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Abgeleitete Einheiten und Vorsätze 08:00 min

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Transkript Abgeleitete Einheiten und Vorsätze

Hallo und herzlich willkommen. Wenn man als Naturwissenschaftler arbeitet, dann misst man Werte und versucht, aus diesen Rückschlüsse auf die Abläufe zu ziehen, um die Welt besser verstehen zu können. Die aufgenommen Werte sind dabei immer mit Einheiten versehen. Daher ist es wichtig, sicher mit Einheiten umgehen zu können und zu wissen, woher sie sich ableiten. Deshalb beschäftigen wir uns in diesem Video etwas genauer mit Einheiten. Du wirst lernen, was man unter SI-Basiseinheiten versteht. Danach werde ich dir zeigen, wie du dir mit wenigen Buchstaben eine Menge Schreibarbeit sparen kannst, indem du die richtigen Vorsätze verwendest. Dann wirst du sehen, wie man aus SI-Basiseinheiten andere Einheiten ableiten kann. Zum Schluss werden wir noch eine kleine Übungsaufgabe rechnen. Damit kann es dann auch schon losgehen. Im SI-Einheitensystem sind einige Größen und Einheiten zusammengefasst. Die Besonderheit liegt bei diesen Einheiten darin, dass sie ganz genau bestimmt sind. Dadurch ist die Vergleichbarkeit von Ergebnissen auf der ganzen Welt gewährleistet. Das SI-Einheitensystem umfasst folgende Größen und Einheiten: Die Länge ist eine SI-Basisgröße, sie wird in der Basiseinheit Meter, Kurzform m, gemessen und angegeben. Die Masse ist eine weitere Basisgröße, die zugehörige Einheit ist das Kilogramm, kurz kg. Die Basisgröße Zeit wird in der Basiseinheit Sekunde gemessen, Kurzform s. Die Stromstärke wird in Ampere gemessen. Auch die Temperatur ist eine Basisgröße im SI-Einheitensystem, sie wird in Kelvin gemessen. Sicher kennst auch Temperaturangaben in Grad Celsius, Physiker benutzen aber Kelvin, um Temperaturen anzugeben. Um anzugeben, aus wie vielen Teilchen ein Stoff besteht, gibt man die Größe der Stoffmenge an, sie wird in Mol gemessen. Ein Mol ist aber einfach die Teilchenzahl in zwölf Gramm Kohlenstoff. Die letzte Basisgröße des SI-Einheitensystems ist die Lichtstärke, sie wird in Candela, kurz cd, angegeben. Wenn man Messwerte angibt, ist es oft praktisch, bestimmte Vorsätze vor den Einheiten zu nutzen. Wenn du zum Beispiel sagen willst, dass etwas einen Tausendstel Meter lang ist, sagst du, es ist einen Millimeter lang. Der Vorsatz gibt dabei immer an, mit welcher Zahl die Einheit multipliziert werden muss. Milli- bedeutet also, dass man einen Meter mit 1/1000 multipliziert. 1/1000 sind dabei 0,001. Milli- kürzt man mit dem Symbol m ab. Ein weiteres Beispiel: Wenn du sagen willst, dass etwas ein Hundertstel einer Einheit ist, benutzt man den Vorsatz centi-. So ist ein Zentimeter ein Hundertstel eines Meters. Centi- kürzt man mit dem Symbol c ab. Wenn es sich um ein Zehntel handelt nimmt man den Vorsatz dezi-. Ein Dezimeter ist ein Zehntel eines Meters. Dezi- kürzt man mit d ab. Steht deka- vor der Einheit, so wird sie mal zehn genommen, hekto- bedeutet eine Multiplikation mit 100 und kilo- mit 1000. So entspricht ein Kilogramm genau 1000 Gramm. Wird eine Einheit mit einer Million multipliziert, so kommt der Vorsatz mega- davor. Ein Megabyte entspricht somit einer Million Bytes. Wenn eine Einheit mit einer Milliarde multipliziert wird, so nimmt man den Vorsatz giga-. Kraftwerke produzieren zum Beispiel Leistungen im Gigawattbereich, das heißt, sie produzieren eine Milliarde Watt. Nach oben geht es noch weiter, aber wir wollen uns jetzt wieder den kleinen Vorsätzen widmen. Wir hatten schon gesehen, dass man ein Tausendstel mit milli- abkürzt, für ein Millionstel nehmen wir den Vorsatz mikro-. Deine Haare sind etwa 50 