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Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion 06:06 min

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Transkript Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion

Hallo und herzlich Willkommen zu meinem Video, in dem es um die Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion gehen wird. Bevor es losgeht, sollst du noch wissen, welche Grundlagen für dieses Video notwendig sind. Du solltest eine Vorstellung von der Exponentialfunktion bzw. vom exponentiellen Wachstum und von Zuordnungen haben. Zudem benötigst du die Definition des Logarithmus‘, nämlich logb(bx)=x. Von besonderer Wichtigkeit wird natürlich der Begriff der Umkehrfunktion sein, den du zumindest schon einmal gehört haben solltest.

Betrachten wir zu Beginn folgende Situation: Tim legt bei seiner Bank ein Startkapital K0 an. Der jährliche Zinssatz p% ist heutzutage geringer als 1%. Sein Startkapital wird mit den Jahren also nur geringfügig exponentiell wachsen. Ein graphischer Zusammenhang zwischen dem Kapital K in Euro in Abhängigkeit von der Zeit t in Jahren sieht näherungsweise so aus. Jedem Zeitpunkt t wird also ein Kapitalwert K zugeordnet. K0 ist entsprechend der Schnittpunkt mit der y-Achse. Mit Hilfe der Grafik können wir zu verschiedenen Zeitpunkten t ablesen, auf wie viel Kapital das Startkapital angewachsen ist. Tim möchte nun wissen, wann sich sein Startkapital verdoppelt hat, d.h. er sucht den Zeitpunkt tV, sodass f(tV)=2•K0 ist. Hierfür würden wir vom Wert 2•K0 solange nach rechts gehen, bis wir den Graphen schneiden, um dann den entsprechenden Wert für tV abzulesen. Was wir also eigentlich machen, ist die umgekehrte Zuordnung. Einem Kapitalwert ordnen wir nämlich den Zeitpunkt t zu, d.h. die abhängige Größe ist hierbei das Kapital K.

Wir können das Problem also auch umgekehrt darstellen. So wird aus t in Jahren K in Euro und aus K in Euro wird t in Jahren. Der neue Graph entsteht durch die Spiegelung an der Ursprungsgeraden f(t)=t. Das Anfangskapital K0 ist nun der Schnittpunkt des Graphen mit der x-Achse. Von der Stelle 2•K0 können wir jetzt nach oben gehen, bis wir den Graphen schneiden, um somit den Zeitpunkt tV ablesen, zu dem sich das Kapital verdoppelt hat. Insgesamt haben wir nun die Zeit in Abhängigkeit zum Kapital dargestellt. Dies ist nun nicht mehr der Graph einer Exponentialfunktion, sondern einer Logarithmusfunktion, die die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist.

Wir wollen die graphische Veranschaulichung nun Formalisieren. f(x)=bx ist eine Exponentialfunktion, wobei x eine beliebige reelle Zahl und b größer als Null und ungleich 1 sei . Da für alle beliebigen reellen Zahlen x der Funktionswert von bx stets größer als Null ist und kein Funktionswert doppelt auftritt, ist die Exponentialfunktion in diesen Bereichen umkehrbar, d.h. es wird eine Umkehrfunktion g existieren, sodass g(bx)=x ist. Setzt man nun y=bx, dann ist dazu logb(y)=x äquivalent. Also besitzt die Umkehrfunktion g die Funktionsgleichung g(y)=logb(y). Bezeichnen wir die unabhängige Größe noch wie üblich mit x, dann ergibt sich g(x)=logb(x) als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion und diese ist, wie man gut erkennen kann, die Logarithmusfunktion.

Schauen wir uns ein paar Eigenschaften der Logarithmusfunktion an. Dazu soll uns in Anlehnung an unser Eingangsbeispiel die folgende kleine Skizze mit der Logarithmusfunktion f reichen. Der Definitionsbereich besteht aus allen positiven reellen Zahlen ohne die Null. Der Wertebereich ist dagegen die Menge der reellen Zahlen. Es ist weiterhin f(1)=logb(1)=0, womit P=(1|0) der einzige besondere Punkt der Logarithmusfunktion ist. x=1 ist gleichzeitig die einzige Nullstelle der Logarithmusfunktion. Ist der Parameter b>1, dann ist f monoton steigend. Für 0<b<1 ist f monoton fallend. Fassen wir das Gelernte nochmals zusammen. Die Logarithmusfunktion f(x)=logb(x) ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Sie ist für alle positiven reellen x ohne die Null definiert und besitzt als Wertebereich die reellen Zahlen. Der Punkt P=(1|0) ist der einzige besondere Punkt. Hieraus folgt auch, dass x=1 eine Nullstelle von g ist. Die Logarithmusfunktion f ist monoton steigend genau dann, wenn der Parameter b>1 ist und sie ist monoton fallend genau dann, wenn 0<b<1 ist.

Das war‘s von mir. Ich danke dir für‘s Zuschauen und bis bald.

