallen ist, einer Fußballerin, die eine gegnerische Spielerin ausspielen möchte, oder eine unentschlossene canide Lebensform. Dabei würden Einheiten helfen. Wenn wir wissen, ob Kilometer oder Millimeter zurückgelegt werden, ob Sekunden oder Jahre vergehen, können wir das Diagramm besser interpretieren. Ebenfalls können wir aus dem Diagramm nicht schließen, ob sich die Person für den "kurzen Weg zurück" umgedreht hat oder nicht, oder ob Steigungen, Gefälle oder Abweichungen nach links oder rechts eine Rolle spielten. Der Körper ist zwei Mal stehen geblieben. Dazu muss er langsamer geworden sein. Können wir wenigstens DAS in dem Diagramm ablesen? Ja. Der Anstieg der Kurve ist vor dem Stillstand flacher geworden, dann sogar negativ und danach wieder steiler. Der Anstieg der Kurve im s-t-Diagramm, die Steigung, entspricht der GESCHWINDIGKEIT des Körpers! Jetzt schauen wir uns mal ein GESCHWINDIGKEIT-Zeit-Diagramm an. Wieder tragen wir die Zeit auf der x-Achse auf. Auf der y-Achse tragen wir aber nun die Geschwindigkeit v auf. Diesmal spendieren wir uns aber Einheiten. Für die Zeitachse nehmen wir Stunden. Für die Geschwindigkeit wählen wir Kilometer pro Stunde. Jetzt müssen wir noch die Achseneinteilung vornehmen. Sagen wir "ein Zentimeter entspricht einer halben Stunde" auf der t-Achse, und "zehn Kilometer pro Stunde" auf der v-Achse. Und jetzt betrachten wir die Bewegung eines Körpers. Da bewegt sich GAR NICHTS, der steht einfach. Keine Änderung der Entfernung vom Startpunkt. Nope, silly. Es ist ja kein s-t-Diagramm! Hier ist eben gerade NICHT die räumliche Entfernung von einem Startpunkt eingezeichnet, die sich über einen bestimmten Zeitraum nicht ändert, sondern eine Größe der Veränderung selbst – die GESCHWINDIGKEIT. Ein Fahrzeug fährt drei Stunden lang mit einer Geschwindigkeit von zwanzig Stundenkilometer. Könnten wir daraus ein s-t-Diagramm konstruieren? Wir kennen ja die Geschwindigkeit. Zwanzig Stundenkilometer, oder fachlich richtiger: Zwanzig Kilometer pro Stunde. Wir fertigen uns mal eine Wertetabelle an. Zum Zeitpunkt null soll das Fahrrad am Startpunkt sein. Nach einer Stunde ist es zwanzig Kilometer weit gekommen. Nach zwei Stunden demnach vierzig Kilometer und nach drei Stunden sechzig. Die Zwischenwerte können wir leicht eintragen. Jetzt können wir unsere s-Achse vervollständigen. Und Kreuze setzen. Alle Werte liegen auf einer Geraden. Sogar einer Ursprungsgeraden. Was bedeutet die Steigung dieser Geraden? Bestimmen wir sie. Dazu zeichnen wir ein Steigungsdreieck ein. Die Steigung m ist delta y durch delta x, in unserem Falle also zwanzig Kilometer durch eine Stunde. Die Steigung im s-t-Diagramm ist die Geschwindigkeit. Das wussten wir schon. Versteckt sich der Weg umgekehrt auch im v-t-Diagramm? Um den Weg zu ermitteln, haben wir die Geschwindigkeit mit der Zeit multipliziert. Nach drei Stunden hat das Fahrzeug sechzig Kilometer zurückgelegt. Das entspricht der Fläche unter dem Graphen. Und auch das gilt in jedem v-t-Diagramm: Die Fläche unter dem Graphen entspricht dem zurückgelegten Weg. Und was geht hier ab? Offenbar wächst die Geschwindigkeit des Körpers gleichmäßig mit der Zeit! Er wird BESCHLEUNIGT. Aber welchen Weg legt er dabei zurück? Hierbei handelt es sich um eine Ursprungsgerade, also um eine proportionale Zuordnung: v ist proportional zu t. Die Proportionalitätskonstante ist die Beschleunigung a. Betrachten wir die Bewegung bis zum Zeitpunkt t-eins. Dann hat der Körper die Geschwindigkeit v-eins. Die bis dahin zurückgelegte Strecke ist die Fläche unter dem Graphen. Die können wir berechnen. Das ist die Hälfte der Fläche des grau markierten Rechtecks. Also ist der zurückgelegte Weg s-eins gleich "ein Halb mal v-eins mal t-eins". Außerdem wissen wir, das v-eins gleich "a mal t-eins" ist. Dann ist s-eins gleich "ein Halb mal a mal t-eins mal t-eins" gleich "ein Halb mal a mal t-eins zum Quadrat". Bämmm. Damit haben wir mit ein bisschen Geometrie sogar noch das Weg-Zeit-Gesetz der beschleunigten Bewegung ermittelt. Das reicht. Und wir fassen zusammen. Im Weg-Zeit-Diagramm wird der Abstand eines Körpers von einem festgelegten Startpunkt dargestellt. Die Steigung im s-t-Diagramm ist an jedem Punkt die momentane Geschwindigkeit. Im v-t-Diagramm ist die Fläche unter der Kurve der zurückgelegte Weg. Damit ist das Rätsel um den vermeintlichen Crash geklärt. s gibt nur den Abstand vom Startpunkt an. Beide Fahrzeuge können gut auf zwei Fahrspuren unterwegs sein. Nur ein Überholvorgang.

