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Endgeschwindigkeit und Luftwiderstand

Hast du dich schon einmal gefragt, warum Fallschirmspringer sanft landen? Die Antwort liegt im Luftwiderstand und der Endgeschwindigkeit. Erfahre, wie Querschnittsfläche, Form und Geschwindigkeit eines Körpers den Luftwiderstand und damit die Widerstandskraft beeinflussen und wie dies mit der Endgeschwindigkeit zusammenhängt. Neugierig geworden? Vertiefe dein Wissen über die Physik hinter dem Fallschirmsprung!

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Beschreibung zum Video Endgeschwindigkeit und Luftwiderstand

Wusstest du, dass die meisten elektronischen Geräte weniger Spannung benötigen, als aus der Steckdose kommt? Daher sind in ihnen oder ihren Netzteilen häufig sogenannte Transformatoren verbaut, die die hohe Wechselspannung in eine niedrigere umwandeln. In diesem Video lernst du Aufbau, Funktionsweise und Wirkungsgrad des Transformators und den Unterschied zwischen unbelasteten und belasteten Transformatoren kennen.
Auch zum Thema Tranformator gibt es interaktive Übungen und Arbeitsblätter – du kannst dein neu erworbenes Wissen also direkt testen!

Lerntext zum Thema Endgeschwindigkeit und Luftwiderstand

Endgeschwindigkeit und Luftwiderstand

Hast du dich schon einmal gefragt, warum Fallschirmspringer sogar dann sanft und sicher wieder auf dem Boden landen, wenn sie aus mehreren Kilometern Höhe abspringen? Der Grund dafür ist der Luftwiderstand, der die Endgeschwindigkeit der Fallschirmspringer begrenzt. Wie beides miteinander zusammenhängt, wollen wir uns im Folgenden anschauen.

Luftwiderstand – Definition

Als Luftwiderstand bezeichnet man in der Physik eine Reibungskraft, die auf alle Körper wirkt, die sich durch die Luft bewegen. Du kannst dir das so vorstellen, dass die Luftteilchen ständig mit dem Körper wechselwirken. So gibt der Körper Energie an die Luftteilchen ab und wird gebremst. Durch den Luftwiderstand wirkt also eine Bremskraft $F_W$.

Der Luftwiderstand hängt hauptsächlich von drei Faktoren ab:

  • von der Querschnittsfläche des Körpers
  • der Form des Körpers
  • der Geschwindigkeit des Körpers

Zusätzlich hat auch die Dichte der Luft, die wiederum von Feuchtigkeit, Temperatur und Höhe abhängt, einen Einfluss auf den Luftwiderstand. Wir nehmen an dieser Stelle allerdings vereinfacht eine konstante Dichte der Luft an und konzentrieren uns vor allem auf die Querschnittsfläche und Geschwindigkeit als Einflussfaktoren. Diese Einflussfaktoren bestimmen, wie groß der Luftwiderstand und damit die Widerstandskraft $F_W$ ist, die einen Körper bremst. Um anzuzeigen, dass die Widerstandskraft von der Querschnittsfläche $A$ und der Geschwindigkeit $v$ abhängt, kann man auch schreiben: $F_W(A,v)$.

Der Fallschirmsprung als freier Fall mit Luftwiderstand

Kommen wir mit diesem Wissen zurück zum Fallschirmsprung. Stellen wir uns vor, eine Fallschirmspringerin springt aus einem Heißluftballon. Wir überlegen uns zunächst, welche Kräfte auf sie wirken, damit wir schlussendlich die Endgeschwindigkeit berechnen können.

Luftwiderstand und Endgeschwindigkeit beim Fallschirmsprung

Wenn wir annehmen, dass es windstill ist und die Springerin im Moment des Absprungs eine Geschwindigkeit von $v_B = 0~\frac{\text{km}}{\text{h}}$ hat, wirkt im ersten Moment nur die Gewichtskraft $F_G$ auf sie. Diese Kraft wirkt in Richtung des Erdbodens und beschleunigt die Springerin. Gäbe es keinen Luftwiderstand, würde die Springerin immer weiter beschleunigen. Sie würde immer schneller und schneller werden, ganz egal ob mit oder ohne Fallschirm. Durch den Luftwiderstand wird sie allerdings gebremst, denn dieser bewirkt die Widerstandskraft $F_W$, die nach oben gerichtet ist. Wir haben schon gelernt, dass der Luftwiderstand von der Geschwindigkeit abhängt – genauer gesagt wird er umso größer, je höher die Geschwindigkeit ist. Ab einer gewissen Geschwindigkeit ist die Widerstandskraft $F_W$ genauso groß wie die Gewichtskraft, also:

$F_W = F_G$

Ab diesem Zeitpunkt beschleunigt die Springerin nicht mehr, sondern hat eine konstante Endgeschwindigkeit erreicht. Wie hoch die Endgeschwindigkeit ist, hängt also zum einen von der Gewichtskraft und zum anderen von der Widerstandskraft durch den Luftwiderstand ab. Der Luftwiderstand hängt wiederum von der Querschnittsfläche des Körpers ab. Die Springerin hat eine Querschnittsfläche von ungefähr $1~\text{m}^{2}$, wenn sie die Arme ausbreitet. Wenn man einen typischen Beispielwert für das Gewicht der Fallschirmspringerin einsetzt, kommt man auf eine Endgeschwindigkeit von ungefähr $v_E = 200~\frac{\text{km}}{\text{h}}$. Das ist natürlich viel zu schnell. Der Fallschirm vergrößert die Querschnittsfläche allerdings erheblich – sie beträgt üblicherweise etwa $25~\text{m}^{2}$. Damit erhöht sich auch die Widerstandskraft $F_W$ und die Endgeschwindigkeit beträgt nur noch etwa $20~\frac{\text{km}}{\text{h}}$. Bei dieser Geschwindigkeit muss man das Landen zwar immer noch gut trainieren, um sich nicht zu verletzen, aber mit guter Ausbildung ist es möglich.

Wenn man die Endgeschwindigkeit genau bestimmen will, muss man eigentlich auch die Form des Körpers berücksichtigen. Die Form beeinflusst, wie die Luft am Körper vorbeiströmt und hat dadurch Einfluss auf den Luftwiderstand. Dieser Einfluss wird im sogenannten $c_W$-Wert festgehalten. Dieser Faktor wird für verschiedene Körper experimentell bestimmt. Das wird zum Beispiel im Windkanal bei der Entwicklung neuer Autos gemacht – hier möchte man im Gegensatz zum Fallschirm einen möglichst kleinen $c_W$-Wert erreichen, weil so höhere Geschwindigkeiten und ein geringerer Kraftstoffverbrauch möglich sind.

Wenn du all diese Größen kennst, kannst du die Endgeschwindigkeit beim freien Fall mit der folgenden Formel berechnen:

$v_E = \sqrt{ \frac{2mg}{c_W\rho A} }$

Darin ist $m$ die Masse des Körpers, $g$ die Erdbeschleunigung, $\rho$ die Dichte der Luft und $A$ die Querschnittsfläche des Körpers.

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Vorschaubild einer Übung

Endgeschwindigkeit und Luftwiderstand Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Lerntext Endgeschwindigkeit und Luftwiderstand kannst du es wiederholen und üben.
  • Nenne die Möglichkeiten den freien Fall zu beeinflussen.

    Tipps

    Der Luftwiderstand der beiden Kugeln ist gleich.

    Lösung

    Die Endgeschwindigkeit eines fallenden Objekts wird erreicht, wenn die Luftreibung so groß wird, dass sie die Gravitationskraft der Erde ausgleicht. Die Luftreibung hängt dabei vor allem von der Angriffsfläche und der Geschwindigkeit eines Objektes ab. Aus diesem Grund ist der Luftwiderstand eines Fallschirms umso höher, je größer seine Fläche ist. Zudem hängt die Luftreibung von der Form dieser Angriffsfläche ab. An der Spitze einer Pyramide kann die Luft beispielsweise besser vorbeiströmen als an ihrem flachen Boden, deshalb ist der Luftwiderstand geringer, wenn die Pyramide mit der Spitze voraus fällt. Damit steigt auch die Endgeschwindigkeit. Weil aber nur die Fläche entscheidend ist, gegen die die Luft drücken kann, ist die Länge eines Gegenstandes nicht entscheidend für seinen Luftwiderstand.

