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Was ist eine Umkehrfunktion?

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Mathe-Team
Was ist eine Umkehrfunktion?
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Was ist eine Umkehrfunktion?

Was ist eine Umkehrfunktion? Weißt du es nicht oder bist dir nicht mehr ganz sicher. Wir wollen uns in diesem Video mit dieser Frage beschäftigen und eine gute mathematische Antwort finden. Ich werde dir außerdem erklären, wie du selbst eine Umkehrfunktion bestimmen kannst. Dazu betrachten wir zunächst ein einfaches Beispiel, die Funktion f(x) = 3/2 x + 1. An dieser Funktion werde ich dir zeigen, wie du graphisch und algebraisch die Umkehrfunktion findest.

Transkript Was ist eine Umkehrfunktion?

Hallo! In diesem Video geht es um die Umkehrfunktion. Was ist die Umkehrfunktion denn überhaupt und wie bestimme ich sie? Diese Fragen möchte ich im Folgenden beantworten. Zuerst eine kurze Wiederholung. Angenommen wir haben eine Funktion, zum Beispiel mit der Gleichung f(x)=3/2x+1. Wenn wir dann für x Werte aus R einsetzen, dann bilden wir x auf 3/2x+1 ab. Die Zahlen 1, 2, 2,5, 3 und 4 werden beispielsweise mit der Vorschrift f(x)=3/2x+1 auf die Werte 2,5, 4, 4,75, 5,5, und 7 abgebildet. Die Umkehrfunktion ist dann die Funktion, die diese Vorschrift wieder rückgängig macht, die Funktion also wieder umkehrt, deshalb auch der Name Umkehrfunktion. Bezogen auf unser Beispiel f(x)=3/2x+1 wäre es die Funktion, die die Werte 2,5, 4, 4,75, 5,5, und 7 wieder den ursprünglichen Werten 1, 2, 2,5, 3 und 4 zuordnet. Die Umkehrfunktion der Funktion f notiert man dann mit f-1. Schön und gut, doch wie bestimme ich nun die Umkehrfunktion? Es gibt zwei Möglichkeiten, graphisch oder algebraisch. Ich werde dir als Erstes zeigen, wie du sie graphisch bestimmen kannst. Nehmen wir dazu noch einmal das Beispiel f(x)=3/2x+1 und zeichnen den Graphen. Den Graphen der Umkehrfunktion bestimmt man nun so, dass man den Graphen der Funktion an der Identitätsfunktion spiegelt. Die Identitätsfunktion ist die Gerade mit der Gleichung y=x. Sie bildet alle Zahlen auf sich selbst ab, das heißt, der x-Wert und y-Wert sind immer identisch. Setzen wir für x zum Beispiel 5 ein. So erhalten wir als y-Wert ebenfalls 5. Das gilt für alle Zahlen in R. Wenn wir die Identitätsfunktion eingezeichnet haben, spiegeln wir den Graphen von f an ihr. Dazu zeichnen wir an einer beliebigen Stelle mit dem Geodreieck eine senkrechte Gerade zum Graphen der Identitätsfunktion. Dann spiegeln wir den Schnittpunkt der Senkrechten mit dem Graphen der Funktion f an der Identitätsfunktion. Dies können wir nun an beliebig vielen Stellen wiederholen. Da es sich aber um eine gerade und keine kurvige Funktion handelt reichen zwei Stellen aus. Verbinden wir also die gespiegelten Punkte. So erhalten wir den Graphen unserer gesuchten Umkehrfunktion f -1. Da wir ein recht einfaches Beispiel gewählt haben, lässt sich die Gleichung für die Umkehrfunktion auch direkt von der Zeichnung ablesen. Sie lautet f-1 (x)=2/3x-2/3. Im Allgemeinen ist es aber nicht so leicht möglich von der Spiegelung die Funktionsvorschrift der Umkehrfunktion zu erhalten. Eine Funktionsgleichung kann auch nur selten präzise aus einer Zeichnung bestimmt werden. Daher wird in der