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Potenzfunktionen – Hyperbeln und ihre Eigenschaften

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Team Digital
Potenzfunktionen – Hyperbeln und ihre Eigenschaften
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Grundlagen zum Thema Potenzfunktionen – Hyperbeln und ihre Eigenschaften

Inhalt

Die Hyperbel in der Mathematik

Als Hyperbel bezeichnet man in der Mathematik eine bestimmte Form von Graphen, die von Potenzfunktionen beschrieben werden. Wir wollen uns im Folgenden näher damit beschäftigen, wie Hyperbeln und die dazugehörigen Funktionen aussehen.

Hyperbeln – Funktionsgleichung

Jede Hyperbel wird von einer Potenzfunktion beschrieben, die einen negativen Exponenten hat. Genau wie Parabeln können sie durch verschiedene Parameter verschoben, gestreckt oder gestaucht werden. Wir wollen an dieser Stelle allerdings auf solche Parameter verzichten. Das heißt, dass wir Potenzfunktionen der folgenden Form betrachten:

$f(x) = x^{-n}$

Dabei ist $n$ eine natürliche Zahl. Nach den Rechenregeln für Potenzen können wir diese Funktion auch als Bruch darstellen:

$f(x) = x^{-n} = \frac{1}{x^{n}}$

In dieser Schreibweise können wir leicht ablesen, welche Einschränkung wir für den Definitionsbereich der Potenzfunktionen mit negativem Exponenten einführen müssen. Da wir nicht durch null teilen dürfen, darf $x$ nicht null sein. Also gilt für den Definitionsbereich:

$D = \mathbb R \backslash 0$

Um mehr über die Form der Graphen, die Symmetrie und den Wertebereich zu lernen, können wir im Folgenden eine Fallunterscheidung zwischen geraden und ungeraden Werten von $n$ vornehmen.



Hyperbeln bei Potenzfunktionen mit geradem Exponenten

Beispiele für Potenzfunktionen mit geradem Exponenten sind:

$f(x) = \frac{1}{x^{2}}$

$f(x) = \frac{1}{x^{4}}$

$f(x) = \frac{1}{x^{6}}$

... und so weiter. Aufgrund des geraden Exponenten ist der Wertebereich dieser Funktionen gleich den positiven reellen Zahlen. Denn sowohl negative als auch positive Werte der Variable $x$ liefern einen positiven Funktionswert $f(x)$. Also gilt für den Wertebereich:

$W = \mathbb{R}^{+}$

Auch über die Symmetrie können wir etwas lernen. Eine Funktion ist achsensymmetrisch, wenn sie sich entlang der $y$-Achse spiegeln lässt. Dafür muss für alle $x$ gelten: $f(x) = f(-x)$. Bei geraden Exponenten ist das der Fall. Am Beispiel $f(x)=x^{2}$ können wir das leicht überprüfen:

$f(-x) = (-x)^{2} = (-1)^{2} \cdot x^{2} = 1 \cdot x^{2} = x^{2} = f(x)$

Wir haben lediglich das $(-)$ ausgeklammert und das Quadrat ausgerechnet. Die Symmetrie und die genaue Form der Graphen sehen wir auch, wenn wir ein paar Beispiele aufzeichnen.

Graph von Hyperbeln mit geradem Exponenten, Beispiele

Für sehr große positive oder negative $x$ nähert sich der Graph immer weiter der Null, also der $x$-Achse, an. Er erreicht sie aber nie, weil der Funktionsterm nicht null werden kann. Das haben wir schon gesehen, als wir den Wertebereich aufgeschrieben haben. Da der Definitionsbereich auch nicht null enthält, berühren die Graphen auch die $y$-Achse nie. Sie kommen ihr nur immer näher und werden immer steiler. Dabei ist die Steigung für alle $x<0$ positiv und für alle $x>0$ negativ.

