Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten – Überblick

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Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten – Überblick Übung
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Beschreibe die Eigenschaften von Potenzfunktionen mit positiven Exponenten.
TippsEine Potenz mit geradem Exponenten hat immer einen positiven Potenzwert. Ist also $n$ gerade, so ist $a^n>0$.
Das sind die Funktionsgraphen einiger Potenzfunktionen mit geraden, positiven Exponenten.
LösungAussage 1
- Der Funktionsgraph einer Potenzfunktion mit dem Exponenten $1$ ist eine Gerade.
$f(x)=ax^1=ax$
Diese Funktion beschreibt eine lineare Funktion mit der Steigung $a$. Der zugehörige Funktionsgraph ist eine Gerade mit der Steigung $a$.
Aussage 2
- Je größer der Exponent einer Potenzfunktion mit positivem Exponenten ist, desto steiler verläuft ihre Parabel im Bereich $x>1$.
Aussage 3
- Die Graphen von Potenzfunktionen mit geraden, positiven Exponenten sind punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
Aussage 4
- Die Graphen aller Potenzfunktionen mit ungeraden, positiven Exponenten verlaufen durch die Punkte $(-1|{-}1)$ und $(1|1)$.
$f(1)=1^n=1$
Die Potenz $1^n$ hat immer den Potenzwert $1$. Sie beschreibt nämlich die $n$-fache Multiplikation des Faktors $1$ mit sich selbst. Das resultierende Produkt ist hierbei immer $1$. Nun ersetzen wir $x$ noch mit $-1$. Es folgt:
$f(-1)=(-1)^n$
Hier müssen wir zwischen geradem und ungeradem Exponenten $n$ unterscheiden. Der Potenzwert ist für gerade $n$ immer $1$ und für ungerade $n$ immer $-1$:
$f({-}1)=({-}1)^n=1$, wenn $n$ gerade
$f(-1)=(-1)^n=-1$, wenn $n$ ungeradeSomit sehen wir, dass Potenzfunktionen mit ungeraden, positiven Exponenten tatsächlich durch die Punkte $(-1|{-}1)$ und $(1|1)$ verlaufen. Sie verlaufen zusätzlich durch den Punkt $(0|0)$.
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Gib die Eigenschaften von Potenzfunktionen mit negativen Exponenten wieder.
TippsEine Potenz mit geradem Exponenten hat immer einen positiven Potenzwert. Ist also $n$ gerade, so ist $a^n>0$.
Achtung: $-1$ ist größer als $-3$!
LösungPotenzfunktionen mit negativen und geraden Exponenten
Wir betrachten im Folgenden die allgemeine Potenzfunktion $f$ mit $f(x)=ax^n$, wobei der Exponent $n$ negativ und gerade ist. Eine solche Funktion hat folgende Eigenschaften:
- Ihre Graphen nennt man Hyperbeln.
- Der Definitionsbereich umfasst den ganzen Bereich der reellen Zahlen, jedoch ohne die Null, denn dort hat die Funktion eine Definitionslücke. Diese entsteht, da man nicht durch Null teilen darf. Deshalb kann man Null nicht in die Funktion einsetzen.
- Für den Wertebereich ergeben sich alle reellen Zahlen größer null. Das liegt daran, dass eine Potenz mit geradem Exponenten immer einen positiven Potenzwert hat. Ist also $n$ gerade, dann ist $a^n>0$.
- Die Graphen sind achsensymmetrisch zur $y$-Achse. Funktionen mit ausschließlich geraden Exponenten sind achsensymetrisch zur $y$-Achse.
- Und es gilt: Je kleiner der Exponent, desto steiler verläuft der Graph im inneren Bereich zwischen null und eins. Das liegt daran, dass man in diesem Bereich durch Zahlen kleiner als eins teilt. Das Ergebnis dieser Rechnung wird unendlich groß. Je kleiner der Exponent, desto schneller geht die Funktion also gegen unendlich (wir befinden uns im negativen Bereich; $-1$ ist größer als $-3$!).
