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Potenzfunktionen – Parabeln und ihre Eigenschaften

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Team Digital
Potenzfunktionen – Parabeln und ihre Eigenschaften
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Grundlagen zum Thema Potenzfunktionen – Parabeln und ihre Eigenschaften

Inhalt

Die Parabel in der Mathematik

Als Parabel bezeichnet man in der Mathematik eine bestimmte Form von Graphen, die von Potenzfunktionen beschrieben werden. Wir wollen uns im Folgenden näher damit beschäftigen, wie Parabeln und die dazugehörigen Funktionen aussehen.


Parabeln – Funktionsgleichung

Jede Parabel wird von einer Potenzfunktion beschrieben, die einen natürlichen Exponenten hat, der größer als eins ist. Im Allgemeinen hat die Potenz außerdem einen Vorfaktor $a$. Insgesamt sieht die allgemeine Form einer Potenzfunktion, die eine Parabel beschreibt, also folgendermaßen aus:

$f(x) = a \cdot x^{n} \newline n \in \mathbb N; ~ n>1;~ a \neq 0 $

Wir wollen uns im Folgenden auf Funktionen beschränken, in denen $a$ gleich eins ist. Dann lautet die Funktionsvorschrift:

$f(x) = x^{n}$

Der Definitionsbereich dieser Funktionen sind die reellen Zahlen, also:

$D = \mathbb R$

Die Gestalt und Eigenschaften der Parabeln, die durch diese Funktionen $n$-ter Ordnung beschrieben werden, unterscheiden sich je nachdem, ob der Exponent gerade oder ungerade ist. Das schauen wir uns im Folgenden an.


Parabeln mit geraden Exponenten

Beispiele für Formeln mit geradem Exponenten sind:

$f(x) = x^{2}$

$f(x) = x^{4}$

$f(x) = x^{6}$

Durch den geraden Exponenten ist der Funktionsterm immer positiv. Das bedeutet, dass der Wertebereich dieser Funktionen die positiven reellen Zahlen mit der Null sind, also:

$W = \mathbb R^{+}$

Das sehen wir auch, wenn wir die Parabeln zu den Beispielfunktionen einzeichnen.

Parabeln mit geradem Exponenten

Anhand der Zeichnung sehen wir auch, welche Symmetrie die Parabeln bei geradem Exponenten aufweisen. Sie sind achsensymmetrisch, lassen sich also an der $y$-Achse spiegeln. Alle diese Parabeln haben außerdem drei gemeinsame Punkte, anhand derer wir sie in verschiedene Bereiche unterteilen können. Das ist zum einen der Ursprung $(0|0)$ und das sind die Punkte $(1|1)$ und $(-1|1)$. Die Bereiche links von $(-1|1)$ und rechts von $(1|1)$ nennen wir äußeren Bereich der Parabel. In diesem Bereich ist die Parabel umso steiler, je größer der Exponent ist. Um die Null zwischen $-1$ und $1$ schmiegt sich die Parabel bei größeren Exponenten immer näher an die $x$-Achse an. Die Steigung der Parabeln ist für $x<0$ negativ und für $x>0$ positiv.


Parabeln mit ungeraden Exponenten

Beispiele für Formeln mit ungeradem Exponenten sind:

$f(x) = x^{3}$

$f(x) = x^{5}$

$f(x) = x^{7}$

Im Fall der ungeraden Exponenten liefern positive Werte der Variablen $x$ einen positiven Potenzwert und negative Werte für $x$ einen negativen Potenzwert. Der Wertebereich sind also die gesamten reellen Zahlen:

$W = \mathbb R$

Das sehen wir auch, wenn wir die Graphen zu den Funktionen einzeichnen.

Parabeln mit ungeradem Exponenten

Anhand der Zeichnung sehen wir auch, dass die Parabeln mit ungeradem Exponenten nicht achsensymmetrisch, sondern punktsymmetrisch zum Ursprung sind. Sie haben wie Parabeln mit positivem Exponenten drei Punkte gemeinsam, nämlich die Punkte $(0|0)$, $(1|1)$ und $(-1|-1)$. Beachte, dass nur zwei dieser Punkte mit denen der Parabeln mit positivem Exponenten übereinstimmen, nämlich die Punkte $(0|0)$ und $(1|1)$. Außerdem gilt auch hier, dass die Parabel in den äußeren Bereichen umso steiler ist, je größer der Exponent ist, und sich dafür im Bereich um die Null immer mehr der $x$-Achse anschmiegt. Allerdings ist die Steigung sowohl für $x<0$ als auch für $x>0$ positiv.