Hyperbeln bei Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten

Beispiele für Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten sind:

$f(x) = \frac{1}{x}$

$f(x) = \frac{1}{x^{3}}$

$f(x) = \frac{1}{x^{5}}$

... und so weiter. Der Wertebereich dieser Funktionen sind die reellen Zahlen ohne die Null, also:

$W = \mathbb{R} \backslash 0$

Auch hier können wir etwas über die Symmetrie der Funktionen lernen. Aufgrund des ungeraden Exponenten wissen wir, dass $f(x) \neq f(-x)$ gilt. Die Funktionsgraphen sind also nicht achsensymmetrisch. Eine weitere Symmetrie, die Funktionsgraphen haben können, ist die Punktsymmetrie zum Ursprung. Für diese muss gelten: $f(-x) = -f(x)$

Diese Bedingung wollen wir beispielhaft für die Funktion $f(x) = \frac{1}{x^{3}}$ überprüfen.

$f(-x)=\frac{1}{(-x)^{3}} = \frac{1}{(-1)^{3} \cdot x^{3}} = - \frac{1}{x^{3}} = -f(x)$

Die Funktion $f(x) = \frac{1}{x^{3}}$ ist also punktsymmetrisch zum Ursprung. Das gilt für alle Potenzfunktionen der Form $f(x) = x^{-n} = \frac{1}{x^{n}}$ mit negativem ungeradem Exponenten. Wir betrachten hier keine Hyperbeln, die gegenüber dem Ursprung verschoben sind.

Graph von Hyperbeln mit ungeradem Exponenten, Beispiele

Auch in diesem Fall berührt der Funktionsgraph die $x$-Achse nie, er nähert sich nur immer weiter an. Für $x<0$ liegt der Graph im dritten Quadranten des Koordinatensystems und nähert sich der $x$-Achse von unten an. Für $x>0$ liegt er im ersten Quadranten und nähert sich der $x$-Achse von oben an. Auch die $y$-Achse berührt der Graph nie, da $x=0$ nicht im Definitionsbereich enthalten ist. Für Werte von $x$, die sich aus dem negativen Zahlenbereich der Null nähern, läuft die Funktion gegen $- \infty$. Für $x$-Werte, die sich der Null vom positiven Zahlenbereich her nähern, läuft sie gegen $\infty$. Die Steigung des Graphen ist überall negativ.

Hyperbeln – Zusammenfassung

Wir fassen die wichtigsten Punkte zum Thema Hyperbeln noch einmal zusammen:

  • Hyperbeln sind Funktionsgraphen von Potenzfunktionen mit negativen Exponenten.
  • Der Definitionsbereich sind die reellen Zahlen ohne die Null.
  • Ist der Exponent gerade, ist die Hyperbel achsensymmetrisch.
  • Ist der Exponent ungerade, ist die Hyperbel punktsymmetrisch.

In diesem Video wird dir einfach erklärt, was eine Hyperbel ist und welche Eigenschaften Hyperbeln besitzen. Text und Video werden durch interaktive Übungen und ein Arbeitsblatt mit Aufgaben ergänzt.