2 Kommentare
2 Kommentare
  1. Super

    Von Wächter, vor 6 Monaten
  2. Halli galli

    Von Mrbeast, vor 11 Monaten

Bewegungen in s-t-Diagrammen und v-t-Diagrammen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Bewegungen in s-t-Diagrammen und v-t-Diagrammen kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die richtigen Aussagen zu $s$-$t$- und $v$-$t$-Diagrammen.

    Tipps

    Zwei Aussagen sind korrekt.

    Wenn eine Kurve im $s$-$t$-Diagramm zweimal den gleichen $t$-Wert hätte, dann müsste der Körper zum gleichen Zeitpunkt an unterschiedlichen Orten sein.

    Lösung

    $(1)$ Die Aussage „In einem $s$-$t$-Diagramm kann man nicht erkennen, welche Geschwindigkeit ein Körper hat.“ ist falsch.

    $\Rightarrow$ Die Steigung der Kurve im $s$-$t$-Diagramm beschreibt, welche Strecke in welcher Zeit zurückgelegt wurde. Dies ist die Definition der Geschwindigkeit.

    $(2)$ Die Aussage „Der zurückgelegte Weg ergibt sich in einem $v$-$t$-Diagramm aus der Fläche unter der Kurve.“ ist richtig.

    $\Rightarrow$ Wenn wir die Fläche unter der Kurve im $v$-$t$-Diagramm berechnen, dann bestimmen wir, wie lange ein Körper sich mit einer bestimmten Geschwindigkeit bewegt hat. Da die Geschwindigkeit beschreibt, welche Strecke pro Zeit zurückgelegt wurde, gilt umgekehrt auch, dass sich die Strecke aus der Geschwindigkeit multipliziert mit der Zeit ergibt.

    $(3)$ Die Aussage „In einem $s$-$t$-Diagramm kann jeder $s$-Wert nur einmal angenommen werden.“ ist falsch.

    $\Rightarrow$ Wir können im Raum beliebig hin und her wandern, und das können wir in einem $s$-$t$-Diagramm darstellen. Wenn ein Körper zu verschiedenen Zeitpunkten $t$ den gleichen $s$-Wert aufweist, heißt das einfach nur, dass der Körper mehrmals an den gleichen Ort gekommen ist.

    $(4)$ Die Aussage „Man kann aus einem $s$-$t$-Diagramm ein $v$-$t$-Diagramm ableiten.“ ist richtig.

