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Umkehrfunktion von Potenzfunktionen 10:09 min

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Transkript Umkehrfunktion von Potenzfunktionen

Hallo, in diesem Video geht es um die Bestimmung der Umkehrfunktion einer Potenzfunktion. Du wirst hier lernen, zu einer Ausgangsfunktion die Umkehrfunktion grafisch wie rechnerisch zu bestimmen. Fangen wir also gleich mal an.

Zu jeder Ausgangsfunktion existiert genau dann eine Umkehrfunktion, wenn die Ausgangsfunktion eineindeutig ist. Eineindeutig heißt, dass jedem y maximal ein x zugeordnet wird. Bei der Funktion mit der Gleichung f von x = x Quadrat ist das z. B. nicht der Fall.

Wenn du dir den Graphen der Funktion anschaust, siehst du, dass alle positiven y-Werte 2 zugehörige x-Stellen haben. Anschaulich gesagt, darf eine Parallele zur y-Achse den Graphen der Funktion höchstens einmal schneiden.

Die Gleichung einer Potenzfunktion lautet allgemein f von x = a mal x hoch r + b, wobei a und b reelle Zahlen sind und r eine ganze Zahl ist. Allerdings dürfen a und r nicht den Wert null annehmen. Je nachdem, ob r gerade oder ungerade ist, spricht man von einer Potenzfunktion mit geradem Exponenten bzw. ungeradem Exponenten.

Potenzfunktion f mit ungeradem Exponenten

Betrachten wir zuerst eine Potenzfunktion f mit ungeradem Exponenten, z.B. gegeben durch f von x = x3. Von der Funktion f möchten wir nun die Umkehrfunktion f^-1 bestimmen.

Zuerst betrachten wir den Graphen. Um die Umkehrfunktion f^-1 zu bestimmen, müssen wir als erstes die Identische Funktion einzeichnen. Die Identische Funktion hat ist die Gerade mit der Gleichung y = x. Sie bildet alle Zahlen auf sich selbst ab, dass heißt der x-Wert und y-Wert sind immer identisch. Setzten wir für x zum Beispiel die 3 ein, so erhalten wir als y-Wert ebenfalls die 3. Wenn wir die identische Funktion eingezeichnet haben, spiegeln wir den Graphen von f am Graphen der Identischen Funktion .

Schauen wir uns noch die Definitions- und Wertebereiche der Funktionen an. Die Funktion f ist auf ganz R definiert und nimmt auch alle reellen Zahlen als Funktionswerte an, damit sind der Definitions- und Wertebereich ganz R.

Wie du weißt, vertauschen sich bei der Umkehrfunktion der Definitions- und der Wertebereich der Ausgangsfunktion. Damit hat die Umkehrfunktion f hoch -1 als Definitions- und Wertebereich ebenfalls ganz R. Super! Damit haben wir bereits den Graphen der Umkehrfunktion f hoch -1 konstruiert.

Nun zur algebraischen Bestimmung der Funktionsgleichung der Umkehrfunktion f^-1. Wir müssen die Funktionsgleichung dafür nach x umstellen. Das ist in diesem Fall ziemlich einfach, wir müssen nur die 3. Wurzel ziehen und erhalten x = 3. Wurzel von y.

Wenn wir nun die Variablen vertauschen, dann erhalten wir die Umkehrfunktion y = dritte Wurzel von x oder f^-1 von x = dritte Wurzel von x. Der Definitions- und Wertebereich dieser Funktion sind ganz R. Wenn wir die Funktion in das Koordinatensystem einzeichnen, dann erhalten wir dieselbe Funktion, die wir auch grafisch bestimmt haben.

Potenzfunktion mit geradem Exponenten

Nehmen wir als zweites Beispiel eine Potenzfunktion mit geradem Exponenten. f von x = 1 durch x Quadrat + 2. In der Darstellung mit negativem Exponenten ist das f von x = x hoch -2 + 2, der Exponent ist also -2 und damit gerade.

Der Graph der Funktion sieht folgendermaßen aus. Wenn du dir einen y-Wert, der größer als 2 ist, anschaust, siehst du, dass diesem Wert zwei x-Stellen zugeordnet sind. Diese Funktion ist also nicht eineindeutig.