Transkript Potenzfunktionen – Hyperbeln und ihre Eigenschaften

Alter Schwede, heute habe ich richtig Bock den ganzen Tag Mathe zu lernen! Ein Satz, den wahrscheinlich kein Schüler jemals gesagt hat. Das war eindeutig eine Hyperbel, also ein rhetorisches Stilmittel der Übertreibung. Aber Hyperbeln begegnen dir nicht nur im Deutschunterricht. Was man in der Mathematik unter „Hyperbeln“ versteht und was für Eigenschaften sie besitzen, schauen wir uns jetzt mal genauer an. Die allgemeine Funktionsgleichung einer Hyperbel lautet „f von x gleich x hoch minus n“. Hyperbeln sind also die Graphen von Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten.
So sind zum Beispiel die Graphen der Funktionen „x hoch minus 1“, „x hoch minus 2“, „x hoch minus 3“, und so weiter, Hyperbeln. Bevor wir uns den Graphen dieser Funktionen widmen, schauen wir uns zunächst nochmal die Funktionsgleichungen genauer an. Was bedeutet es nochmal, wenn eine negative Zahl im Exponenten steht? Genau! Wir haben es mit Brüchen zu tun! Um die Potenzen jeweils in einen Bruch umzuschreiben, müssen wir sie nur ohne Minus im Exponenten in den Nenner schreiben. Diese Schreibweise kann uns helfen, den Funktionstyp und seine Eigenschaften besser zu verstehen. Wir unterscheiden zwischen Funktionsgleichungen mit geraden und solchen mit ungeraden Exponenten. Schauen wir uns zunächst die Funktionsgraphen der Funktionen mit geraden Exponenten an. Die Funktionsgraphen der Funktionen „x hoch minus zwei“, „x hoch minus vier“, und „x hoch minus sechs“ setzen sich jeweils aus zwei sogenannten Hyperbel-Ästen zusammen. Bei geraden Exponenten verlaufen diese oberhalb der x-Achse. Der Wertebereich dieser Funktionen umfasst also alle positiven reellen Zahlen. Auch der Definitionsbereich umfasst die positiven, und zusätzlich auch die negativen reellen Zahlen. Die Null müssen wir für den Definitionsbereich allerdings ausschließen. Denn wenn wir in der Funktionsgleichung für x Null einsetzen, müssten wir durch null teilen. Das ist aber mathematisch nicht definiert. Wir haben somit bei Null eine sogenannte Definitionslücken. Wir erkennen außerdem, dass alle Hyperbeln dieses Typs durch die Punkte „eins eins“ und „minus eins eins“ verlaufen. Die Graphen sind außerdem achsensymmetrisch. Die beiden Hyperbel-Äste spiegeln sich an der y-Achse. Im Bereich der negativen x-Werte sind die Graphen monoton steigend und für positive x-Werte monoton fallend. Eine wichtige Beobachtung ist außerdem, dass die Funktionswerte für x-Werte, die sich immer mehr der Null annähern, beliebig groß werden und sich die Hyperbel-Äste so in diesem Bereich an die y-Achse anschmiegen.
Werden die x-Werte hingegen immer größer beziehungsweise kleiner, schmiegen sich die Graphen an die x-Achse. Wir sprechen in diesem Fall von der y-Achse als senkrechter Asymptote und der x-Achse als waagerechter Asymptote der Hyperbeln. Die Graphen nähern sich diesen Asymptoten immer weiter an, aber erreichen sie nie. So weit so gut. Auch die Graphen der Funktionsgleichungen mit ungeraden Exponenten, also zum Beispiel x hoch minus eins, x hoch minus drei, oder x hoch minus fünf, setzen sich jeweils aus zwei Hyperbel-Ästen zusammen. Ihr Definitionsbereich umfasst ebenfalls alle reellen Zahlen außer der Null. In anderen Worten: Auch diese Funktionen haben bei „x gleich null“ eine Definitionslücke. Der Wertebereich umfasst aber im Gegensatz zu den Funktionen mit geraden Exponenten zusätzlich die negativen reellen Zahlen. Denn wenn wir eine negative Zahl einsetzen, wird – anders als bei Potenzfunktionen mit geraden Exponenten, deren Funktionswerte durch das Potenzieren immer positiv werden – auch unser Funktionswert negativ sein. Da „eins durch x“ allerdings nie null werden kann, ist die null auch für den Wertebereich ausgeschlossen. Die Hyperbeln verlaufen außerdem durch die Punkte „eins, eins“ sowie „minus eins, minus eins“ und sind punktsymmetrisch zum Ursprung. Wir erkennen auch, dass diese Graphen für den gesamten Definitionsbereich monoton fallend sind. Und auch bei diesen Hyperbeln schmiegen sich die Äste für x-Werte, die sich der Null nähern, an die y-Achse, und für immer kleiner beziehungsweise größer werdende x-Werte an die x-Achse. Somit haben wir auch bei diesem Typ von Hyperbeln die y-Achse als senkrechte Asymptote und die x-Achse als waagerechte Asymptote. Jetzt haben wir die wichtigsten Eigenschaften von Hyperbeln zusammengefasst. Hier siehst du die Hyperbeln nochmal auf einen Blick. Sind sie nicht wunderschön? Ihre Form und das elegante Anschmiegen an die Koordinaten-Achsen, findest du nicht auch, dass. Okay, versteh schon! Genug Hyperbeln für heute!

