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Rotationsenergie 07:47 min

Textversion des Videos

Transkript Rotationsenergie

Hallo und herzlich willkommen zu Physik mit Kalle. Wir beschäftigen uns heute, wieder aus der Mechanik, mit der Rotationsenergie eines Körpers. Für dieses Video solltet Ihr bereits den Film über das Trägheitsmoment J gesehen haben. Wir lernen heute: Was die Rotationsenergie ist, wie ich ihre Formel herleiten kann, und in welchen tagtäglichen Anwendungen mir die Rotationsenergie begegnet. Dann wollen wir mal. Wie wir bereits wissen, wird ein Körper, auf den eine Kraft wirkt, beschleunigt. Das heißt, er erhält eine Geschwindigkeit - und damit verknüpft - kinetische Energie, also Bewegungsenergie. Für eine Rotation funktioniert das ganz ähnlich. Wir schreiben uns auf: Wird ein Körper durch die Winkelbeschleunigung α auf die Winkelgeschwindigkeit ω beschleunigt, so wird ihm Energie zugeführt. Ihr habt es Euch wahrscheinlich schon gedacht: Diese Energie nennt man die Rotationsenergie. Wir kürzen sie mit Erot ab. In der Schule führt man häufig eine Reihe von Versuchen, zum Beispiel mit verschiedenen Kreiseln dazu durch, und findet heraus: Diese Rotationsenergie hängt von der Winkelgeschwindigkeit ω, der Masse des Körpers und vor allem der Verteilung der Masse des Körpers ab. Wie man die Formel für die Rotationsenergie nun aber genau herleiten kann, das wollen wir uns im nächsten Kapitel ansehen. Die Herleitung der Rotationsenergie ist gar nicht so kompliziert. Wir benutzen dafür folgenden Ansatz: Jeder einzelne Massenpunkt unseres rotierenden Körpers hat eine bestimmte Bahngeschwindigkeit. Wenn wir also die Summe der kinetischen Energien aller einzelnen Massenpunkte ausrechnen, dann haben wir die Rotationsenergie. Hier kommen nun einige abschreckende Formeln ins Spiel. Aber lasst Euch nicht verunsichern, eigentlich ist das gar nicht so schwer. Wir schreiben auf: Die Rotationsenergie ist die Summe über die kinetische Energie aller Massenpunkte. Ich kann das Ganze umformen in ein Integral, und zwar das Integral über die gesamte Masse von ½ vm² dm. Falls Euch das verwirrt: Dieses Integral tut nichts anderes, als für jeden Massenpunkt ½v² zusammenzurechnen. Da die Geschwindigkeiten aller Massenpunkte Bahngeschwindigkeiten sind, können wir v/r×m durch ω ersetzen. Damit erhalten wir Integral über die Masse von ½rm² ω²dm. Da weder ½ noch ω² davon abhängen, wo der Massenpunkt sitzt, kann ich sie nun einfach vor das Integral ziehen. Dann steht da: =½ω² Integral über die Masse von rm²dm. Und dieses Integral haben wir schon einmal gesehen. Das Integral über die gesamte Masse des Körpers von r²dm berechnet die Verteilung der Masse zur Drehachse und ist damit genau das Trägheitsmoment J. Und damit haben wir die Formel für die Rotationsenergie eines Körpers berechnet. Sie ist ½×J×ω² mit dem Trägheitsmoment J und der Winkelgeschwindigkeit ω. Ihr seht, wie ähnlich diese Formel der Formel für die kinetische Energie ist. ½mv² und ½Jω². Wie auch in der Grundgleichung der Rotation übernimmt das Trägheitsmoment J die Rolle der Masse m und die Winkelgeschwindigkeit ω die Rolle der Geschwindigkeit v. Wir können aus dieser Formel auch ablesen, je höher das Trägheitsmoment J ist, umso mehr Rotationsenergie kann ich bei gleichbleibender Winkelgeschwindigkeit ω in einem Körper speichern. Und