2 Kommentare
  1. Minute 5:05 Fehler: Monotonie von Logarithmusfunktionen ist STRENG monoton steigend, wenn b>1 ist

    Von Zspies, vor 4 Monaten
  2. Finde es extrem gut, dass du in deinen Videos die Thematik durch Praxisbeispiele anschaulicher machst!

    Von Max Weigand, vor mehr als einem Jahr

Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion kannst du es wiederholen und üben.

  • Ergänze die Erklärung zur Logarithmusfunktion.

    Tipps

    Hier siehst du den Verlauf einer Exponentialfunktion.

    Hier siehst du den Verlauf der Funktion $f(x)=x^2$ für $x\ge 0$, der grüne Graph sowie den der Wurzelfunktion $g(x)=\sqrt x$, den roten Graphen.

    Die Wurzelfunktion ist die Umkehrfunktion der Quadratfunktion und umgekehrt.

    Lösung

    Nach der Zinsformel ist

    $K(t)=K_0\cdot \left(1+\frac p{100}\right)^t$

    das Kapital nach $t$ Jahren. Dies ist eine Exponentialfunktion.

    Hier siehst du beispielhaft den Verlauf einer solchen Exponentialfunktion. Der Graph dieser Funktion schneidet die K-Achse bei $K_0$.

    Wenn Tim nun wissen möchte, wann sein Kapital sich verdoppelt hat, kann er auf der y-Achse das doppelte Kapital suchen, parallel zur x- Achse eine Linie ziehen, die den Graphen schneidet. Die Projektion des Schnittpunktes auf die t-Achse ist die gesuchte Zeit.

    Das bedeutet, dass die Zuordnung umgekehrt wird. Dies kann man sich auch anschaulich klarmachen: Der Graph der Exponentialfunktion wird an der Ursprungsgerade $g(K)=K$ gespiegelt. Der gespiegelte Graph ist der Graph der Umkehrfunktion.

    Übrigens: Durch Spiegelung an der Ursprungsgerade kann man jeden Graphen einer Umkehrfunktion zeichnen, sofern die Funktion umkehrbar ist.

  • Gib die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion an von der Funktion: $f(x)=b^x$.

    Tipps

    Beachte, dass $x$ die Variable ist.

    Die Umkehrung einer Potenzfunktion $f(x)=x^b$ ist die Wurzelfunktion

    $g(x)=\sqrt[b] x$.

    Die Basis des Logarithmus ist die Basis der Potenz.

    Lösung

    Eine Umkehrfunktion existiert nur dann, wenn kein Funktionswert mehrmals vorkommt. Dies ist bei der Exponentialfunktion $f(x)$ der Fall.

    Die Gleichung $y=b^x$ wird nach $x$ umgeformt. Diese Gleichung ist äquivalent zu

    $x=\log_b(y)$.

    Nun werden $x$ und $y$ ausgetauscht und man erhält die Umkehrfunktion:

    $g(x)=\log_b(x)$.

  • Nenne die Eigenschaften der Logarithmusfunktion $g(x)=\log_b(x)$.

    Tipps

    Beachte, dass $b^x>0$ ist für alle $x$.

    Es gilt $b^0=1$.

    Der Definitionsbereich der Exponentialfunktion ist $\mathbb{D}=\mathbb{R}$.

    Der Wertebereich der Exponentialfunktion ist $\mathbb{W}=\mathbb{R}^+\setminus\{0\}$.

    Lösung

    Es ist bei den Funktionenklassen immer sehr sinnvoll, verschiedene Eigenschaften zu kennen:

    • Der Definitionsbereich der Logarithmusfunktion ist $\mathbb{D}=\mathbb{R}^+\setminus\{0\}$. Dies folgt darauf, dass $b^x>0$ ist für alle $x$.
    • Der Wertebereich der Logarithmusfunktion ist $\mathbb{W}=\mathbb{R}$. Dies ist gerade der Definitionsbereich der Exponentialfunktion.
    • Da $b^0=1$ ist, kann man umgekehrt folgern, dass $\log(1)=0$. $x=1$ die einzige Nullstelle der Logarithmusfunktion ist.
    • Je nach Basis der Logarithmusfunktion ist diese steigend oder fallend: steigend für $b>1$ und fallend für $0<b<1$.
  • Stelle die Exponentialfunktion sowie deren Umkehrfunktion auf.

    Tipps

    Es ist $N(0)=1000000000$ sowie $N(7)=750000$.

    Löse die Gleichung $N(7)=a\cdot b^7$ bei bekanntem $a$.

    Du musst die $7$-te Wurzel ziehen.

    Die Basis des Logarithmus ist auch die Basis der Potenz.

    Lösung

    In der Funktionsgleichung $N(t)=a\cdot b^t$ ist $a$ der Anfangsbestand, also $a=N(0)=1000000000$. Somit ist

    $N(t)=1000000000\cdot b^t$.

    Um die Basis der Potenz zu bestimmen, wird der zweite bekannte Wert verwendet:

    $N(7)=1000000000\cdot b^7=750000$.

