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Zeit-Bahngrößen-Gesetze der Rotation 10:40 min

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Transkript Zeit-Bahngrößen-Gesetze der Rotation

Hallo und herzlich willkommen! In diesem Video beschäftigen wir uns mit den Zeit-Bahngrößen-Gesetzen der Rotationen. Diese nutzt man, um Kreisbewegungen beziehungsweise Rotationen zu beschreiben. Kreisbewegungen finden sich überall in der Natur und in allen Größenordnungen. Vom Elektron, das den Atomkern umkreist bis zu Galaxien, die sich um einen Mittelpunkt bewegen, werden Rotationen mit den Zeit-Bahngrößen-Gesetzen der Rotation beschrieben. Als Einstieg wirst du lernen, dass es zwei Arten gibt, eine Kreisbewegung zu beschreiben. Durch Angabe der Winkel oder der Bahngrößen. Danach wiederholen wir die Gesetzmäßigkeiten, die für die Winkelgrößen bei der gleichförmigen und gleichmäßig beschleunigten Kreisbewegung gelten um dann zu lernen, wie wir uns daraus die Gesetzmäßigkeiten der Bahngrößen ableiten können. Und damit kann es auch schon losgehen. Kreisbewegungen laufen immer auf Kreisbahnen mit festem Radius r zum Kreismittelpunkt M ab. Den Abstand zwischen zwei Punkten auf dem Kreis kann man auf zweierlei Arten beschreiben. Zum einen kann man den Winkel Phi angeben, der zwischen den beiden Punkten aufgespannt wird. Die Einheit Phi ist rad. Der gesamte Kreis hat einen Winkel von 2Pi. Zum anderen kann man direkt den Weg angeben, der auf der Kreisbahn zwischen den beiden Punkten liegt, wir nennen ihn s. s wird in Metern gemessen. Hier siehst du schon, dass man eine Kreisbewegung auf zwei Arten beschreiben kann. Man kann Winkelgrößen angeben oder Bahngrößen. Um klar zu machen, dass es sich um eine Bahngröße der Kreisbewegung handelt und nicht um die gleichnamigen Größen der geradlinigen Bewegungen, schreiben wir die Bahngrößen mit einem Index B, so wird aus s sB. Bahngrößen haben zwar die gleichen Einheiten wie die Größen der geradlinigen Bewegung, allerdings ändern sie ständig ihre Richtung, sonst könnte der Körper keine Kreisbahn ausführen. Winkelgrößen dagegen haben andere Einheiten, können aber leicht in Bahngrößen umgerechnet werden. Wie wirst du gleich sehen. Bewegt sich etwas auf einer Kreisbahn, so tut es das mit einer gewissen Winkelgeschwindigkeit Omega. Omega gibt an, welche Winkel in welcher Zeit überstrichen werden. Die Einheit von Omega ist rad/s. Die Geschwindigkeit eines Körpers auf einer Kreisbahn kann aber auch als Bahngeschwindigkeit vB angegeben werden. Sie sagt aus, welcher Weg in welcher Zeit zurückgelegt wird. Die Bahngeschwindigkeit hat die Einheit m/s. Die Richtung der Bahngeschwindigkeit zeigt zu jedem Zeitpunkt tangential zur Bahnkurve. Dass sich die Richtung der Geschwindigkeit ändert bedeutet, dass auch bei einer gleichförmigen Kreisbewegung bei konstanter Winkel- beziehungsweise Bahngeschwindigkeit eine Beschleunigung wirken muss, die sogenannte Radialbeschleunigung. Die Radialbeschleunigung zeigt immer in die Richtung des Kreismittelpunktes und steht damit senkrecht zur Bahngeschwindigkeit, weshalb sie auch als Vertikalbeschleunigung bezeichnet wird. Sie ändert nur die Richtung, aber nicht den Betrag der Bahngeschwindigkeit. Auch bei Kreisbewegungen gibt es gleichmäßig beschleunigte Bewegungen. Die Winkelbeschleunigung Alpha gibt dabei an, um wieviel sich die Winkelgeschwindigkeit pro Zeit ändert. Die Einheit der Winkelbeschleunigung ist rad/s2. Die gleichmäßig beschleunigte Bahnbewegung eines Körpers auf einer Kreisbahn wird mit der Bahnbeschleunigung aB beschrieben. Die Richtung der Bahnbeschleunigung zeigt, wie die Richtung der Bahngeschwindigkeit tangential zur Kreisbahn. Man nennt sie deshalb auch Tangentialbeschleunigung. Sie gibt an, um wieviel sich der Betrag der Bahngeschwindigkeit pro Zeit ändert. Die Einheit der Bahnbeschleunigung ist dabei m/s2. Um eine Winkelgröße in eine Bahngröße umzurechnen, multipliziert man sie mit dem Radius r. So ist der Winkel in rad mal dem Radius gleich der Kreisbahn, die er überstreicht. Die Winkelgeschwindigkeit mal dem Radius ist gleich der Bahngeschwindigkeit. Und die Winkelbeschleunigung mal dem Radius ist gleich der Bahnbeschleunigung. Bei konstanten Winkelgrößen steigen die Bahngrößen also mit dem Radius. Winkelgrößen können daher auch zur Beschreibung von Rotationen starrer Körper genutzt werden, bei denen kein fester Radius angegeben werden kann, zum Beispiel eine rotierende Scheibe. Die Rotation der Scheibe ist durch Angaben der Winkelgrößen vollständig beschrieben. Zwei Punkte auf der Scheibe mit unterschiedlichem Abstand zum Mittelpunkt haben jedoch unterschiedliche Bahngrößen, denn die Scheibe dreht sich am Rand schneller als in der Mitte. Direkt in der Mitte ist r null und somit auch die Bahngeschwindigkeit gleich null. Direkt im Mittelpunkt findet also keine Bahnbewegung statt. Die Winkelgrößen sind daher meistens praktischer um die gesamte Rotation zu beschreiben. Will man aber die Bewegung einzelner Punkte angeben, müssen wir wissen, wie man sich die Gesetzmäßigkeiten der Bahngrößen aus den Gesetzmäßigkeiten der Winkelgrößen ableitet. Dazu schauen