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Parameter der Exponentialfunktion

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Team Digital
Parameter der Exponentialfunktion
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Grundlagen zum Thema Parameter der Exponentialfunktion

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du die Auswirkungen der verschiedenen Parameter auf die Exponentialfunktion kennen.

Was sind Parameter

Zunächst werden wir uns die Verschiebung des Funktionsgraphen entlang der y-Achse (nach oben bzw. unten) anschauen. Anschließend betrachten wir die Verschiebung entlang der x-Achse (nach links bzw. rechts). Abschließend erfährst du, welcher Parameter den Funktionsgraphen streckt bzw. staucht, wann sich das Monotonieverhalten ändert und wie man den Graphen einer Exponentialfunktion an der x-Achse spiegeln kann.

Die Parameter der Exponentialfunktion

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Parameter, Asymptote, Spiegelung an den Koordinatenachsen, Monotonieverhalten oder Streckfaktor.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits die Definition und die wichtigsten Eigenschaften von Exponentialfunktionen kennen.

Transkript Parameter der Exponentialfunktion

Jetzt mal ehrlich Die Graphen von Exponentialfunktionen findet man doch nirgendwo im Alltag. Obwohl Die Krümmungslinie der Banane erinnert, schon stark an eine Exponentialfunktion. Oder der Verlauf der Hörner dieses Yaks oder die Wuchsform dieser Pflanze oder der geschwungene Flügel eines Aras. Ja okay, das ist bestimmt kein perfekter Verlauf der Exponentialfunktion, aber vielleicht kann man ja Funktionsgraphen entsprechend Formen? Dafür müssen die „Parameter der Exponentialfunktion“ angepasst werden. Aber erstmal von vorne: Bei Exponentialfunktionen steht die Variable im Exponenten. Das bedeutet, der Funktionswert nimmt mit jedem x-Wert eine andere Potenz zur Basis an. Die Basis a ist dabei eine positive, reelle Zahl. Jedoch ist a niemals eins. Schauen wir uns einmal die Funktionsgraphen an. Ist a größer als eins, so verläuft die Funktion streng monoton steigend. Und wenn a kleiner als eins ist, dann ist der Verlauf streng monoton fallend. Dabei ist „eins durch a hoch x“ die Funktion, die entsteht, wenn man „a hoch x“ an der y-Achse spiegelt. „Ein halb hoch x“ wäre zum Beispiel die Spiegelung von „zwei hoch x“. So weit, so gut. Nun können neben der Basis a noch weitere Parameter in der Funktionsgleichung enthalten sein. Parameter sind konstante Hilfsvariablen, die den Verlauf des Funktionsgraphen beeinflussen. Wir nennen sie hier a, b, c und d - aber in vielen Lehrbüchern werden sie auch anders genannt. Fangen wir erstmal mit dem einfachsten an. Der Parameter d verschiebt den Funktionsgraphen nach oben oder nach unten. Schauen wir uns einmal den Graphen von „zwei hoch x“ an. Hier ist „d gleich Null“, der Graph ist also nicht verschoben. Im Gegensatz dazu ist der Graph von „zwei hoch x plus zwei“ um zwei Einheiten nach oben verschoben. Und der Graph „zwei hoch x minus eins“ um eine Einheit nach unten. Der Parameter d ist in diesen beiden Beispielen also zwei und minus eins. Diese Verschiebung hat natürlich eine Auswirkung auf die Asymptote. Statt der x-Achse, also der Geraden „y gleich Null“, ist es nun die waagerechte Gerade „y gleich zwei“ beziehungsweise „y gleich minus eins“. Allgemein lautet die Asymptote von Funktionen der Form „a hoch x plus d“ somit „y gleich d“. Der Parameter d verschiebt also die Funktion parallel zur y-Achse. Ist d größer als null, wird der Graph nach oben verschoben und ist d kleiner als null, dann wird der Graph nach unten verschoben. Diesen Einfluss auf den Verlauf des Funktionsgraphen kennt man ja eigentlich schon von der Normalparabel. Als nächstes betrachten wir den Parameter c, der die Funktion auch verschiebt, allerdings nicht nach oben oder unten, sondern nach links oder rechts. Schauen wir uns zuerst wieder das Beispiel „zwei hoch x“ an. Auch hier ist „c gleich Null“, deshalb wird „g eins“ nicht verschoben. Setzen wir für c eine positive Zahl, zum Beispiel vier ein, so verschiebt sich die Funktion „zwei hoch x plus vier“ um vier Einheiten nach links. Und bei der Funktion „zwei hoch x minus zwei“ verschiebt sich die Funktion um zwei Einheiten nach rechts. Wenn wir x mit einer positiven Zahl addieren, dann verschiebt sich der Graph nach links und nicht, wie man denken könnte, nach rechts. diese Subtraktion können wir auch als Addition schreiben. Addieren wir also eine negative Zahl, dann verschiebt sich der Funktionsgraph nach rechts. Der Parameter c verschiebt den Graphen um c Einheiten nach links, wenn c größer als null ist und nach rechts, wenn c kleiner als Null ist. Auch diese Verschiebung des Funktionsgraphen kennt man schon von der Normalparabel. Der letzte Parameter b streckt oder staucht den Funktionsgraphen in Richtung der y-Achse. Auch hier lohnt sich ein Blick zurück auf die Parabeln. b wird deshalb auch Streckfaktor genannt. Bleiben wir bei unserem Beispiel „zwei hoch x“. Hier ist „b gleich eins“ und der Graph ist weder gestreckt noch gestaucht. Wird für b jedoch drei eingesetzt, wird die Funktion durch den Parameter b ganz schön in die Höhe gestreckt. Wenn b dagegen kleiner als eins ist, zum Beispiel 0,5 wird die Funktion gestaucht. Aber dieser Parameter kann noch mehr. Wenn b eine negative Zahl ist, ändert sich das Monotonieverhalten. Zum Beispiel so. Und wenn „b gleich minus eins“ ist, dann erkennen wir, dass dadurch die Funktion „zwei hoch x“ an der x-Achse gespiegelt wird. Der Parameter b kann also nicht nur den Funktionsgraphen strecken und stauchen, sondern hat auch Auswirkungen auf das Monotonieverhalten des Funktionsgraphen. Aus einer monoton steigenden Funktion wird eine monoton fallende Funktion. Und aus einer monoton fallenden Funktion wie zum Beispiel „ein Drittel hoch x“ wird mit einem negativen Vorfaktor eine monoton steigende Funktion. So, das sollte nun aber erstmal reichen. Fassen wir nun noch kurz zusammen. Die Parameter der Exponentialfunktion haben unterschiedliche Auswirkungen auf den Verlauf des Funktionsgraphen. Der Parameter d verschiebt die Funktion entlang der Y-Achse, also nach oben oder unten und hat Auswirkungen auf die Asymptote. Der Parameter c verschiebt die Funktion hingegen entlang der X-Achse, also nach links oder rechts. Der Parameter b ist der Streckfaktor der Funktion. Das heißt, er kann den Funktionsgraphen strecken oder stauchen. Ist b negativ, so ändert sich außerdem das Monotonieverhalten. Im Fall „b gleich minus eins“ wird die ursprüngliche Funktion an der x-Achse gespiegelt. Nach diesem intensiven Input wirst du vermutlich nur noch Exponentialfunktionen im Alltag sehen.

