Umkehrfunktion von Potenzfunktionen 10:09 min

Hallo, in diesem Video geht es um die Bestimmung der Umkehrfunktion einer Potenzfunktion. Du wirst hier lernen, zu einer Ausgangsfunktion die Umkehrfunktion grafisch wie rechnerisch zu bestimmen. Fangen wir also gleich mal an.

Zu jeder Ausgangsfunktion existiert genau dann eine Umkehrfunktion, wenn die Ausgangsfunktion eineindeutig ist. Eineindeutig heißt, dass jedem y maximal ein x zugeordnet wird. Bei der Funktion mit der Gleichung f von x = x Quadrat ist das z. B. nicht der Fall.

Wenn du dir den Graphen der Funktion anschaust, siehst du, dass alle positiven y-Werte 2 zugehörige x-Stellen haben. Anschaulich gesagt, darf eine Parallele zur y-Achse den Graphen der Funktion höchstens einmal schneiden.

Die Gleichung einer Potenzfunktion lautet allgemein f von x = a mal x hoch r + b, wobei a und b reelle Zahlen sind und r eine ganze Zahl ist. Allerdings dürfen a und r nicht den Wert null annehmen. Je nachdem, ob r gerade oder ungerade ist, spricht man von einer Potenzfunktion mit geradem Exponenten bzw. ungeradem Exponenten.

Potenzfunktion f mit ungeradem Exponenten

Betrachten wir zuerst eine Potenzfunktion f mit ungeradem Exponenten, z.B. gegeben durch f von x = x³. Von der Funktion f möchten wir nun die Umkehrfunktion f^-1 bestimmen.

Zuerst betrachten wir den Graphen. Um die Umkehrfunktion f^-1 zu bestimmen, müssen wir als erstes die Identische Funktion einzeichnen. Die Identische Funktion hat ist die Gerade mit der Gleichung y = x. Sie bildet alle Zahlen auf sich selbst ab, dass heißt der x-Wert und y-Wert sind immer identisch. Setzten wir für x zum Beispiel die 3 ein, so erhalten wir als y-Wert ebenfalls die 3. Wenn wir die identische Funktion eingezeichnet haben, spiegeln wir den Graphen von f am Graphen der Identischen Funktion .

Schauen wir uns noch die Definitions- und Wertebereiche der Funktionen an. Die Funktion f ist auf ganz R definiert und nimmt auch alle reellen Zahlen als Funktionswerte an, damit sind der Definitions- und Wertebereich ganz R.

Wie du weißt, vertauschen sich bei der Umkehrfunktion der Definitions- und der Wertebereich der Ausgangsfunktion. Damit hat die Umkehrfunktion f hoch -1 als Definitions- und Wertebereich ebenfalls ganz R. Super! Damit haben wir bereits den Graphen der Umkehrfunktion f hoch -1 konstruiert.

Nun zur algebraischen Bestimmung der Funktionsgleichung der Umkehrfunktion f^-1. Wir müssen die Funktionsgleichung dafür nach x umstellen. Das ist in diesem Fall ziemlich einfach, wir müssen nur die 3. Wurzel ziehen und erhalten x = 3. Wurzel von y.

Wenn wir nun die Variablen vertauschen, dann erhalten wir die Umkehrfunktion y = dritte Wurzel von x oder f^-1 von x = dritte Wurzel von x. Der Definitions- und Wertebereich dieser Funktion sind ganz R. Wenn wir die Funktion in das Koordinatensystem einzeichnen, dann erhalten wir dieselbe Funktion, die wir auch grafisch bestimmt haben.

Potenzfunktion mit geradem Exponenten

Nehmen wir als zweites Beispiel eine Potenzfunktion mit geradem Exponenten. f von x = 1 durch x Quadrat + 2. In der Darstellung mit negativem Exponenten ist das f von x = x hoch -2 + 2, der Exponent ist also -2 und damit gerade.

Der Graph der Funktion sieht folgendermaßen aus. Wenn du dir einen y-Wert, der größer als 2 ist, anschaust, siehst du, dass diesem Wert zwei x-Stellen zugeordnet sind. Diese Funktion ist also nicht eineindeutig.