    $\Rightarrow$ Man muss dafür nur die Steigung zu jedem Zeitpunkt $t$ bestimmen und den ermittelten Wert zum gleichen Zeitpunkt $t$ in das $v$-$t$-Diagramm eintragen. Zu jedem $s$-$t$-Diagramm können wir so ein eindeutiges $v$-$t$-Diagramm erstellen. Umgekehrt geht das nicht. Zwar können wir aus einem $v$-$t$-Diagramm ableiten, welche Strecke ein Körper zu jedem Zeitpunkt zurückgelegt hat, aber es ist unmöglich, herauszufinden, wo der Körper gestartet ist. Meistens wird diese Unbestimmtheit dadurch gelöst, dass man den Startort als $0$ definiert.

    $(5)$ Die Aussage „Wenn sich der Wert im $v$-$t$-Diagramm nicht verändert, dann bedeutet das, dass sich der Körper nicht bewegt.“ ist falsch.

    $\Rightarrow$ Ein konstanter Wert (waagerechte Linie) im $v$-$t$-Diagramm zeigt an, dass die Geschwindigkeit des Körpers konstant ist. Ein Flugzeug kann zum Beispiel viele Stunden lang eine konstante Geschwindigkeit von $800~\frac{\text{km}}{\text{h}}$ haben. Im $v$-$t$-Diagramm entspricht das einer langen waagerechten Linie. Trotzdem wird niemand bezweifeln, dass sich das Flugzeug fortbewegt.

    $(6)$ Die Aussage „In beiden Diagrammen ist es möglich, dass eine Kurve mehrfach den gleichen $t$-Wert aufweist.“ ist falsch.

    $\Rightarrow$ Nach unserem jetzigen Wissensstand können wir nicht in der Zeit reisen – oder jedenfalls nur in dem Sinne, dass wir pro Sekunde eine Sekunde in der Zeit nach vorn reisen. Die Kurve kann also in beiden Diagrammen nur in die positive $x$-Richtung verlaufen und nicht etwa irgendwann umdrehen und zurück zum Ursprung verlaufen. Das heißt, jeder $t$-Wert in einem $s$-$t$- und in einem $v$-$t$-Diagramm kann nur einmal angenommen werden.

  • Beschreibe die Bewegungen, die durch das $s$-$t$-Diagramm dargestellt werden.

    Tipps

    Die beschriebenen Abschnitte gehen von:

    • $0~\text{s}$ bis $2~\text{s}$
    • $2~\text{s}$ bis $3~\text{s}$
    • $3~\text{s}$ bis $4~\text{s}$
    • $4~\text{s}$ bis $4{,}5~\text{s}$
    • $4{,}5~\text{s}$ bis $5~\text{s}$
    • $5~\text{s}$ bis $8~\text{s}$

    Die Steigung der Kurve entspricht der Geschwindigkeit: je steiler, desto schneller.

    Die Adjektive „abrupt“ und „schlagartig“ meinen, dass sich die Steigung der Kurve von einem Wert zu einem anderen ändert, ohne dass es einen kontinuierlichen Übergang zwischen beiden gibt.

    Lösung

    Abschnitt $\mathbf{1}$: ($0~\text{s}$ bis $2~\text{s}$)

    In diesem Abschnitt sehen wir eine Gerade mit einer konstanten Steigung von $0{,}5~\frac{\text{m}}{\text{s}}$, die am Ursprung startet. Dazu passt die Beschreibung:

    $\quad \Rightarrow$ „Der Körper entfernt sich mit einer konstanten Geschwindigkeit langsam von seinem Startort.“

    Abschnitt $\mathbf{2}$: ($2~\text{s}$ bis $3~\text{s}$)

    Hier sehen wir eine nach links gekrümmte Kurve. Das bedeutet, die Steigung der Kurve – und damit die Geschwindigkeit des Körpers – nimmt mit der Zeit kontinuierlich zu. Dazu passt die Beschreibung:

    $\quad \Rightarrow$ „Der Körper beschleunigt seine Bewegung.“

    Abschnitt $\mathbf{3}$: ($3~\text{s}$ bis $4~\text{s}$)