Mikrometer dick. Vorhin haben wir gesehen, dass das SI-Einheitensystem sieben Basisgrößen und Basiseinheiten umfasst. Es gibt aber noch viel mehr Einheiten. Wenn sich zum Beispiel etwas bewegt, dann können wir ihm eine Geschwindigkeit zuordnen. Die Geschwindigkeit ist aber keine Basisgröße. Um eine Einheit für sie zu bekommen, muss man sich erst überlegen, was die Geschwindigkeit aussagt. Sie sagt etwas darüber aus, wie schnell man von einem Ort zum anderen kommt. Anders gesagt gibt sie an, wie viel Zeit man braucht, um eine gewisse Strecke oder Länge zurückzulegen. Die Geschwindigkeit ist also Länge pro Zeit. Länge und Zeit sind wiederum Basiseinheiten, das heißt in Basiseinheiten wird die Geschwindigkeit in Metern pro Sekunde angegeben. Ein weiteres Beispiel für eine abgeleitete Größe ist die Dichte. Die Dichte gibt an, wie viel Masse ein bestimmtes Volumen eines Stoffes hat. Gewicht ist eine Basisgröße mit der Basiseinheit Kilogramm, Volumen ist die Länge mal Breite mal die Höhe. Alle diese drei Längen können in Metern angegeben werden. Daraus folgt, dass die Dichte in Basiseinheiten in Kilogramm pro Kubikmeter angegeben wird. Zum Abschluss werden wir noch eine kleine Übungsaufgabe rechnen. Du wirst dabei die Einheit Kilometer pro Stunde in die Einheit Meter pro Sekunde umrechnen. km steht dabei für Kilometer, h für Stunde, m für Meter und s für Sekunde. Das Ergebnis, das wir suchen, ist der Vorfaktor x. Will man nämlich die Einheit Kilometer pro Stunde in Meter pro Sekunde umrechnen, so muss man sie mit einem Vorfaktor multiplizieren. Du solltest dir klarmachen, was der Vorsatz kilo- bedeutet und wie viele Sekunden eine Stunde hat. Und hast du die Aufgabe geschafft? Bevor du das Ergebnis erfährst, werden wir Schritt für Schritt durchgehen, wie man dieses Problem löst. Auf der linken Seite haben wir Kilometer pro Stunde stehen. Ein Kilometer sind 1000 Meter, das heißt ein Kilometer pro Stunde ist gleich 1000 Meter pro Stunde. Damit hätten wir schon einmal die Kilometer in Meter umgerechnet und können uns der Stunde zuwenden. Eine Stunde besteht aus 60 Minuten, das heißt, 1000 Meter pro Stunde entsprechen 1000 Meter pro 60 Minuten. Eine Minute hat wiederum 60 Sekunden, das heißt, 1000 Meter pro 60 Minuten sind gleich 1000 Meter pro 60 mal 60 Sekunden. Der erste Sechziger kommt aus der Umwandlung der Stunde in Minuten, der zweite aus der Umwandlung der Minute in Sekunden. 60 mal 60 gibt 3600. Eine Stunde hat also 3600 Sekunden. Vergleichen wir den ersten und den letzten Bruch, so sehen wir, dass Kilometer pro Stunde gleich 1000/3600 Meter pro Sekunde entspricht. Kürzt man noch 1000/3600 zu 1/3,6, dann sieht man, dass ein km/h gleich 1/3,6 Metern pro Sekunde entspricht. Umgestellt ergibt das, dass ein Meter pro Sekunde gleich 3,6 km/h sind. Fährst du also mit 10 Metern pro Sekunde Fahrrad, so entspricht das einer Geschwindigkeit von 36 km/h. So, was hast du heute gelernt? Im SI-Einheitensystem sind einige Größen und Einheiten, deren Einheiten ganz genau bestimmt sind, zusammengefasst. Dadurch ist die Vergleichbarkeit von Ergebnissen auf der ganzen Welt gewährleistet. Zu den Basisgrößen gehören die Länge in Metern, Masse ist eine Basisgröße mit der Basiseinheit Kilogramm, die Zeit in Sekunden, die Stromstärke in Ampere, die Temperatur in Kelvin, die Stoffmenge in Mol und die Lichtstärke in Candela. Will man Bruchteile oder Vielfache von Einheiten angeben, so nutzt man Vorsätze wie zum Beispiel milli- oder hekto-. Einheiten, die nicht im SI-Einheitensystem stehen, können aus SI-Einheiten abgeleitet werden, zum Beispiel die Geschwindigkeit als Länge pro Zeit. Das war’s dann zum Thema Vorsätze und abgeleitete Einheiten.