    Diese Gleichung wird nach $b$ umgeformt:

    • Zunächst wird durch $1000000000$ dividiert: $b^7=0,00075$.
    • Nun wird auf beiden Seiten die $7$-te Wurzel gezogen. Dies führt zu $b=0,3577...\approx 0,358$.
    Somit ist die Exponentialfunktion gegeben durch:

    $N(t)=1000000000\cdot 0,358^t$.

    Damit kann auch die Umkehrfunktion bestimmt werden:

    $N=1000000000\cdot 0,358^t$ wird folgendermaßen nach $t$ umgeformt:

    • Division durch $1000000000$ zu $\frac N{1000000000}=0,358^t$ und
    • anschließendes Logarithmieren (zur Basis $0,358$):
    $t(N)=\log_{0,358}\left(\frac N{1000000000}\right)$.

    Dies ist die gesuchte Umkehrfunktion.

  • Leite die Umkehrfunktion der Funktion her.

    Tipps

    Beachte, dass der Definitionsbereich der Umkehrfunktion der Wertebereich der Funktion ist.

    Wenn du Exponentialgleichungen lösen (umformen) möchtest, führst du so lange die Grundrechenarten durch, bis du bei

    $a^x=b$

    angelangt bist. Dann wendest du den Logarithmus zur Basis $a$ auf beiden Seiten der Gleichung an.

    Die hier abgebildete Gleichung gilt für jede beliebige Basis $b$ mit

    • $b>0$ und
    • $b\neq 1$.
    Lösung

    Wir wollen die Umkehrfunktion der abgebildeten Funktion herleiten.

    Dazu formen wir die Gleichung $y=f(x)$ nach $x$ um:

    $\begin{array}{rclll} y&=&2^x+1&|&-1\\ y-1&=&2^x&|&\log_2(~~~)\\ \log_2{(y-1)}&=&x \end{array}$

    Dann vertauschen wir $x$ und $y$. Dies führt zu $y=\log_2{(x-1)}$.

    Oft wird zur Kennzeichnung der Umkehrfunktion $f^{-1}$ geschrieben. Es ist also

    $f^{-1}(x)=\log_2(x-1)$.

  • Bestimme mithilfe der Umkehrfunktion den Zeitpunkt, zu dem sich das Geld verdoppelt, verdreifacht und verzehnfacht hat.

    Tipps

    Forme die Gleichung $y=K(x)$ nach $y$ um.

    Die Zinsformel lautet

    $K(x)=K_0\cdot \left(1+\frac p{100}\right)^x$.

    Dabei ist $K_0$ das Anfangskapital, $p$ der Zinssatz und $x$ die Anzahl der Jahre.

    Die Basis der Exponentialfunktion ist $1$ plus Zinssatz dividiert durch $100$.

    Dies ist auch die Basis der Logarithmusfunktion.

    Wenn dein Taschenrechner keine allgemeine Logarithmustaste besitzt, kannst du wie folgt rechnen:

    $\log_a(b)=\frac{\log(b)}{\log(a)}$,

    wobei $\log$ der dekadische Logarithmus, der Logarithmus zur Basis $10$ ist.

    Lösung

    Hier ist die Funktion zu sehen, welche die Entwicklung von Pauls Kapital beschreibt.

    Dabei ist die Basis der Potenz der Wachstumsfaktor. Er wird folgendermaßen berechnet:

    $1+\frac p{100}=1+\frac 5{100}=1+0,05=1,05$.

    Nun wird $y=1000\cdot 1,05^x$ nach $x$ umgeformt:

    • Zuerst wird durch $1000$ dividiert: $\frac y{1000}=1,05^x$.
    • Nun wird der Logarithmus zur Basis $1,05$ auf beiden Seiten der Gleichung angewendet:
    • $x=\log_{1,05}\left(\frac y{1000}\right)$.
    • Zuletzt werden $x$ und $y$ vertauscht.
    Fertig ist die Umkehrfunktion

    $t(x)=\log_{1,05}\left(\frac x{1000}\right)$.

    In dieser können nun die verschiedenen Werte für $K$ eingesetzt werden:

    • $K=2\cdot K_0=2000$ führt zu $t(2000)=\log_{1,05}\left(\frac {2000}{1000}\right)=\log_{1,05}(2)\approx 14,2$.
    • $K=3\cdot K_0=3000$ führt zu $t(2000)=\log_{1,05}\left(\frac {3000}{1000}\right)=\log_{1,05}(3)\approx 22,5$.
    • $K=10\cdot K_0=10000$ führt zu $t(10000)=\log_{1,05}\left(\frac {10000}{1000}\right)=\log_{1,05}(10)\approx 47,2$.
    Wenn der Taschenrechner keine allgemeine Logarithmustaste besitzt, kann wie folgt gerechnet werden:

    $\log_a(b)=\frac{\log(b)}{\log(a)}$

    Dabei ist $\log$ der dekadische Logarithmus, der Logarithmus zur Basis $10$.

    Man sieht, dass Paul viel Geduld haben muss.