das bringt uns auch gleich zu den Anwendungsmöglichkeiten, denn für welche Zwecke man eigentlich Rotationsenergie speichern will, das sehen wir uns im letzten Kapitel an. Wir haben gerade gehört: Je größer das Trägheitsmoment, desto mehr Rotationsenergie kann ich in einem Körper speichern. Deshalb speichert man Rotationsenergie in sogenannten Schwungrädern, die so ähnlich aussehen, wie in der Animation rechts. Sie sind ungefähr aufgebaut wie ein Hohlzylinder mit Speichen, d. h. fast die gesamte Masse befindet sich im Abstand r. Das Schwungrad hat also ein sehr hohes Trägheitsmoment. Man wendet Schwungräder in den verschiedensten Gebieten an. Bei Generatoren und Elektromotoren zum Beispiel besteht immer die Gefahr, dass der Prozess unrund läuft. Nehmen wir als Beispiel mal einen Verbrennungsmotor. In der Phase, in der das Benzin-Luftgemisch im Zylinder gezündet wird, erzeugt unser Zylinder kinetische Energie. Ein Schwungrad sorgt dafür, dass ein Teil dieser kinetischen Energie dafür verwendet werden kann, die nächste Portion Benzin-Luftgemisch im Zylinder zu komprimieren und wieder auf eine Zündung vorzubereiten. Ein weiterer wichtiger Einsatzbereich von Schwungrädern ist die Feinmechanik. Also zum Beispiel in Aufziehautos oder in Armbanduhren. Die meisten dieser Geräte werden durch eine Feder betrieben, die man aufziehen kann. Ohne ein Schwungrad würde diese in den meisten Fällen dazu führen, dass die Energie der Feder viel zu schnell abgegeben wird, z. B. für das Aufziehauto: Die Räder würden durchdrehen und die Feder hätte sofort ihre gesamte Energie abgegeben. Baue ich aber nun ein Schwungrad ein, das von der Feder erst mühselig beschleunigt werden muss, dann sorge ich dafür, dass die Energie in kleineren Portionen über einen längeren Zeitraum abgegeben werden kann. Eine weitere, technisch nicht ganz so wichtige Anwendung, ist zum Beispiel das Jo-Jo, das sozusagen eine bestimmte Bauform des Maxwellschen Rades ist. Bei einem Jo-Jo wird Höhenenergie in Rotationsenergie umgewandelt. Und ist das Jo-Jo am tiefsten Punkt der Schnur angekommen, ist die Rotationsenergie auf ihrem Maximum und führt dazu, dass das Jo-Jo sich in die andere Richtung wieder aufwickelt. Dadurch erreicht es wegen der Reibung fast wieder die ursprüngliche Höhe und dann fängt das Ganze von vorne an. Es gibt natürlich noch deutlich mehr Beispiele. In vielen alten Fabriken zum Beispiel wurden Schwungräder zur Speicherung von Energie eingesetzt. Das sieht ungefähr so aus, wie im Bild rechts. Der Vollständigkeit halber will ich auch noch anmerken, dass Schwungräder nicht nur Energiespeicher, sondern auch Stabilisatoren sein können. Wenn Ihr wissen wollt, was das bedeutet und warum das so ist, dann muss ich Euch aber leider auf die nächsten beiden Videos vertrösten, die sich mit dem Drehimpuls und dem Drehimpuls-Erhaltungssatz beschäftigen. Wir wollen noch einmal wiederholen, was wir heute gelernt haben: Wird ein Körper auf die Winkelgeschwindigkeit ω beschleunigt, so wird ihm Rotationsenergie zugeführt. Die Rotationsenergie hängt von Winkelgeschwindigkeit ω und Trägheitsmoment J ab. Erot=½Jω². Rotationsenergie kann zum Beispiel in einem Schwungrad gespeichert werden. So, das war es schon wieder für heute. Ich hoffe, ich konnte Euch helfen. Vielen Dank fürs Zuschauen. Vielleicht bis zum nächsten Mal. Euer Kalle.