Potenzfunktionen mit negativen und ungeraden Exponenten
Wir betrachten im Folgenden die allgemeine Potenzfunktion $f$ mit $f(x)=ax^n$, wobei der Exponent $n$ negativ und ungerade ist. Eine solche Funktion hat folgende Eigenschaften:
- Ihre Graphen nennt man Hyperbeln.
- Die Graphen verlaufen punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung, da Funktionen mit ausschließlich ungeraden Exponenten punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung sind.
- Je größer der Exponent, desto weiter entfernt sich die Hyperbel im äußeren Bereich von der $x$-Achse. In diesem Bereich teilt man durch Zahlen größer als eins. Das Ergebnis dieser Rechnung nähert sich gegen null. Je größer der Exponent, desto langsamer geht die Funktion also gegen null (wir befinden uns im negativen Bereich; $-1$ ist größer als $-3$!).
- Die gemeinsamen Punkte aller dieser Funktionen sind $(-1|{-}1)$ und $(1|1)$. Bei Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten wird bei $(-1|{-}1)$ die $-1$ eine ungerade Anzahl oft mit sich selbst multipliziert. Deshalb bleibt hier das Minuszeichen stehen. Bei $(1|1)$ wird die Eins mehrmals mit sich selbst multipliziert.
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Vergleiche die Steigungen der verschiedenen Potenzfunktionen.
TippsEine größere Steigung bedeutet, dass die Funktion schneller wächst.
Je größer der Exponent einer Potenz, desto extremer wird der Potenzwert. Ist also die Basis klein, dann wird der Potenzwert noch kleiner.
Möchtest du eine Potenz potenzieren, wendest du folgendes Gesetz an:
$\left(a^n \right)^m=a^{\left(n\cdot m \right)}$
LösungIn der ersten Reihe sortieren wir die Potenzfunktionen von der kleinsten bis zur größten Steigung im äußeren Bereich, also $x > 1$.
Bevor wir damit beginnen, vereinfachen wir zunächst die gegebenen Funktionen zu:
- $f(x)=\left(x^{3}\right)^2=x^{3\cdot 2}=x^6$
- $g(x)=x^{\left(2\ \cdot\ 4\right)}=x^8$
- $h(x)=x^{\left(1^2\right)}=x^1$
- $i(x)=x^{\left(\frac{10}{2}\right)}=x^5$
- $h(x)=x^1$
- $i(x)=x^5$
- $f(x)=x^6$
- $g(x)=x^8$
In der zweiten Reihe sortieren wir die Potenzfunktionen von der kleinsten bis zur größten Steigung im inneren Bereich, also $0 < x < 1$. Wieder vereinfachen wir zunächst die gegebenen Funktionen zu:
- $f(x)=x^{-\left(2^2\right)}=x^{-4}$
- $g(x)=x^{\left(-2\right)^3}=x^{-8}$
- $h(x)=x^{-6}$
- $i(x)=\left(x^{-6}\right)^\frac 12=x^{-3}$
- $i(x)=x^{-3}$
- $f(x)=x^{-4}$
- $h(x)=x^{-6}$
- $g(x)=x^{-8}$
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Bestimme die gemeinsamen Punkte der gegebenen Funktionen.
TippsÜberlege, welche Eigenschaften die Funktionspaare gemeinsam haben. So kannst du auf gemeinsame Punkte schließen.
Die Graphen von Potenzfunktionen mit geraden Exponenten sind achsensymmetrisch.
Die Graphen von Potenzfunktionen mit negativen Exponenten haben eine Definitionslücke.
Lösung1. Beispiel
Wir betrachten die Funktionen $f_1(x)=x^2$ und $g_1(x)=x^{-4}$. Die zugehörigen Funktionsgraphen sind eine Parabel und eine Hyperbel. Beide sind achsensymmetrisch zur $y$-Achse und haben daher die folgenden beiden Punkte gemeinsam:
$(1|1)$, $(-1|1)$
Alle Funktionen mit geraden Exponenten haben diese beiden Punkte gemeinsam.
