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Gravitationsgesetz – fallender Apfel und Planetenbahnen

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Physik-Team
Gravitationsgesetz – fallender Apfel und Planetenbahnen
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse

Beschreibung Gravitationsgesetz – fallender Apfel und Planetenbahnen

Inhalt

Das Gravitationsgesetz in der Physik

Du kennst sicher die Geschichte über Isaac Newton und den Apfelbaum, der ihn zu einer seiner wichtigsten Erkenntnisse über die Gravitation gebracht haben soll. Was genau diese Erkenntnis gewesen ist und wie sie mit dem Gravitationsgesetz zusammenhängt, wollen wir im Folgenden erläutern.

Äpfel und Planeten – die Gravitation

Schon lange bevor Isaac Newton im Jahr 1666 von einem Apfel am Kopf getroffen worden sein soll, waren zwei physikalische Phänomene bekannt:

  1. Die Planeten umkreisen die Sonne auf elliptischen Bahnen.
  2. Auf der Erde fallen alle Gegenstände in Richtung des Erdbodens, also nach unten.

Allerdings war der Legende nach ein fallender Apfel notwendig, um Newton auf die entscheidende Idee zu bringen, dass beide Phänomene dieselbe Ursache haben – die Gravitation. Newton soll an einem Apfelbaum gelehnt und den Himmel beobachtet haben, als eine reife Frucht auf seinem Kopf landete. Mit schmerzendem Kopf fragte er sich, weshalb Äpfel und andere Gegenstände eigentlich immer nach unten zum Erdboden fallen statt nach oben oder zur Seite. Er folgerte, dass der Apfel von der Erde angezogen werden müsse. Dann müsse die Erde in gleichem Maße den Mond anziehen wie die Sonne die Erde.

Anhand dieser Annahme entwickelte Isaac Newton etwa zwanzig Jahre später das nach ihm benannte newtonsche Gravitationsgesetz.

Mathematische Formulierung des Gravitationsgesetzes

Das Gravitationsgesetz besagt, dass zwei Massen eine anziehende Gravitationskraft aufeinander ausüben. Diese Kraft wirkt entlang der Verbindungslinie der zwei Massen und ist proportional zum Produkt der Massen und umgekehrt proportional zum Quadrat ihres Abstands. Das bedeutet, dass die Kraft umso größer ist, je größer die Massen sind und umso kleiner, je größer der Abstand zwischen den Massen ist. Der Proportionalitätsfaktor ist die Gravitationskonstante.

Gravitationsgesetz Definition

Als Formel aufgeschrieben sieht das Gravitationsgesetz für zwei Massenpunkte folgendermaßen aus:

$F_1 = F_2 = G \cdot \frac{M \cdot m}{r^{2}}$

Dabei sind $F_1$ und $F_2$ die Kräfte, die ein Körper auf den jeweils anderen ausübt, $G$ die Gravitationskonstante, $M$ und $m$ die Massen und $r$ der Abstand zwischen den Mittelpunkten der Massen. Das Gesetz gilt in dieser Form nicht nur für Massenpunkte, sondern auch für kugelsymmetrische Objekte. Allerdings nur dann, wenn der Abstand $r$ zwischen den Objekten viel größer ist als die Radien der Objekte. Deswegen gilt das Gravitationsgesetz näherungsweise auch für die Anziehung zwischen Erde und Mond, weil der Abstand $r$ zwischen Erde und Mond viel größer ist als die Radien der beiden Himmelskörper.

Gravitationsgesetz Erklärung

Auf diese Weise kann man das Gravitationsgesetz benutzen, um die Bahnen von Himmelskörpern zu berechnen. Ihre Eigenschaften werden genauer durch die keplerschen Gesetze beschrieben.