Zur Wiederholung: Eine Funktion ist genau dann eineindeutig, wenn jedem y-Wert nur ein x-Wert zugeordnet ist. Da unsere Funktion das nicht erfüllt, ist sie nicht eineindeutig. Also besitzt diese Funktion auch keine Umkehrfunktion.

Das macht auch aus algebraischer Sicht Sinn. Versuchen wir doch einmal eine Umkehrfunktion auf algebraischer Weise zu bestimmen. Ziehen wir von beiden Seiten der Gleichung 2 ab, multiplizieren die Gleichung auf beiden Seiten mit x Quadrat und teilen wir auf beiden Seiten durch y -2.

Jetzt müssten wir auf beiden Seiten die Wurzel ziehen. Das können wir aber nur, falls der Nenner der rechten Seite y -2 größer als 0 ist. Wir müssen also unseren Definitionsbereich einschränken.

Außerdem müssen wir beachten, dass nicht nur die positive Wurzel das Ergebnis des Wurzelziehens ist, sondern auch die negative Wurzel. Im letzten Schritt vertauschen wir die Variablen und erhalten y = plus minus Wurzel von 1 durch x -2.

Diese Gleichung beschreibt allerdings keine Funktion. Der Stelle x = 6 werden beispielsweise zwei y-Werte, nämlich ½ und - ½, zugeordnet. Unser Ergebnis ist damit keine Umkehrfunktion. Wir bezeichnen es lediglich als die Umkehrrelation.

Um trotzdem eine Umkehrfunktion für unsere Funktion zu erhalten, müssen wir eine Fallunterscheidung machen. Damit die Funktion f eine Umkehrfunktion hat, muss der Definitionsbereich so einschränkt werden, dass die Funktion eineindeutig auf dem eingeschränkten Bereich ist. Das erreichen wir, indem wir die Funktion zweiteilen und einmal auf positive und einmal auf negative x-Stellen einschränken.

Bezeichnen wir die Einschränkung auf negative x-Stellen, also den Teil der Funktion deren Graph links von der y-Achse liegt, mit f1 und die Einschränkung auf positive x-Stellen als f2.

Der Definitionsbereich von f1 ist R-, und der Definitionsbereich von f2 ist R+. Der Wertebereich ist bei beiden identisch, alle reellen Zahlen größer als 2.

Was haben wir damit erreicht? Sowohl f1 als auch f2 sind eineindeutige Funktion und besitzen damit eine Umkehrfunktion. Die Umkehrfunktion von f1 ist der negative Anteil der Umkehrrelation Sie hat also die Gleichung f1 hoch -1 von x = minus Wurzel von 1 durch x -2. Die Umkehrfunktion von f2 ist daher der positive Anteil der Umkehrrelation und hat die Gleichung f2^-1(x) = plus Wurzel von 1 durch x -2.

Wie bereits bei der Umformung erwähnt, müssen wir den Definitionsbereich bei beiden Umkehrfunktionen auf auf x größer 2 beschränken. Als Wertebereich erhalten wir für f1 hoch -1 R - und für f2 hoch -1 R+. Definitions- und Wertebereich vertauschen sich dann wie erwartet.

Meistens verzichtet man auf diese Fallunterscheidung und schränkt bereits die Ausgangsfunktion so ein, dass die Umkehrfunktion positiv ist. Das heißt, man schränkt die Ausgangsfunktion f auf die positiven reellen Zahlen, also Zahlen x größer 0 ein. f ist dann eineindeutig und besitzt die Umkehrfunktion f^-1 mit der Gleichung f hoch -1(x) = plus Wurzel von 1 durch x -2.

Zusammenfassung

Fassen wir noch einmal zusammen: Wenn du eine allgemein Potenzfunktion mit der Gleichung f von x = a mal x hoch r + b, mit reellen Zahlen a und b und mit einer ganzen Zahl r hast, musst du den Exponenten r betrachten. A und r dürfen nicht den Wert null annehmen.

Ist r ungerade, dann liegt eine eineindeutige Funktion vor und es existiert eine Umkehrfunktion. Ist r gerade, dann ist die Funktion nicht eineindeutig und du erhältst keine Umkehrfunktion, sondern nur eine Umkehrrelation. Damit du eine Umkehrfunktion erhältst, musst du die Ausgangsfunktion vorher einschränken und damit eineindeutig machen.