2. Beispiel
Die Funktionen $f_2(x)=x^3$ und $g_2(x)=x^{-1}$ haben folgende gemeinsamen Punkte:
$(1|1)$, $(-1|{-}1)$
Alle Funktionen mit ungeraden Exponenten haben diese Punkte gemeinsam.
3. Beispiel
Die gemeinsamen Punkte der Funktionen $f_3(x)=x^3$ und $g_3(x)=x^{6}$ sind:
$(1|1)$, $(0|0)$
Alle Funktionen mit positiven Exponenten haben diese Punkte gemeinsam.
4. Beispiel
Die Funktionen $f_4(x)=x^{-3}$ und $g_4(x)=x^{-6}$ haben den gemeinsamen Punkt:
$(1|1)$
Alle Funktionen mit negativen Exponenten haben diesen Punkt gemeinsam.
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Gib verschiedene Eigenschaften von Potenzfunktionen wieder.
TippsDie Graphen von Potenzfunktionen mit positiven Exponenten heißen Parabel.
Ist die Basis einer Potenz mit ungeradem Exponenten negativ, so ist der Potenzwert ebenfalls negativ.
Beispiel:
$(-1)^3=-1$
LösungPotenzfunktionen mit positiven und geraden Exponenten
Die Potenzfunktion $f$ mit $f(x)=x^4$ hat folgende Eigenschaften:
- Ihr Funktionsgraph ist eine Parabel.
- Ihr Funktionsgraph ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse.
- Sie enthält den Punkt $(-1|1)$.
Potenzfunktionen mit negativen und ungeraden Exponenten
Die Potenzfunktion $g$ mit $g(x)=x^{-1}$ hat folgende Eigenschaften:
- Ihr Funktionsgraph ist eine Hyperbel.
- Sie enthält den Punkt $(-1|{-}1)$.
Potenzfunktionen mit Exponenten $1$
Die Potenzfunktion $h$ mit $h(x)=-x$ hat folgende Eigenschaften:
- Ihr Funktionsgraph heißt Gerade.
- Sie enthält den Punkt $(1|{-}1)$.
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Erschließe, wie man Funktionsgraphen im Koordinatensystem verschiebt.
TippsSetzt man in $f(x)= (x-b)^n + c$ eine negative Zahl für $b$ ein, dreht sich das Vorzeichen in der Klammer um.
Wie man Parabeln mit dem Exponenten $2$ verschiebt, hast du schon gelernt.
LösungVerschieben von Funktionen auf der $y$-Achse
Die Funktion $g(x)= x^2 + 2$ wurde um zwei Einheiten nach oben verschoben.
Die Funktion $h(x)= x^2 - 2$ wurde um zwei Einheiten nach unten verschoben.
Ein positives Vorzeichen verschiebt die Funktion nach oben und ein negatives nach unten.
Verschieben von Funktionen auf der $x$-Achse
Die Funktion $i(x)= (x-3)^3$ wurde um drei Einheiten nach rechts verschoben.
Um $i(x)= (x-3)^3$ zu erhalten, muss $+3$ eingesetzt werden. Eine positive Zahl wird eingesetzt, also wird die Funktion nach rechts verschoben.
Die Funktion $j(x)= (x+3)^3$ wurde um drei Einheiten nach links verschoben.
Um $j(x)= (x+3)^3$ zu erhalten, muss $-3$ eingesetzt werden. Eine negative Zahl wird eingesetzt, also wird die Funktion nach links verschoben.
Verschieben von Funktionen auf beiden Achsen
Die Funktion $k(x)=(x-5)^{-2}-3$ wurde um fünf Einheiten nach rechts und um drei Einheiten nach unten verschoben.
Um $k(x)=(x-5)^{-2}-3$ zu erhalten, muss $5$ für $b$ und $-3$ für $c$ eingesetzt werden. Somit wird die Funktion um fünf Einheiten nach rechts und um drei Einheiten nach unten verschoben.
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