wir uns erst noch einmal die Zeit-Winkelgrößen-Gesetze der gleichförmigen und gleichmäßig beschleunigten Rotation an. Für eine gleichförmige Rotation gilt, dass die Winkelbeschleunigung Alpha gleich null ist. Da die Winkelbeschleunigung eine Änderung der Winkelgeschwindigkeit beschreibt, ist die Winkelgeschwindigkeit für eine Winkelbeschleunigung von null gleich konstant. Für eine konstante Winkelgeschwindigkeit setzt sich der mit der Zeit überstrichene Winkel Phi zusammen aus einem Anteil Omega mal t plus den bereits überstrichenen Winkel Phi 0. Für eine gleichmäßig beschleunigte Rotation ist die Winkelbeschleunigung Alpha konstant. Für eine konstante Winkelbeschleunigung ergibt sich die Winkelgeschwindigkeit Omega als Alpha mal t plus der Anfangswinkelgeschwindigkeit Omega 0. Der überstrichene Winkel setzt sich für eine gleichmäßig beschleunigte Rotation aus drei Termen zusammen. Aus einem für die Bewegung der gleichmäßig beschleunigten Rotation, Alpha/2t2, einem für die Bewegung der konstanten Anfangsgeschwindigkeit, Omega 0t und einem für den bereits überstrichenen Winkel, Phi 0. Auffallend ist hier die Analogie der Zeit-Winkelgrößen-Gesetze zu den Gesetzmäßigkeiten der geradlinigen Bewegung. Die geradlinige Bewegung, eine Form von Translation, läuft auf einer geraden Linie ab und unterscheidet sich somit grundsätzlich von Bahn- und Kreisbewegungen. Für eine gleichförmige, geradlinige Bewegung gelten folgende Zusammenhänge. Die Beschleunigung a ist gleich null, die Geschwindigkeit ist konstant, der zurückgelegte Weg s ist gleich der konstanten Geschwindigkeit v mal der Zeit t plus den bereits zurückgelegten Weg s0. Für eine gleichmäßig beschleunigte, geradlinige Bewegung gelten folgende Zusammenhänge. Die Beschleunigung ist hier konstant, die Geschwindigkeit ist das Produkt der Beschleunigung und der Zeit plus der konstanten Anfangsgeschwindigkeit v0. Der zurückgelegte Weg ergibt sich zu 1/2at2+vt+s0. Hier sieht man eine Übereinstimmung in der Struktur der Formeln. Es werden lediglich die Größen der Translation durch die Größen der Rotation ausgetauscht. So ist s die analoge Größe zu Phi, v die analoge Größe zu Omega und a die analoge Größe zu Alpha. Mit den Zeit-Winkelgrößen-Gesetzen ist die Rotation der Scheibe vollständig beschrieben. Wollen wir aber die Bewegung eines bestimmten Punktes auf der Scheibe beschreiben, so müssen wir dafür mit den Gesetzmäßigkeiten der Bahnbewegungen arbeiten. Auch bei Bahnbewegungen unterscheidet man zwischen gleichförmigen und gleichmäßig beschleunigten Bewegungen. Wir werden uns erst die gleichförmige Bewegung ansehen. Bei einer gleichförmigen Bewegung ist die Bahnbeschleunigung aB gleich null. Somit ist auch die Winkelbeschleunigung Alpha gleich null. Die Bahngeschwindigkeit ist nach Definition konstant, somit ist auch die Winkelgeschwindigkeit konstant. In Winkelgrößen ausgedrückt ist die Geschwindigkeit vB=Omega r. Der Weg sB ist wie bei einer geradlinigen Bewegung vB mal t plus den bereits zurückgelegten Weg s0. In Winkelgrößen ausgedrückt ist der Weg gleich dem überstrichenen Winkel Phi mal dem Radius r. Der überstrichene Winkel ergibt sich aus dem Produkt von Winkelgeschwindigkeit Omega in der Zeit t plus den bereits überstrichenen Winkel Phi 0. sB ist also gleich (Omega t+Phi 0)r. Bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung ist bei Definition die Bahnbeschleunigung konstant, somit ist auch die Winkelbeschleunigung Alpha konstant. a ist also gleich Alphar. Die Geschwindigkeit setzt sich im gleichmäßig beschleunigten Fall aus der beschleunigten Bewegung a mal t plus der konstanten Anfangsgeschwindigkeit v0 zusammen. In Winkelgrößen ausgedrückt gilt v=Omega r und das ist gleich (Alphat+Phi 0)r. Der Weg sB setzt sich zusammen aus dem Anteil der gleichmäßig beschleunigten Bewegung 1/2at2, dem Anteil der konstanten Anfangsgeschwindigkeit v0t und den bereits zurückgelegten Weg s0. In Winkelgrößen ausgedrückt ist der Weg wiederum der überstrichene Winkel Phi mal dem Radius r. Der überstrichene Winkel setzt sich zusammen aus der Summe von Alpha/2t2, Omega 0t und dem bereits überstrichenen Winkel Phi 0. Du siehst, dass die Gleichungen für die Bahnbewegung und Bahngrößen und den Winkelgrößen bis auf den Faktor r die gleichen sind. So, was hast du eben gelernt: Eine Kreisbewegung kann mit Bahngrößen und mit Winkelgrößen beschrieben werden. Um Winkelgrößen in Bahngrößen zu überführen, multipliziert man sie mit dem Radius r. Bahngrößen steigen also mit dem Abstand zum Mittelpunkt der Bewegungen. Bei einer rotierenden Scheibe ist die Bahngeschwindigkeit zum Beispiel am Rand der Scheibe höher als nahe der Mitte. Direkt in der Mitte findet keine Bahnbewegung statt. Auch bei Bahnbewegungen unterscheidet man zwischen gleichförmig und gleichmäßig beschleunigten Bewegungen. Die Formeln für Beschleunigung, Geschwindigkeit und Weg sind den Bahngrößen und Winkelgrößen bis auf den Faktor r gleich, auch die Gesetzmäßigkeiten der geradlinigen Bewegung weisen einige Analogien auf. Ich hoffe, du hast was gelernt, das war es zum Thema Zeit-Bahngrößen-Gesetze. Tschüss und bis zum nächsten Mal!

