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Rechnen mit geradlinig gleichförmigen und gleichmäßig beschleunigten Bewegungen

Hier wird alles Wichtige zu geradlinigen gleichförmigen und gleichmäßig beschleunigten Bewegungen erklärt. Von Bewegungsgleichungen bis zum Einholvorgang – lerne Schritt für Schritt, wie man die Ort-Zeit-Funktionen berechnet. Interessiert? Hier gibt es weitere Informationen!

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sofatutor Team
Rechnen mit geradlinig gleichförmigen und gleichmäßig beschleunigten Bewegungen
lernst du in der 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse - 11. Klasse

Rechnen mit geradlinig gleichförmigen und gleichmäßig beschleunigten Bewegungen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Lerntext Rechnen mit geradlinig gleichförmigen und gleichmäßig beschleunigten Bewegungen kannst du es wiederholen und üben.
  • Welche Größen kommen im Weg-Zeit-Gesetz der beschleunigten Bewegung vor?

    Tipps

    Wenn du auf die Potenzen der Zeit $t$ schaust, hast du schon zwei Lösungen.

    Lösung

    Das Weg-Zeit-Gesetz der gleichmäßig beschleunigten Bewegung ist eine Überlagerung dreier Zustände. Zum einen hat der Körper zu Beginn der Zeitmessung $t=\pu{0 s}$ einen bestimmten Abstand $s_{0}$ vom Startpunkt der Streckenmessung, sozusagen einen Vorsprung. Dann bewegt sich der Körper mit einer konstanten Geschwindigkeit $v_{0}$, der dadurch zurückgelegte Weg ist $v_{0} t$. Hierzu wird noch die Strecke addiert, die der Körper aufgrund seiner konstanten Beschleunigung $a$ zurücklegt: $\frac{1}{2}at^s$. Alle drei Summanden ergeben zusammen den zurückgelegten Weg $s(t)$.

  • Welche Größen sind entscheidend für die Zeit, die die Fahrzeuge für das Erreichen ihrer Höchstgeschwindigkeit benötigen?

    Tipps

    Zwei Antworten sind korrekt.

    Lösung

    Für die Beschleunigungszeit gilt die folgende Formel:

    $\Delta t_{\text{B}}=\dfrac{v_{\text{max}}-v_{0}}{a}$

    Daraus lässt sich ablesen, dass neben der Höchstgeschwindigkeit nur die Anfangsgeschwindigkeit $v_{0}$ und die Beschleunigung $a$ für die Beschleunigungszeit $\Delta t_{\text{B}}$ entscheidend sind, nicht aber die Wagenlänge oder sein Vorsprung.

  • Berechne die Beschleunigung des Cabrios.

    Tipps

    Zunächst werden die gegebenen und gesuchten Größen angegeben.

    Lösung

    Die Lösung der Aufgabe erfolgt ganz nach dem bekannten Schema:

    Gegeben:
    Beschleunigungszeit: $\Delta t_{\text{B}_{\text{C}}} = \pu{4 s}$
    Anfangsgeschwindigkeit: $v_{{0}_\text{C}}=\pu{25 m//s}$
    Höchstgeschwindigkeit: $v_{\text{max}_\text{C}}=\pu{50 m//s}$

    Gesucht:
    Beschleunigung $a=?$

    Formel:
    $a=\dfrac{v_{\text{max}_\text{C}}-v_{{0}_\text{C}}}{\Delta t_{\text{B}_{\text{C}}}}$

    Rechnung:
    Wir setzen ein:
    $a=\dfrac{v_{\text{max}_\text{C}}-v_{{0}_\text{C}}}{\Delta t_{\text{B}_{\text{C}}}}=\dfrac{\pu{50 m//s}-\pu{25 m//s}}{\pu{4 s}}= \pu{6,25 m//s2}$

    Antwortsatz:
    Die Beschleunigung des Cabrios wäre $a=\pu{6,25 m//s2}$.

    Die Formel ist die auf diese Aufgabe angewandte Version der allgemeinen Formel für die konstante Beschleunigung:

    $a=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}$

  • Berechne die Zeit, die der Polizeiwagen für das Erreichen der Höchstgeschwindigkeit benötigen würde.