Regel die Gleichung der Umkehrfunktion algebraisch bestimmt. Dazu geht man wie folgt vor. Zuerst schreibt man die Funktionsgleichung der Funktion f auf, y=3/2x+1. Dann stellt man die Gleichung nach x um. Dazu führen wir zwei Äquivalenzumformungen aus. Zuerst rechnen wir auf beiden Seiten minus 1 und erhalten y-1=3/2x und multiplizieren dann beide Seiten mit 2/3. Auf der rechten Seite steht dann das x alleine und auf der linken Seite steht 2/3y-2/3. x ist also gleich 2/3y-2/3. Werden zuletzt nur noch die Variablen x und y vertauscht, erhält man dann die Gleichung y=2/3x-2/3. Das ist die Funktionsgleichung unserer gesuchten Umkehrfunktion f-1, f-1 (x)=2/3x-2/3. Ein zweites Beispiel möchte ich noch mit dir besprechen, ein etwas komplizierteres Beispiel dieses Mal. f(x)=e hoch x+1. Wir werden zuerst wieder die graphische Bestimmung versuchen, dann die algebraische. Wir zeichnen wieder den Graphen der Funktion in das Koordinatensystem und dazu auch den der Identitätsfunktion y=x. Nun seht ihr auch schon ein Problem bei der graphischen Bestimmung der Umkehrfunktion. Den Graphen der Funktion mit dem Term e hoch x+1 zu spiegeln ist nicht mehr so einfach. Am besten, ihr spiegelt mehrere einzelne Punkte an der Geraden mit der Gleichung y=x und verbindet diese Punkte dann. Damit erhalten wir in etwa den Graphen unserer Umkehrfunktion f-1. Die Funktionsvorschrift können wir allerdings dieses Mal nicht ohne weiteres ablesen. Die graphische Bestimmung der Umkehrfunktion hat also zwei große Nachteile. Im Allgemeinen ist die Spiegelung aufwändig und zum anderen erhalten wir nicht die Funktionsgleichung. Sie liefert uns allenfalls eine Vorstellung über das Aussehen der Umkehrfunktion. Deshalb ist eine algebraische Bestimmung immer schneller und präziser. Dazu schreiben wir uns wieder einfach die Gleichung der Funktion f auf, y=e hoch x+1 und stellen sie dann nach x um. Zuerst subtrahieren wir auf beiden Seiten 1 und erhalten y-1=e hoch x. Bestimmen wir den natürlichen Logarithmus der beiden Seiten, so erhalten wir log(y-1)=x. x ist also gleich dem Logarithmus von (y-1). Vertauschen wir nun die Variablen, dann erhalten wir die Gleichung y=log(x-1). Das ist die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion, also f -1 (x)=log(x-1). So einfach haben wir nun die Umkehrfunktion bestimmt. Allerdings besitzt nicht jede Funktion eine Umkehrfunktion. Eine wichtige Voraussetzung bei der Umkehrfunktion haben wir dabei bisher weggelassen. Unsere Funktion f(x) hat genau dann eine Umkehrfunktion, wenn sie eindeutig ist. Das ist der Fall, wenn jedem y-Wert der Funktion genau ein x-Wert zugewiesen ist. Ist dies nicht der Fall, besitzt die Funktion keine Umkehrfunktion. In unseren bisherigen Beispielen waren die Funktionen stets eindeutig. Betrachten wir daher doch einmal eine Funktion, die nicht eindeutig ist, zum Beispiel f(x)=x2. Zuerst versuchen wir bei dieser Funktion die Umkehrfunktion graphisch zu bestimmen. Dazu spiegeln wir den Graphen der Funktion f an dem Graphen der Identitätsfunktion, also der Geraden mit der Gleichung y=x. Betrachten wir das Schaubild etwas genauer. Wenn du genau hinsiehst wirst du feststellen, dass die Spiegelung kein Graph einer Funktion sein kann, denn einem x-Wert werden für fast alle Stellen des Definitionsbereichs der