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Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion 06:06 min

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Transkript Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion

Hallo und herzlich Willkommen zu meinem Video, in dem es um die Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion gehen wird. Bevor es losgeht, sollst du noch wissen, welche Grundlagen für dieses Video notwendig sind. Du solltest eine Vorstellung von der Exponentialfunktion bzw. vom exponentiellen Wachstum und von Zuordnungen haben. Zudem benötigst du die Definition des Logarithmus‘, nämlich logb(bx)=x. Von besonderer Wichtigkeit wird natürlich der Begriff der Umkehrfunktion sein, den du zumindest schon einmal gehört haben solltest.

Betrachten wir zu Beginn folgende Situation: Tim legt bei seiner Bank ein Startkapital K0 an. Der jährliche Zinssatz p% ist heutzutage geringer als 1%. Sein Startkapital wird mit den Jahren also nur geringfügig exponentiell wachsen. Ein graphischer Zusammenhang zwischen dem Kapital K in Euro in Abhängigkeit von der Zeit t in Jahren sieht näherungsweise so aus. Jedem Zeitpunkt t wird also ein Kapitalwert K zugeordnet. K0 ist entsprechend der Schnittpunkt mit der y-Achse. Mit Hilfe der Grafik können wir zu verschiedenen Zeitpunkten t ablesen, auf wie viel Kapital das Startkapital angewachsen ist. Tim möchte nun wissen, wann sich sein Startkapital verdoppelt hat, d.h. er sucht den Zeitpunkt tV, sodass f(tV)=2•K0 ist. Hierfür würden wir vom Wert 2•K0 solange nach rechts gehen, bis wir den Graphen schneiden, um dann den entsprechenden Wert für tV abzulesen. Was wir also eigentlich machen, ist die umgekehrte Zuordnung. Einem Kapitalwert ordnen wir nämlich den Zeitpunkt t zu, d.h. die abhängige Größe ist hierbei das Kapital K.

Wir können das Problem also auch umgekehrt darstellen. So wird aus t in Jahren K in Euro und aus K in Euro wird t in Jahren. Der neue Graph entsteht durch die Spiegelung an der Ursprungsgeraden f(t)=t. Das Anfangskapital K0 ist nun der Schnittpunkt des Graphen mit der x-Achse. Von der Stelle 2•K0 können wir jetzt nach oben gehen, bis wir den Graphen schneiden, um somit den Zeitpunkt tV ablesen, zu dem sich das Kapital verdoppelt hat. Insgesamt haben wir nun die Zeit in Abhängigkeit zum Kapital dargestellt. Dies ist nun nicht mehr der Graph einer Exponentialfunktion, sondern einer Logarithmusfunktion, die die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist.

Wir wollen die graphische Veranschaulichung nun Formalisieren. f(x)=bx ist eine Exponentialfunktion, wobei x eine beliebige reelle Zahl und b größer als Null und ungleich 1 sei . Da für alle beliebigen reellen Zahlen x der Funktionswert von bx stets größer als Null ist und kein Funktionswert doppelt auftritt, ist die Exponentialfunktion in diesen Bereichen umkehrbar, d.h. es wird eine Umkehrfunktion g existieren, sodass g(bx)=x ist. Setzt man nun y=bx, dann ist dazu logb(y)=x äquivalent. Also besitzt die Umkehrfunktion g die Funktionsgleichung g(y)=logb(y). Bezeichnen wir die unabhängige Größe noch wie üblich mit x, dann ergibt sich g(x)=logb(x) als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion und diese ist, wie man gut erkennen kann, die Logarithmusfunktion.

Schauen wir uns ein paar Eigenschaften der Logarithmusfunktion an. Dazu soll uns in Anlehnung an unser Eingangsbeispiel die folgende kleine Skizze mit der Logarithmusfunktion f reichen. Der Definitionsbereich besteht aus allen positiven reellen Zahlen ohne die Null. Der Wertebereich ist dagegen die Menge der reellen Zahlen. Es ist weiterhin f(1)=logb(1)=0, womit P=(1|0) der einzige besondere Punkt der Logarithmusfunktion ist. x=1 ist gleichzeitig die einzige Nullstelle der Logarithmusfunktion. Ist der Parameter b>1, dann ist f monoton steigend. Für 0<b<1 ist f monoton fallend. Fassen wir das Gelernte nochmals zusammen. Die Logarithmusfunktion f(x)=logb(x) ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Sie ist für alle positiven reellen x ohne die Null definiert und besitzt als Wertebereich die reellen Zahlen. Der Punkt P=(1|0) ist der einzige besondere Punkt. Hieraus folgt auch, dass x=1 eine Nullstelle von g ist. Die Logarithmusfunktion f ist monoton steigend genau dann, wenn der Parameter b>1 ist und sie ist monoton fallend genau dann, wenn 0<b<1 ist.

Das war‘s von mir. Ich danke dir für‘s Zuschauen und bis bald.