    Tipps

    In eine Lücke kommt keine Zahl, sondern ein Fragezeichen.

    Lösung

    Die Berechnung erfolgt analog zur Berechnung der Beschleunigungszeit des Cabrios im Lerntext. Wie immer müssen die Einheiten umgerechnet werden, damit sie zueinander passen. Das ist immer gewährleistet, wenn ins SI-System auf die Grundeinheiten umgerechnet wird.

    Gegeben:

    $v_{{0}_\text{P}} = \pu{36 km//h}$

    $v_{\text{max}_\text{P}} =\pu{234 km//h} = \pu{65 m//s}$

    Gesucht:

    $\Delta t_{\text{B}_\text{P}} =$ ?

    Umrechnung der Einheiten:

    $v_{0} = \pu{36 km//h}=(36:3,6)~\pu{m//s}=\pu{10 m//s}$

    Formel:

    $\Delta t_{\text{B}_{\text{P}}}=\dfrac{v_{\text{P}_{\text{max}}}-v_{\text{P}_{\text{Start}}}}{a_\text{P}}$

    Rechnung:

    Wir setzen ein: $\Delta t_{\text{B}_{\text{P}}}=\dfrac{v_{\text{P}_{\text{max}}}-v_{\text{P}_{\text{Start}}}}{a_\text{P}}= \dfrac{\pu{65 m//s}-\pu{10 m//s}}{\pu{10 m//s2}}=\pu{5,5 s}$

  • Beruteile den Wahrheitsgehalt der folgenden Aussage.

    Tipps

    Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist der Quotient aus zurückgelegter Strecke und benötigter Zeit.

    Lösung

    Beide Wagen haben bis zum Ende der Verfolgungsjagd die gleiche Strecke zurückgelegt, nämlich
    $\pu{2,6 km}=2\,600 \text{m}$. Dafür haben beide auch die gleiche Zeit benötigt, nachdem das Cabrio den Blitzer passiert hat, nämlich $\pu{63,25 s}$. Demnach ist ihre Durchschnittsgeschwindigkeit auch gleich:

    $v_\text{Durchschnitt}=\dfrac{2\,600 \text{m}}{\pu{63,25 s}} \approx \pu{41,11 m//s} \approx \pu{148,0 m//s}$.

    Da der Polizeiwagen die ersten zwanzig Sekunden gestanden hat, ist das für ihn natürlich keine sonderlich aussagekräftige Zahl.

  • Analysiere die folgende Aufgabenstellung.

    Tipps

    Die Rechnungen kannst gut zusammenfügen, wenn du auf die Einheiten achtest – und die Ergebnisse überschlägst.

    Lösung

    Wenn der Polizeiwagen und das Cabrio die gleiche Geschwindigkeit haben UND das Cabrio Vorsprung hat, dann ist es nicht mehr einholbar. Wir müssen also überprüfen, ob ein Vorsprung beibehalten wird.

    Wir berechnen zunächst, wie weit das Cabrio mit der neuen Höchstgeschwindigkeit bis zu ihrem Erreichen kommt. Dazu benötigen wir die Zeit, die der Beschleunigungsvorgang in Anspruch nimmt.

    $t_{\text{B}_\text{C}}= \dfrac{\pu{65 m//s}-\pu{25 m//s}}{\pu{5 m//s2}}=\pu{8 s}$

    $s_\text{C}(\pu{28 s})=\frac{1}{2} \cdot \pu{5 m//s2} \cdot (\pu{8 s})^2 +\pu{25 m//s} \cdot \pu{8 s} + \pu{500 m} = \pu{160 m} +\pu{200 m} +\pu{500 m} = \pu{860 m}$

    In dieser Zeit hat der Polizeiwagen die folgende Strecke zurückgelegt:

    $s_\text{P}(\pu{28 s})=\frac{1}{2} \cdot \pu{10 m//s2} \cdot (\pu{8 s})^2 +\pu{0 m//s} \cdot \pu{20 s} =\pu{320 m}$

    Das heißt, das Cabrio hat immer noch einen Vorsprung – und ist jetzt nicht mehr einholbar. Zumindest solange ihm das Benzin nicht ausgeht.