Potenzfunktionen und Parabeln – Zusammenfassung

Wir fassen die wichtigsten Erkenntnisse noch einmal stichpunktartig zusammen:

  • Parabeln sind die Funktionsgraphen von Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten größer als eins.
  • Der Definitionsbereich dieser Funktion sind die reellen Zahlen.
  • Bei positivem Vorfaktor (z. B. eins) ist der Wertebereich für gerade Exponenten die Menge der positiven reellen Zahlen.
  • Der Wertebereich für ungerade Exponenten ist die Menge der reellen Zahlen.
  • Die Symmetrie der Parabel hängt davon ab, ob der Exponent gerade (achsensymmetrisch) oder ungerade (punktsymmetrisch) ist.
  • Anhand des Verlaufs und der Symmetrie kannst du so wichtige Eigenschaften der Parabel ablesen.

Was ist eine Parabel? Wie lautet die Definition einer Funktion, die eine Parabel beschreibt? Welche Eigenschaften haben Parabeln? Alle diese Fragen zu Parabeln werden dir in diesem Video einfach erklärt. Das Video wird außerdem durch interaktive Übungen und ein Arbeitsblatt mit Aufgaben ergänzt.

Transkript Potenzfunktionen – Parabeln und ihre Eigenschaften

Graf Graph ist überglücklich und aufgeregt! Ein in Gruyère-Düften parfümierter Brief von seiner Angebeteten: Der adretten Carmen Bär aus Limburg. Erstmal runterkommen! Erstmal an was anderes denken! Zum Beispiel an Parabeln n-ter Ordnung. Dabei handelt es sich um die Graphen von POTENZFUNKTIONEN mit natürlichem Exponenten größer 1. Der Vorfaktor a soll dabei ungleich 0 sein. Die Zahl 'n' heißt GRAD oder ORDNUNG der Funktion. Wir betrachten in diesem Video nur Parabeln der Ordnung n, in denen der Vorfaktor a gleich 1 ist, also Funktionen der Form 'x' hoch 'n'. Parabeln unterscheiden sich sehr, je nachdem, ob der Exponent der Funktion GERADE oder UNGERADE ist. Beginnen wir mit den geraden Exponenten. Beispiele sind die Funktionsterme 'x hoch 2', 'x hoch 4' und 'x hoch 6'. Im Definitionsbereich liegen alle reellen Zahlen und als WERTEBEREICH ergeben sich alle positiven reellen Zahlen und die Null. Die Graphen sind ACHSENSYMMETRISCH zur y-Achse. Außerdem gilt: Je größer der Exponent, desto steiler verlaufen die Äste der Parabel im äußeren Bereich und im Bereich um die Null nähert sich der Graph immer mehr der x-Achse an. Diese Graphen haben drei gemeinsame Punkte: 1 | 1 ... 0 | 0 ... und ... 'minus 1' | 1. Und wie sieht es bei den UNGERADEN Exponenten aus? Beispiele sind die Funktionsterme 'x hoch 3',... 'x hoch 5'... und 'x hoch 7'. Auch hier nennt man die Graphen Parabeln n-ter Ordnung. Der Definitionsbereich besteht wieder aus allen reellen Zahlen und für diese Funktionen enthält AUCH der Wertebereich alle reellen Zahlen. Die Graphen verlaufen PUNKTSYMMETRISCH zum Koordinatenursprung. Auch hier gilt: Je größer der Exponent, desto steiler verlaufen die Äste im äußeren Bereich und desto mehr nähert sich der Graph im Bereich der Null der x-Achse an. Die gemeinsamen Punkte liegen bei ... 1 | 1 ... 0 | 0 ... und ... 'minus 1' | 'minus 1'. Graf Graph hat sich wieder beruhigt. Jetzt kann er sich endlich der Post seiner Angebeteten widmen. Ah! Die Briefmarke wollte er. Carmen Bär aus Limburg weiß offenbar, was bei ihm zieht.

