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Winkelbeschleunigung α 07:25 min

Textversion des Videos

Transkript Winkelbeschleunigung α

Hallo und herzlich willkommen zu "Physik mit Kalle"! Wir wollen uns heute aus dem Gebiet Mechanik mit der Winkelbeschleunigung α beschäftigen. Für diesen Film solltet ihr bereits das Video über das Drehmoment M gesehen haben. Und los geht`s. Wir lernen heute, was die Winkelbeschleunigung α ist, mit welchen Formeln ich sie berechnen kann. Und zum Schluss wollen wir das Ganze noch an einer Beispielaufgabe ausprobieren. Wie wir im letzten Video gehört haben, kann sich ein Körper auf zwei verschiedene Arten bewegen. Er kann eine Translation ausführen, also seinen Ort mit der Zeit ändern, oder sich in Rotation befinden, also sich um eine Drehachse drehen. Wir wissen bereits, wirkt eine Kraft, so erfährt der Körper eine Beschleunigung. Und da wir schon wissen, dass das Drehmoment das ist, was die Kraft für die Translation ist, könnt ihr euch wahrscheinlich denken: Wirkt ein Drehmoment, so erfährt der Körper eine Winkelbeschleunigung. Die Winkelbeschleunigung beeinflusst also die Geschwindigkeit unserer Rotation. Genauer gesagt: Die Winkelbeschleunigung α gibt an, um wie viel sich die Winkelgeschwindigkeit ω in der Zeit t ändert. Und wie man das berechnen kann, das sehen wir uns nun im nächsten Kapitel an. Wir probieren das Ganze erst mal mit unserer Drehscheibe aus. Ich habe in der Mitte einen Stift festgemacht und an diesen eine Schnur befestigt, die ich dann um den Stift gewickelt habe. Halte ich den Stift nun so, dass er sich frei drehen kann und ziehe an der Schnur, dann übe ich auf den Stift und damit auf die Scheibe ein Drehmoment aus. Das ist also eine beschleunigte Rotation. Sie wird so lange beschleunigt, wie ich an der Schnur ziehe. Also in meinem Fall, bis die Schnur reißt, danach fängt sie wegen Reibung an, wieder abzubremsen. Wie ihr euch schon denken könnt, ist es gar nicht so einfach, eine Rotation auszurechnen, bei der sich die Winkelbeschleunigung mit der Zeit ändert. Deswegen lernen wir, wie auch schon bei der normalen Translation, nur die Formeln für eine Bewegung mit konstanter Winkelbeschleunigung. Wir betrachten folgende Bewegung: Ein kreisförmiger Körper, wie unsere Drehscheibe von gerade eben, erfährt eine konstante Winkelbeschleunigung α und gerät daraufhin in eine Drehbewegung. Vom Zeitpunkt t1 zum Zeitpunkt t2 gemessen, überstreicht er den Winkel Δφ. Die Zeit, in der dies stattfindet, nennen wir t, und sie ist t2-t1. Wir wissen, die Winkelbeschleunigung α gibt uns an, um wie viel sich die Winkelgeschwindigkeit ω in der Zeit t ändert. Das heißt, ω=α×t. Vorsicht! Diese Formel gilt nur, wenn die Winkelgeschwindigkeit vor der Beschleunigung 0 war, also wenn der Körper vor der Beschleunigung nicht