Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten – Überblick

Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten – Überblick Übung

• Beschreibe die Eigenschaften von Potenzfunktionen mit positiven Exponenten.

  Tipps

  Eine Potenz mit geradem Exponenten hat immer einen positiven Potenzwert. Ist also $n$ gerade, so ist $a^n>0$.

  Das sind die Funktionsgraphen einiger Potenzfunktionen mit geraden, positiven Exponenten.

  Lösung

  Aussage 1

  Potenzfunktionen mit positiven Exponenten heißen Parabeln. Das ist korrekt. Die Graphen von Potenzfunktionen mit positiven Exponenten nennt man Parabeln $n$-ter Ordnung.

  Aussage 2

  Es ist wahr, dass der Funktionsgraph einer Potenzfunktion mit dem Exponenten $1$ eine Gerade ist. Ersetzt man in der allgemeinen Potenzfunktion $f$ mit $f(x)=ax^n$ den Exponenten $n$ mit einer $1$, so erhält man:

  • $f(x)=ax^1=ax$.

  Diese Funktion beschreibt eine lineare Funktion mit der Steigung $a$. Der zugehörige Funktionsgraph ist eine Gerade mit der Steigung $a$.

  Aussage 3

  Je größer der Exponent einer Potenzfunktion mit positivem Exponenten ist, desto steiler verläuft ihre Parabel im Bereich $x>1$. Auch diese Eigenschaft trifft zu. Je größer die Potenz ist, desto schneller strebt die Funktion bei Werten größer als Eins gegen Unendlich. Deshalb wird die Steigung in diesem Bereich für größere Exponenten ebenfalls größer.

  Aussage 4

  Die Graphen aller Potenzfunktionen mit geraden, positiven Exponenten verlaufen durch die Punkte $(-1|-1)$ und $(1|1)$. Diese Aussage ist falsch, denn alle Graphen von Potenzfunktionen mit geraden Koeffizienten nehmen nur nichtnegative Werte an. Sie verlaufen also nicht unterhalb der $x$-Achse. Der Punkt $(-1|-1)$ liegt aber unterhalb der $x$-Achse.

  Aussage 5

  Es stimmt nicht, dass die Graphen von Potenzfunktionen mit geraden, positiven Exponenten punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung sind. Potenzfunktionen mit geraden Exponenten sind achsensymmetrisch.

  Aussage 6

  Es ist korrekt, dass die Graphen aller Potenzfunktionen mit ungeraden, positiven Exponenten durch die Punkte $(-1|-1)$ und $(1|1)$ verlaufen. Hierzu betrachten wir die allgemeine Potenzfunktion $f$ mit $f(x)=x^n$. Wir ersetzen $x$ zunächst mit $1$ und es folgt:

  • $f(1)=1^n=1$.

  Die Potenz $1^n$ hat immer den Potenzwert $1$. Sie beschreibt nämlich die $n$-fache Multiplikation des Faktors $1$ mit sich selbst. Das resultierende Produkt ist hierbei immer $1$. Nun ersetzen wir $x$ noch mit $-1$. Es folgt:

  • $f(-1)=(-1)^n$.

  Hier müssen wir nun zwischen geradem und ungeradem Exponenten $n$ unterscheiden. Der Potenzwert ist für gerade $n$ immer $1$ und für ungerade $n$ immer $-1$:

  • $f(-1)=(-1)^n=1$, wenn $n$ gerade.
  • $f(-1)=(-1)^n=-1$, wenn $n$ ungerade.

  Somit sehen wir, dass Potenzfunktionen mit ungeraden, positiven Exponenten tatsächlich durch die Punkte $(-1|-1)$ und $(1|1)$ verlaufen. Sie verlaufen zusätzlich durch den Punkt $(0|0)$.

• Gib die Eigenschaften von Potenzfunktionen mit negativen Exponenten wieder.

  Tipps

  Eine Potenz mit geradem Exponenten hat immer einen positiven Potenzwert. Ist also $n$ gerade, so ist $a^n>0$.

  Achtung: $-1$ ist größer als $-3$!

  Lösung

  Potenzfunktionen mit negativen und geraden Exponenten

  Wir betrachten im Folgenden die allgemeine Potenzfunktion $f$ mit $f(x)=ax^n$, wobei der Exponent $n$ negativ und gerade ist. Eine solche Funktion hat folgende Eigenschaften:

  • Ihre Graphen nennt man Hyperbeln.

  • Der Definitionsbereich umfasst den ganzen Bereich der reellen Zahlen, jedoch ohne die Null, denn dort hat die Funktion eine Definitionslücke. Diese entsteht, da man nicht durch Null teilen darf. Deshalb kann man Null nicht in die Funktion einsetzen.

  • Für den Wertebereich ergeben sich alle reellen Zahlen größer Null. Das liegt daran, dass eine Potenz mit geradem Exponenten immer einen positiven Potenzwert hat. Ist also $n$ gerade, dann ist $a^n>0$.