Potenzfunktionen – Hyperbeln und ihre Eigenschaften Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Potenzfunktionen – Hyperbeln und ihre Eigenschaften kannst du es wiederholen und üben.
  • Fasse Eigenschaften der Hyperbeln mit geradem Exponenten zusammen.

    Tipps

    Der Definitionsbereich gibt an, welche $x$-Werte in die Funktionsgleichung eingesetzt werden dürfen.

    Eine Asymptote ist eine Gerade, an die sich der Funktionsgraph anschmiegt, sie aber nie berührt oder schneidet.

    Lösung

    Hyperbeln sind die Graphen von Potenzfunktionen mit negativen, ganzzahligen Exponenten. Je nachdem, ob der Exponent gerade oder ungerade ist, unterscheiden sich diese Graphen.

    Wir betrachten den Fall, dass der Exponent gerade ist. Als Beispiel können wir folgende Funktionsgleichung betrachten:
    $f(x)=x^{-2}$
    Ihren Funktionsgraphen siehst du in der Abbildung.

    Der Funktionsgraph besteht aus zwei Hyperbelästen. Dies können wir an dem abgebildeten Graphen erkennen. Die beiden Hyperbeläste verlaufen achsensymmetrisch zur $y$-Achse. Außerdem verlaufen sie durch die Punkte $(1 \vert 1)$ und $(-1 \vert 1)$, jedoch nicht durch den Punkt $(-1 \vert -1)$.

    Im Bereich der negativen $x$-Werte ist der Graph monoton steigend und für positive $x$-Werte monoton fallend.

    Der Definitionsbereich gibt an, welche $x$-Werte wir in die Funktionsgleichung einsetzen dürfen. In unserem Fall dürfen wir alle Zahlen einsetzen, außer der $0$. Wir können dies begründen, indem wir die Funktionsgleichung als Bruch schreiben: $f(x)=x^{-n}=\frac{1}{x^n}$. Wenn wir für $x=0$ einsetzen würden, müssten wir durch $0$ dividieren. Dies ist jedoch in der Mathematik nicht erlaubt. Der Definitionsbereich umfasst daher alle reellen Zahlen, außer der $0$. Wir schreiben: $\mathbb{D}=\mathbb{R} \setminus \lbrace0\rbrace$. Den Wert $x = 0$, welchen wir nicht einsetzen dürfen, nennen wir Definitionslücke.

    Der Wertebereich gibt an, welche Funktionswerte die Funktion annehmen kann. Wir sehen, dass der Graph vollständig oberhalb der $x$-Achse verläuft. Das bedeutet es werden nur positive Funktionswerte angenommen. Wir schreiben: $\mathbb{W}=\mathbb{R}^+$

    Asymptoten sind Geraden, an welche sich der Graph anschmiegt, sie dabei jedoch nie berührt oder schneidet. Die Hyperbel als Graph von Potenzfunktionen mit negativem, geradem Exponenten hat zwei Asymptoten: Die $y$-Achse ist senkrechte Asymptote, die $x$-Achse ist waagerechte Asymptote einer Hyperbel.

  • Beschreibe Potenzfunktionen mit ungeradem, negativem Exponenten.

    Tipps

    Eine Funktionsgleichung zu einer solchen Hyperbel lautet zum Beispiel $f(x)=x^{-3}$.

    Definitionslücken sind Werte, die nicht für $x$ in die Funktionsgleichung eingesetzt werden dürfen.

    Lösung

    Hyperbeln sind die Graphen von Potenzfunktionen mit negativen, ganzzahligen Exponenten. Je nachdem, ob der Exponent gerade oder ungerade ist, unterscheiden sich diese Graphen.

    Wir betrachten den Fall, dass der Exponent ungerade ist. Als Beispiel betrachten wir die folgende Funktionsgleichung:
    $f(x)=x^{-1}$
    Ihren Funktionsgraphen siehst du in der Abbildung.