Zeit-Bahngrößen-Gesetze der Rotation Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Zeit-Bahngrößen-Gesetze der Rotation kannst du es wiederholen und üben.

  • Ordne die analogen Größen der Beschreibung von Rotation und Translation einander zu.

    Tipps

    Translation ist nicht die Bewegung auf einer Kreisbahn.

    Lösung

    Der Beschleunigung $a$ bei der Translation entspricht die Winkelbeschleunigung $\alpha$ oder die Tangentialbeschleunigung $a_B$ der Rotation. Der Geschwindigkeit $v$ der Translation entspricht die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ oder die Bahngeschwindigkeit $v_B$ der Rotation, und dem Weg $s$ der Translation entsprechen der Winkel $\varphi$ oder die Bahnlänge $s_B$ bei der Rotation.

    Dies zeigt dir auch ein sehr einfaches Beispiel: Ein Fahrradreifen bewegt sich auf der Straße.

    • Der Mantel des Reifens (Umfang des Kreises) wird nun dieselbe Strecke $s$ zurücklegen, die sich das Fahrrad auf der Straße zurücklegt.
    • Trete ich schneller in die Pedale, beschleunige ich das Fahrrad und auch die Rotation wird in beiden Fällen schneller.
    • Die Geschwindigkeit der Mantelfläche entspricht der Geschwindigkeit des Fahrrads.
  • Gib an, was Rotation oder Drehbewegung ist.

    Tipps

    Bewegung auf einer Kreisbahn

    Eine Kreisbahn hat einen konstanten Abstand von einem Mittelpunkt.

    Lösung

    Eine Rotation oder Drehbewegung ist eine Bewegung auf einer Kreisbahn. Eine Kreisbahn hat überall den gleichen Abstand zu einem Mittelpunkt und eine Bewegung auf der Kreisbahn ist eine Bewegung in der Ebene, die den Kreis enthält. Eine Rotationsachse stünde daher senkrecht auf dieser Ebene.