Umkehrfunktion zwei y-Werte zugeordnet. Das widerspricht aber der Definition einer Funktion. Bei der algebraischen Bestimmung der Umkehrfunktion von f mit der Gleichung f(x)=x2 sehen wir auch sofort das Problem. Die Funktionsgleichung lautet y=x2. Wenn wir diese Gleichung nach x umstellen wollen, müssen wir also als Erstes die Wurzel ziehen. Allerdings erhalten wir damit die Gleichung ± Wurzel y=x. x ist also gleich ± Wurzel y. Tauschen wir die Variablen, so erhalten wir y= ± Wurzel x. Das ist keine Funktionsgleichung, denn auch hier ist ersichtlich, dass man beim Einsetzen eines x-Wertes zwei y-Werte erhält. Das widerspricht allerdings der Definition einer Funktion. Diesem Dilemma kann man durch eine Fallunterscheidung entgehen. Teilt man die Funktion f(x)=x2 in zwei Funktionen auf, einmal f1(x)=x2 mit dem Definitionsbereich aller reellen Zahlen kleiner 0 und einmal f2(x)=x2 mit dem Definitionsbereich aller reellen Zahlen größer gleich 0. So wären beide Funktionen eindeutig und es würde jeweils eine Umkehrfunktion existieren. Im Fall von f1 wäre die Umkehrfunktion folgende: f1 -1(x)=-Wurzel x. Und im Fall von f2 folgende: f2-1(x)=Wurzel x. Werfen wir zuletzt noch einen Blick auf die Definitions- und Wertebereiche der bisherigen Beispiel, sowie der jeweiligen Umkehrfunktionen. Bei unserem ersten Beispiel f(x)=3/2x+1 hatten wir als Gleichung der Umkehrfunktion f -1 (x)=2/3x-2/3 erhalten. Sowohl die Ausgangsfunktion als auch die Umkehrfunktion haben als Definitions- und Wertebereich ganz R, die gesamten reellen Zahlen. Unsere zweite Beispielfunktion hatte die Gleichung f(x)=e hoch x+1. Der Definitionsbereich ist ganz R und der Wertebereich alle reellen Zahlen größer als 1. Die Umkehrfunktion hatte die Gleichung f -1 (x)=log(x-1). Aus der Definition der Logarithmus wissen wir, dass das Argument des Logarithmus positiv sein muss, das heißt, x-1 muss größer sein als 0. Deshalb erhalten wir als Definitionsbereich der Umkehrfunktion alle reellen Zahlen, die größer als 1 sind. Bei unserem letzten Beispiel mussten wir eine Fallunterscheidung machen. Die Funktion f1(x)=x2 hat den Definitionsbereich R- und den Wertebereich R+. Die Umkehrfunktion f1-1(x)=- Wurzel x hat dagegen den Definitionsbereich R+ und den Wertebereich R-. Die Funktion f2(x)=x2 hat den Definitions- und Wertebereich der positiven reellen Zahlen mit der 0. Die Umkehrfunktion f2 hat denselben Definitions- und Wertebereich. Wie du siehst, vertauschen sich also beim Übergang von der Funktion zur Umkehrfunktion Definitions- und Wertebereich. Damit haben wir auch schon die wichtigsten Punkte zur Umkehrfunktion besprochen. Was haben wir also über die Umkehrfunktion gelernt? Nur eindeutige Funktionen haben eine Umkehrfunktion. Notfalls müssen wir den Definitionsbereich so beschränken, dass die Funktion auf diesem Bereich eindeutig ist. Wir haben außerdem gelernt, dass wir eine Umkehrfunktion auf zwei Wegen ermitteln können, graphisch und algebraisch. Bei der algebraischen Ermittlung erhalten wir auch gleichzeitig die Funktionsvorschrift der Umkehrfunktion. Wir wir dann gesehen haben, vertauschen sich jeweils Definitions- und Wertebereich bei der Umkehrfunktion im Bezug zur ursprünglichen Funktion. Das war es nun auch schon. Vielen Dank für deine Aufmerksamkeit und bis bald.

