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Koordinatensystem – Aufbau

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Team Digital
Koordinatensystem – Aufbau
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Grundlagen zum Thema Koordinatensystem – Aufbau

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, Punkte im Koordinatensystem zu verordnen.

Zunächst lernst du, wie du Punkte in einem Koordinatensystem einträgst und abliest. Anschließend lernst du wie das vollständige Koordinatensystem in Quadranten unterteilt wird.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Koordinatensystem, Koordinaten, Koordinatenachse und Koordinatenursprung.

Koordinatensystem Quadranten

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, wie ein einfaches Koordinatensystem aufgebaut ist.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, zu lernen wie du Funktionsgraphen in ein Koordinatensystem eintragen kannst.

Transkript Koordinatensystem – Aufbau

Koordinatensysteme. Das klingt nach Mathe! Aber wusstest du, dass ein Schachbrett auch ein Koordinatensystem ist? Jedes Feld kann eindeutig durch ein Zahlen-Buchstaben-Paar beschrieben werden. Wir können auch einen Blick auf den Globus werfen. Hier bilden Längen- und Breitengrade ein geographisches Koordinatensystem der Erde, wodurch die Position von jeder Stadt, jedem Dorf und jedem See bestimmt werden kann! Immer dann, wenn es darum geht die Lage eines Feldes, eines Punktes oder eines Ortes eindeutig zu beschreiben, helfen uns Koordinatensysteme. Genauso ist es auch bei einem „Koordinatensystem“ im Mathematikunterricht. Dieses Koordinatensystem kennst du wahrscheinlich schon. Es setzt sich aus einer waagerechten Achse, der X-Achse, und einer senkrechten Achse, nämlich der Y-Achse zusammen. Beide Achsen beginnen bei Null und sind in Einer-Abständen durchnummeriert. Die beiden Koordinatenachsen stehen außerdem genau senkrecht aufeinander. Jetzt können wir die Koordinaten eines Punktes im Koordinatensystem ablesen. Wie zum Beispiel von diesem hier. Dafür betrachten wir immer zuerst den entsprechenden x-Wert, und dann den zugeordneten y-Wert. Ebenso können wir einen Punkt in das Koordinatensystem eintragen, wenn wir seine Koordinaten gegeben haben. Dabei immer daran denken: Zuerst die x-Koordinate, also vier, dann die y-Koordinate, in diesem Fall eins! Der Punkt „vier eins“ liegt im Koordinatensystem somit hier. Wenn wir die Koordinaten vertauschen, landen wir – wie du siehst – bei einem ganz anderen Punkt. So weit, so gut! Doch wie sieht es eigentlich aus, wenn wir negative Zahlen als Koordinaten haben? Diese müssen wir doch auch irgendwie im Koordinatensystem darstellen können. Kein Problem! Dafür verlängern wir die x-Achse nach links, und die y-Achse nach unten. Anschließend können wir die neuen Abschnitte mit den negativen Zahlen beschriften. Der Schnittpunkt der Koordinatenachsen ist der Koordinatenursprung „null, null“. Die x-Achse wird auch Abszisse, die y-Achse auch Ordinate genannt. Wie du siehst, ist die Fläche des Koordinatensystems jetzt in vier Teilflächen unterteilt. Diese Teilflächen bezeichnen wir als Quadranten. Die Quadranten werden mit römischen Ziffern durchnummeriert. Wir beginnen oben rechts mit römisch eins, und nummerieren dann gegen den Uhrzeigersinn. So ist eindeutig klar, welchen Bereich wir meinen, wenn wir zum Beispiel vom dritten Quadranten sprechen. Auch in diesem Koordinatensystem gilt beim Eintragen oder Ablesen von Punkten: Zuerst die x-Koordinate, dann die y-Koordinate. Der Punkt „minus drei, zwei“ liegt also hier. Und dieser Punkt wird durch die Koordinaten „zwei, minus eins“ beschrieben. Allgemein können wir festhalten, dass alle Punkte, die im ersten Quadranten liegen, sowohl eine positive x-Koordinate als auch eine positive y-Koordinate haben. Im zweiten Quadranten haben alle Punkte eine negative x-, aber eine positive y-Koordinate. Im dritten Quadranten sind alle Koordinaten negativ, und im vierten Quadranten sind die x-Koordinaten aller Punkte positiv und dafür die y-Koordinaten negativ. Zum Abschluss eine kleine Übung: Kannst du die Koordinaten dieser Punkte im Koordinatensystem ablesen? Pausiere das Video doch kurz und notiere dir die entsprechenden Koordinaten. Hier sind sie! Gar nicht so schwer, oder? Und noch ein paar weitere Punkte samt ihrer Koordinaten. In welchem Quadranten liegen diese Punkte jeweils? Kurz pausieren, dann siehst du die Lösung. Punkt D liegt im dritten, Punkt E im ersten und Punkt F im zweiten Quadranten. Alles klar, Zeit für eine Zusammenfassung! Bei einem Koordinatensystem stehen die x-Achse und die y-Achse senkrecht aufeinander. Durch die Erweiterung mit den negativen Zahlen erhalten wir ein Koordinatensystem, dessen Gesamtfläche wir in vier Quadranten unterteilen können. Wir bezeichnen diese mit römischen Ziffern. Die Vorgehensweise beim Eintragen und Ablesen von Punkten bleibt dabei genauso, wie du es schon vom einfachen Koordinatensystem gewohnt bist: Wir betrachten immer zuerst die x-Koordinate und dann die y-Koordinate. So können wir mit einem Koordinatensystem die Position jedes Punktes eindeutig bestimmen. Egal, ob wir einen Punkt in diesem Koordinatensystem, ein Feld auf einem Schachbrett, oder die Lage deiner Heimatstadt auf einer Karte beschreiben möchten.