4 Kommentare
  1. Ich verstehe nicht in wiefern das Schwungrad die kleinen Energieportionen über einen längeren Zeitraum abgibt. Ist es weil es sich um eine Bahngeschwindigkeit handelt und sich die Energie sogesehen auf die Bahn "verteilt" und nicht sofort ausschüttet? Wäre echt super wenn ich ne Antwort kriegen könnte! Ansonsten ein sehr gutes Video! Kalle macht mit Abstand die besten Physikvideos!

    Von Tarikgrad, vor mehr als 4 Jahren
  2. @A Wolfram: Um das Video zu verstehen musst du wissen was das Trägheitsmoment ist. Das kannst du hier lernen:
    http://www.sofatutor.com/physik/videos/das-traegheitsmoment-j
    Auch ist es wichtig zu wissen wie man Kreisbewegungen beschreibt und was man unter Winkelgeschwindigkeit versteht. Da haben wir viele Videos, z.B. diese hier:
    http://www.sofatutor.com/physik/videos/die-kreisbewegung-teil-1-1
    http://www.sofatutor.com/physik/videos/kreisbewegung-grundlagen
    Viel Spass mit den Videos!

    Von Nikolai P., vor fast 6 Jahren
  3. Das ist bei mir das nächste Video. :-)
    Wenn es eine Auswahl unter dem Videos gebe, in dem die Grundlagen sind, wäre schön.

    Von A Wolframm, vor fast 6 Jahren
  4. kann mir jemand sagen wo das Video "Trägheitsmoment J" ist? ich finde es nicht!

    Von Prank@Gmx.At, vor mehr als 7 Jahren

Rotationsenergie Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Rotationsenergie kannst du es wiederholen und üben.

  • Fasse dein Wissen über die Rotationsenergie zusammen.

    Tipps

    Welchen Körpern kann man Rotationsenergie zuführen?

    Welche physikalischen Größen, neben der Rotationsenergie, beschreiben diese Körper?

    Welche technischen Beispiele gibt es für die Speicherung von Rotationsenergie?

    Lösung

    Jeder Körper, der sich um eine Rotationsachse bewegt, besitzt eine mehr oder weniger große Rotationsenergie.

    Diese hängt zum einen von der Masse des Körpers ab und wie diese Masse in dem Körper verteilt ist (also dem Trägheitsmoment $J$).

    Darüber hinaus bestimmt die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ die Größe der im Körper vorhandenen Rotationsenergie.

    Rotationskörper finden durch ihre Eigenschaft der Energiespeicherung in Form von Rotationsenergie oder auch als Stabilisatoren vielfältige Anwendungen in der Technik.

  • Gib an, bei welchen technischen Anwendungen Schwungräder eingesetzt werden.

    Tipps

    Schwungräder können Energie gezielt zwischenspeichern oder Bewegungen verzögern.

    Lösung

    Rotationskörper können als Energiespeicher verwendet werden.

    Im Verbrennungsmotor bestimmter Fahrzeugtypen wird die überschüssige Energie eines Verbrennungszyklus kurzzeitig über ein Schwungrad für die Vorbereitung des nächsten Zündungsprozesses gespeichert.

    In der Feinmechanik wie bei aufziehbaren Spielzeugen oder Uhren verzögern Schwungräder die Energieumwandlung einer gespannten Feder in kinetische Energie.

    Bei Jojos wird beständig Höhenenergie in Rotationsenergie umgewandelt und umgekehrt.

  • Leite die Formel zur Berechnung der Rotationsenergie her.

    Tipps

    Die Rotationenergie $E_{rot}$ ist die Summe aller kinetischen Energien $\frac 12 mv^2$ der Massepunkte $i$.

    Ein Summenzeichen kann in Integralform überführt werden.

    Die Bahnbeschwindigkeit $v_m$ der Massepunkte ist gleich dem Produkt aus Radius $r_m$ und Winkelgeschwindigkeit $\omega$.

    Konstante Größen können vor das Integral gezogen werden.

    Das Integral $\int \limits_{m} \! r_m^2 \, dm$ entspricht der Definition des Trägheitsmomentes $J$ und kann durch dieses ersetzt werden.

    Lösung

    Für die Herleitung der Rotationsenergie $E_{rot}$ verwendet man als Ansatz die kinetischen Energien aller einzelnen Massepunkte des Rotationskörpers.

    Diese kinetischen Energien werden aufsummiert und in Integralform überführt.

    Die Bahngeschwindigkeit jedes Massepunktes kann auch über den Abstand des Massepunktes und seine Winkelgeschwindigkeit $\omega$ ausgedrückt werden.

    Dadurch kann das Integral durch das Trägheitsmoment $J$ ersetzt werden und man erhält für die Formel zur Berechnung der Rotationsenergie einen vergleichsweise einfachen Ausdruck (siehe Formel).

  • Sage das Ergebnis des Kugelversuch voraus.

    Tipps

    Welche Energie besitzen Körper aufgrund ihrer Höhe?

