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Mathe-Team
Was ist eine Umkehrfunktion?
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Was ist eine Umkehrfunktion? Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Was ist eine Umkehrfunktion? kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme graphisch die Umkehrfunktion zu der Funktion.

    Tipps

    Die Umkehrfunktion einer Funktion kehrt die Funktion wieder um. Sie bildet also jeden Wert der Funktion wieder auf ihren Ursprungswert ab. $x$ und $y$ werden vertauscht.

    Wir können die Umkehrfunktion graphisch bestimmen, indem wir die Ursprungsfunktion an der Identitätsfunktion $y=x$ spiegeln.

    Lösung

    Wir haben die Funktion $f$

    $f(x)= \frac{3}{2} x+1$ mit $x \in \mathbb{R}$

    gegeben.

    Bei der Funktion wird jedem $x$-Wert ein bestimmter $y$-Wert zugeordnet.

    Nun sollen wir die Umkehrfunktion zu der Funktion graphisch bestimmen.

    Die Umkehrfunktion einer Funktion kehrt die Funktion wieder um. Sie bildet also jeden Wert der Funktion wieder auf ihren Ursprungswert ab.

    Wir können die Umkehrfunktion graphisch bestimmen, indem wir den Funktionsgraphen an der Identitätsfunktion $y=x$ spiegeln. Die Identitätsfunktion bildet alle Zahlen auf sich selbst ab. Das heißt, der $x$- und $y$-Wert sind immer identisch.

    Dazu zeichnen wir an einer beliebigen Stelle mit unserem Geodreieck eine Senkrechte zu dem Graphen der Identitätsfunktion. Dann spiegeln wir unseren Graphen der Funktion $f$ an der Identitätsfunktion.

    Da es sich bei unserem Graphen um eine Gerade handelt, brauchen wir bloß zwei Punkte zu spiegeln, denn eine Grade ist durch zwei Punkte definiert.

    Wir haben in unserem Beispiel eine recht einfache Funktion gewählt, daher können wir die Umkehrfunktion aus dem Koordinatensystem ablesen. Wir erhalten die Umkehrfunktion: $f^{-1}(x)=\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}$.

    Im Allgemeinen ist es aber nicht so leicht durch die Spiegelung die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion zu erhalten.

  • Bestimme die Umkehrfunktion von $f$ algebraisch.

    Tipps

    Um die Umkehrfunktion algebraisch zu bestimmen, müssen wir zunächst die Ursprungsgleichung nach $x$ umstellen.

    Nach der Umformung werden die Variablen $x$ und $y$ getauscht.

    Die Umkehrfunktion von $e^x$ ist $\ln (x)$.

    Lösung

    Wir wollen die Umkehrfunktion zu $f(x)=e^x +1$ algebraisch bestimmen.

    Dazu müssen wir zunächst die Funktionsgleichung der Funktion $f$ mit $y$ aufschreiben:

    $y=e^x +1$.

    Als nächstes stellen wir die Gleichung nach $x$ um.

    $\begin{array}{llll} y &=& e^x +1 & |-1 \\ y-1 &=& e^x & |\ln(~) \\ \ln(y-1) &=& x & \\ x &=& \ln(y-1) & \\ \end{array}$

    Dann müssen wir nur noch die Variablen $x$ und $y$ vertauschen.

    $y=\ln (x-1)$

    Unsere Umkehrfunktion lautet also $f^{-1}(x)=\ln (x-1)$.

  • Gib jeweils die Funktion und ihre Umkehrfunktion an.

    Tipps

    Du kannst die Aufgabe graphisch lösen, indem du den Graphen der Funktionen an der Identitätsfunktion $y=x$ spiegelst. So erhältst du die Umkehrfunktion.

    Die Umkehrfunktion von linearen Funktionen sind wieder lineare Funktionen, d.h., beide Funktionsgraphen sind Geraden.

    Lösung

    Die Umkehrfunktion einer Funktion kehrt die Funktion wieder um.

    Sie bildet also jeden Funktionswert der Funktion wieder auf ihren Ursprungswert ab.

    Wir können die Umkehrfunktion graphisch bestimmen, indem wir die Funktion an der Identitätsfunktion $y=x$ spiegeln. Die Identitätsfunktion bildet alle Zahlen auf sich selbst ab. Das heißt, der $x$- und $y$-Wert sind immer identisch.

    Dazu zeichnen wir an einer beliebigen Stelle mit unserem Geodreieck eine Senkrechte zu dem Graphen der Identitätsfunktion. Dann spiegeln wir unseren Graphen der Funktion $f$ an der Identitätsfunktion.

    Wir können die Aufgabe allerdings auch algebraisch lösen. Dazu müssen wir allerdings in der Lage sein, die Funktionsgleichungen der Graphen zu bestimmen. Dann können wir jeweils die Umkehrfunktion bilden und sie mit den Bildern vergleichen.

    Die Umkehrfunktion von linearen Funktionen sind wieder lineare Funktionen, d.h., beide Funktionsgraphen sind Geraden.