18 Kommentare
18 Kommentare
  1. X vor Y

    Von Hannah, vor 16 Tagen
  2. Es ist ein sehr gutes Video danke

    Von Nina , vor 3 Monaten
  3. Warum schreibt ihr die ganze Zeit omg¿ich verstehe nur OMA 👵

    Von Jan, vor 8 Monaten
  4. Lange Suche 🔍🤔

    Von Jan, vor 8 Monaten
  5. Großes Lob bin in der 5 auf der Realschule und mein Mathe Lehrer ist mega streng also sehr gutes video 😁

    Von Amilia, vor 9 Monaten
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Koordinatensystem – Aufbau Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Koordinatensystem – Aufbau kannst du es wiederholen und üben.
  • Überprüfe die Aussagen zum Koordinatensystem.

    Tipps

    Oben rechts im Koordinatensystem ist der $\text{I}$. Quadrant. Dort sind beide Koordinaten eines Punktes stets positiv.

    Lösung

    Koordinatensysteme helfen uns, die Lage von Punkten eindeutig zu beschreiben. Wir betrachten dazu den Aufbau des Koordinatensystems in der Mathematik und überprüfen die Aussagen:

    Die $\mathbf{x}$-Achse und die $\mathbf{y}$-Achse stehen senkrecht aufeinander.

    Diese Aussage ist richtig: Die waagerechte $x$-Achse und die senkrechte $y$-Achse stehen senkrecht aufeinander und schneiden sich im Koordinatenursprung $(0 \vert 0)$. Die Fläche des Koordinatensystems wird dadurch in vier Teilflächen gegliedert.

    Die $\mathbf{x}$-Achse nennt man auch Ordinate und die $\mathbf{y}$-Achse Abszisse.

    Diese Aussage ist falsch. Denn die Begriffe werden genau andersherum verwendet: Die $x$-Achse nennt man auch Abszisse und die $y$-Achse Ordninate.

    Die Quadranten werden im Uhrzeigersinn mit römischen Ziffern nummeriert.

    Diese Aussage ist falsch. Die vier Teilflächen, die durch das Schneiden der beiden Achsen entstehen, nennt man Quadranten. Sie werden mit römischen Ziffern nummeriert. Allerdings erfolgt die Nummerierung gegen den Uhrzeigersinn.

    Die Koordinaten im $\text{III}$. Quadranten sind negativ.

    Diese Aussage ist richtig. Allgemein gilt:

    • Die Koordinaten im $\text{I}$. Quadranten sind beide positiv: $(+ \vert +)$.
    • Im $\text{II}$. Quadranten ist die $x$-Koordinate immer negativ und die $y$-Koordinate immer positiv: $(- \vert +)$.
    • Die Koordinaten im $\text{III}$. Quadranten sind beide negativ: $(- \vert -)$.
    • Im $\text{IV}$. Quadranten ist die $x$-Koordinate immer positiv und die $y$-Koordinate immer negativ: $(+ \vert -)$.
  • Gib die Koordinaten der Punkte an.

    Tipps

    Hier siehst du ein Beispiel.

    Bei einem Punkt $P(x \vert y)$ gibt die erste Zahl immer die $x$-Koordinate und die zweite Zahl immer die $y$-Koordinate an.