4 Kommentare

4 Kommentare
  1. @Janmoe und Suessmann:
    Ihr habt recht. Es müsste hier ln geschrieben werden.
    Der ln bezeichnet den natürlichen Logarithmus und log den dekadischen Logarithmus.
    Man benutzt den dekadischen Logarithmus, um jegliche Potenzen der Form a^x=b umzurofmen und zu lösen.
    Der natürliche Logarithmus löst die Gleichung:
    e^x=b, wobei e die irrationale Euler´sche Zahl ist (2,718...)
    Danke für eure Kommentare.

    Von Giuliano Murgo, vor mehr als 7 Jahren
  2. Well done. Bzgl log müsste es ln heißen. Schade, dass er noch kein Statement vom Tutor gab.

    Von Suessmann, vor mehr als 7 Jahren
  3. Ich freu mich so darüber, dass ich mich heute nicht mehr durch die trockenen, monotonen Zeilen des Mathebuches kämpfen muss, dass ich mich gleich nochmals bedanken möchte !
    Also vielen dank für die Erklärung, weiter so !

    Von Janmoe, vor fast 8 Jahren
  4. Tolles Video, vielen Dank :) !
    Wäre ln statt log nicht angebrachter um den natürlichen Logarithmus zu bezeichnen ( ca Minute: 7:40 )

    Von Janmoe, vor fast 8 Jahren

Was ist eine Umkehrfunktion? Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Was ist eine Umkehrfunktion? kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme graphisch die Umkehrfunktion zu der Funktion.

    Tipps

    Die Umkehrfunktion einer Funktion kehrt die Funktion wieder um. Sie bildet also jeden Wert der Funktion wieder auf ihren Ursprungswert ab. $x$ und $y$ werden vertauscht.

    Wir können die Umkehrfunktion graphisch bestimmen, indem wir die Ursprungsfunktion an der Identitätsfunktion $y=x$ spiegeln.

    Lösung

    Wir haben die Funktion $f$

    $f(x)= \frac{3}{2} x+1$ mit $x \in \mathbb{R}$

    gegeben.

    Bei der Funktion wird jedem $x$-Wert ein bestimmter $y$-Wert zugeordnet.

    Nun sollen wir die Umkehrfunktion zu der Funktion graphisch bestimmen.

    Die Umkehrfunktion einer Funktion kehrt die Funktion wieder um. Sie bildet also jeden Wert der Funktion wieder auf ihren Ursprungswert ab.

    Wir können die Umkehrfunktion graphisch bestimmen, indem wir den Funktionsgraphen an der Identitätsfunktion $y=x$ spiegeln. Die Identitätsfunktion bildet alle Zahlen auf sich selbst ab. Das heißt, der $x$- und $y$-Wert sind immer identisch.

    Dazu zeichnen wir an einer beliebigen Stelle mit unserem Geodreieck eine Senkrechte zu dem Graphen der Identitätsfunktion. Dann spiegeln wir unseren Graphen der Funktion $f$ an der Identitätsfunktion.

    Da es sich bei unserem Graphen um eine Gerade handelt, brauchen wir bloß zwei Punkte zu spiegeln, denn eine Grade ist durch zwei Punkte definiert.

    Wir haben in unserem Beispiel eine recht einfache Funktion gewählt, daher können wir die Umkehrfunktion aus dem Koordinatensystem ablesen. Wir erhalten die Umkehrfunktion: $f^{-1}(x)=\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}$.

    Im Allgemeinen ist es aber nicht so leicht durch die Spiegelung die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion zu erhalten.