  • Entscheide, ob die Funktion eine Umkehrfunktion besitzt.

    Tipps

    Eindeutigkeit einer Funktion bedeutet, dass die Funktion jedem $x$-Wert genau ein $y$-Wert zuordnet. Es gibt also keine $y$-Werte, die doppelt auf einem $x$-Wert abgebildet werden.

    Hier kannst du den Funktionsgraphen der normalen Sinusfunktion erkennen. Ist die Umkehrfunktion eindeutig?

    Es gilt $x^{2^2}=x^4$. Was sagt das über die Eigenschaften von $x^2$ und $x^4$ aus?

    Lösung

    In dieser Aufgabe sollen wir entscheiden, ob die Funktion eine Umkehrfunktion hat oder nicht. Die Voraussetzung für eine Umkehrfunktion ist, dass die Funktion eindeutig ist. Eindeutigkeit einer Funktion bedeutet, dass die Funktion jedem $x$-Wert genau ein $y$-Wert zuordnet.

    Schauen wir uns einmal die Funktionen an.

    • $f(x)=x^2$: Die Umkehrfunktion ist nicht eindeutig, denn fast allen $y$-Werten sind zwei $x$-Werte zugeordnet. Wenn wir versuchen würden, die Umkehrfunktion zu bilden, bekämen wir einen Graphen, bei dem einem $x$-Wert fast überall zwei $y$-Werte zugeordnet werden, und das spricht gegen die Definition einer Funktion.
    • $f(x)=x^4$: Die Umkehrfunktion ist ebenfalls keine eindeutige Funktion. Es verhält sich ähnlich wie bei $f(x)=x^2$.
    • $f(x)=\sin(x)$: Die Umkehrfunktion ist nicht eingeschränkt keine eindeutige Funktion, weil sie periodisch ist. Dadurch werden $x$-Werten die gleichen $y$-Werte zugeordnet.
    Wenn wir trotzdem Umkehrfunktionen zu den oberen Funktionen bilden wollen, müssen wir eine Fallunterscheidung machen, in dem wir uns die Funktion in bestimmten Bereichen (Intervallen) anschauen.

    Zum Beispiel definieren wir dann $f(x)=x^2$ einmal für positive reelle Zahlen einschließlich der Null und einmal für negative reelle Zahlen. So haben wir zwei eindeutige Funktion definiert und wir können jeweils eine Umkehrfunktion bilden.

    • $f(x)=e^x$,
    • $f(x)=x+9$ und
    • $f(x)=-\frac{2}{3}x+8$
    sind eindeutige Funktionen und wir können ihre Umkehrfunktionen algebraisch oder graphisch bestimmen.
  • Gib die Funktionswerte der Umkehrfunktion an.

    Tipps

    Die Umkehrfunktion einer Funktion kehrt die Funktion wieder um. Sie bildet also jeden Wert der Funktion wieder auf ihren Ursprungswert ab.

    Die Umkehrfunktion lautet $f^{-1}(x)=\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}$. Setze die $x$-Werte ein.

    Lösung

    Die Umkehrfunktion einer Funktion kehrt die Funktion wieder um. Sie bildet also jeden Wert der Funktion wieder auf ihren Ursprungswert ab.

    $\begin{array}{lll} 1 & \leftarrow & 2,5 \\ 2 & \leftarrow & 4 \\ 2,5 & \leftarrow & 4,75 \\ 3 & \leftarrow & 5,5 \\ 4 & \leftarrow & 7 \\ \end{array}$

    Die Umkehrfunktion lautet $f^{-1}(x)=\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}$. Du kannst deine Ergebnisse prüfen, in dem du die $x$-Werte in die Umkehrfunktion einsetzt und die Funktionswerte ausrechnest.

  • Berechne die Umkehrfunktion von $f(x)=e^{2x+1}$.

    Tipps

    In diesem Falle ist es sehr schwer, die Umkehrfunktion graphisch zu bestimmen. Es bietet sich daher die algebraische Bestimmung an

    Bei $e$-Funktionen muss man mit dem natürlichen Logarithmus ($\ln$) arbeiten. Bilde auf beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, damit du das $x$ aus dem Exponenten umformen kannst.

    Lösung

    Wir haben die Funktion $f(x)=e^{2x+1}$ gegeben.

    Wir sollen hier zu die Umkehrfunktion bestimmen. In diesem Falle ist es sehr schwer, die Umkehrfunktion graphisch zu bestimmen. Es bietet sich daher die algebraische Bestimmung an:

    $\begin{array}{lll} y &=& e^{2x+1} \\ \ln(y)&=& 2x+1 \\ \ln(y)-1 &=& 2x \\ \frac{\ln(y)-1}{2} &=& x \\ \end{array}$

    Nun müssen wir nur noch die Variablen $x$ und $y$ vertauschen und schon wir haben die Umkehrfunktion bestimmt.

    $f^{-1}(x)=\frac{\ln(x)-1}{2}$

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