    Der Funktionsgraph besteht aus zwei Hyperbelästen, die wir an dem abgebildeten Graphen erkennen können. Die beiden Hyperbeläste verlaufen punktsymmetrisch zum Ursprung und durch die Punkte $(1 \vert 1)$ und $(-1 \vert -1)$.

    Der Definitionsbereich gibt an, welche $x$-Werte wir in die Funktionsgleichung einsetzen dürfen. In unserem Fall dürfen wir alle Zahlen einsetzen, außer der $0$. Wir können dies begründen, indem wir die Funktionsgleichung als Bruch schreiben: $f(x)=x^{-n}=\frac{1}{x^n}$. Wenn wir für $x=0$ einsetzen würden, müssten wir durch $0$ dividieren, dies ist jedoch in der Mathematik nicht erlaubt. Das heißt, der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, außer der $0$. Wir schreiben: $\mathbb{D}=\mathbb{R} \setminus \lbrace0\rbrace$. Den Wert, welchen wir nicht einsetzen dürfen, nennen wir Definitionslücke.

    Der Wertebereich gibt an, welche Funktionswerte die Funktion annehmen kann. Wir sehen im Graphen, dass dieser oberhalb und unterhalb der $x$-Achse verläuft. Die $x$-Achse berührt der Graph allerdings nie. Daher kann die Funktion alle reellen Zahlen außer $0$ als Funktionswerte annehmen. Wir schreiben: $\mathbb{W}=\mathbb{R} \setminus \lbrace0\rbrace$

  • Ordne jedem Graphen die passende Funktionsgleichung zu.

    Tipps
    Lösung

    Je nachdem, ob der Exponent einer Potenzfunktion mit negativem Exponenten gerade oder ungerade ist, unterscheiden sich die zugehörigen Hyperbeln:

    • Ist der Exponent gerade, so verlaufen die Hyperbeläste oberhalb der $x$-Achse, sie sind achsensymmetrisch zur $y$-Achse.
    • Ist der Exponent ungerade, so verlaufen die Hyperbeläste oberhalb und unterhalb der $x$-Achse, sie sind punktsymmetrisch zum Ursprung.
    Wir können daher die gegebenen Funktionsgleichungen aufteilen:

    • $g(x)$ und $h(x)$ gehören zu dem roten und blauen Graphen.
    • $f(x)$ und $j(x)$ gehören zu dem grünen und gelben Graphen.
    Um die beiden Funktionen jeweils zu unterscheiden gilt folgender Zusammenhang: Je kleiner der Exponent ist, umso stärker schmiegt sich der Graph an die Asymptoten an.

    Der Funktionsgraph von $h(x)=x^{-3}$ schmiegt sich stärker an die $x$- und $y$-Achse an als der Graph von $g(x)=x^{-1}$, da $-3 \lt -1$. Daher gilt:

    • $g(x)$: roter Graph
    • $h(x)$: blauer Graph
    Der Funktionsgraph von $j(x)=x^{-6}$ schmiegt sich stärker an die $x$- und $y$-Achse an als der Graph von $f(x)=x^{-2}$, da $-6 \lt -2$. Daher gilt:

    • $j(x)$: gelber Graph
    • $f(x)$: grüner Graph
  • Beschreibe den Graphen, der zu der angegebenen Funktion gehört.

    Tipps

    Du solltest zuerst kategorisieren, ob die Hyperbeläste achsensymmetrisch zu $y$-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung verlaufen. Dies kannst du am Exponenten erkennen.

    Der Graph hat eine senkrechte und eine waagerechte Asymptote.

    Lösung

    Hyperbeln sind die Graphen von Potenzfunktionen mit negativen, ganzzahligen Exponenten. Je nachdem, ob der Exponent gerade oder ungerade ist, unterscheiden sich diese Graphen.