    Bei $t=3~\text{s}$ hat die Kurve einen Knick. Die Steigung ändert sich schlagartig von $4{,}5~\frac{\text{m}}{\text{s}}$ zu $0~\frac{\text{m}}{\text{s}}$. Danach ändert sich der $s$-Wert für eine Sekunde nicht. Dazu passt die Beschreibung:

    $\quad \Rightarrow$ „Der Körper bleibt abrupt stehen und verharrt an seinem Ort.“

    Abschnitt $\mathbf{4}$: ($4~\text{s}$ bis $4{,}5~\text{s}$)

    In diesem Abschnitt sehen wir wieder eine Gerade mit konstanter Steigung. Dieses Mal ist sie allerdings negativ und betragsmäßig größer als in Abschnitt $1$. Dazu passt die Beschreibung:

    $\quad \Rightarrow$ „Der Körper bewegt sich zurück zu seinem Startort.“

    Abschnitt $\mathbf{5}$: ($4{,}5~\text{s}$ bis $5~\text{s}$)

    Bei $t=4{,}5~\text{s}$ hat die Kurve einen scharfen Knick. Die Steigung wechselt plötzlich von $-7~\frac{\text{m}}{\text{s}}$ zu $+12~\frac{\text{m}}{\text{s}}$. Diese Geschwindigkeit bleibt konstant bis $t=5~\text{s}$. In dieser halben Sekunde hat der Körper ganze sechs Meter zurückgelegt. Dazu passt die Beschreibung:

    $\quad \Rightarrow$ „Der Körper ändert schlagartig seine Bewegungsrichtung und legt schnell eine große Strecke zurück.“

    Abschnitt $\mathbf{6}$: ($5~\text{s}$ bis $8~\text{s}$)

    Im letzten Abschnitt ist die Kurve leicht rechtsgekrümmt. Das bedeutet, die Steigung wird kontinuierlich geringer. Der Körper wird entsprechend immer langsamer. Bei $t=6~\text{s}$ erreicht die Steigung den Wert $0~\frac{\text{m}}{\text{s}}$ und bleibt bis zum Ende des Diagramms so. Dazu passt die Beschreibung:

    $\quad \Rightarrow$ „Der Körper wird immer langsamer, bis er zum Stehen kommt.“

  • Bestimme die Geschwindigkeit an den beiden Punkten aus dem $s$-$t$-Diagramm.

    Tipps

    Die Geschwindigkeit entspricht der Steigung der Geraden im $s$-$t$-Diagramm.

    Es gilt:

    $v = \dfrac{\Delta s}{\Delta t}$

    Punkt $A$ liegt in einem Abschnitt, in dem der Körper eine konstante Geschwindigkeit hat. Er legt hier insgesamt $8~\text{m}$ in $2~\text{s}$ zurück.

    Punkt $B$ liegt in einem Abschnitt, in dem sich die zurückgelegte Strecke nicht verändert.

    Lösung

    Gesucht sind zwei momentane Geschwindigkeiten, die aus dem $s$-$t$-Diagramm herzuleiten sind. Um die Geschwindigkeit zu ermitteln, müssen wir herausfinden, welche Steigung die Kurve an dem gesuchten Punkt hat.

    Geschwindigkeit an Punkt $A$

    Punkt $A$ liegt in einem Abschnitt der Kurve, in dem sie eine konstante Steigung hat. Die Steigung können wir berechnen, indem wir die Veränderung des $y$-Wertes durch die dazugehörige Veränderung des $x$-Wertes teilen. Physikalisch entspricht das der Überlegung, welche Strecke in einer bestimmten Zeit zurückgelegt wurde. Wenn wir den ganzen ersten Abschnitt der Kurve betrachten, können wir ablesen, dass der Körper sich vom Startort ${(s=0~\text{m})}$ zu $s=8~\text{m}$ bewegt hat. Dafür hat er vom Zeitpunkt $t= 0~\text{s}$ bis zum Zeitpunkt $t= 2~\text{s}$ gebraucht.