Umkehrfunktion von Potenzfunktionen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Umkehrfunktion von Potenzfunktionen kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib die Eigenschaften eineindeutiger Funktionen an.

    Tipps

    Anschaulich darf eine Parallele zur x-Achse den Graphen einer eineindeutigen Funktion nur maximal einmal schneiden.

    Ein Gegenbeispiel für eine eineindeutige Funktion wäre die Funktion: $f(x)=x^2$.

    Diese Funktion ist keine eineindeutige Funktion.

    Lösung

    Zu jeder Ausgangsfunktion besteht dann eine Umkehrfunktion, wenn die Ausgangsfunktion eineindeutig ist. Somit ist die Eineindeutigkeit einer Funktion Voraussetzung für eine Umkehrfunktion.

    Eineindeutigkeit heißt, dass jedem y maximal ein x zugeordnet wird. Anschaulich bedeutet dies, dass eine Parallele zur x-Achse den Graphen einer eineindeutigen Funktion nur maximal einmal schneiden darf.

    Ein Gegenbeispiel wäre die Funktion $f(x)=x^2$. Dieser Funktion werden für $y>0$ immer zwei $x$-Stellen zugeordnet. Dies entspricht nicht den Kriterien einer eineindeutigen Funktion. Für Potenzfunktionen gilt nun allgemein:

    • Alle Potenzfunktionen mit geradem Exponenten besitzen keine Umkehrfunktionen, da sie keine eineindeutigen Funktionen sind. Will man dennoch eine Umkehrfunktion angeben, muss man zunächst den Definitionsbereich einschränken.
    • Alle Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten besitzen eine Umkehrfunktion, da sie eineindeutige Funktionen sind.
  • Beschreibe, wie du die Umkehrfunktion von $f(x)=x^3$ grafisch bestimmen kannst.

    Tipps

    Die allgemeine Form einer Potenzfunktion ist: $f(x)=ax^r+b$. Der Wert $r$ entscheidet darüber, ob die Potenzfunktion gerade oder ungerade ist. Ist $r$ gerade, so ist die Funktion eine Potenzfunktion mit geraden Exponenten.

    Die identische Funktion ordnet zu jedem $x$-Wert den gleichen $y$-Wert zu. Der Graph ist die Winkelhalbierende des ersten Quadranten.

    Bei der Umkehrfunktion vertauschen sich Definitions- und Wertebereich.

    Lösung

    Wir haben die Funktion $f(x)=x^3$ gegeben. Sie ist eine Potenzfunktion mit ungeradem Exponenten, da $r=3$ aus der allgemeinen Potenzfunktion $f(x)=ax^r+b$ eine ungerade Zahl ist.

    Um die Umkehrfunktion grafisch zu bestimmen, zeichnen wir zunächst die identische Funktion in das Koordinatensystem ein. Die Funktionsgleichung der identischen Funktion lautet: $y=x$.

    Anschließend spiegeln wir den Graphen von $f$ an dem Graphen der identischen Funktion. Somit erhalten wir den Graphen der Umkehrfunktion von $f$. Wir bezeichnen die Umkehrfunktion mit $f^{-1}$.

    Abschließend schauen wir uns noch einmal den Definitions- und Wertebereich von Funktion und Umkehrfunktion an. Die Funktion $f(x)=x^3$ ist auf den reellen Zahlen definiert sein. Demzufolge ist ihr Wertebereich ebenfalls die Menge der reellen Zahlen. Bei der Umkehrfunktion vertauschen sich Definitions- und Wertebereich. Demnach sind Definitions- und Wertebereich der Umkehrfunktion von $f(x)=x^3$ ebenfalls die Menge der reellen Zahlen $\mathbb{R}$.

    Bemerkung: Wir können die Umkehrfunktion angegeben. Sie lautet

    $f^{-1}(x)=\begin{cases} \sqrt[3]{x} & ,x\geq 0 \\ -\sqrt[3]{-x} & ,x\leq 0 \end{cases}$.

    Wir müssen diese Fallunterscheidung vornehmen, da man aus negativen Zahlen keine Wurzeln ziehen darf.

  • Gib die Umkehrfunktion und ihren Definitionsbereich an.