1 Kommentar
  1. diiiiiikkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkknicht so gut

    Von Leonardo Morelli, vor mehr als einem Jahr

Abgeleitete Einheiten und Vorsätze Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Abgeleitete Einheiten und Vorsätze kannst du es wiederholen und üben.

  • Nenne Eigenschaften des SI-Einheitensystems.

    Tipps

    Dem Problem, dass in verschiedenen Ländern verschiedene Einheiten verwendet wurden, sollte mit dem SI-Einheitensystem entgegengewirkt werden.

    Lösung

    Die Kommunikation von Wissenschaftlern hat im Laufe der Zeit immer weiter zugenommen. Hiervon profitierte der wissenschaftliche Fortschritt allgemein: Erkenntnisse, die schon woanders auf der Welt gewonnen waren, mussten so nicht aufwendig reproduziert, sondern konnten direkt für die eigene Forschung genutzt werden. Hierbei zeigten sich aber immer wieder Schwierigkeiten, weil die Wissenschaftler zum Teil sehr verschiedene Größen und Einheiten verwendeten. Um Ergebnisse vergleichen zu können, mussten diese so immer erst in die gleichen Einheiten umgerechnet werden. Um diesem Problem entgegenzuwirken, vereinbarten Wissenschaftler Einheitensysteme, die überregional verwendet werden sollten. Es gibt viele solcher Systeme, aber das SI-System (Système international d’unités) ist das in der Welt am weitesten verbreitete Einheitensystem. Es wurde 1954 in Paris eingeführt.

  • Nenne die Basisgrößen und die Einheiten des SI-Systems.

    Tipps

    Kilogramm (kg), die Einheit der Masse, hat als einzige Einheit des SI-Systems einen Vorsatz.

    Lösung

    Die SI-Einheit Kilogramm nimmt eine Sonderstellung ein, da sie die einzige Einheit des SI-Einheitensystems ist, die einen Vorsatz (kilo) hat. 1 Kilogramm entspricht demnach 1000 Gramm.

    Alle Basiseinheiten des SI-Systems sind (bis auf das Kilogramm) genau anhand von Naturkonstanten definiert:

    Ein Meter entspricht der Länge der Strecke, die Licht im Vakuum in der Zeit von 1/299792458 Sekunden durchläuft.

    Ein Kilogramm ist die Masse des in Paris aufbewahrten Kilogrammprototyps.

    Eine Sekunde ist das 9192631770-fache der Periodendauer der Strahlung, die beim Übergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustandes eines Cäsium-Atoms ausgesandt wird.

    Ein Ampere ist die Stärke eines konstanten elektrischen Stromes, der durch zwei parallel angeordnete Leiter von einem Meter Länge fließt und zwischen diesen eine Anziehungskraft von $2 · 10^{-7}$ Newton hervorrufen würde.

    Ein Kelvin ist der 273te Teil der thermodynamischen Temperatur des Tripelpunktes des Wassers.

    Ein Mol ist die Teilchenmenge, die in 12 Gramm Kohlenstoff enthalten ist.

    Ein Candela ist die Lichtstärke einer Strahlungsquelle, die Strahlung der Frequenz 540 · 1012 Hertz aussendet und deren Strahlstärke 1/683 Watt beträgt.

  • Nenne die Bedeutung der Einheitenvorsätze.

    Tipps

    In der linken Spalte musst du den Namen, in der mittleren Spalte das Symbol und in der rechten Spalte den Wert eintragen.

    Lösung

    Die Verwendung von Vorsätzen erleichtert einem besonders bei sehr großen oder sehr kleinen Werten einiges an Schreibarbeit. Bei der Verwendung lauern allerdings auch Gefahren: Häufig werden Einheitenvorsätze beim Rechnen vergessen, was zu falschen Ergebnissen führt. Die Symbole stehen hier tatsächlich für Zahlenwerte.

    Im Video wird gesagt, dass die Liste noch in beide Richtungen weitergeht. Hier siehst du Erweiterung in beide Richtungen:

    \begin{array}{c|c|c} Wert & Name & Symbol\\ \hline 10^{18} & exa & E\\ 10^{15} & peta & P\\ 10^{12} & tera & T\\ ... & ... & ...\\ 10^{-9} & nano & n\\ 10^{-12} & piko & p\\ 10^{-15} & femto & f\\ \end{array}

  • Vergleiche die physikalische Leistung von Max mit der einer Windkraftanlage.