    Es gilt also:

    $\Delta s = 8~\text{m} - 0~\text{m} = 8~\text{m}$

    $\Delta t = 2~\text{s} - 0~\text{s} = 2~\text{s}$

    Und somit finden wir die Geschwindigkeit am Punkt $A$:

    $\color{#99CC00}{v_A = \dfrac{\Delta s}{\Delta t} = \dfrac{8~\text{m}}{2~\text{s}} = 4~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}}$

    Geschwindigkeit an Punkt ${B}$

    Für die Geschwindigkeit an Punkt $B$ müssen wir gar nicht rechnen. Wir sehen, dass sich in diesem Abschnitt der Ort des Körpers nicht mit der Zeit ändert. Das geht nur, wenn er sich nicht fortbewegt, also wenn seine Geschwindigkeit $0$ ist.

    Das ist schon das Ergebnis:

    $\color{#99CC00}{v_B = 0~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}}$

  • Ordne die zusammengehörigen $s$-$t$- und $v$-$t$-Diagramme zu.

    Tipps

    Die Steigung zu jedem Zeitpunkt $t$ im $s$-$t$-Diagramm entspricht der momentanen Geschwindigkeit $v$ des Körpers.

    Eine Gerade in einem $s$-$t$-Diagramm entspricht einer Konstanten (waagerechte Gerade) im $v$-$t$-Diagramm.

    Ist die Steigung negativ, so verläuft die Kurve von oben links nach unten rechts. Dann ist auch die Geschwindigkeit negativ.

    Lösung

    Bild 1

    Das erste $s$-$t$-Diagramm zeigt eine einfache Gerade. Die Steigung der Kurve ist demnach zu jedem Zeitpunkt $t$ gleich.

    Zu diesem Diagramm gehört das $v$-$t$-Diagramm mit der einfachen Konstanten, also der einfachen waagerechten Linie.

    Bild 2

    Das zweite $s$-$t$-Diagramm beschreibt eine Bewegung in zwei Phasen: Die erste Phase ist wieder eine Bewegung, bei der die Kurve eine gleichbleibende Steigung hat. Hier ist die Geschwindigkeit konstant. In der zweiten Phase ändert sich der zurückgelegte Weg nicht mehr mit der Zeit. Der Körper ruht also. Das entspricht der Geschwindigkeit ${v=0~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}}$.

    Das zugehörige $v$-$t$-Diagramm ist daher das, welches in der ersten Hälfte der Zeit einen konstanten positiven Wert zeigt und in der zweiten Hälfte der Zeit konstant $0$ ist.

    Bild 3

    Das dritte $s$-$t$-Diagramm zeigt eine Kurve mit vier Teilstücken, die jeweils eine andere Steigung haben. Um es etwas genauer zu sagen: Die Steigung wird in jedem Abschnitt etwas größer. Beschrieben wird eine Bewegung, die immer schneller wird.

    Hierzu gehört das $v$-$t$-Diagramm, das aussieht wie eine Treppe, deren Stufen immer höher werden.

    Bild 4

    Im letzten $s$-$t$-Diagramm hat die Kurve zunächst eine positive Steigung, dann einen kurzen Abschnitt mit der Steigung $0$ und abschließend einen Abschnitt mit einer negativen Steigung. Beschrieben wird hier eine schnelle Bewegung (große Steigung) bis zu einem bestimmten Punkt. An diesem Punkt verharrt der Körper einen Augenblick. Danach bewegt er sich etwas langsamer (betragsmäßig geringere Steigung) zurück an den Startpunkt.

    In dem Fall passt das $v$-$t$-Diagramm, welches zunächst einen konstanten positiven Wert zeigt, anschließend kurz auf der Nulllinie verharrt und abschließend einen konstanten negativen Wert hat.

  • Vervollständige die Zusammenfassung der wichtigsten Aussagen.

    Tipps

    Wenn du dir unsicher bist, welche Information an welche Achse kommt, dann kannst du dich an der Reihenfolge der Größen orientieren: Die erste Größe kommt auf die $y$-Achse und die zweite auf die $x$-Achse.

    In der Alltagssprache heißt „Beschleunigung“, dass man immer schneller und schneller wird. Die Geschwindigkeit wird also immer größer.