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. graf graph

    Von Yiren Y., vor mehr als einem Jahr
  2. erster

    Von Yiren Y., vor mehr als einem Jahr

Potenzfunktionen – Parabeln und ihre Eigenschaften Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Potenzfunktionen – Parabeln und ihre Eigenschaften kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die Eigenschaften der Parabeln.

    Tipps

    Jede Potenzfunktion ist auf $\mathbb D = \mathbb R$ definiert.

    Bei dem Term $x^3$ ist $3$ der Exponent und $x$ die Basis.

    Eine Potenzfunktion mit geradem Exponenten nimmt keine negativen Funktionswerte an.

    Lösung

    In der Aufgabe betrachten wir Potenzfunktionen der Form:

    • $f(x) = x^n$
    mit einer natürlichen Zahl $n$ im Exponenten.

    Der Definitionsbereich dieser Funktionen ist $\mathbb D = \mathbb R$, denn du kannst jede reelle Zahl in die Variable $x$ einsetzen.

    Der Wertebereich $\mathbb W$ ist abhängig von dem Exponenten $n$. Für ein gerades $n$ ergeben sich nur nichtnegative Funktionswerte. Denn jede gerade Potenz einer Zahl ist positiv. Daher ist hier: $\mathbb W = \mathbb{R}^+_0$.

    Setzt du eine Zahl $x$ und ihre Gegenzahl $-x$ in die Funktion $f(x) =x^n$ mit geradem $n$ ein, so erhältst du jeweils den gleichen Wert. Der Funktionsgraph ist daher achsensymmetrisch zur $y$-Achse.

    Der genaue Verlauf des Graphen hängt am vom Exponenten $n$ der Funktion $f(x) = x^n$. Je größer $n$ ist, desto steiler steigt der Graph bei $x>1$ an.

    Alle Funktionen $f(x) = x^n$ mit geradem $n$ haben drei Punkte gemeinsam. Dies sind die Punkte:

    • $(0|0)$, denn $f(0) = 0^n =0$ sowie $(1|1)$ und $(-1|1)$. Denn hier ist $f(1) = 1^n = 1 = (-1)^n= f(-1)$.
  • Vervollständige die Sätze.

    Tipps

    Punktsymmetrisch zu $(0|0)$ ist eine Funktion $f$ genau dann, wenn gilt:

    $f(-x) = -f(x)$

    Jede gerade Potenz einer Zahl ist positiv.

    Der Graph der Funktion $f(x) = x^2$ ist symmetrisch zur $y$-Achse.

    Lösung

    Folgende Sätze sind korrekt:

    • „Der Wertebereich einer Parabelfunktion mit ungeradem Exponenten ... ist $\mathbb R$.“ Setzt du positive Zahlen für $x$ ein so erhältst du positive Funktionswerte, für negative $x$ ergeben sich negative Funktionswerte.
    • „Der Wertebereich einer Parabelfunktion mit ungeradem Exponenten ... ist $\mathbb R^+_0$.“ Denn jede gerade Potenz einer Zahl $\neq 0$ ist positiv. Daher nimmt jede Potenzfunktion der Form $f(x) = x^n$ mit geradem $n$ keine negativen Werte an.
    • „Jede Parabelfunktion mit ungeradem Exponenten ... ist punktsymmetrisch zu $(0|0)$.“ Denn für jede solche Funktion ist $f(-x) = (-x)^n = -x^n = -f(x)$.
    • „Jede Parabelfunktion mit geradem Exponenten ... ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse.“ Denn für diese Funktionen gilt stets: $f(-x) = (-x)^n = x^n = f(x)$.
    • „Der Punkt $(-1|-1)$ ... liegt auf jeder Parabel mit ungeradem Exponenten.“ Für jede Parabelfuntkion $f(x) = x^n$ mit ungeradem $n$ gilt nämlich: $f(-1) = (-1)^n = -1$.
  • Vergleiche die abgebildeten Funktionsgraphen.