Gravitationsgesetz und Äquivalenzprinzip – Geschichte

Als wir die Formel für das Gravitationsgesetz aufgeschrieben haben, haben wir – ohne weiter darüber nachzudenken – die Massen $M$ und $m$ so eingesetzt, wie wir sie aus den Grundgesetzen der Dynamik kennen. In diesem Zusammenhang sprechen wir genau genommen von der trägen Masse. Wir erinnern uns daran, weshalb wir von träge sprechen:

Wenn eine Kraft $F$ auf einen Körper einwirkt, wird dieser Körper beschleunigt. Die Beschleunigung $a$, die ein Körper erfährt, ist bei gleicher Kraft allerdings nicht für alle Körper gleich. Sie ist zwar proportional zur Kraft, hängt aber zusätzlich von einer Eigenschaft des jeweiligen Körpers ab. Diese Eigenschaft wird träge Masse $m_{träge}$ genannt und tritt als Proportionalitätsfaktor auf:

$F = m_{träge} \cdot a$

Je größer die träge Masse ist, desto kleiner ist die Beschleunigung bei gleicher Kraft. Deswegen wird sie auch als träge Masse bezeichnet: Sie wirkt als Hindernis gegen die Beschleunigung.

Als Isaac Newton das Gravitationsgesetz formulierte, wusste er nicht, dass die darin enthaltenen Massen dieselben Eigenschaften hatten. Er sprach deshalb auch von den schweren Massen $M_{schwer}$ und $m_{schwer}$ und formulierte das Gravitationsgesetz so:

$F_1 = F_2 = G \cdot \frac{M_{schwer} \cdot m_{schwer}}{r^{2}}$

Je größer also die schweren Massen der Körper sind, desto größer ist die Anziehungskraft zwischen ihnen.

Das Äquivalenzprinzip, das anhand vieler Experimente gezeigt werden konnte und einen wichtigen Teil der Relativitätstheorie nach Albert Einstein bildet, besagt nun, dass träge und schwere Masse äquivalent sind, also:

$m_{schwer} = m_{träge}$

Genauer erklären lässt sich dieses Prinzip allerdings nicht – wir müssen es vorerst als Gegebenheit der Natur hinnehmen. Es hat allerdings Einfluss auf viele Bereiche der Physik und führt zu unterschiedlichen Phänomenen. Eines, das wir schon kennen, ist, dass alle Körper im Gravitationsfeld der Erde dieselbe Beschleunigung erfahren, wenn wir die Luftreibung vernachlässigen (oder im Vakuum experimentieren). Wir hatten schon aufgeschrieben, dass nach Newton für die Beschleunigung eines Körpers gilt:

$F = m_{träge} \cdot a$

Für die Kraft, die durch das Gravitationsfeld der Erde auf einen Körper wirkt, der sich nahe der Erdoberfläche befindet, gilt:

$F = m_{schwer} \cdot g$

Dabei ist $g$ der Ortsfaktor. Wenn man die Formeln für die Kräfte gleichsetzt, ergibt sich:

$m_{träge} \cdot a = m_{schwer} \cdot g$

Umgeformt nach der auf den Körper wirkenden Beschleunigung $a$ erhalten wir:

$a = \frac{m_{schwer}}{m_{träge}} \cdot g$

Und schließlich, mit $m_{träge} = m_{schwer}$, folgt:

$a = g$

Die Beschleunigung, die ein Körper im Gravitationsfeld der Erde erfährt, ist also immer gleich und unabhängig von seiner Masse – Gravitations- und Trägheitskräfte sind also äquivalent.

Wann gilt das Gravitationsgesetz?

Das newtonsche Gravitationsgesetz ist eine Näherung, die in den meisten Fällen gut funktioniert – aber in manchen Bereichen an Grenzen stößt. Bei großen Geschwindigkeiten und sehr massereichen Objekten, wie beispielsweise schwarzen Löchern, liefert das newtonsche Gravitationsgesetz keine zutreffenden Voraussagen mehr. In diesen Fällen muss mit der allgemeinen Relativitätstheorie gerechnet werden.