    Lösung

    Koordinatensysteme helfen uns, die Lage von Punkten eindeutig zu beschreiben. Dazu verwenden wir die Beschriftung an der waagerechten $x$-Achse und der senkrechten $y$-Achse:

    Ein Punkt besteht immer aus zwei Zahlen, z. B. $P(3 \vert 5)$. Die erste Zahl, die $3$, gibt den $x$-Wert des Punktes an. Die zweite Zahl, die $5$, gibt den den $y$-Wert an.

    Beim Ablesen eines Punktes betrachten wir also zuerst den zugehörigen $x$-Wert, welchen wir an der $x$-Achse ablesen können, indem wir von dem Punkt senkrecht nach unten oder oben bis zu $x$-Achse gehen. Danach betrachten wir den zugehörigen $y$-Wert. Diesen können wir an der $y$-Achse ablesen, indem wir von dem Punkt waagerecht nach rechts oder links bis zu $y$-Achse gehen.

    Somit sind das die Koordinaten der Punkte:

    • $D(-3 \vert {-}2)$
    • $E(4 \vert 4)$
    • $F(-1 \vert 1)$
  • Bestimme die Koordinaten der Punkte.

    Tipps
    • Die Koordinaten im $\text{I}$. Quadranten sind beide positiv: $(+ \vert +)$.
    • Im $\text{II}$. Quadranten gilt: Die $x$-Koordinate ist immer negativ und die $y$-Koordinate immer positiv: $(- \vert +)$.
    • Die Koordinaten im $\text{III}$. Quadranten sind beide negativ: $(- \vert -)$.
    • Im $\text{IV}$. Quadranten gilt: Die $x$-Koordinate ist immer positiv und die $y$-Koordinate immer negativ: $(+ \vert -)$.
    Lösung

    Punkte im Koordinatensystem

    Ein Punkt besteht immer aus zwei Koordinaten, z. B. $P(3 \vert 5)$:

    • Die erste Zahl in den Klammern, die $3$, gibt die $x$-Koordinate des Punktes an.
    • Die zweite Zahl in den Klammern, die $5$, gibt die $y$-Koordinate des Punktes an.

    Beim Ablesen eines Punktes betrachten wir daher zuerst die $x$-Koordinate, welche wir an der $x$-Achse ablesen können. Dazu gehen wir von dem Punkt senkrecht nach unten oder oben bis zur $x$-Achse und lesen den Wert ab. Danach betrachten wir die $y$-Koordinate des Punktes. Diesen können wir an der $y$-Achse ablesen, indem wir von dem Punkt waagerecht nach rechts oder links bis zur $y$-Achse gehen.

    In der Abbildung oben sind die Punkte korrekt eingetragen.

  • Untersuche, welche Punkte den gleichen Abstand zur $x$-Achse bzw. $y$-Achse haben.

    Tipps

    Zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem ein.
    Untersuche dann die Lage der Punkte:

    • Punkte, die auf einer Parallelen zur $x$-Achse liegen, haben denselben Abstand zur $x$-Achse.
    • Punkte, die auf einer Parallelen zur $y$-Achse liegen, haben denselben Abstand zur $y$-Achse.

    Die Punkte $P(-3 \vert 2)$ und $P(-5 \vert 2)$ haben den gleichen Abstand zur $x$-Achse.

    Ist die $x$-Koordinate mehrerer Punkte gleich, so haben sie den gleichen Abstand zur $y$-Achse.

    Lösung

    Koordinatensysteme helfen uns, die Lage von Punkten eindeutig zu definieren. Dabei können wir Punkte auch entsprechend ihres Abstandes zu den Achsen beschreiben:

    • Punkte, die auf einer Geraden liegen, welche parallel zur $x$-Achse verläuft, haben den gleichen Abstand zur $x$-Achse. Sie haben alle die gleiche $y$-Koordinate.
    • Punkte, die auf einer Geraden liegen, welche parallel zur $y$-Achse verläuft, haben den gleichen Abstand zur $y$-Achse. Sie haben alle die gleiche $x$-Koordinate.

    Wir können also allein anhand der Koordinaten der gegebenen Punkte erkennen, dass ...

    • ... die Punkte $A$, $D$, $E$ und $L$ alle den gleichen Abstand zur $x$-Achse haben. Der Abstand beträgt $4$, da die gemeinsame $y$-Koordinate der Punkte $-4$ ist.
    • ... die Punkte $C$, $F$ und $G$ alle den gleichen Abstand zur $y$-Achse haben. Der Abstand beträgt $2$, da das die gemeinsame $x$-Koordinate der Punkte ist.