Parameter der Exponentialfunktion Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Parameter der Exponentialfunktion kannst du es wiederholen und üben.
  • Skizziere den Graphen der Exponentialfunktion $g(x) = 2^x + 2$.

    Tipps

    Die allgemeine Exponentialfunktion lautet:

    $f(x) = b \cdot a^{x+c} + d$

    Vergleiche die beiden gegebenen Funktionen und überlege, welcher Parameter geändert wurde.

    Um eine Exponentialfunktion in $x$-Richtung zu verschieben, musst du zu der Variablen $x$ im Exponenten einen Parameter addieren.

    Lösung

    Die allgemeine Exponentialfunktion lautet

    $f(x) = b \cdot a^{x+c} + d$

    Dabei haben die verschiedenen Parameter unterschiedliche Auswirkungen auf den Funktionsgraphen:

    • $b$ ist der Streckfaktor. Damit wird der Graph gestreckt oder gestaucht. Für $b < 0$ ändert sich zudem das Monotonieverhalten der Funktion.
    • $c$ gibt die Verschiebung in Richtung der $x$-Achse an.
    • $d$ gibt die Verschiebung in Richtung der $y$-Achse an.

    In unserem Beispiel hat die Exponentialfunktion die Basis $2$, also $a = 2$.

    Um den richtigen Funktionsgraphen zu finden, betrachten wir zuerst die unveränderte Exponentialfunktion, von der wir ausgehen:

    $f(x) = 2^x$

    Die gegebene Funktion lautet $g(x) = 2^x + 2$. Hier wurde der Summand $2$ zur Funktion $f$ addiert. Dabei handelt es sich um den Parameter $d$. Es gilt: $d = 2 > 0 ~\Rightarrow~$ Der Graph von $f$ wird um $2$ Einheiten nach oben verschoben.