    Stelle dir eine kreisrunde Papierscheibe vor, auf der sich ein Punkt befindet. Wenn du die Scheibe in der Mitte mit einem Stift durchbohrst, stellt der senkrecht zur Scheibe stehende Stift die Drehachse dar. Unser aufgemalter Punkt bewegt sich nun auf einer Kreisbahn, wenn ich die Scheibe mit dem Stift um die Drehachse drehe. Dabei ist es egal, wo ich den Punkt auf der Scheibe aufbringe. Beim schnellen Drehen wird sich immer ein Kreis zeigen.

  • Leite die Bahngrößen aus den Winkelgrößen ab.

    Tipps

    Du musst den Anteil des Kreisbogens am Gesamtumfang mit dem Anteil des Kreiswinkels am Vollwinkel vergleichen.

    Lösung

    Der Umfang eines Kreises mit Radius $r$ beträgt $2\pi r$. Das Verhältnis eines Kreisbogens $s_B$ zum Umfang ist $\frac{s_B}{2\pi r}$. Der Winkel des Vollkreises beträgt $2\pi$ rad. Das Verhältnis eines Winkels $\varphi$ am Kreis zum Vollwinkel ist $\frac{\varphi}{2\pi}$. Das Verhältnis eines vom Winkel $\varphi$ eingeschlossenen Kreisbogens $s_B$ zum Gesamtumfang des Kreises ist gleich dem Verhältnis des Winkels $\varphi$ zum Vollwinkel: $\frac{s_B}{2\pi r}=\frac{\varphi}{2\pi}$. Durch Kürzen folgt: $\frac{s_B}{r}=\varphi$ und es ergibt sich: $s_B=\varphi\cdot r$.

  • Nenne die Formeln zur Beschreibung der gleichförmigen Rotation mit Winkelgrößen.

    Tipps

    gleichförmige Rotation = Rotation mit gleichbleibender Geschwindigkeit

    Lösung

    Eine gleichförmige Rotation ist eine Rotation ohne Beschleunigung. So gilt für die Winkelbeschleunigung: $\alpha=0$. Deshalb bleibt die Winkelgeschwindigkeit unverändert: $\omega=const.$. Der Winkel (die Winkelveränderung) ist dann einfach zu berechnen mit: $\varphi=\omega\cdot t+\varphi_0$.

  • Nenne die Formeln zur Beschreibung der gleichmäßig beschleunigten Rotation mit Winkelgrößen.

    Tipps

    Gleichmäßig beschleunigte Bewegung: Beschleunigung verschieden von $Null$, aber konstant.

    Analogie zur Beschreibung der Translation, z. B: $s=at^2+v_ot+s_0$.

    Lösung

    Gleichmäßig beschleunigte Rotation heißt, dass die Beschleunigung gleich bleibt oder konstant ist: Winkelbeschleunigung $\alpha = const.$. Die Winkelgeschwindigkeit ändert sich dann also linear: $\omega = \alpha t + \omega_0$, und der Winkel (die Winkeländerung) hängt von der Anfangsgeschwindigkeit und der Geschwindigkeitsänderung oder Beschleunigung ab: $\varphi = \frac{1}{2} \alpha t^2 + \omega_0 t + \varphi_0$.

    Die Analogie zur geradlinigen gleichmäßig beschleunigten Bewegung ist deutlich an der Form der Gleichungen erkennbar.

    $\varphi = \frac{1}{2} \alpha t^2 + \omega_0 t + \varphi_0~$ vgl mit: $~s = \frac{1}{2} a \cdot t^2 + v_0 \cdot t + s_0$

    $\omega = \alpha t + \omega_0~$ vgl. mit: $~v = a \cdot t + v_0$

    $\alpha = const.~$ vgl mit: $~a=const.$

  • Rechne Winkel- in Bahngrößen um.

    Tipps

    Gegeben ist eine Frequenz. Die Winkelgeschwindigkeit ist aus ihr erst zu berechnen.

    U/min umrechnen in U/sec

    Beachte: Radius vs. Durchmesser.

    Lösung

    Die in Umdrehungen pro Minute gegebene Frequenz ist in eine Winkelgeschwindigkeit umzurechnen (und sinnvollerweise in rad pro Sekunde):

    $\omega=2\pi\cdot 120\frac{1}{min}=2\pi\cdot\frac{120}{60}\frac{1}{s}=4\pi\cdot s^{-1}$.

    Die beiden Radien sind leicht zu ermitteln durch:

    $r_1=\frac{1}{2}d=2m$ und $r_2=\frac{1}{2}r_1=1m$.

    Damit ergibt sich aus $v_B=\omega\cdot r$:

    $v_{B1}\approx 25.1 m/s$ und $v_{B2}\approx 12.6 m/s$.