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Gravitationsgesetz – fallender Apfel und Planetenbahnen 06:37 min

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Transkript Gravitationsgesetz – fallender Apfel und Planetenbahnen

Gravitationsgesetz

Herzlich Willkommen zum Video über das Newtonsche Gravitationsgesetz.Warum fallen Körper auf der Erde zu Boden? Warum kreisen die Planeten um die Sonne? Warum kreist Mond um die Erde?

Die Antwort auf all diese Fragen liegt in der Gravitation. Hierzu werden wir zunächst das Newtonsche Gravitationsgesetz formulieren. Ausgehend hiervon werden wir die möglichen Bahnen von Himmelskörpern beschreiben. Im Anschluss erklären wir dann das Äquivalenzprinzip der Massen.

Gegen Ende des 17. Jahrhunderts wusste man dank Johannes Kepler, dass Planeten auf elliptischen Bahnen um die Sonne kreisen und der Mond um die Erde. Desweiteren wusste man natürlich, dass Dinge zu Boden fallen. Niemand kam jedoch darauf, dass der Ursprung beider Phänomene in einem gemeinsamen Naturgesetz liegen könnte.

Isaac Newton hatte hier die zündende Idee: Angeblich lag er 1666 unter einem Apfelbaum und dachte über die Bewegung des Mondes nach, als ihm plötzlich ein Apfel auf den Kopf fiel. Dies habe ihn dann auf die Idee gebracht, dass die Bewegung von Himmelskörpern und der freie Fall auf der Erde beide den gleichen Ursprung haben.

Ob diese Anekdote stimmt, wissen wir nicht, aber tatsächlich formulierte Newton im Jahre 1686 sein Gravitationsgesetz, welches die Anziehung von Massen beschreibt. Schauen wir uns das Gesetz nun konkret an:

Zwei Punktmassen mit den Massen klein m und groß M befinden sich im Abstand r. Newton postulierte, dass sich die beiden Massen mit der gleichen Kraft F anziehen. Sein Gravitationsgesetz besagt, dass diese Kraft proportional zum Produkt der Massen geteilt durch das Quadrat des Abstandes klein r sei. Die Gravitationskraft nimmt also zu je größer die Massen sind die sich anziehen und nimmt ab je weiter diese Massen voneinander entfernt sind.

Die Proportionalitätskonstante bezeichnen wir heute als Newtonsche Gravitationskonstante groß G. Sie ist eine Naturkonstante und hat den Wert 6,673 mal 10 hoch minus 11 Kubikmeter durch Kilogramm und Quadratsekunde. Damit können wir also die Gravitationskraft zwischen zwei Punktmassen ausrechen. Doch wie ist das nun mit Himmelskörpern wie dem Mond und der Erde?

Für alle kugelsymmetrischen Masseverteilungen, wie eben Erde und Mond, gilt das Gravitationsgesetz ebenfalls, wobei der Abstand r jedoch immer die beiden Kugelmittelpunkte verbindet. Dabei muss jedoch der Abstand zwischen den Körpern wesentlich größer sein, als der Radius der Körper.

Somit kann man das Gravitationsgesetz benutzen, um die möglichen Bahnen von Himmelskörpern zu berechnen. Man findet, dass Himmelskörper auf Kreisbahnen oder Ellipsen um einen Zentralkörper kreisen. Newton lieferte somit die theoretische Erklärung für die ellipsenförmigen Planetenbahnen die erstmals von Johannes Kepler 1609 beschrieben wurden.

Wenn die Anziehung zu schwach oder die Himmelskörper zu schnell sind, so kann es passieren, dass die Bahnen nicht geschlossen sind, sondern die Himmelskörper sich wieder voneinander trennen.

Die dabei entstehenden Bahnen haben die Form einer Parabel oder einer Hyperbel. An dieser Stelle kommen wir zu einem verblüffenden Punkt: dem Äquivalenzprinzip. Wie selbstverständlich haben wir im Gravitationsgesetz die Masse verwendet, welche wir bereits aus dem Grundgesetzt der Dynamik kennen. Das ist aber nicht selbstverständlich: Wenn eine Kraft F auf einen Körper wirkt, so wird dieser beschleunigt.

Die Beschleunigung a ist dabei proportional zur Kraft. Der Proportionalitätsfaktor ist eine physikalische Eigenschaft eines Körpers oder Punktteilchens und wird als dessen “Träge Masse” m bezeichnet. Je größer die träge Masse ist, desto weniger wird der Körper von einer gegebenen Kraft beschleunigt. Deshalb “träge Masse”.

Als Newton nun sein Gravitationsgesetz formulierte, wusste er noch nicht, dass die Massen in seinem Gesetz die gleichen Eigenschaften aufweisen. Deshalb bezeichnete er die Massen hier als “Schwere Masse”. Je größer die “Schwere Masse” ist, desto größer ist die Anziehungskraft auf den Körper.