    Welche Größe neben der Masse beeinflusst das Trägheitsmoment eines Körpers?

    Was bewirkt die Trägheit bei der Bewegung auf einer schiefen Ebene?

    Lösung

    Die massive Metallkugel bewegt sich mit einer höheren Geschwindigkeit die geneigte Ebene hinab und erreicht als Erste das Ende der geneigten Ebene.

    Die Ursache dafür liegt in den unterschiedlichen Trägheitsmomenten der beiden Kugeln: Sie sind zwar gleich schwer, aber ihre Masse ist unterschiedlich verteilt. Bei der hohlen Kugel befindet sich ein Großteil der Masse weiter weg von der Drehachse. Dadurch besitzt sie ein höheres Trägheitsmoment als die massive Kugel.

    Am Ende der schiefen Ebene wurde bei beiden Kugeln die gleiche Menge an potentieller Energie umgewandelt, bei der hohlen Kugel ist jedoch der Anteil an Rotationsenergie größer. Sie bewegt sich daher nicht so schnell die Ebene hinab.

  • Bestimme die Rotationsenergie einer Holzkugel.

    Tipps

    Mit welcher Formel wird die Rotationsenergie berechnet?

    Wo sind die Größen und die Einheiten richtig eingesetzt?

    Lösung

    Die Holzkugel besitzt am unteren Ende der schiefen Ebene eine Rotationsenergie von rund 0,03 Joule. Bei der Rechnung ist zu beachten, dass in die richtige Formel eingesetzt wird und dabei alle Größen vollständig mit Zehnerpotenzen und Einheiten eingesetzt werden.

    Zum Vergleich der Energiemenge: Das menschliche Herz wendet bei jedem Schlag eine Energie von etwa einem Joule auf. Die Holzkugel ist zwar relativ schwer (etwas über 350 Gramm), aber sie rollt am Ende der schiefen Ebene lediglich mit zwei Umdrehungen pro Sekunde. Daher besitzt sie keine hohe Rotationsenergie.

  • Erschließe dir, wie sich die Rotationsenergie eines Zylinders verändert.

    Tipps

    Allgemein gilt: $E_{rot}=\frac 12\cdot J\cdot \omega^2$.

    Für einen Vollzylinder gilt wegen $J=m~r^2$ im Speziellen: $E_{rot}=\frac 12~\cdot \frac 12 m~r^2\cdot \omega^2$.

    $E_{rot}$ ist von $m$, $r$ und $\omega$ abhängig.

    Es gilt Folgendes, sofern die anderen beiden abhängigen Größen konstant sind: $E_{rot} \sim m,~E_{rot} \sim r^2,~E_{rot} \sim \omega^2$.

    Lösung

    Verändert sich eine Größe in dem Versuch, von der die Rotationsenergie des Zylinders abhängt, so verändert sich auch die Rotationsenergie selbst.

    Allgemein ist die Rotationsenergie $E_{rot}=\frac 12\cdot J\cdot \omega^2$ vom Trägheitsmoment $J$ des Körpers und der Winkelgeschwindigkeit $\omega$ des Körpers abhängig. Das Trägheitsmoment eines Vollzylinders mit homogener Dichte setzt sich wegen $J=m~r^2$ aus der Masse $m$ und dem Radius $r$ des Zylinders zusammen. Die Rotationsenergie des Zylinders $E_{rot}$ ist somit von $m$, $r$ und $\omega$ abhängig. (siehe Formel)

    In welchem Maße sich die Rotationsenergie verändert, hängt davon ab, welcher mathematische Zusammenhang zwischen der Rotationsenergie und der veränderten Größe besteht. Es gilt, sofern die anderen beiden abhängigen Größen konstant sind: $E_{rot} \sim m,~E_{rot} \sim r^2,~E_{rot} \sim \omega^2$. Alle Größen sich proportional zur Rotationsenergie, Radius und Winkelgeschwindigkeit, jedoch im Quadrat.

    Eine Verdopplung der Masse bewirkt in dem Versuch demnach eine Verdopplung der Rotationsenergie, eine Verdopplung des Radius eine Vervierfachung der Energie (quadratische Abhängigkeit) und eine Halbierung der Winkelgeschwindigkeit reduziert die Rotationsenergie auf ein Viertel (quadratische Abhängigkeit).