    Auch die Masse eines Objektes verändert den Luftwiderstand nicht. Allerdings sorgt eine höhere Masse für eine stärkere Anziehung aufgrund der Gravitationskraft. Beispielsweise wird die schwerere Goldkugel stärker beschleunigt als die gleich große Holzkugel. Deshalb erreicht sie eine höhere Endgeschwindigkeit.

  • Bestimme den Luftwiderstand der Formen.

    Tipps

    Die Tragflächen eines Flugzeugs sehen im Profil tropfenförmig aus.

    Ein Football fliegt weiter als ein runder Ball mit dem gleichen Gewicht.

    Lösung

    Eine Tropfenform, wie die eines Wassertropfens, können Luftmoleküle sehr gut umströmen, deshalb ist ihr Luftwiderstand besonders gering. Etwas höher ist der Luftwiderstand bei einem ellipsoiden Körper, wie beispielsweise bei einem Football oder einem Ei. Die Luftmoleküle fließen erst kurz hinter der abgerundeten Form an der Rückseite wieder zusammen. So entsteht direkt hinter dem Körper ein kleiner Unterdruck, der bremsend wirkt und so den Luftwiderstand erhöht. Etwas stärker ist dieser Effekt bei einer Kugel, da diese noch stärker von der Tropfenform abweicht als der etwas spitzere Ellipsoid.

    Auch bei der Pyramidenform entsteht ein bremsender Unterdruck, der durch die flache Rückseite noch deutlich höher ist. Der Würfel hat schließlich den höchsten Luftwiderstand, weil sowohl die Vorderseite als auch die Rückseite flach sind. Vorne drücken die Luftmoleküle gegen den Würfel und können kaum daran vorbeifließen und hinten entsteht wiederum ein bremsender Unterdruck.

  • Erschließe die maximale Fallgeschwindigkeit der Objekte.

    Tipps

    Der Kopf eines Menschen ist nur etwas größer als eine Bowlingkugel.

    Falken sind die Rekordhalter beim schnellen Sturzflug.

    Lösung

    Der Körperbau eines Falken ist darauf ausgelegt, mühelos durch die Luft zu gleiten und die Luftströmung genau zu lenken. Dies kommt ihm auch beim schnellen Sturzflug zugute, sodass Falken eine Geschwindigkeit von bis zu $322\frac{\text{km}}{\text{h}}$ erreichen können. Ein Mensch ist im freien Fall deutlich langsamer, auch wenn Fallschirmspringer ihre Angriffsfläche verkleinern können, indem sie sich mit dem Kopf voraus fallen lassen. Sie können dann bis zu $200\frac{\text{km}}{\text{h}}$ schnell werden.

    Eine Bowlingkugel ist zwar für ihre Größe sehr schwer, aber nicht so aerodynamisch geformt wie ein Vogel. Zudem ist das Gewicht eines kopfüber fallenden Menschen im Vergleich zu seiner Angriffsfläche deutlich höher als das einer Bowlingkugel. Deshalb erreicht eine Bowlingkugel auch eine langsamere Fallgeschwindigkeit von etwa $120\frac{\text{km}}{\text{h}}$.

    Den größten Luftwiderstand hat hier der Fallschirm, der durch seine große Angriffsfläche die Fallgeschwindigkeit eines Fallschirmspringers auf etwa $12\frac{\text{km}}{\text{h}}$ bis $20\frac{\text{km}}{\text{h}}$ senken kann.

  • Bestimme die Fallgeschwindigkeiten.

    Tipps

    Beide Schwestern werden durch die gleiche Gravitationskraft beschleunigt.

    Teste die Antworten, indem du die jeweiligen Geschwindigkeiten von Sofie in die Formel einsetzt, wie zum Beispiel $2\cdot v$ statt $v$.

    Lösung

    Wenn beide Schwestern ihre jeweiligen Endgeschwindigkeiten erreicht haben, müssen die Luftwiderstände jeweils die Gravitationskraft der Erde ausgleichen. Da beide Schwestern als Zwillinge gleich schwer sind, wirkt auch die Gravitationskraft auf beide gleich stark und auch die Luftwiderstände müssen gleich groß sein. Vereinfacht muss deshalb das Produkt aus der Fallschirmfläche $A$ und dem Quadrat der Geschwindigkeit $v$ für beide Fälle gleich groß sein. Es muss also gelten: $A_{Sofie}\cdot v_{Sofie}^2=A_{Sofia}\cdot v_{Sofia}^2$. Da Sofias Fallschirm viermal so groß ist wie der von Sofie, gilt auch $A_{Sofie}\cdot v_{Sofie}^2=4\cdot A_{Sofie}\cdot v_{Sofia}^2$. Wenn wir nun durch Sofies Fallschirmfläche teilen und die Wurzel ziehen, ergibt sich $v_{Sofie}=\sqrt{4\cdot v_{Sofia}^2}=2\cdot v_{Sofia}$. Sofie fällt also doppelt so schnell wie Sofia.