  • Die Graphen sind achsensymmetrisch zur $y$-Achse. Funktionen mit ausschließlich geraden Exponenten sind achsensymetrisch zur $y$-Achse.

  • Und es gilt: Je kleiner der Exponent, desto steiler verläuft der Graph im inneren Bereich zwischen null und eins. Das liegt daran, dass man in diesem Bereich durch Zahlen kleiner als eins teilt. Das Ergebnis dieser Rechnung wird unendlich groß. Je kleiner der Exponent, desto schneller geht die Funktion also gegen Unendlich (Wir befinden und im negativen Bereich; $-1$ ist größer als $-3$!).

  Potenzfunktionen mit negativen und ungeraden Exponenten

  Wir betrachten im Folgenden die allgemeine Potenzfunktion $f$ mit $f(x)=ax^n$, wobei der Exponent $n$ negativ und ungerade ist. Eine solche Funktion hat folgende Eigenschaften:

  • Ihre Graphen nennt man Hyperbeln.

  • Die Graphen verlaufen punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung, da Funktionen mit ausschließlich ungeraden Exponenten punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung sind.

  • Je größer der Exponent, desto weiter entfernt sich die Hyperbel im äußeren Bereich von der $x$-Achse. In diesem Bereich teilt man durch Zahlen größer als Eins. Das Ergebnis dieser Rechnung nähert sich gegen Null. Je größer der Exponent, desto langsamer geht die Funktion also gegen null (Wir befinden und im negativen Bereich; $-1$ ist größer als $-3$!).

  • Die gemeinsamen Punkte aller dieser Funktionen sind $(-1|-1)$ und $(1|1)$. Bei Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten wird bei $(-1|-1)$ die $-1$ eine ungerade Anzahl oft mit sich selbst multipliziert. Deshalb bleibt hier das Minuszeichen stehen. Bei $(1|1)$ wird die Eins mehrmals mit sich selbst multipliziert.

• Vergleiche die Steigungen der verschiedenen Potenzfunktionen.

  Tipps

  Eine größere Steigung bedeutet, dass die Funktion schneller wächst.

  Je größer der Exponent einer Potenz, desto extremer wird der Potenzwert. Ist also die Basis klein, dann wird der Potenzwert noch kleiner.

  Möchtest du eine Potenz potenzieren, so wendest du folgendes Gesetz an:

  • $\left(a^n\right)^m=a^\left(n\cdot m\right)$.

  Lösung

  In der ersten Reihe sortieren wir die Potenzfunktionen von der kleinsten bis zur größten Steigung im äußeren Bereich, also $x>1$. Bevor wir damit beginnen, vereinfachen wir zunächst die gegebenen Funktionen zu:

  • $f(x)=\left(x^{3}\right)^2=x^{3\cdot 2}=x^6$
  • $g(x)=x^{\left(2\ \cdot\ 4\right)}=x^8$
  • $h(x)=x^{\left(1^2\right)}=x^1$
  • $i(x)=x^{\left(\frac{10}{2}\right)}=x^5$

  Für den Bereich $x>1$ nimmt die Steigung des Graphen einer Potenzfunktion mit größer werdendem Exponenten zu. Somit erhalten wir hier folgende Reihenfolge:

  • $h(x)=x^1$
  • $i(x)=x^5$
  • $f(x)=x^6$
  • $g(x)=x^8$

  Denn je größer die Potenz ist, desto schneller strebt die Funktion bei Werten größer als $1$ gegen Unendlich. Deshalb vergrößert sich die Steigung in diesem Bereich mit dem Exponenten.

  In der zweiten Reihe sortieren wir die Potenzfunktionen von der kleinsten bis zur größten Steigung im inneren Bereich, also $0<x<1$. Wieder vereinfachen wir zunächst die gegebenen Funktionen zu:

  • $f(x)=x^{-\left(2^2\right)}=x^{-4}$
  • $g(x)=x^{\left(-2\right)^3}=x^{-8}$
  • $h(x)=x^{-6}$
  • $i(x)=\left(x^{-6}\right)^\frac 12=x^{-3}$

  Für den Bereich $0<x<1$ nimmt die Steigung des Graphen einer Potenzfunktion mit kleiner werdendem Exponenten zu. Somit erhalten wir hier folgende Reihenfolge:

  • $i(x)=x^{-3}$
  • $f(x)=x^{-4}$
  • $h(x)=x^{-6}$
  • $g(x)=x^{-8}$

  In diesem Bereich teilt man durch Zahlen kleiner als Eins. Je kleiner der Exponent ist, desto schneller geht die Funktion also gegen Unendlich. Da wir negative Exponenten betrachten, ist $-2$ größer als $-4$!

• Bestimme die gemeinsamen Punkte der gegebenen Funktionen.