rotierte. Allgemeingültig ist die Formel ω=α×t+ω0. Den dabei überstrichenen Winkel Δφ würden wir durch Integrieren erhalten. Die Formel um ihn zu berechnen lautet Δφ=½×α×t2. Auch diese Formel gilt nur für den Fall ohne Anfangswinkelgeschwindigkeit. Allgemeingültig lautet sie Δφ=½αt2+ω0×t. Wenn ihr euch diese Formeln nun genauer anseht, dann fällt euch vielleicht auf, dass sie den Formeln für die Translation sehr ähnlich sind. Tauscht ihr Δφ gegen s aus und ω gegen v und α gegen a, habt ihr exakt die Formeln der gleichmäßig beschleunigten Bewegung. Was uns nun noch fehlt, um alles Mögliche berechnen zu können, ist eine Formel, die das Drehmoment M mit der Winkelbeschleunigung α verknüpft, ähnlich dem zweiten newtonschen Axiom für die normale Bewegung. Ihr erinnert euch: F=m×a. Wie man dieses Problem löst, darum kümmern wir uns im nächsten Video. Nun wollen wir uns erst mal kurz noch eine Beispielaufgabe ansehen. Wir wollen folgende Aufgabe rechnen: Ein Kettenkarussell wird aus dem Stand heraus für 7 s mit α=0,1π/s2 beschleunigt. Welche Winkelgeschwindigkeit hat es nun, wie lange dauern 5 volle Umdrehungen des Karussells und welche Bahngeschwindigkeit ergibt dies für einen Fahrgast (r=6m). Wir schreiben erst mal auf, was wir gegeben haben. α=0,1π/s2, das Karussell beschleunigt aus dem Stand die Anfangsgeschwindigkeit ω0=0, die Zeit, in der es beschleunigt wird, beträgt 7 Sekunden t=7 s, und der Radius des Karussells beträgt 6 Meter r=6 m. Gesucht ist die Winkelgeschwindigkeit ω, die Zeit für 5 Umläufe T5 und die Bahngeschwindigkeit vB. Dann wollen wir mal. Wir wissen, ω=α×t, also 0,7π/s. Da π im Bogenmaß für 180° steht, bedeutet das 126°/s. Die Dauer für 5 Umläufe ist genau fünfmal die Periodendauer T T5=5×T. Und wie wir wissen, ist T 2π/ω. T5 ist also 5×2π/ω. Das ergibt 14,3 Sekunden. Und zuletzt noch die Bahngeschwindigkeit. Wir wissen, nehm ich die Winkelgeschwindigkeit mal den Abstand, in dem sich ein Teilchen auf einer Kreisbahn bewegt, erhalte ich die Bahngeschwindigkeit. vB ist also 0,7π/s×6m. Und das ergibt 13,2 m/s oder 47,5 km/h. Unser Antwortsatz lautet also: Die Winkelgeschwindigkeit des Karussells beträgt nach der Beschleunigung 0,7π/s. Es benötigt für 5 Umläufe 14,3 s und dies bedeutet für einen Fahrgast eine Bahngeschwindigkeit von 47,5 km/h. Wir wollen noch mal wiederholen, was wir heute gelernt haben. Die Winkelbeschleunigung α gibt an, um wie viel sich die Winkelgeschwindigkeit ω in der Zeit t ändert. Die Formeln der gleichmäßig beschleunigten Rotation lauten ω=α×t plus eine eventuelle Anfangsgeschwindigkeit ω0, und der dabei überstrichene Winkel φ=½αt2 plus ω0×t, falls der Körper vorher schon rotiert hat. So, das war es schon wieder für heute. Ich hoffe, ich konnte euch helfen. Vielen Dank fürs Zuschauen. Vielleicht bis zum nächsten Mal. Euer Kalle.              