    Die ursprüngliche Exponentialfunktion $f$ schneidet die $y$-Achse in $y = 1$. Wenn wir den Graphen nun um $2$ Einheiten nach oben verschieben, muss $g$ die $y$-Achse bei $y = 3$ schneiden.

    Wir können somit alle Graphen eliminieren, die die $y$-Achse nicht bei $y = 3$ schneiden.

    Zudem sehen wir, dass die Asymptote des Graphen bei $y = 2$ liegt.

  • Beschreibe die Parameter der Exponentialfunktion.

    Tipps

    Im Gegensatz zur Variablen $x$ sind die Parameter einer Funktion konstant und verändern sich nicht.

    Beispiel: Der Graph von
    $g(x) = 2^{x} - 6$ ist gegenüber vom Graphen
    $f(x) = 2^x$ um $6$ Einheiten nach unten verschoben.

    Lösung

    In der Exponentialfunktion der Form $f(x) = b \cdot a^{x+c}+d$ kommen fünf verschiedene Buchstaben vor, die unterschiedliche Auswirkungen auf die Funktion haben.
    Der Buchstabe $x$ steht sowohl links zwischen den Klammern als auch in dem Funktionsterm rechts. Daran erkennst du, dass $x$ die veränderliche Größe der Funktion ist, für die du verschiedene Werte einsetzen kannst. Diese Größe wird daher als veränderliche Variable (oder auch kurz als Variable) bezeichnet.
    Die Größen $a$, $b$, $c$ und $d$ werden nicht verändert, sie sind feste Parameter der Exponentialfunktion. Die Größen $a$, $b$, $c$ und $d$ beeinflussen den Verlauf des Funktionsgraphen. Das bedeutet: ändern wir einen dieser Größen, so ändert sich die gesamte Funktion und wir erhalten eine andere Funktion.

    Die Parameter $\color{#99CC00}{c}$ und $\color{#99CC00}{d}$ führen zu Verschiebungen des Funktionsgraphen in Richtung der $x$- und $y$-Achsen.
    Die Addition im Exponenten führt zu einer Verschiebung in $x$-Richtung. Genauer gesagt: der Funktionsgraph von ${g(x) = a^{x+c}}$ ist für $c > 0$ gegenüber dem Graphen von $f(x) = a^x$ auf der $x$-Achse um $c$ Einheiten nach links verschoben.
    Die Addition des Parameters $d$ zu dem Funktionsterm $f(x) = a^x$ entspricht für $d > 0$ einer Verschiebung in Richtung der $y$-Achse um $d$ Einheiten nach oben.

  • Ermittle die Funktionsgleichungen der Exponentialfunktionen anhand der Graphen.

    Tipps

    Eine Verschiebung in $x$-Richtung erreichst du durch Addition oder Subtraktion einer Konstanten zum Exponenten.

    Setze zum Beispiel die Werte $x=0$ und $x=1$ ein, um den Verlauf des Funktionsgraphen zu beurteilen.

    Vergleiche die Funktionsverläufe mit dem Graphen von $f(x) = 2^x$, um die Werte der Parameter zu erschließen.

    Lösung

    Alle hier gezeigten Exponentialfunktionen haben dieselbe Basis. Die Parameter lassen sich also nur an dem genauen Funktionsverlauf im Vergleich zu dem von $f(x) = 2^x$ ablesen:

    • Der erste Funktionsgraph verläuft streng monoton fallend, der passende Funktionsterm ist daher $\color{99CC00}{f(x) = (-1) \cdot 2^x-2}$. Die Veränderung der Monotonie können wir an dem Faktor $-1$ fest machen. Der Graph wurde außerdem um $2$ Einheiten nach rechts verschoben.
    • Der zweite Funktionsgraph verläuft steiler, der passende Funktionsterm ist daher $\color{99CC00}{f(x) = 3 \cdot 2^x-1}$. Der Vorfaktor $b=3$ streckt den Graphen. Außerdem wurde der Graph um eine Einheit nach unten verschoben.
    • Der zweite Funktionsgraph hat die Asymptote $y = 2$, er ist also um $2$ Einheiten nach oben verschoben. Der passende Funktionsterm lautet $\color{99CC00}{f(x) = 2^x+2}$.
    • Der vierte Graph schneidet als einziger die $x$-Achse. Er gehört zu der Funktion $\color{99CC00}{f(x) = 2^{x-2}-2}$. Der Parameter $-2$ ganz rechts führt zu einer Verschiebung des Funktionsgraphen um $2$ Einheiten nach unten. Erst dadurch sind Nullstellen möglich, da der ursprüngliche Graph der Funktion $f(x) = 2^x$ die $x$-Achse nicht schneidet. Außerdem ist die Funktion aufgrund der $-2$ im Exponenten um $2$ Einheiten nach rechts verschoben.
    • Der Verlauf des letzten Funktionsgraphen ist im Vergleich zu $f(x) = 2^x$ in $x$-Richtung um eine Einheit nach links verschoben. Der passende Funktionsterm lautet daher $\color{99CC00}{f(x) = 2^{x+1}}$.
  • Entscheide, welche Eigenschaften auf den Graphen der Funktion zutreffen.