  Tipps

  Überlege, welche Eigenschaften die Funktionspaare gemeinsam haben. So kannst du auf gemeinsame Punkte schließen.

  Die Graphen von Potenzfunktionen mit geraden Exponenten sind achsensymmetrisch.

  Die Graphen von Potenzfunktionen mit negativen Exponenten haben eine Definitionslücke.

  Lösung

  Beispiel 1

  Wir betrachten die Funktionen $f_1(x)=x^2$ und $g_1(x)=x^{-4}$. Die zugehörigen Funktionsgraphen sind eine Parabel und eine Hyperbel. Beide sind achsensymmetrisch zur $y$-Achse und haben daher die folgenden beiden Punkte gemeinsam:

  • $(1|1)$
  • $(-1|1)$

  Alle Funktionen mit geraden Exponenten haben diese beiden Punkte gemeinsam.

  Beispiel 2

  Die Funktionen $f_2(x)=x^3$ und $g_2(x)=x^{-1}$ haben die gemeinsamen Punkte:

  • $(1|1)$
  • $(-1|-1)$

  Alle Funktionen mit ungeraden Exponenten haben diese Punkte gemeinsam.

  Beispiel 3

  Die gemeinsamen Punkte der Funktionen $f_3(x)=x^3$ und $g_3(x)=x^{6}$ sind:

  • $(1|1)$
  • $(0|0)$.

  Alle Funktionen mit positiven Exponenten haben diese Punkte gemeinsam.

  Beispiel 4

  Die Funktionen $f_4(x)=x^{-3}$ und $g_4(x)=x^{-6}$ haben den gemeinsamen Punkt:

  • $(1|1)$.

  Alle Funktionen mit negativen Exponenten haben diesen Punkt gemeinsam.

• Gib verschiedene Eigenschaften von Potenzfunktionen wieder.

  Tipps

  Die Graphen von Potenzfunktionen mit positiven Exponenten heißen Parabel.

  Ist die Basis einer Potenz mit ungeradem Exponenten negativ, so ist der Potenzwert ebenfalls negativ. Zum Beispiel:

  $(-1)^3=-1$.

  Lösung

  Potenzfunktionen mit positiven und geraden Exponenten

  Die Potenzfunktion $f$ mit $f(x)=x^4$ hat folgende Eigenschaften:

  • Ihr Funktionsgraph ist eine Parabel.
  • Ihr Funktionsgraph ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse.
  • Sie enthält den Punkt $(-1|1)$.

  Potenzfunktionen mit negativen und ungeraden Exponenten

  Die Potenzfunktion $g$ mit $g(x)=x^{-1}$ hat folgende Eigenschaften:

  • Ihr Funktionsgraph ist eine Hyperbel.
  • Sie enthält den Punkt $(-1|-1)$.

  Potenzfunktionen mit Exponenten $1$

  Die Potenzfunktion $h$ mit $h(x)=-x$ hat folgende Eigenschaften:

  • Ihr Funktionsgraph heißt Gerade.
  • Sie enthält den Punkt $(1|-1)$.

• Erschließe, wie man Funktionsgraphen im Koordinatensystem verschiebt.

  Tipps

  Setzt man in $f(x)= (x-b)^n + c$ eine negative Zahl für $b$ ein, dann dreht sich das Vorzeichen in der Klammer um.

  Wie man Parabeln mit dem Exponenten $2$ verschiebt, hast du schon gelernt.

  Lösung

  Verschieben von Funktionen auf der $y$-Achse

  Die Funktion $g(x)= x^2 + 2$ wurde also um zwei nach oben verschoben.

  Die Funktion $h(x)= x^2 - 2$ wurde also um zwei nach unten verschoben.

  Ein positives Vorzeichen verschiebt die Funktion nach oben und ein negatives nach unten.

  Verschieben von Funktionen auf der $x$-Achse

  Die Funktion $i(x)= (x-3)^3$ wurde also um drei nach rechts verschoben.

  Um $i(x)= (x-3)^3$ zu erhalten, muss $+3$ eingesetzt werden. Eine positive Zahl wurde eingesetzt, also wird die Funktion nach rechts verschoben.

  Die Funktion $j(x)= (x+3)^3$ wurde um drei nach links verschoben.

  Um $j(x)= (x+3)^3$ zu erhalten, muss $-3$ eingesetzt werden. Eine negative Zahl wurde eingesetzt, also wird die Funktion nach links verschoben.

  Verschieben von Funktionen auf beiden Achsen

  Die Funktion $k(x)=(x-5)^{-2}-3$ wurde um fünf nach rechts und um drei nach unten verschoben.

  Um $k(x)=(x-5)^{-2}-3$ zu erhalten, muss $5$ für $b$ und $-3$ für $c$ eingesetzt werden. Somit wird die Funktion um fünf nach rechts und um drei nach unten verschoben.