    Lösung

    Das $s$-$t$-Diagramm

    $s$-$t$-Diagramme werden in der Physik immer genutzt, wenn der Ort eines Körpers abhängig von der Zeit untersucht wird. Was genau mit diesem „Ort“ gemeint ist, ergibt sich üblicherweise aus dem Kontext. Also mache dir keine Gedanken, wenn du manchmal von einem „Ort-Zeit-Diagramm“ liest und manchmal von einem „Weg-Zeit-Diagramm“.

    Entscheidend ist, dass auf der $x$-Achse der Zeitverlauf erkennbar ist: Je weiter man sich in positiver $x$-Richtung bewegt, desto mehr Zeit vergeht. Auf der $y$-Achse wird eine Länge abgetragen. Was genau diese Länge meint, kann man dann aus dem Kontext schließen. Die meisten Informationen über die Bewegung bekommt man allerdings, wenn $s$ die Position des Körpers in einer Raumrichtung beschreibt. In diesem Fall kann man an einem Diagramm die zurückgelegte Gesamtstrecke, die Geschwindigkeit und die Bewegungsrichtung ablesen!

    Eine Geschwindigkeit ist darüber definiert, wie viel Strecke ein Körper in einer bestimmten Zeit zurückgelegt hat. Wenn man „Strecke pro Zeit“ in eine Formel übersetzt, meint das, dass man die Differenz zwischen dem Zielort und dem Startort durch die Differenz zwischen der Zielzeit und der Startzeit teilt:

    $v = \dfrac{s_{\text{Ziel}} - s_{\text{Start}}}{t_{\text{Ziel}} - t_{\text{Start}}}$

    Für diese Differenz, also die zurückgelegte Strecke bzw. die verstrichene Zeit, verwendet man den griechischen Buchstaben $\Delta$ („Delta“):

    $v=\dfrac{\Delta s}{\Delta t}$

    Mit dieser Gleichung kannst du auch die Steigung einer Geraden im $s$-$t$-Diagramm bestimmen.


    Das $v$-$t$-Diagramm

    Das $v$-$t$-Diagramm gibt Auskunft darüber, welche Geschwindigkeit ein Körper zu einer bestimmten Zeit hatte.

    Hier erfordert die Interpretation gleichfalls ein bisschen Kontext: Wenn sich die Geschwindigkeit auf ein reines Weg-Zeit-Diagramm bezieht, dann kann sie nur positive Werte annehmen. Die Aussage ist folglich nur: „Der Körper war so und so schnell.“ Über die Bewegungsrichtung wird nichts gesagt.

    Bezieht sich die Geschwindigheit hingegen auf ein Ort-Zeit-Diagramm, sind auch negative Werte möglich. Daraus können wir dann zusätzlich schließen, in welche Richtung der Körper sich mit dieser Geschwindigkeit bewegt hat.

    Aus dem $v$-$t$-Diagramm können wir ableiten, welche Strecke der Körper nach einer bestimmten Zeit zurückgelegt hat. Dafür müssen wir die Fläche zwischen der $v$-$t$-Kurve und der $x$-Achse bis zu dem Zeitpunkt $t$ bestimmen, an dem wir die zurückgelegte Strecke wissen möchten.

    Untersuchen wir die Steigung der Kurve im $v$-$t$-Diagramm, können wir bestimmen, wie sich die Geschwindigkeit mit der Zeit verändert. Diese Veränderung nennt man Beschleunigung. Sie besitzt das Formelzeichen $a$. Anders als in der Alltagssprache sagt man in der Physik auch „Beschleunigung“, wenn der Körper langsamer wird.


    Weitergedacht

    In dieser Aufgabe hast du einen absolut fundamentalen Zusammenhang der Mechanik kennengelernt!

    Dafür müssen wir aber andersherum anfangen:

    $\rightarrow$ Bewegungen sind in der Mechanik die Auswirkung von Kräften.

    $\rightarrow$ Kräfte führen zu einer Beschleunigung des Körpers.

    $\rightarrow$ Die Beschleunigung über eine bestimmte Zeit gibt dem Körper eine bestimmte Geschwindigkeit.