    Tipps

    Bestimme zunächst die Umkehrrelation. Welche Werte kann die Umkehrfunktion nur annehmen?

    Überlege dir den Wertebereich der Ausgangsfunktion. Der Wertebereich der Ausgangsfunktion ist der Definitionsbereich der Umkehrfunktion.

    Lösung

    Die quadratische Funktion $f(x)=x^2-1$ ist keine eineindeutige Funktion.

    Aber da sie nur für die positiven reellen Zahlen einschließlich der Null definiert ist, weist sie in diesem Definitionsbereich eine Eineindeutigkeit vor. Wir können ihre Umkehrfunktion für den eingeschränkten Bereich bestimmen.

    Wir müssen in diesem Fall keine Fallunterscheidung machen, da die Funktion nur für die positiven reellen Zahlen und die Null definiert ist.

    Wir bestimmen also die Umkehrfunktion algebraisch:

    $\begin{align} && y&=x^2-1 &|& +1\\ &\Leftrightarrow& y+1&=x^2 &|& \sqrt{~} \\ &\Leftrightarrow& x&=\pm \sqrt{y+1} \\ &\Rightarrow& y&=\pm \sqrt{x+1} \end{align}$

    Da die Potenzfunktion nur für positive reelle Zahlen und die Null definiert ist, fällt die negative Umkehrrelation weg.

    Als Umkehrfunktion erhalten wir demnach:

    $f^{-1}(x)=\sqrt{x+1}$.

    Der Definitionsbereich der Umkehrfunktion sind die reellen Zahlen mit $x$ größer oder gleich $-1$.

    Der Wertebereich der Umkehrfunktion sind alle positiven reellen Zahlen einschließlich der Null.

  • Berechne die Umkehrrelation zur angegebenen Potenzfunktion.

    Tipps

    Bei einer Funktion, die nicht eineindeutig ist, können wir algebraisch eine Umkehrrelation bestimmen.

    Forme die Gleichung zunächst nach $x$ auf.

    Um die Umkehrrelation zu erhalten, vertauscht man zum Schluss $x$ und $y$.

    Lösung

    Zum Bilden einer Umkehrfunktion muss die Ausgangsfunktion eineindeutig sein.

    Die Funktion $f(x)=x^{-2}+2$ ist keine eineindeutige Funktion, da jedem $y$-Wert größer als zwei mehr als ein $x$-Wert zugeordnet wird.

    Um trotzdem eine Umkehrfunktion zu bilden, müssen wir zunächst eine Fallunterscheidung machen.

    Diese Fallunterscheidung muss den Definitionsbereich so einschränken, damit unsere Funktion im jeweiligen beschränkten Bereich eineindeutig ist.

    Das erreichen wir, wenn unsere Funktion zweigeteilt ist. Wir definieren unsere Funktion einmal nur für die positiven reellen Zahlen. Und zweitens definieren wir unsere Funktion für die negativen reellen Zahlen.

    Wir bezeichnen die Einschränkung auf negative $x$-Stellen, also den Bereich links der y-Achse, mit $f_1$ und die Einschränkung auf positive $x$-Stellen mit $f_2$.

    Der Definitionsbereich von $f_1$ ist $\mathbb{R}^{-} \backslash \{ 0\}$ und der Definitionsbereich von $f_2$ ist $\mathbb{R}^{+} \backslash \{ 0\}$. Der Wertebereich ist für beide Funktion alle reellen Zahlen größer als $2$: $\{y \in \mathbb{R}~|~y>2\}$.

    Wir können jetzt algebraisch eine Umkehrrelation bestimmen:

    \begin{align} && y&=\frac{1}{x^2}+2 &|&-2 \\ &\Leftrightarrow& y-2&=\frac{1}{x^2} &|&\cdot x^2 \\ &\Leftrightarrow& x^2(y-2)&=1 &|&:(y-2) \\ &\Leftrightarrow& x^2&=\frac{1}{(y-2)} &|&\sqrt{~} \\ &\Leftrightarrow& x_{1/2}&=\pm \sqrt{\frac{1}{(y-2)}} \\ \end{align}

    Die Umkehrrelation bestimmen wir durch Vertauschen von $x$ und $y$:

    $y_{1/2}=\pm \sqrt{\frac{1}{(x-2)}}$.