    In der Abbildung können wir sehen, dass die Punkte $A$, $D$, $E$ und $L$ auf einer Parallelen zur $x$-Achse liegen. Die Punkte $C$, $F$ und $G$ liegen auf einer Parallelen zur $y$-Achse.

    Hinweis: Auch der Punkt $C'(-2 \vert {-}2)$ hat, wie die Punkte $C$, $F$ und $G$, den Abstand $2$ zur $y$-Achse, da seine $x$-Koordinate $-2$ ist. Allgemein gilt, dass alle Punkte, die dieselbe $x$-Koordinate mit positivem oder negativem Vorzeichen haben, denselben Abstand zur $y$-Achse haben. Ebenso haben alle Punkte mit einer identischen $y$-Koordinate mit positivem oder negativem Vorzeichen denselben Abstand zur $x$-Achse.

  • Vervollständige die Beschriftung des Koordinatensystems.

    Tipps

    Bei einem Punkt gilt allgemein:

    $(x \vert y)$

    Die $x$-Achse ist die waagerechte Achse.

    Lösung

    Koordinatensysteme helfen uns, die Lage von Punkten eindeutig zu beschreiben.

    Der Aufbau des Koordinatensystems

    Die waagerechte Achse ist die $x$-Achse. Sie wird auch Abszisse genannt. Die senkrechte Achse ist die $y$-Achse. Diese wird auch Ordinate genannt. Die beiden Achsen stehen senkrecht aufeinander und schneiden sich im Koordinatenursprung $(0 \vert 0)$. Beide Achsen beginnen bei der Null und sind in Einer-Abständen durchnummeriert.

    Punkte im Koordinatensystem

    Zur Angabe von Punkten verwenden wir die Beschriftung an der waagerechten $x$-Achse und der senkrechten $y$-Achse: Ein Punkt besteht immer aus zwei Zahlen, z. B. $P(2 \vert 5)$. Die erste Zahl, die $2$, gibt den $x$-Wert des Punktes an. Die zweite Zahl, die $5$, gibt den $y$-Wert an. Beim Ablesen eines Punktes betrachten wir also zuerst den zugehörigen $x$-Wert, welchen wir an der $x$-Achse ablesen können, indem wir von dem Punkt senkrecht nach unten oder oben bis zur $x$-Achse gehen. Danach betrachten wir den zugehörigen $y$-Wert. Diesen können wir an der $y$-Achse ablesen, indem wir von dem Punkt waagerecht nach rechts oder links bis zur $y$-Achse gehen.

    Somit ist der eingetragene Punkt $P(2 \vert 3)$.

  • Entscheide, in welchem Quadranten die Punkte liegen.

    Tipps

    In welchem Quadranten ein Punkt liegt, kannst du bereits an den Vorzeichen der Koordinaten erkennen.

    Du kannst auch die Punkte in ein Koordinatensystem einzeichnen und überprüfen, in welchem Quadranten sie liegen.

    Lösung

    Koordinatensysteme helfen uns, die Lage von Punkten eindeutig zu definieren.

    Die waagerechte $x$-Achse und die senkrechte $y$-Achse gliedern das Koordinatensystem in vier Teilflächen. Diese werden Quadranten genannt. Sie werden mit römischen Ziffern durchnummeriert:

    • Der $\text{I}$. Quadrant liegt oben rechts. Beide Koordinaten sind positiv: $(+ \vert +)$.
    • Der $\text{II}$. Quadrant liegt oben links. Die $x$-Koordinate ist negativ und die $y$-Koordinate positiv: $(- \vert +)$.
    • Der $\text{III}$. Quadrant liegt unten links. Beide Koordinaten sind negativ: $(- \vert -)$.
    • Der $\text{IV}$. Quadrant liegt unten rechts. Die $x$-Koordinate ist positiv und die $y$-Koordinate negativ: $(+ \vert -)$.

    Somit können wir die Punkte wie folgt zuordnen:

    $\mathbf{\text{I}}$. Quadrant:

    • $(2 \vert 5)$
    • $(1 \vert 3)$
    • $(11 \vert 5)$

    $\mathbf{\text{II}}$. Quadrant:

    • $(-2 \vert 3)$
    • $(-6 \vert 8)$
    • $(-1 \vert 1)$

    $\mathbf{\text{III}}$. Quadrant:

    • $(-2 \vert {-}3)$
    • $(-9 \vert {-}5)$

    $\mathbf{\text{IV}}$. Quadrant:

    • $(1 \vert {-}4)$
    • $(3 \vert {-}7)$
    • $(5 \vert {-}5)$
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