Gravitationsgesetz – Zusammenfassung

Die wichtigsten Erkenntnisse zum newtonschen Gravitationsgesetz fassen wir noch einmal in Stichpunkten zusammen:

  • Das Gravitationsgesetz wurde von Isaac Newton formuliert.
  • Es besagt, dass zwei Massenpunkte eine Anziehungskraft aufeinander ausüben, die proportional zum Produkt ihrer Massen ist.
  • Die Kraft ist umgekehrt proportional zum Abstand zwischen den Massenpunkten.
  • Die Proportionalitätskonstante heißt Gravitationskonstante $G$.
  • Das Äquivalenzprinzip besagt, dass träge und schwere Massen zueinander äquivalent sind.

In diesem Video wird dir das Gravitationsgesetz einfach erklärt. Du erfährst, welche Bedeutung Gravitationsgesetz und Äquivalenzprinzip haben, und lernst die wichtigsten Formeln dazu kennen. Text und Video werden durch interaktive Aufgaben und ein Arbeitsblatt ergänzt.

Transkript Gravitationsgesetz – fallender Apfel und Planetenbahnen

Gravitationsgesetz

Herzlich Willkommen zum Video über das Newtonsche Gravitationsgesetz.Warum fallen Körper auf der Erde zu Boden? Warum kreisen die Planeten um die Sonne? Warum kreist Mond um die Erde?

Die Antwort auf all diese Fragen liegt in der Gravitation. Hierzu werden wir zunächst das Newtonsche Gravitationsgesetz formulieren. Ausgehend hiervon werden wir die möglichen Bahnen von Himmelskörpern beschreiben. Im Anschluss erklären wir dann das Äquivalenzprinzip der Massen.

Gegen Ende des 17. Jahrhunderts wusste man dank Johannes Kepler, dass Planeten auf elliptischen Bahnen um die Sonne kreisen und der Mond um die Erde. Desweiteren wusste man natürlich, dass Dinge zu Boden fallen. Niemand kam jedoch darauf, dass der Ursprung beider Phänomene in einem gemeinsamen Naturgesetz liegen könnte.

Isaac Newton hatte hier die zündende Idee: Angeblich lag er 1666 unter einem Apfelbaum und dachte über die Bewegung des Mondes nach, als ihm plötzlich ein Apfel auf den Kopf fiel. Dies habe ihn dann auf die Idee gebracht, dass die Bewegung von Himmelskörpern und der freie Fall auf der Erde beide den gleichen Ursprung haben.

Ob diese Anekdote stimmt, wissen wir nicht, aber tatsächlich formulierte Newton im Jahre 1686 sein Gravitationsgesetz, welches die Anziehung von Massen beschreibt. Schauen wir uns das Gesetz nun konkret an:

Zwei Punktmassen mit den Massen klein m und groß M befinden sich im Abstand r. Newton postulierte, dass sich die beiden Massen mit der gleichen Kraft F anziehen. Sein Gravitationsgesetz besagt, dass diese Kraft proportional zum Produkt der Massen geteilt durch das Quadrat des Abstandes klein r sei. Die Gravitationskraft nimmt also zu je größer die Massen sind die sich anziehen und nimmt ab je weiter diese Massen voneinander entfernt sind.

Die Proportionalitätskonstante bezeichnen wir heute als Newtonsche Gravitationskonstante groß G. Sie ist eine Naturkonstante und hat den Wert 6,673 mal 10 hoch minus 11 Kubikmeter durch Kilogramm und Quadratsekunde. Damit können wir also die Gravitationskraft zwischen zwei Punktmassen ausrechen. Doch wie ist das nun mit Himmelskörpern wie dem Mond und der Erde?

Für alle kugelsymmetrischen Masseverteilungen, wie eben Erde und Mond, gilt das Gravitationsgesetz ebenfalls, wobei der Abstand r jedoch immer die beiden Kugelmittelpunkte verbindet. Dabei muss jedoch der Abstand zwischen den Körpern wesentlich größer sein, als der Radius der Körper.

Somit kann man das Gravitationsgesetz benutzen, um die möglichen Bahnen von Himmelskörpern zu berechnen. Man findet, dass Himmelskörper auf Kreisbahnen oder Ellipsen um einen Zentralkörper kreisen. Newton lieferte somit die theoretische Erklärung für die ellipsenförmigen Planetenbahnen die erstmals von Johannes Kepler 1609 beschrieben wurden.