    Wir betrachten den Fall, dass der Exponent $-8$, also gerade, ist:
    $f(x)=x^{-8}$
    Ihren Funktionsgraphen siehst du in der Abbildung. Wir können den Graphen folgendermaßen beschreiben:

    Der Funktionsgraph besteht aus zwei Hyperbelästen, die wir in der Abbildung erkennen können. Die beiden Hyperbeläste verlaufen achsensymmetrisch zur $y$-Achse und durch die Punkte $(1 \vert 1)$ und $(-1 \vert 1)$.

    Die Funktion nimmt nur positive Funktionswerte an, der Graph verläuft also oberhalb der $x$-Achse. Wir können auch sagen: Die Hyperbeläste liegen im $\text{I}.$ und $\text{II}.$ Quadranten. Dies wird durch den Wertebereich beschrieben, wir schreiben: $\mathbb{W}=\mathbb{R}^+$

    Der Definitionsbereich gibt an, welche $x$-Werte wir in die Funktionsgleichung einsetzen dürfen: Nämlich alle Zahlen, außer der $0$. Wir können dies begründen, indem wir die Funktionsgleichung als Bruch schreiben: $f(x)=x^{-8}=\frac{1}{x^8}$. Wenn wir für $x=0$ einsetzen würden, müssten wir durch $0$ dividieren, dies ist jedoch in der Mathematik nicht erlaubt.
    Wir schreiben: $\mathbb{D}=\mathbb{R} \setminus \lbrace0\rbrace$
    Den Wert $x = 0$, den wir nicht einsetzen dürfen, nennen wir Definitionslücke.

    Asymptoten sind Geraden, an welche sich der Graph anschmiegt, sie jedoch nie berührt oder schneidet. Die abgebildete Hyperbel hat zwei Asymptoten: Die $y$-Achse ist die senkrechte Asymptote , die $x$-Achse ist die waagerechte Asymptote der Hyperbel.

  • Stelle den Term in einer anderen Schreibweise dar.

    Tipps

    Allgemein gilt: $x^{-n}=\frac{1}{x^n}$

    $3^{-4}=\frac{1}{3^4}$

    Lösung

    Eine Potenz mit einem negativen Exponenten können wir als Bruch schreiben. Allgemein gilt:
    $x^{-n}=\frac{1}{x^n}$
    Wir können dies auch an einem Beispiel betrachten:
    Beispiel: $3^{-2}=\frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$

    Für die Beispiele in der Aufgabe ergeben sich damit folgende Gleichungen:

    • $x^{-1}=\frac{1}{x^1}=\frac{1}{x}$
    • $x^{-3}=\frac{1}{x^3}$
    • $x^{-4}=\frac{1}{x^4}$
    • $x^{-5}=\frac{1}{x^5}$
    • $x^{-6}=\frac{1}{x^6}$
  • Ermittle die Funktionsgleichung der verschobenen Hyperbel.

    Tipps

    Überlege dir zunächst, wie der Graph verschoben wurde und welchen Funktionsterm die Hyperbel ursprünglich hatte.

    Die Hyperbel wurde um eine Einheit nach oben verschoben. Das heißt, jeder Funktionswert ist um $1$ größer.

    Lösung

    Die abgebildete Hyperbel ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse. Die Funktionsgleichung muss daher eine Potenzfunktion mit negativem, geradem Exponenten sein. Wir können damit die Funktionsgleichungen $f_3(x)$ und $f_5(x)$ ausschließen.

    Die Hyperbel ist um eine Einheit nach oben verschoben. Das heißt, jeder Funktionswert ist um $1$ erhöht. Der Funktionsterm muss daher folgende Form haben: $x^{-n}+1$. Damit bleibt der Term $f_2(x)$, welche zu dem abgebildeten Graphen der verschobenen Hyperbel gehört:

    $f_2(x)=x^{-2}+1$

    Hinweis: Wird eine Zahl bei $x$ in Klammern addiert bzw. subtrahiert, wie bei $f_1(x)$ und $f_6(x)$, so bewirkt dies eine Verschiebung des ursprünglichen Graphen in Richtung der $x$-Achse, also nach links bzw. rechts.

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