    Der Wert unter der Wurzel darf in den reellen Zahlen niemals kleiner als „0“ sein. Deswegen muss $x$ immer größer als zwei sein.

    Die Umkehrfunktion von $f_1$ ist der negative Anteil der Umkehrrelation. Demnach ist $f^{-1}_1(x)=-\sqrt{\frac{1}{(x-2)}}$.

    Die Umkehrfunktion von $f_2$ ist der positive Anteil der Umkehrrelation. Also $f^{-1}_2(x)=\sqrt{\frac{1}{(x-2)}}$.

    Schauen wir uns noch einmal die Definition- und Wertebereiche unserer Umkehrfunktionen an:

    • Die Definitionsbereiche von $f^{-1}_1$ und $f^{-1}_2$ sind bei beiden Funktionen alle reellen Zahlen größer als zwei: $\{x \in \mathbb{R}~|~x>2\}$.
    • Der Wertebereich von $f^{-1}_1(x)$ sind die negativen reellen Zahlen ohne die Null: $\mathbb{R}^{-} \backslash \{ 0\}$.
    • Der Wertebereich von $f^{-1}_2(x)$ sind die positiven reellen Zahlen ohne die Null: $\mathbb{R}^{+} \backslash \{ 0\}$.

  • Entscheide, welche der Funktionen eineindeutig ist.

    Tipps

    Eineindeutigkeit heißt, dass jedem y maximal ein x zugeordnet wird.

    Anschaulich bedeutet dies, dass eine Parallele zur x-Achse den Graphen einer eineindeutigen Funktion bloß einmal schneiden darf.

    Lösung

    In dieser Aufgaben sollen wir entscheiden, ob eine Funktion eineindeutig ist oder nicht. Wir haben jeweils den Graphen einer Funktion gegeben.

    Eineindeutigkeit heißt, dass jedem y maximal ein x zugeordnet wird. Anschaulich bedeutet dies, dass eine Parallele zur x-Achse den Graphen einer eineindeutigen Funktion bloß einmal schneiden darf.

    Ein Gegenbeispiel ist die Funktion $f(x)=x^2+1$.

    Alle positiven y-Werte größer 1 haben zwei zugehörige x-Stellen.

  • Gib den Definitions- und Wertebereich der Umkehrfunktionen an.

    Tipps

    Überlege dir zu erst, wie Definitions- und Wertebereich von $f_1$ und $f_2$ lauten.

    Definitions- und Wertebereich kehren sich bei Umkehrfunktionen um.

    Der Definitionsbereich von $f_1$ ist $\mathbb{R}^{-} \backslash \{ 0\}$ und der Definitionsbereich von $f_2$ ist $\mathbb{R}^{+} \backslash \{ 0\}$.

    Der Wertebereich beider Potenzfunktion sind alle reelle Zahlen größer eins: $\{ y \in \mathbb{R}~|~y>1\}$.

    Lösung

    Potenzfunktion

    Der Definitionsbereich von $f_1$ ist $\mathbb{R}^{-} \backslash \{ 0\}$ und der Definitionsbereich von $f_2$ ist $\mathbb{R}^{+} \backslash \{ 0\}$.

    Der Wertebereich beider Potenzfunktion sind alle reelle Zahlen größer eins: $\{ y \in \mathbb{R}~|~y>1\}$.

    Umkehrfunktionen

    Definitions- und Wertebereich kehren sich bei Umkehrfunktionen um. Wir müssen ebenfalls die Variablen $x$ und $y$ vertauschen.

    Alternativ können wir die Umkehrrelation der Potenzfunktion algebraisch bestimmen und daraus die Definitions- und Wertebereiche der Umkehrfunktionen ablesen.

    Die Definitionsbereiche von $f^{-1}_1$ und $f^{-1}_2$ sind bei beiden Umkehrfunktionen alle reellen Zahlen größer als eins: $\{ x \in \mathbb{R}~|~x>1\}$. Damit gilt für die Wertebereiche:

    • Der Wertebereich von $f^{-1}_1$ sind die negativen reellen Zahlen ohne die Null: $\mathbb{R}^{-} \backslash \{ 0\}$.
    • Der Wertebereich von $f^{-1}_2$ sind die positiven reellen Zahlen ohne die Null: $\mathbb{R}^{+} \backslash \{ 0\}$.