Winkelbeschleunigung α Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Winkelbeschleunigung α kannst du es wiederholen und üben.

  • Definiere die Winkelbeschleunigung.

    Tipps

    Die Beschleunigung bei der geradlinigen Bewegung (Translation) hat Ähnlichkeit mit der Winkelbeschleunigung bei der Drehbewegung oder Rotation.

    Lösung

    Eine Rotation ist eine Drehbewegung um eine feststehende Achse. Die Drehung lässt sich als Veränderung des Drehwinkels messen. Die Veränderung des Drehwinkels über der Zeit ist die Winkelgeschwindigkeit. Die Veränderung dieser Winkelgeschwindigkeit über der Zeit ist die Winkelbeschleunigung.

  • Vergleiche die Beschreibungsgrößen der Translation mit denen der Rotation.

    Tipps

    Zeit kann nur auf eine Art gemessen werden ...

    Lösung

    Die in einer Zeitspanne $t$ gemessene Lageänderung bei Bewegung wird entweder ein Weg $s$ oder eine Winkeländerung $\varphi$ sein, je nachdem, ob wir eine Translation oder aber eine Rotation studieren. Wir werden dann entweder mit einer Geschwindigkeit $v$ oder einer Winkelgeschwindikeit $\omega$ rechnen und entweder eine Beschleunigung $a$ oder eine Winkelbeschleunigung $\alpha$ ermitteln können. Die Änderungen der Geschwindigkeit werden wir entweder einer Kraft $F$ oder einem Drehmoment $M$ zuschreiben.

  • Gib das Berechnungsschema für eine mittlere (konstante) Winkelbeschleunigung an.

    Tipps

    Wie die Definition besagt: Winkelbeschleunigung ist die Veränderung der Winkelgeschwindigkeit pro Zeiteinheit.

    Veränderung lässt sich leicht als Differenz berechnen: Endzustand-Anfangszustand ...

    Lösung

    Wenn die Winkelbeschleunigung die Veränderung der Winkelgeschwindigkeit pro Zeiteinheit bezeichnet, berechnen wir die Änderung als Differenz aus Endgeschwindigkeit minus Anfangsgeschwindigkeit, $\omega-\omega_0$, und setzen sie ins Verhältnis zur Zeitänderung oder Zeitspanne $t_2-t_1$: $\alpha=\frac{\omega-\omega_0}{t_2-t_1}$.

  • Berechne die Winkelbeschleunigung.

    Tipps

    Zuerst die wichtigste Formel...

    Führe die unbekannten Größen so weit als möglich auf bekannte (gemessene) zurück.

    Ersetze die unbekannten Größen in der Ausgangsformel.

    Zuletzt: Kürzen, Vereinfachen, Zahlenwerte einsetzen, Rechnen.

    Lösung

    Zuerst die wichtigste Formel: $\alpha=\frac{\omega}{t}$. Dann führst du die unbekannten Größen in der Ausgangsformel auf gegebene Größen zurück ($\omega$ auf $v$, $r$ auf $d$). Die vermittelten Ausdrücke kannst du in die Ausgangsformel einsetzen. Am Ende musst du nur noch kürzen, vereinfachen, die Zahlenwerte einsetzen und rechnen.

  • Nenne die Bewegungsgleichungen der Rotation.

    Tipps

    Analogie zur Translation bedenken ...

    Lösung

    Wie bei der Translation gibt es auch bei der Rotation mehrere Bewegungsformen. Es gibt die gleichförmige Bewegung, die gleichmäßig beschleunigte Bewegung und die ungleichmäßig beschleunigte Bewegung.

    Für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung, also für eine konstante (oder mittlere) Beschleunigung über eine Zeit $t$, gilt:

    Winkelbeschleunigung $\alpha = const.$

    Winkelgeschwindigkeit $\omega = \alpha t +\omega_0$ ($\omega_0$ - Anfangsgeschwindigkeit zur Zeit $t=0$)

    Winkel(änderung) $\varphi = \frac{1}{2}\alpha t^2+\omega_0 t+\varphi_0$ ($\varphi_0$ - Winkelgröße zur Zeit $t=0$).

  • Passe das Berechnungsschema für besondere Anfangsbedingungen an.

    Tipps

    Größen, die Null sind, können entfallen.

    Lösung

    Ist die Anfangszeit $t_1=0$, können wir den Ausdruck $t=t_2-t_1$ auf $t=t_2$ verkürzen und dann überall, wo $t_2$ auftritt, auch kürzer $t$ schreiben. Ist zur Anfangszeit $t_1=0$ dann auch noch die Anfangsgeschwindigkeit $\omega_0=0$, lassen wir diesen Ausdruck über dem Bruchstrich weg. Es ergibt sich die knappe und leicht merkbare Form $\alpha=\frac{\omega}{t}$, aus der sich $\alpha=\omega \cdot t$ ergibt.