    Tipps

    Die Graphen von Potenzfunktionen $f(x) = x^n$ mit geradem $n>1$ sind symmetrisch zur $y$-Achse.

    Je größer der Exponent einer Potenzfunktion $f(x) = x^n$ mit geradem $n>1$ ist, desto steiler ist der Verlauf für $|x|>1$ und desto flacher für $|x|<1$.

    Lösung

    Potenzfunktionen der Form $f(x) = x^n$ mit $n\in\mathbb{N}$ und $n>1$ kann man als verallgemeinerte Parabeln bezeichnen. Der Verlauf des Funktionsgraphen hängt vom Exponenten ab.

    Die Graphen von Potenzfunktionen $f(x) = x^n$ mit geradem $n$ sind symmetrisch zur $y$-Achse und nehmen keine negativen Funktionswerte an. Jede nicht negative Zahl $y \in \R^+_0$ kommt im Wertebereich $\mathbb W$ jeder solchen Funktion vor.

    Demnach haben folgende Funktionen einen geraden Exponenten $n$:

    • $f_{\text{gelb}}$
    • $f_{\text{blau}}$
    Bei ungeradem Exponenten $n$ kann $f(x) = x^n$ jede reelle Zahl als Funktionswert annehmen. Der Graph jeder solchen Funktion ist punktsymmetrisch zu $(0|0)$.

    Wir erhalten die folgenden beiden Funktionen mit ungeradem Exponenten $n$:

    • $f_{\text{rot}}$
    • $f_{\text{gr}\ddot{\text{u}}\text{n}}$
    Die Größe des Exponenten gibt Auskunft über den Verlauf des Funktionsgraphen: Je größer der Exponent, desto steiler ist der Verlauf für $|x|>1$ und desto flacher für $|x|<1$.

    Also treffen noch folgende Aussagen zu:

    • $n_{\text{blau}}<n_{\text{rot}}$
    • $n_{\text{rot}}>n_{\text{gr}\ddot{\text{u}}\text{n}}$
    • für alle $x>1$ gilt: $~f_\text{rot}(x)>f_\text{gelb}(x)$
  • Erschließe die Eigenschaften der jeweiligen Funktionsgraphen.

    Tipps

    Multipliziert du eine Potenzfunktion $f(x) = x^n$ mit einem Koeffizienten $>1$, so verläuft der Graph steiler als der von $f(x) = x^n$ und geht nicht durch $(1|1)$.

    Hier siehst du den Funktionsgraphen von $f(x) = -3x^3$.

    Lösung

    Eine Potenzfunktion der Form $f(x) = x^n$ mit $n\in\mathbb{N}$ und $n\geq 1$ hat folgende Eigenschaften:

    • Je größer $n$ ist, desto steiler ist der Verlauf für $|x|>1$.
    • Für gerade $n$ ist der Funktionsgraph achsensymmetrisch zur $y$-Achse, für ungerade $n$ punktsymmetrisch zu $(0|0)$.
    Liegt eine Potenzfunktion in der Form $f(x) = a\cdot x^n$ vor, so hat der Koeffizient $a$ folgenden Einfluss:
    • Ist $a$ negativ, so wird die Parabel an der $x$-Achse gespiegelt.
    • Ist $|a|>1$, so steigt und fällt die Parabel steiler.
    • Ist $0<|a|<1$, so steigt und fällt die Parabel flacher.
    Damit können wir die folgenden Eigenschaften festhalten:

    Beispiel 1: $~f(x)=2x^3$

    • Der Funktionsgraph zu $f$ ist eine Parabel 3. Ordnung.
    • Der Graph liegt im 1. und 3. Quadranten (da $a>0$) und verläuft durch den Koordinatenursprung.
    • Der Graph steigt im Bereich $x>0$ steiler an (da $|a|=2>1$) als der Graph zu $k(x)=x^3$.
    Beispiel 2: $g(x)=0,5x^4$