    Tipps

    Skizziere den Graphen der Funktion, indem du die Parameter im Funktionsterm nacheinander auf den Graphen der Basisfunktion $2^x$ anwendest.

    Der Schnittpunkt mit der $y$-Achse kann durch Einsetzen von $x = 0$ in den Funktionsterm berechnet werden.

    Lösung

    Die gegebene Funktionsgleichung ${f(x) = 0,\!5 \cdot 2^{x+4} - 5}$ hat die Basis $2$. Wir gehen also vom Graphen der Funktion $g(x) = 2^x$ aus und betrachten nacheinander die Auswirkungen der Parameter auf den Verlauf des Funktionsgraphen.

    • $d = -5$
    $\Rightarrow~$ Der Graph ist um $5$ Einheiten entlang der $y$-Achse nach unten verschoben. Die Asymptote liegt damit bei ${y = -5}$
    Die Aussage „Der Graph hat die Asymptote $y = 5$“ ist somit falsch.

    • $c = 4$
    $\Rightarrow~$ Der Graph ist um $4$ Einheiten entlang der $x$-Achse nach links verschoben.

    • $b = 0,\!5$
    $\Rightarrow~$ Der Graph wird gestaucht, da $\vert b \vert \lt 1$. Das Monotonieverhalten ist unverändert, da $b \gt 0$.
    Die Aussage „Der Graph wird gestreckt, da $0,\!5 \gt 0$.“ ist somit falsch.
    Die Aussage „Der Graph ist streng monoton steigend.“ ist hingegen richtig.

    Wir können den Graphen wie in der Darstellung skizzieren, um die verbleibenden Aussagen zu beurteilen:

    Die Aussage „Der Graph hat keine Nullstelle.“ ist falsch.
    Dies ergibt sich auch, da der Graph nach unten verschoben ist und streng monoton steigt.

    Die Aussage „Der Graph schneidet die $y$-Achse bei $3$.“ ist richtig.
    Wir können den Schnittpunkt auch mit $f(0) = 0,\!5 \cdot 2^{0+4} - 5 = 0,\!5 \cdot 16 - 5 = 3$ berechnen.

  • Benenne die Größen im Funktionsterm der Exponentialfunktion.

    Tipps

    Faktoren sind Zahlen, die multipliziert werden.

    Die Potenz $m^n$ besteht aus der Basis $m$ und dem Exponenten $n$.

    Die Variable einer Funktion ist diejenige Größe, für die du verschiedene Werte einsetzen kannst.

    Lösung

    Die Exponentialfunktion $f(x) = b \cdot a^{x+c}+d$ besteht aus verschiedenen Bestandteilen:

    • $f$ bezeichnet die Funktion
    • $x$ ist die Variable, also die veränderliche Größe, die in die Funktion $f$ eingesetzt wird.
    • $a$ ist die Basis der Potenz.
    • $x + c$ ist der Exponent der Potenz. Sie gibt an, wie oft die Basis $a$ multipliziert werden soll.
    • $b$ ist der Faktor, mit dem die Potenz $a^{x+c}$ multipliziert wird.
    • $d$ ist der Summand, der zum Term $b\cdot a^{x+c}$ addiert wird.

    Beispiel: Bei der Funktion

    $f(x) = 3 \cdot 4^{x} + 5$

    haben wir folgende Bestandteile:

    • $f$ als die Funktionsbezeichnung,
    • $x$ als die Variable,
    • $3$ als den Faktor,
    • $4$ als die Basis,
    • $x$ als Exponent der Basis $4$ (Achtung: Hier ist $c = 0$)
    • und $5$ als Summand.
  • Leite die Parameter der Exponentialfunktionen aus den Funktionsgraphen ab.

    Tipps

    Überlege, ob der Graph über oder unter der $x$-Achse liegt, um die Verschiebung auf der $y$-Achse zu ermitteln.

    Um die Verschiebung auf der $x$-Achse zu ermitteln, kannst du dich an der Position des Schnittpunkts mit der $y$-Achse der unterschobenen Funktion orientieren.