    Tipps

    Schaue dir die Einheiten nochmal ganz genau an.

    Die Leistung von Max ist in Watt (W) und die Leistung der Windkraftanlage in Megawatt (MW) angegeben.

    Lösung

    Max scheint in Annas Schilderung die Vorsätze vor den Einheiten überhört zu haben. Während Max auf seinem Fahrradtrainer eine nennenswerte Leistung von 400 Watt erreicht, schafft die Windkraftanlage bei gutem Wind eine Leistung von 2 Megawatt, was 2 000 000 Watt entspricht. Der Vorsatz "Mega" ersetzt hier den Faktor 1 000 000.

    Max hat sich hier in einen Vergleich begeben, den er nur verlieren kann. So entspricht die von ihm erzielte Leistung nur $\frac{400\ W}{2\cdot 10^6 W}\cdot 100=0,02\%$ der Leistung der Windkraftanlage. Man könnte demnach keineswegs einen Windpark durch ihn ersetzen. Im Gegenteil: es benötigte 5000 mal Max auf 5000 Fahrradtrainern, um die Leistung einer Windkraftanlage zu erzielen.

    Diese Gedanken können auch noch weitergeführt werden. So erreichen moderne Kohle- und Atomkraftwerke eine Leistung von bis zu 2 GW und ersetzen damit wiederum etwa 1000 Windkraftanlagen. Der größte Staudamm der Welt, der Drei-Schluchten-Damm in China, erreicht sogar eine Leistung von 18 GW. Man bräuchte 45 000 000 sehr sportliche Menschen wie Max auf Fahrradtrainern, um diese Leistung für einen kurzen Moment zu erzielen.

  • Bestimme die abgeleiteten Einheiten.

    Tipps

    Die Einheiten Newton (N) der Kraft und Joule (J) der Arbeit sind abgeleitete Einheiten, die sich aus Basiseinheiten zusammensetzen. Alle Einheiten werden hier mit den Basiseinheiten ausgedrückt.

    Die Formelzeichen sind: Geschwindigkeit v, Zeit t, Strecke s, Beschleunigung a, Kraft F, Masse m und Arbeit W.

    Lösung

    Die Einheiten der Kraft (N) und der Arbeit (J) sind auch Einheiten des SI-Einheitensystems. Sie stellen jedoch keine Basiseinheiten dar und lassen sich demnach von den Basiseinheiten ableiten:

    $1\ N = 1\frac{kg\cdot m}{s^2}$

    $1\ J = 1\frac{kg\cdot m^2}{s^2}$

    Es gibt viele weitere Beispiele für abgeleitete Einheiten:

    Die Einheit der Frequenz: 1 Hertz = 1 $Hz$ = 1 $\frac{1}{s}$

    Die Einheit der Ladung: 1 Coulomb = 1 $C$ = 1 $A\cdot s$

    Die Einheit der Spannung: 1 Volt = 1 $V$ = 1 $\frac{kg\cdot m^2}{s^3\cdot A}$

  • Berechne die Übertragungsdauer für ein digitales Bild mittels modernen W-Lans.

    Tipps

    Du musst zunächst das Datenvolumen (= Datengröße in bit) des Bildes berechnen, um anschließend die Übertragungsdauer ermitteln zu können.

    Das Bild hat eine Datenvolumen von 4 838 400 bit = 4,8384 Mbit.

    Lösung

    Zunächst muss das Datenvolumen (= Datengröße) des Bildes ermittelt werden. Hierfür ist die Übertragungsrate von 8 bit/s und die benötigte Dauer gegeben. Diese müssen multipliziert werden:

    $V_{Daten}=7\ d \cdot 8\ bit/s = (7 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60)\ s \cdot 8\ bit/s = 4838400\ bit$

    Um die Übertragungsdauer mittels W-Lan zu bestimmen, kann dieses Datenvolumen nun durch die angegebene Übertragungsrate geteilt werden:

    $t=\frac{4838400\ bit}{1\ Gbit/s}=\frac{4838400\ bit}{10^9\ bit/s}=0,0048384\ s \approx 5\ ms$

    Die Datenübertragung über ein modernes W-Lan-Netzwerk würde demnach eine Zeit von lediglich 5 ms in Anspruch nehmen.