Das Äquivalenzprinzip besagt nun, dass diese beiden Massen identisch sind, weshalb wir normalerweise einfach nur klein bzw. groß M für die Masse schreiben. Dies ist heutzutage, im Jahr 2014, experimentell auf bis zu 15 Nachkommastellen bestätigt. Das Äquivalenzprinzip lässt sich nicht weiter erklären, sondern muss als gegebene Tatsache der Natur hingenommen werden. Es beeinflusst die Eigenschaften von Elementarteilchen und die Eigenschaften des Raumes und ist daher bis heute ein wichtiges Forschungsgebiet der Physik.

Damit haben wir die wichtigsten Eigenschaften des Gravitationsgesetz und der Gravitation beschrieben. Fassen wir noch einmal zusammen. Das Gravitationsgesetz besagt, dass die anziehende Kraft F zwischen zwei Massen gleich G mal deren Massenprodukt geteilt durch den Abstand zum Quadrat ist. Dies gilt exakt für Punktmassen und Kugeln.

Hieraus lassen sich die geschlossenen Planetenbahnen Kreis und Ellipse erklären, aber auch Parabeln und Hyperbeln als Bahnkurven sind möglich.

Desweiteren haben wir geklärt, dass die träge Masse aus dem Grundgesetz der Dynamik und die schwere Masse aus dem Gravitationsgesetz nach dem Äquivalenzprinzip identisch sind und wir deshalb einfach von der Masse sprechen können. Damit haben wir auch die anfänglichen Fragen beantwortet: Erdanziehung und die Bahnen von Himmelskörpern sind beides Folgen der Gravitation!

Tschüss und bis zum nächsten mal.

1 Kommentar
  1. Muss ehrlich sagen, das Video ist echt große Klasse. Es ist verständlich und langsam Erklärt. Nachdemmein Lehrer es heute durch gemacht hat dachten ich ich checks nie...........

    Von Peter 51, vor etwa 4 Jahren

Gravitationsgesetz – fallender Apfel und Planetenbahnen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Gravitationsgesetz – fallender Apfel und Planetenbahnen kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme mithilfe des Gravitationsgesetzes die Beziehung zwischen der Kraft, die die Erde auf den Mond ausübt und der Kraft, die der Mond auf die Erde ausübt.

    Tipps

    Trage ? ein, falls es keine bestimmte Beziehung gibt.

    Gib das Verhältnis so exakt wie möglich an.

    Du kannst hier mit einem Newtonschen Gesetz argumentieren.

    Lösung

    Das dritte Newtonschen Gesetz, das auch Wechselwirkungsprinzip genannt wird, besagt Folgendes:

    Die Kraft, die ein Körper auf einen zweiten ausübt, ist immer genauso groß, wie die Kraft des zweiten auf den ersten Körper.

    Es muss also Gleichheit gelten.

  • Erzähle die Anekdote zur Entdeckung des Gravitationsgesetzes.

    Tipps

    Stelle dir vor, du liegst unter einem Apfelbaum.

    Lösung

    Viele Zusammenhänge, die wir heute als selbstverständlich ansehen, waren früher noch nicht bekannt.

    Erst Newton fand 1666 heraus, dass die Anziehungskraft auf der Erde genau dieselbe Ursache hat, wie die Kraft, die die Himmelskörper auf ihren Umlaufbahnen hält.

  • Bestimme die Erdbeschleunigung g mithilfe des Äquivalenzprinzips.

    Tipps

    Überlege dir, was das Äquivalenzprinzip besagt.

    Rechne so exakt wie möglich, vermeide Rundungsfehler.

    Es muss nicht unbedingt der Literaturwert herauskommen.

    Lösung

    Die Herangehensweise bei physikalischen Rechenaufgaben ist immer dieselbe.

    Du suchst dann die Formel, die alle diese Größen enthält. Manchmal benötigt man auch zwei oder drei verschiedene Formeln, um alle Größen berücksichtigen zu können.

    Danach stellst du die Formel so um, dass die gesuchte Größe auf der einen und die gegebenen Größen auf der anderen Seite stehen und setzt diese dann ein.

    Gegeben:

    $\begin{align*} M_{\text{Erde}} &= 5,9722 \cdot 10^{24}~\text{kg}\\ r_{\text{Erde}} &= 6.371~\text{km} \\ G &= 6,6738 \cdot 10^{-11}~\frac{\text{m}^3}{\text{kg}~\text{s}^2}\\ \end{align*}$

    Gesucht:

    $g$

    Formeln:

    $\begin{align*} F&= G \cdot \frac{M\cdot m}{r^2}\\ F&= m\cdot g\\ \end{align*}$

    F Gleichsetzen:

    $\begin{align*} m\cdot g&= G \cdot \frac{M\cdot m}{r^2}\\ \end{align*}$

    Umformen:

    $\begin{align*} m\cdot g&= G \cdot \frac{M\cdot m}{r^2} \qquad |\cdot \frac{1}{m}\\ g&= G \cdot \frac{M\cdot m}{m\cdot r^2}\\ \end{align*}$

    m kann gekürzt werden, da das Äquivalenzprinzip folgendes besagt:

    schwere Masse = träge Masse = m

    Einsetzen:

    $\begin{align*} g&= G \cdot \frac{M}{ r^2} = 6,6738 \cdot 10^{-11}~\frac{\text{m}^3}{\text{kg}~\text{s}^2} \cdot \frac{5,9722 \cdot 10^{24}~\text{kg}}{(6.371.000~\text{m})^2} \approx 9,82 ~\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\\ \end{align*}$

    Wichtig ist es, beim Einsetzen darauf zu achten, dass alle Größen in SI-Einheiten angegeben sind. Du musst daher den Erdradius zuerst in m umrechnen.