    Beispiel: Der Graph von $f(x) = 2^{x+1}$ wurde um eine Einheit nach links verschoben. Der Schnittpunkt mit der $y$-Achse der unverschobenen Funktion liegt bei $y = 1$. Von diesem Punkt kannst du so weit nach links gehen, bis du den Graph triffst, um den Wert $c = 1$ zu bekommen.

    Lösung

    Die allgemeine Exponentialfunktion lautet

    $f(x) = b \cdot a^{x+c} + d$

    Wir betrachten im folgenden Exponentialfunktionen mit der Basis $a = 2$ und dem Vorfaktor $b = 1$, also:

    $f(x) = 2^{x+c}+d$

    Um die Werte der Parameter zu bestimmen, müssen wir die Graphen mit dem Graphen von $g(x) = 2^x$ oben vergleichen, da $a = 2$ ist. Da der Faktor $b = 1$ ist, gibt es weder eine Streckung, noch eine Stauchung. Wir müssen also die Verschiebungen in Richtung der Koordinatenachsen ermitteln.

    Dazu nutzen wir die Position der waagerechten Asymptote. Diese liegt für $g(x) = 2^x$ bei $y = 0$, da sich die Funktionswerte für $x \to -\infty$ der $0$ nähern. Außerdem können wir die Verschiebung des Schnittpunktes mit der $y$-Achse untersuchen. Dieser liegt für $g(x) = 2^x$ bei $(0 \vert 1)$.

    Funktionsgraph 1:

    Dieser Graph befindet sich unterhalb der $x$-Achse und wurde daher nach unten verschoben. Es muss also $d < 0$ gelten. Wenn wir die Asymptote des Graphen betrachten, liegt diese bei $y = -2$. Der Graph wurde also um $2$ Einheiten nach unten verschoben und es gilt: $d = \color{#99CC00}{-2}$.

    Der gegebene Graph schneidet die $y$-Achse bei $y = -1{,}5$. Da wir wissen, dass der Graph um $2$ Einheiten nach unten verschoben wurde, müsste der Schnittpunkt mit der $y$-Achse bei $y = -1 = 1 - 2$ liegen, falls der Graph nicht auf der $x$-Achse verschoben wäre. Wenn wir den Funktionsgraphen von $h(x) = 2^x - 2$ um eine Einheit nach rechts verschieben, erhalten wir die gesuchte Funktion. Das heißt, es gilt: $c = \color{#99CC00}{-1}$.

    Die Funktionsgleichung lautet:
    $f(x) = 2^{x-1} - 2$

    Hinweis: Hier hilft es zu schauen, ob der Schnittpunkt des neuen Graphen mit der $y$-Achse unter- oder oberhalb des Schnittpunkts des Graphen von $h(x) = 2^x - 2$ liegt. In diesem Fall liegt er drunter und damit können wir auf eine Verschiebung nach rechts schließen. Wir gehen auf der Höhe $y = -1$ soweit nach rechts, bis wir den Graphen treffen, um den Wert von $c$ zu finden.

    Funktionsgraph 2:

    Dieser Graph hat für $x \to -\infty$ eine Asymptote bei $y = 1$. Das heißt, der Graph wurde um eine Einheit nach oben verschoben, also: $d = \color{#99CC00}{1}$.

    Nach dem Verschieben sehen wir, dass der Graph die $y$-Achse bei $y = 2 = 1 + 1$ schneidet. Es liegt also keine Verschiebung entlang der $x$-Achse vor. Damit gilt: $c = \color{#99CC00}{0}$.

    Die Funktionsgleichung lautet:
    $f(x) = 2^{x} + 1$

    Funktionsgraph 3:

    Der Graph hat eine Asymptote bei $y = 3$. Er wurde also um $3$ Einheiten nach oben verschoben. Damit ergibt sich: $d = \color{#99CC00}{3}$.

    Nach dem Verschieben sollte der Graph die $y$-Achse bei $y = 4$ schneiden, falls dieser nicht auf der $x$-Achse verschoben ist. Wir sehen aber, dass der Schnittpunkt mit der $y$-Achse unter $4$ liegt. Der Graph wurde also nach rechts verschoben. Wir können den Wert von $c$ ermitteln, indem wir bei $y = 4$ soweit nach rechts gehen, bis wir den Graphen treffen. Das ist bei $x = 3$. Der gegebene Graph wurde also um $3$ Einheiten nach rechts verschoben. Wir erhalten: $c = \color{#99CC00}{-3}$.

    Die Funktionsgleichung lautet:
    $f(x) = 2^{x-3} + 3$

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