    • Der Funktionsgraph zu $g$ ist eine Parabel 4. Ordnung.
    • Der Graph liegt im 1. und 2. Quadranten (da $a>0$) und verläuft durch den Koordinatenursprung.
    • Der Graph steigt im Bereich $x>0$ steiler an (da $|a|=5>1$) als der Graph zu $l(x)=x^4$.
    Beispiel 3: $h(x)=-0,5x^2$

    • Der Funktionsgraph zu $h$ ist eine Parabel 2. Ordnung.
    • Der Graph liegt im 3. und 4. Quadranten (da $a<0$) und verläuft durch den Koordinatenursprung.
    • Der Graph steigt im Bereich $x<0$ flacher an (da $|a|=0,5<1$) als der Graph zu $m(x)=-x^2$.
  • Bestimme die Eigenschaften der Normalparabel.

    Tipps

    Setze $x=0$ in die Funktion $f(x) = x^2$ ein und berechne den Funktionswert $f(0)$.

    Bei jeder Funktion $f$ ist der Funktionswert $f(x)$ durch den Wert der Variablen $x$ eindeutig bestimmt.

    Der Graph der Funktion $f(x) = x^3$ steigt überall an, aber der Graph der Funktion $f(x) = x^2$ nicht.

    Lösung

    Folgende Aussagen sind richtig:

    • „Der Funktionsgraph der Funktion der Form $f(x) = x^2$ ist eine Parabel.“ Man nennt diese Parabel auch die Normalparabel, weil der Koeffizient von $x^2$ auf $1$ normiert ist. Der Graph der Funktion $f(x) = 3 \cdot x^2$ ist auch eine Parabel, aber keine Normalparabel.
    • „Der Punkt $(0|0)$ gehört zum Graphen der Funktion $f(x)= x^2$.“ Setzt du $x=0$ in die Funktion ein, so erhältst du den Funktionswert $f(0) = 0^2 =0$.
    • „Zu jedem Wert der Variablen $x$ gehört genau ein Funktionswert der Funktion $f(x) = x^2$.“ Dies ist bei jeder Funktion der Fall: Setzt du einen konkreten Wert in die Variable $x$ ein, so erhältst du den eindeutig bestimmten Funktionswert $f(x)$.
    Folgende Aussagen sind falsch:

    • „Jeder Funktionswert der Funktion $f(x) = x^2$ ist doppelt so groß wie der zugehörige Wert der Variablen $x$.“ Setzt du z. B. $x=3$ ein, so erhältst du $f(3) = 3^2 = 9$ und $9$ ist nicht das Doppelte von $3$.
    • „Zu jedem Funktionswert der Funktion $f(x) = x^2$ gehört genau ein Wert $x$.“ Setzt du $x=-1$ ein, so erhältst du denselben Funktionswert wie bei $x=1$, denn $f(-1) = (-1)^2 = 1= 1^2 = f(1)$. Du erhältst also zwei mögliche Werte für $x$.
    • „Je größer die Werte der Variablen $x$ sind, desto steiler steigt der Graph der Funktion $f(x)=x^2$ an.“ Dies gilt nur für Werte der Variablen $x$, die größer als $0$ sind. Für Werte $x<0$ gilt: Je größer $x$ ist, desto flacher verläuft der Graph der Funktion $f(x) = x^2$.
  • Bestimme die Punkte des Funktionsgraphen.

    Tipps

    Die Graphen von Potenzfuktionen mit auschließlich geraden Exponenten sind achsensymmetrisch zur $y$-Achse.

    Lösung

    Du kannst die Punkte der Fuktionsgraphen bestimmen, indem du die einfach zu berechnenden Werte $x= 0$ sowie $x= \pm 1,\pm 2,\pm 3$ etc. in die Funktionsterme einsetzt. Auf diese Weise erhältst du die Punkte $(x|f(x))$ auf dem Funktonsgraphen.

    Zur Kontrolle kannst du auch den Verlauf der Graphen beachten: Der Funktionsgraph einer Potenzfunktion mit ausschließlich geraden Exponenten ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse. Das gilt auch dann, wenn verschiedene Potenzen (aber alle mit geraden Exponenten) vorkommen und einige Koeffizienten negativ sind. Sind dagegen alle Exponenten ungerade, so ist der Graph in jedem Falle punktsymmetrisch zu $(0|0)$.

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