Zur Wiederholung: Eine Funktion ist genau dann eineindeutig, wenn jedem y-Wert nur ein x-Wert zugeordnet ist. Da unsere Funktion das nicht erfüllt, ist sie nicht eineindeutig. Also besitzt diese Funktion auch keine Umkehrfunktion.

Das macht auch aus algebraischer Sicht Sinn. Versuchen wir doch einmal eine Umkehrfunktion auf algebraischer Weise zu bestimmen. Ziehen wir von beiden Seiten der Gleichung 2 ab, multiplizieren die Gleichung auf beiden Seiten mit x Quadrat und teilen wir auf beiden Seiten durch y -2.

Jetzt müssten wir auf beiden Seiten die Wurzel ziehen. Das können wir aber nur, falls der Nenner der rechten Seite y -2 größer als 0 ist. Wir müssen also unseren Definitionsbereich einschränken.

Außerdem müssen wir beachten, dass nicht nur die positive Wurzel das Ergebnis des Wurzelziehens ist, sondern auch die negative Wurzel. Im letzten Schritt vertauschen wir die Variablen und erhalten y = plus minus Wurzel von 1 durch x -2.

Diese Gleichung beschreibt allerdings keine Funktion. Der Stelle x = 6 werden beispielsweise zwei y-Werte, nämlich ½ und - ½, zugeordnet. Unser Ergebnis ist damit keine Umkehrfunktion. Wir bezeichnen es lediglich als die Umkehrrelation.

Um trotzdem eine Umkehrfunktion für unsere Funktion zu erhalten, müssen wir eine Fallunterscheidung machen. Damit die Funktion f eine Umkehrfunktion hat, muss der Definitionsbereich so einschränkt werden, dass die Funktion eineindeutig auf dem eingeschränkten Bereich ist. Das erreichen wir, indem wir die Funktion zweiteilen und einmal auf positive und einmal auf negative x-Stellen einschränken.

Bezeichnen wir die Einschränkung auf negative x-Stellen, also den Teil der Funktion deren Graph links von der y-Achse liegt, mit f1 und die Einschränkung auf positive x-Stellen als f2.

Der Definitionsbereich von f1 ist R-, und der Definitionsbereich von f2 ist R+. Der Wertebereich ist bei beiden identisch, alle reellen Zahlen größer als 2.

Was haben wir damit erreicht? Sowohl f1 als auch f2 sind eineindeutige Funktion und besitzen damit eine Umkehrfunktion. Die Umkehrfunktion von f1 ist der negative Anteil der Umkehrrelation Sie hat also die Gleichung f1 hoch -1 von x = minus Wurzel von 1 durch x -2. Die Umkehrfunktion von f2 ist daher der positive Anteil der Umkehrrelation und hat die Gleichung f2^-1(x) = plus Wurzel von 1 durch x -2.

Wie bereits bei der Umformung erwähnt, müssen wir den Definitionsbereich bei beiden Umkehrfunktionen auf auf x größer 2 beschränken. Als Wertebereich erhalten wir für f1 hoch -1 R - und für f2 hoch -1 R+. Definitions- und Wertebereich vertauschen sich dann wie erwartet.

Meistens verzichtet man auf diese Fallunterscheidung und schränkt bereits die Ausgangsfunktion so ein, dass die Umkehrfunktion positiv ist. Das heißt, man schränkt die Ausgangsfunktion f auf die positiven reellen Zahlen, also Zahlen x größer 0 ein. f ist dann eineindeutig und besitzt die Umkehrfunktion f^-1 mit der Gleichung f hoch -1(x) = plus Wurzel von 1 durch x -2.

Zusammenfassung

Fassen wir noch einmal zusammen: Wenn du eine allgemein Potenzfunktion mit der Gleichung f von x = a mal x hoch r + b, mit reellen Zahlen a und b und mit einer ganzen Zahl r hast, musst du den Exponenten r betrachten. A und r dürfen nicht den Wert null annehmen.

Ist r ungerade, dann liegt eine eineindeutige Funktion vor und es existiert eine Umkehrfunktion. Ist r gerade, dann ist die Funktion nicht eineindeutig und du erhältst keine Umkehrfunktion, sondern nur eine Umkehrrelation. Damit du eine Umkehrfunktion erhältst, musst du die Ausgangsfunktion vorher einschränken und damit eineindeutig machen.