  • Bestimme die Umkehrfunktion von $f$ algebraisch.

    Tipps

    Um die Umkehrfunktion algebraisch zu bestimmen, müssen wir zunächst die Ursprungsgleichung nach $x$ umstellen.

    Nach der Umformung werden die Variablen $x$ und $y$ getauscht.

    Die Umkehrfunktion von $e^x$ ist $\ln (x)$.

    Lösung

    Wir wollen die Umkehrfunktion zu $f(x)=e^x +1$ algebraisch bestimmen.

    Dazu müssen wir zunächst die Funktionsgleichung der Funktion $f$ mit $y$ aufschreiben:

    $y=e^x +1$.

    Als nächstes stellen wir die Gleichung nach $x$ um.

    $\begin{array}{llll} y &=& e^x +1 & |-1 \\ y-1 &=& e^x & |\ln(~) \\ \ln(y-1) &=& x & \\ x &=& \ln(y-1) & \\ \end{array}$

    Dann müssen wir nur noch die Variablen $x$ und $y$ vertauschen.

    $y=\ln (x-1)$

    Unsere Umkehrfunktion lautet also $f^{-1}(x)=\ln (x-1)$.

  • Gib jeweils die Funktion und ihre Umkehrfunktion an.

    Tipps

    Du kannst die Aufgabe graphisch lösen, indem du den Graphen der Funktionen an der Identitätsfunktion $y=x$ spiegelst. So erhältst du die Umkehrfunktion.

    Die Umkehrfunktion von linearen Funktionen sind wieder lineare Funktionen, d.h., beide Funktionsgraphen sind Geraden.

    Lösung

    Die Umkehrfunktion einer Funktion kehrt die Funktion wieder um.

    Sie bildet also jeden Funktionswert der Funktion wieder auf ihren Ursprungswert ab.

    Wir können die Umkehrfunktion graphisch bestimmen, indem wir die Funktion an der Identitätsfunktion $y=x$ spiegeln. Die Identitätsfunktion bildet alle Zahlen auf sich selbst ab. Das heißt, der $x$- und $y$-Wert sind immer identisch.

    Dazu zeichnen wir an einer beliebigen Stelle mit unserem Geodreieck eine Senkrechte zu dem Graphen der Identitätsfunktion. Dann spiegeln wir unseren Graphen der Funktion $f$ an der Identitätsfunktion.

    Wir können die Aufgabe allerdings auch algebraisch lösen. Dazu müssen wir allerdings in der Lage sein, die Funktionsgleichungen der Graphen zu bestimmen. Dann können wir jeweils die Umkehrfunktion bilden und sie mit den Bildern vergleichen.

    Die Umkehrfunktion von linearen Funktionen sind wieder lineare Funktionen, d.h., beide Funktionsgraphen sind Geraden.

  • Entscheide, ob die Funktion eine Umkehrfunktion besitzt.

    Tipps

    Eindeutigkeit einer Funktion bedeutet, dass die Funktion jedem $x$-Wert genau ein $y$-Wert zuordnet. Es gibt also keine $y$-Werte, die doppelt auf einem $x$-Wert abgebildet werden.

    Hier kannst du den Funktionsgraphen der normalen Sinusfunktion erkennen. Ist die Umkehrfunktion eindeutig?

    Es gilt $x^{2^2}=x^4$. Was sagt das über die Eigenschaften von $x^2$ und $x^4$ aus?

    Lösung

    In dieser Aufgabe sollen wir entscheiden, ob die Funktion eine Umkehrfunktion hat oder nicht. Die Voraussetzung für eine Umkehrfunktion ist, dass die Funktion eindeutig ist. Eindeutigkeit einer Funktion bedeutet, dass die Funktion jedem $x$-Wert genau ein $y$-Wert zuordnet.

    Schauen wir uns einmal die Funktionen an.