Wenn die Anziehung zu schwach oder die Himmelskörper zu schnell sind, so kann es passieren, dass die Bahnen nicht geschlossen sind, sondern die Himmelskörper sich wieder voneinander trennen.

Die dabei entstehenden Bahnen haben die Form einer Parabel oder einer Hyperbel. An dieser Stelle kommen wir zu einem verblüffenden Punkt: dem Äquivalenzprinzip. Wie selbstverständlich haben wir im Gravitationsgesetz die Masse verwendet, welche wir bereits aus dem Grundgesetzt der Dynamik kennen. Das ist aber nicht selbstverständlich: Wenn eine Kraft F auf einen Körper wirkt, so wird dieser beschleunigt.

Die Beschleunigung a ist dabei proportional zur Kraft. Der Proportionalitätsfaktor ist eine physikalische Eigenschaft eines Körpers oder Punktteilchens und wird als dessen “Träge Masse” m bezeichnet. Je größer die träge Masse ist, desto weniger wird der Körper von einer gegebenen Kraft beschleunigt. Deshalb “träge Masse”.

Als Newton nun sein Gravitationsgesetz formulierte, wusste er noch nicht, dass die Massen in seinem Gesetz die gleichen Eigenschaften aufweisen. Deshalb bezeichnete er die Massen hier als “Schwere Masse”. Je größer die “Schwere Masse” ist, desto größer ist die Anziehungskraft auf den Körper.

Das Äquivalenzprinzip besagt nun, dass diese beiden Massen identisch sind, weshalb wir normalerweise einfach nur klein bzw. groß M für die Masse schreiben. Dies ist heutzutage, im Jahr 2014, experimentell auf bis zu 15 Nachkommastellen bestätigt. Das Äquivalenzprinzip lässt sich nicht weiter erklären, sondern muss als gegebene Tatsache der Natur hingenommen werden. Es beeinflusst die Eigenschaften von Elementarteilchen und die Eigenschaften des Raumes und ist daher bis heute ein wichtiges Forschungsgebiet der Physik.

Damit haben wir die wichtigsten Eigenschaften des Gravitationsgesetz und der Gravitation beschrieben. Fassen wir noch einmal zusammen. Das Gravitationsgesetz besagt, dass die anziehende Kraft F zwischen zwei Massen gleich G mal deren Massenprodukt geteilt durch den Abstand zum Quadrat ist. Dies gilt exakt für Punktmassen und Kugeln.

Hieraus lassen sich die geschlossenen Planetenbahnen Kreis und Ellipse erklären, aber auch Parabeln und Hyperbeln als Bahnkurven sind möglich.

Desweiteren haben wir geklärt, dass die träge Masse aus dem Grundgesetz der Dynamik und die schwere Masse aus dem Gravitationsgesetz nach dem Äquivalenzprinzip identisch sind und wir deshalb einfach von der Masse sprechen können. Damit haben wir auch die anfänglichen Fragen beantwortet: Erdanziehung und die Bahnen von Himmelskörpern sind beides Folgen der Gravitation!

Tschüss und bis zum nächsten mal.

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. Muss ehrlich sagen, das Video ist echt große Klasse. Es ist verständlich und langsam Erklärt. Nachdemmein Lehrer es heute durch gemacht hat dachten ich ich checks nie...........

    Von Peter 51, vor mehr als 6 Jahren

Gravitationsgesetz – fallender Apfel und Planetenbahnen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Gravitationsgesetz – fallender Apfel und Planetenbahnen kannst du es wiederholen und üben.
  • Erzähle die Anekdote zur Entdeckung des Gravitationsgesetzes.

    Tipps

    Stelle dir vor, du liegst unter einem Apfelbaum.

    Lösung

    Viele Zusammenhänge, die wir heute als selbstverständlich ansehen, waren früher noch nicht bekannt.