    $\rightarrow$ Abhängig von der Geschwindigkeit des Körpers über eine gewisse Zeit legt der Körper eine bestimmte Strecke zurück.

    So, geschafft!

  • Ermittle, welche Strecke der Körper insgesamt zurückgelegt hat.

    Tipps

    Achtung: Einheit nicht vergessen.

    Die Gesamtstrecke entspricht der Fläche zwischen der Kurve und der $x$-Achse.

    Teile die Fläche unter der Kurve in drei einfache geometrische Formen.

    Lösung

    Vorüberlegung

    Um die zurückgelegte Gesamtstrecke aus einem $v$-$t$-Diagramm herzuleiten, müssen wir die Fläche zwischen der Kurve und der $t$-Achse bestimmen.

    Wie in dem Diagramm gezeigt, können wir bei dieser Kurve die Fläche gut in drei einfache geometrische Figuren aufteilen, von denen wir leicht den Flächeninhalt berechnen können:

    • ein Rechteck $R_1$ mit den Eckpunkten ($0~\text{s}\vert0~\frac{\text{m}}{\text{s}}$), ($8~\text{s}\vert0~\frac{\text{m}}{\text{s}}$), ($8~\text{s}\vert2~\frac{\text{m}}{\text{s}}$) und ($8~\text{s}\vert2~\frac{\text{m}}{\text{s}}$)
    • ein Dreieck $D$ mit den Eckpunkten ($2~\text{s}\vert2~\frac{\text{m}}{\text{s}}$), ($6~\text{s}\vert2~\frac{\text{m}}{\text{s}}$) und ($6~\text{s}\vert6~\frac{\text{m}}{\text{s}}$)
    • ein Rechteck $R_2$ mit den Eckpunkten ($6~\text{s}\vert2~\frac{\text{m}}{\text{s}}$), ($8~\text{s}\vert2~\frac{\text{m}}{\text{s}}$), ($8~\text{s}\vert6~\frac{\text{m}}{\text{s}}$) und ($6~\text{s}\vert6~\frac{\text{m}}{\text{s}}$)

    Rechnung

    Rechtecke haben die Flächenformel $A_R = a \cdot b$, wobei $A$ die Fläche ist und $a$ und $b$ die Seiten des Rechtecks sind.

    Für das erste Rechteck lesen wir ab:

    $a=8~\text{s}$ und $b=2~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$

    Damit ist sein Flächeninhalt:

    $A_{R_1} = 8~\text{s} \cdot 2~\dfrac{\text{m}}{\text{s}} = 16~\text{m}$

    Für das zweite Rechteck lesen wir ab:

    $a=2~\text{s}$ und $b=4~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$

    Damit ist sein Flächeninhalt:

    $A_{R_2} = 2~\text{s} \cdot 4~\dfrac{\text{m}}{\text{s}} = 8~\text{m}$

    Dreiecke haben die Flächenformel $A_D=\frac{1}{2} \cdot g \cdot h$, wobei $g$ die Grundseite des Dreiecks ist und $h$ seine Höhe.

    Für unser Dreieck lesen wir folgende Werte ab:

    $g= 4~\text{s}$ und $h=4~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$

    Wir berechnen seine Fläche als:

    $A_D = \dfrac{1}{2} \cdot 4~\text{s} \cdot 4~\dfrac{\text{m}}{\text{s}} = 8~\text{m}$


    Das Ergebnis

    Zum Schluss müssen wir die drei Teilflächen nur noch addieren und erhalten die zurückgelegte Gesamtstrecke:

    $\color{#99CC00}{s = A_{R_1} + A_{R_2} + A_{D} = 16~\text{m} + 8~\text{m} + 8~\text{m} = 32~\text{m}}$


    Weiterführender Hinweis

    Nicht immer kann man so einfache geometrische Formen unter eine Kurve basteln. Wenn man die Funktionsgleichung der Kurve kennt, dann kann man die Fläche unter ihr mithilfe der sogenannten Integralrechnung bestimmen. Diese nützliche mathematische Methode wird in der Oberstufe gelehrt.