  • Beschreibe das Äquivalenzprinzip

    Tipps

    Welche Aussagen beziehen sich auf das Äquivalenzprinzip?

    Lösung

    Die Kernaussage des Äquivalenzprinzips ist, dass die schwere Masse, die wir aus dem Gravitationsgesetz kennen, und die träge Masse, die wir aus Newtons erstem Gesetz, dem Trägheitsprinzip, $F=m\cdot a$ kennen, äquivalent sind.

    Das ist schon seit langer Zeit bekannt und daher unterscheiden wir im Normalfall diese beiden Massen gar nicht.

  • Beschreibe die Bahnänderung eines Himmelskörpers, indem du seine Geschwindigkeit immer weiter erhöhst.

    Tipps

    Himmelskörper 2 beschreibt jeweils eine unterschiedliche Bahn um Himmelskörper 1.

    Versuche, dir den Einfluss des Gravitationsfeldes von Körper 1 vorzustellen und erhöhe in Gedanken die Geschwindigkeit von Körper 2.

    Lösung

    Dass ein Himmelskörper einen anderen kreisförmig umrundet, können wir uns gut vorstellen.

    Wenn wir jedoch seine Geschwindigkeit erhöhen, wird die Kreisbahn zu einer Ellipse. Wie stark die Ellipse von einer Kreisbahn abweicht, wird durch die Exzentrizität beschrieben. Die Exzentrizität nimmt mit Erhöhung der Geschwindigkeit immer weiter zu, bis die Bahn bei Erreichen der zweiten kosmischen Geschwindigkeit einer offenen Parabel gleicht. Nimmt die Geschwindigkeit darüber hinaus noch weiter zu, gleicht sich die Flugbahn einer Hyperbel an.

  • Bestimme die Masse der Erde aus folgenden Informationen.

    Tipps

    Nutze die EXP-Taste auf deinem Taschenrechner, um 10er-Potenzen einzugeben.

    Stelle die Formel nach der Größe um, die gesucht ist.

    Rechne in SI-Einheiten. Das sind unter anderem kg, m, s...

    Lösung

    Die Herangehensweise bei physikalischen Rechenaufgaben ist immer dieselbe.

    Zuerst schreibst du auf, was gegeben ist und was gesucht wird. Du suchst dann die Formel, die alle diese Größen enthält. Manchmal benötigt man auch zwei oder drei verschiedene Formeln, um alle Größen berücksichtigen zu können.

    Danach stellst du die Formel so um, dass die gesuchte Größe auf der einen und die gegebenen Größen auf der anderen Seite stehen und setzt diese dann.

    Gegeben:

    $\begin{align*} m_{\text{Mond}} &= 7,349 \cdot 10^{22}~\text{kg}\\ r_{\text{Erde-Mond}} &= 384.400~\text{km} \\ F_{\text{G}}&= 1,968229 \cdot 10^{20}~\text{kg}\\ G &= 6,6738 \cdot 10^{-11}~\frac{\text{m}^3}{\text{kg}~\text{s}^2}\\ \end{align*}$

    Gesucht:

    $\begin{align*} m_{\text{Erde}}\\ \end{align*}$

    Formel:

    $\begin{align*} F_{\text{G}}&= G \cdot \frac{M\cdot m}{r^2}\\ \end{align*}$

    Umformen:

    $\begin{align*} F_{\text{G}}&= G \cdot \frac{M\cdot m}{r^2}\qquad |\cdot r^2 \\ F_{\text{G}} \cdot r^2&= G \cdot{M\cdot m}\qquad |\cdot \frac{1}{m \cdot G}\\ \frac{F_{\text{G}} \cdot r^2}{m \cdot G}&= M \end{align*}$

    Einsetzen:

    $\begin{align*} M&= \frac{F_{\text{G}} \cdot r^2}{m \cdot G} = \frac{ 1,968229 \cdot 10^{20}~\text{kg} \cdot (384.400.000~\text{m})^2}{7,349 \cdot 10^{22}~\text{kg} \cdot 6,6738 \cdot 10^{-11}~\frac{\text{m}^3}{\text{kg}~\text{s}^2}} \approx 5,93 \cdot 10^{24} ~\text{kg}\\ \end{align*}$

    Wichtig ist es, beim Einsetzen darauf zu achten, dass alle Größen in SI-Einheiten angegeben sind. Du musst daher den Abstand Erde-Mond zuerst in m umrechnen. Um die richtige Einheit zu bestimmen, kannst du anstelle der Einheit für die Kraft auch das Produkt aus Einheit von Masse und Beschleunigung einsetzen.