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Rotationsenergie

Entdecke, wie Körper durch Winkelbeschleunigung Rotationsenergie gewinnen und wie man sie berechnen kann. Vom Jo-Jo bis zum Satelliten - diese Nachricht enthüllt die Geheimnisse hinter der Rotationsenergie. Interessiert? Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text!

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Teste dein Wissen zum Thema Rotationsenergie

Was versteht man unter Rotationsenergie in der Physik?

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Die Autor*innen
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Jakob Köbner
Rotationsenergie
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Rotationsenergie Übung

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  • Tipps

    Welchen Körpern kann man Rotationsenergie zuführen?

    Welche physikalischen Größen, neben der Rotationsenergie, beschreiben diese Körper?

    Welche technischen Beispiele gibt es für die Speicherung von Rotationsenergie?

    Lösung

    Jeder Körper, der sich um eine Rotationsachse bewegt, besitzt eine mehr oder weniger große Rotationsenergie.

    Diese hängt zum einen von der Masse des Körpers ab und wie diese Masse in dem Körper verteilt ist (also dem Trägheitsmoment $J$).

    Darüber hinaus bestimmt die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ die Größe der im Körper vorhandenen Rotationsenergie.

    Rotationskörper finden durch ihre Eigenschaft der Energiespeicherung in Form von Rotationsenergie oder auch als Stabilisatoren vielfältige Anwendungen in der Technik.

  • Tipps

    Die Rotationenergie $E_{rot}$ ist die Summe aller kinetischen Energien $\frac 12 mv^2$ der Massepunkte $i$.

    Ein Summenzeichen kann in Integralform überführt werden.

    Die Bahnbeschwindigkeit $v_m$ der Massepunkte ist gleich dem Produkt aus Radius $r_m$ und Winkelgeschwindigkeit $\omega$.

    Konstante Größen können vor das Integral gezogen werden.

    Das Integral $\int \limits_{m} \! r_m^2 \, dm$ entspricht der Definition des Trägheitsmomentes $J$ und kann durch dieses ersetzt werden.

    Lösung

    Für die Herleitung der Rotationsenergie $E_{rot}$ verwendet man als Ansatz die kinetischen Energien aller einzelnen Massepunkte des Rotationskörpers.

    Diese kinetischen Energien werden aufsummiert und in Integralform überführt.

    Die Bahngeschwindigkeit jedes Massepunktes kann auch über den Abstand des Massepunktes und seine Winkelgeschwindigkeit $\omega$ ausgedrückt werden.

    Dadurch kann das Integral durch das Trägheitsmoment $J$ ersetzt werden und man erhält für die Formel zur Berechnung der Rotationsenergie einen vergleichsweise einfachen Ausdruck (siehe Formel).

  • Tipps

    Mit welcher Formel wird die Rotationsenergie berechnet?

    Wo sind die Größen und die Einheiten richtig eingesetzt?

    Lösung

    Die Holzkugel besitzt am unteren Ende der schiefen Ebene eine Rotationsenergie von rund 0,03 Joule. Bei der Rechnung ist zu beachten, dass in die richtige Formel eingesetzt wird und dabei alle Größen vollständig mit Zehnerpotenzen und Einheiten eingesetzt werden.

    Zum Vergleich der Energiemenge: Das menschliche Herz wendet bei jedem Schlag eine Energie von etwa einem Joule auf. Die Holzkugel ist zwar relativ schwer (etwas über 350 Gramm), aber sie rollt am Ende der schiefen Ebene lediglich mit zwei Umdrehungen pro Sekunde. Daher besitzt sie keine hohe Rotationsenergie.

  • Tipps

    Allgemein gilt: $E_{rot}=\frac 12\cdot J\cdot \omega^2$.

    Für einen Vollzylinder gilt wegen $J=m~r^2$ im Speziellen: $E_{rot}=\frac 12~\cdot \frac 12 m~r^2\cdot \omega^2$.

    $E_{rot}$ ist von $m$, $r$ und $\omega$ abhängig.

    Es gilt Folgendes, sofern die anderen beiden abhängigen Größen konstant sind: $E_{rot} \sim m,~E_{rot} \sim r^2,~E_{rot} \sim \omega^2$.

    Lösung

    Verändert sich eine Größe in dem Versuch, von der die Rotationsenergie des Zylinders abhängt, so verändert sich auch die Rotationsenergie selbst.

    Allgemein ist die Rotationsenergie $E_{rot}=\frac 12\cdot J\cdot \omega^2$ vom Trägheitsmoment $J$ des Körpers und der Winkelgeschwindigkeit $\omega$ des Körpers abhängig. Das Trägheitsmoment eines Vollzylinders mit homogener Dichte setzt sich wegen $J=m~r^2$ aus der Masse $m$ und dem Radius $r$ des Zylinders zusammen. Die Rotationsenergie des Zylinders $E_{rot}$ ist somit von $m$, $r$ und $\omega$ abhängig. (siehe Formel)

    In welchem Maße sich die Rotationsenergie verändert, hängt davon ab, welcher mathematische Zusammenhang zwischen der Rotationsenergie und der veränderten Größe besteht. Es gilt, sofern die anderen beiden abhängigen Größen konstant sind: $E_{rot} \sim m,~E_{rot} \sim r^2,~E_{rot} \sim \omega^2$. Alle Größen sich proportional zur Rotationsenergie, Radius und Winkelgeschwindigkeit, jedoch im Quadrat.

    Eine Verdopplung der Masse bewirkt in dem Versuch demnach eine Verdopplung der Rotationsenergie, eine Verdopplung des Radius eine Vervierfachung der Energie (quadratische Abhängigkeit) und eine Halbierung der Winkelgeschwindigkeit reduziert die Rotationsenergie auf ein Viertel (quadratische Abhängigkeit).

  • Tipps

    Schwungräder können Energie gezielt zwischenspeichern oder Bewegungen verzögern.

    Lösung

    Rotationskörper können als Energiespeicher verwendet werden.

    Im Verbrennungsmotor bestimmter Fahrzeugtypen wird die überschüssige Energie eines Verbrennungszyklus kurzzeitig über ein Schwungrad für die Vorbereitung des nächsten Zündungsprozesses gespeichert.

    In der Feinmechanik wie bei aufziehbaren Spielzeugen oder Uhren verzögern Schwungräder die Energieumwandlung einer gespannten Feder in kinetische Energie.

    Bei Jojos wird beständig Höhenenergie in Rotationsenergie umgewandelt und umgekehrt.

  • Tipps

    Welche Energie besitzen Körper aufgrund ihrer Höhe?

    Welche Größe neben der Masse beeinflusst das Trägheitsmoment eines Körpers?

    Was bewirkt die Trägheit bei der Bewegung auf einer schiefen Ebene?

    Lösung

    Die massive Metallkugel bewegt sich mit einer höheren Geschwindigkeit die geneigte Ebene hinab und erreicht als Erste das Ende der geneigten Ebene.

    Die Ursache dafür liegt in den unterschiedlichen Trägheitsmomenten der beiden Kugeln: Sie sind zwar gleich schwer, aber ihre Masse ist unterschiedlich verteilt. Bei der hohlen Kugel befindet sich ein Großteil der Masse weiter weg von der Drehachse. Dadurch besitzt sie ein höheres Trägheitsmoment als die massive Kugel.

    Am Ende der schiefen Ebene wurde bei beiden Kugeln die gleiche Menge an potentieller Energie umgewandelt, bei der hohlen Kugel ist jedoch der Anteil an Rotationsenergie größer. Sie bewegt sich daher nicht so schnell die Ebene hinab.

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