    • $f(x)=x^2$: Die Umkehrfunktion ist nicht eindeutig, denn fast allen $y$-Werten sind zwei $x$-Werte zugeordnet. Wenn wir versuchen würden, die Umkehrfunktion zu bilden, bekämen wir einen Graphen, bei dem einem $x$-Wert fast überall zwei $y$-Werte zugeordnet werden, und das spricht gegen die Definition einer Funktion.
    • $f(x)=x^4$: Die Umkehrfunktion ist ebenfalls keine eindeutige Funktion. Es verhält sich ähnlich wie bei $f(x)=x^2$.
    • $f(x)=\sin(x)$: Die Umkehrfunktion ist nicht eingeschränkt keine eindeutige Funktion, weil sie periodisch ist. Dadurch werden $x$-Werten die gleichen $y$-Werte zugeordnet.
    Wenn wir trotzdem Umkehrfunktionen zu den oberen Funktionen bilden wollen, müssen wir eine Fallunterscheidung machen, in dem wir uns die Funktion in bestimmten Bereichen (Intervallen) anschauen.

    Zum Beispiel definieren wir dann $f(x)=x^2$ einmal für positive reelle Zahlen einschließlich der Null und einmal für negative reelle Zahlen. So haben wir zwei eindeutige Funktion definiert und wir können jeweils eine Umkehrfunktion bilden.

    • $f(x)=e^x$,
    • $f(x)=x+9$ und
    • $f(x)=-\frac{2}{3}x+8$
    sind eindeutige Funktionen und wir können ihre Umkehrfunktionen algebraisch oder graphisch bestimmen.
  • Gib die Funktionswerte der Umkehrfunktion an.

    Tipps

    Die Umkehrfunktion einer Funktion kehrt die Funktion wieder um. Sie bildet also jeden Wert der Funktion wieder auf ihren Ursprungswert ab.

    Die Umkehrfunktion lautet $f^{-1}(x)=\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}$. Setze die $x$-Werte ein.

    Lösung

    Die Umkehrfunktion einer Funktion kehrt die Funktion wieder um. Sie bildet also jeden Wert der Funktion wieder auf ihren Ursprungswert ab.

    $\begin{array}{lll} 1 & \leftarrow & 2,5 \\ 2 & \leftarrow & 4 \\ 2,5 & \leftarrow & 4,75 \\ 3 & \leftarrow & 5,5 \\ 4 & \leftarrow & 7 \\ \end{array}$

    Die Umkehrfunktion lautet $f^{-1}(x)=\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}$. Du kannst deine Ergebnisse prüfen, in dem du die $x$-Werte in die Umkehrfunktion einsetzt und die Funktionswerte ausrechnest.

  • Berechne die Umkehrfunktion von $f(x)=e^{2x+1}$.

    Tipps

    In diesem Falle ist es sehr schwer, die Umkehrfunktion graphisch zu bestimmen. Es bietet sich daher die algebraische Bestimmung an

    Bei $e$-Funktionen muss man mit dem natürlichen Logarithmus ($\ln$) arbeiten. Bilde auf beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, damit du das $x$ aus dem Exponenten umformen kannst.

    Lösung

    Wir haben die Funktion $f(x)=e^{2x+1}$ gegeben.

    Wir sollen hier zu die Umkehrfunktion bestimmen. In diesem Falle ist es sehr schwer, die Umkehrfunktion graphisch zu bestimmen. Es bietet sich daher die algebraische Bestimmung an:

    $\begin{array}{lll} y &=& e^{2x+1} \\ \ln(y)&=& 2x+1 \\ \ln(y)-1 &=& 2x \\ \frac{\ln(y)-1}{2} &=& x \\ \end{array}$

    Nun müssen wir nur noch die Variablen $x$ und $y$ vertauschen und schon wir haben die Umkehrfunktion bestimmt.

    $f^{-1}(x)=\frac{\ln(x)-1}{2}$

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