    Erst Newton fand 1666 heraus, dass die Anziehungskraft auf der Erde genau dieselbe Ursache hat, wie die Kraft, die die Himmelskörper auf ihren Umlaufbahnen hält.

  • Beschreibe das Äquivalenzprinzip

    Tipps

    Welche Aussagen beziehen sich auf das Äquivalenzprinzip?

    Lösung

    Die Kernaussage des Äquivalenzprinzips ist, dass die schwere Masse, die wir aus dem Gravitationsgesetz kennen, und die träge Masse, die wir aus Newtons erstem Gesetz, dem Trägheitsprinzip, $F=m\cdot a$ kennen, äquivalent sind.

    Das ist schon seit langer Zeit bekannt und daher unterscheiden wir im Normalfall diese beiden Massen gar nicht.

  • Beschreibe die Bahnänderung eines Himmelskörpers, indem du seine Geschwindigkeit immer weiter erhöhst.

    Tipps

    Himmelskörper 2 beschreibt jeweils eine unterschiedliche Bahn um Himmelskörper 1.

    Versuche, dir den Einfluss des Gravitationsfeldes von Körper 1 vorzustellen und erhöhe in Gedanken die Geschwindigkeit von Körper 2.

    Lösung

    Dass ein Himmelskörper einen anderen kreisförmig umrundet, können wir uns gut vorstellen.

    Wenn wir jedoch seine Geschwindigkeit erhöhen, wird die Kreisbahn zu einer Ellipse. Wie stark die Ellipse von einer Kreisbahn abweicht, wird durch die Exzentrizität beschrieben. Die Exzentrizität nimmt mit Erhöhung der Geschwindigkeit immer weiter zu, bis die Bahn bei Erreichen der zweiten kosmischen Geschwindigkeit einer offenen Parabel gleicht. Nimmt die Geschwindigkeit darüber hinaus noch weiter zu, gleicht sich die Flugbahn einer Hyperbel an.

  • Bestimme die Masse der Erde aus folgenden Informationen.

    Tipps

    Nutze die EXP-Taste auf deinem Taschenrechner, um 10er-Potenzen einzugeben.

    Stelle die Formel nach der Größe um, die gesucht ist.

    Rechne in SI-Einheiten. Das sind unter anderem kg, m, s...

    Lösung

    Die Herangehensweise bei physikalischen Rechenaufgaben ist immer dieselbe.

    Zuerst schreibst du auf, was gegeben ist und was gesucht wird. Du suchst dann die Formel, die alle diese Größen enthält. Manchmal benötigt man auch zwei oder drei verschiedene Formeln, um alle Größen berücksichtigen zu können.

    Danach stellst du die Formel so um, dass die gesuchte Größe auf der einen und die gegebenen Größen auf der anderen Seite stehen und setzt diese dann.

    Gegeben:

    $\begin{align*} m_{\text{Mond}} &= 7,349 \cdot 10^{22}~\text{kg}\\ r_{\text{Erde-Mond}} &= 384.400~\text{km} \\ F_{\text{G}}&= 1,968229 \cdot 10^{20}~\text{kg}\\ G &= 6,6738 \cdot 10^{-11}~\frac{\text{m}^3}{\text{kg}~\text{s}^2}\\ \end{align*}$

    Gesucht:

    $\begin{align*} m_{\text{Erde}}\\ \end{align*}$

    Formel:

    $\begin{align*} F_{\text{G}}&= G \cdot \frac{M\cdot m}{r^2}\\ \end{align*}$

    Umformen:

    $\begin{align*} F_{\text{G}}&= G \cdot \frac{M\cdot m}{r^2}\qquad |\cdot r^2 \\ F_{\text{G}} \cdot r^2&= G \cdot{M\cdot m}\qquad |\cdot \frac{1}{m \cdot G}\\ \frac{F_{\text{G}} \cdot r^2}{m \cdot G}&= M \end{align*}$

    Einsetzen:

    $\begin{align*} M&= \frac{F_{\text{G}} \cdot r^2}{m \cdot G} = \frac{ 1,968229 \cdot 10^{20}~\text{kg} \cdot (384.400.000~\text{m})^2}{7,349 \cdot 10^{22}~\text{kg} \cdot 6,6738 \cdot 10^{-11}~\frac{\text{m}^3}{\text{kg}~\text{s}^2}} \approx 5,93 \cdot 10^{24} ~\text{kg}\\ \end{align*}$

    Wichtig ist es, beim Einsetzen darauf zu achten, dass alle Größen in SI-Einheiten angegeben sind. Du musst daher den Abstand Erde-Mond zuerst in m umrechnen. Um die richtige Einheit zu bestimmen, kannst du anstelle der Einheit für die Kraft auch das Produkt aus Einheit von Masse und Beschleunigung einsetzen.

  • Bestimme mithilfe des Gravitationsgesetzes die Beziehung zwischen der Kraft, die die Erde auf den Mond ausübt und der Kraft, die der Mond auf die Erde ausübt.

    Tipps

    Trage ? ein, falls es keine bestimmte Beziehung gibt.

    Gib das Verhältnis so exakt wie möglich an.

    Du kannst hier mit einem Newtonschen Gesetz argumentieren.

    Lösung

    Das dritte Newtonschen Gesetz, das auch Wechselwirkungsprinzip genannt wird, besagt Folgendes:

    Die Kraft, die ein Körper auf einen zweiten ausübt, ist immer genauso groß, wie die Kraft des zweiten auf den ersten Körper.

    Es muss also Gleichheit gelten.

  • Bestimme die Erdbeschleunigung g mithilfe des Äquivalenzprinzips.

    Tipps

    Überlege dir, was das Äquivalenzprinzip besagt.

    Rechne so exakt wie möglich, vermeide Rundungsfehler.

    Es muss nicht unbedingt der Literaturwert herauskommen.

    Lösung

    Die Herangehensweise bei physikalischen Rechenaufgaben ist immer dieselbe.

    Du suchst dann die Formel, die alle diese Größen enthält. Manchmal benötigt man auch zwei oder drei verschiedene Formeln, um alle Größen berücksichtigen zu können.

    Danach stellst du die Formel so um, dass die gesuchte Größe auf der einen und die gegebenen Größen auf der anderen Seite stehen und setzt diese dann ein.

    Gegeben:

    $\begin{align*} M_{\text{Erde}} &= 5,9722 \cdot 10^{24}~\text{kg}\\ r_{\text{Erde}} &= 6.371~\text{km} \\ G &= 6,6738 \cdot 10^{-11}~\frac{\text{m}^3}{\text{kg}~\text{s}^2}\\ \end{align*}$

    Gesucht:

    $g$

    Formeln:

    $\begin{align*} F&= G \cdot \frac{M\cdot m}{r^2}\\ F&= m\cdot g\\ \end{align*}$

    F Gleichsetzen:

    $\begin{align*} m\cdot g&= G \cdot \frac{M\cdot m}{r^2}\\ \end{align*}$

    Umformen:

    $\begin{align*} m\cdot g&= G \cdot \frac{M\cdot m}{r^2} \qquad |\cdot \frac{1}{m}\\ g&= G \cdot \frac{M\cdot m}{m\cdot r^2}\\ \end{align*}$

    m kann gekürzt werden, da das Äquivalenzprinzip folgendes besagt:

    schwere Masse = träge Masse = m

    Einsetzen:

    $\begin{align*} g&= G \cdot \frac{M}{ r^2} = 6,6738 \cdot 10^{-11}~\frac{\text{m}^3}{\text{kg}~\text{s}^2} \cdot \frac{5,9722 \cdot 10^{24}~\text{kg}}{(6.371.000~\text{m})^2} \approx 9,82 ~\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\\ \end{align*}$

    Wichtig ist es, beim Einsetzen darauf zu achten, dass alle Größen in SI-Einheiten angegeben sind. Du musst daher den Erdradius zuerst in m umrechnen.

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