  • Nenne Maßnahmen zur Senkung der Endgeschwindigkeit.

    Tipps

    Kann Robert seine Angriffsfläche erhöhen?

    Lösung

    Um seinen Fall zu bremsen, muss Robert seinen Luftwiderstand erhöhen. Dazu kann er die Fläche erhöhen, gegen welche die Luft drückt. Zusätzlich kann er versuchen, dieser Fläche die richtige Form zu geben. Wenn sich Robert zu einer Kugel zusammenrollt, wird seine Angriffsfläche kleiner und zudem aerodynamischer, sodass sich seine Endgeschwindigkeit sogar erhöhen würde. Er kann versuchen, seinen Zylinder als Fallschirm zu verwenden, allerdings ist dessen Angriffsfläche zu klein, um Roberts Fall zu bremsen. Vermutlich würde es Robert allerdings etwas helfen, wenn es ihm gelingt, seinen Regenmantel auszubreiten, sodass sich die Luft darin fängt. So würde er seine Oberfläche erhöhen und der Regenmantel würde zudem eine Halbkugel bilden, die einen besonders hohen Luftwiderstand hat.

    Robert könnte zusätzlich versuchen, die Erdanziehungskraft zu verringern, die auf ihn wirkt. Dazu könnte er den Goldsack abwerfen, um seine Masse zu verringern.

    Schließlich könnte Robert auch versuchen, im Wasser zu landen, damit sein Bremsweg etwas länger wird und er nicht direkt auf dem harten Boden aufschlägt.

  • Berechne den Kraftstoffverbrauch.

    Tipps

    Ein Joule (J) entspricht einem Newtonmeter (N$\cdot$m), beziehungsweise $1\text{J}=1\text{Nm}=1\text{kg}\frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}$.

    Bestimme zunächst, welche Kraft der Luftwiderstand bei den jeweiligen Geschwindigkeiten erzeugt. Multipliziere diese Kraft dann mit dem Fahrtweg, um die Arbeit zu berechnen.

    Lösung

    Um die bremsende Wirkung des Luftwiderstandes auszugleichen, muss Jans Auto ständig Arbeit verrichten. Diese berechnet sich aus der Kraft des Luftwiderstandes, die mit dem gesamten Fahrtweg multipliziert wird, also $W=0,30\frac{\text{kg}}{\text{m}}\cdot v^2\cdot s_{Fahrtweg}= 30000\text{kg}\cdot v^2$.

    Auf dem Hinweg ist bei einer Geschwindigkeit von $v_{hin}=130\text{ }\frac{\text{km}}{\text{h}}=36\text{ }\frac{\text{m}}{\text{s}}$ eine Arbeit von $W_{hin}= 30000\text{kg}\cdot 36^2\frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}=38,9\text{ MJ}$ nötig.

    Bei einem Wirkungsgrad des Motors von $0,7$ werden aber $54\text{ MJ}$ also 6 Liter Benzin benötigt.

    Auf dem Rückweg verrichtet das Auto bei einer Geschwindigkeit von $v_{zurück}=100\text{ }\frac{\text{km}}{\text{h}}=28\text{ }\frac{\text{m}}{\text{s}}$ eine Arbeit von $W_{zurück}= 30000\text{kg}\cdot 28^2\frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}=23,5\text{ MJ}$.

    Die Differenz beträgt also 15,4 Megajoule, die das Auto auf dem Hinweg zusätzlich verrichten muss.

    Wenn in 6 Litern Benzin eine Energiemenge von 54 Megajoule steckt, dann liefert jeder Liter Benzin etwa 9 Megajoule an Energie, die der Motor bei einem Wirkungsgrad von 70% in 6,3 Megajoule Bewegungsenergie umwandelt. Daher benötigen wir also 2,4 Litern weniger Benzin für den Rückweg.

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