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Das Vorzeichenwechselkriterium für Extrema

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Team Digital
Das Vorzeichenwechselkriterium für Extrema
lernst du in der 10. Klasse - 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Grundlagen zum Thema Das Vorzeichenwechselkriterium für Extrema

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, das Vorzeichenwechselkriterium (VWK) nachzuvollziehen und anzuwenden.

Vorzeichenwechselkriterium grafisch

Zunächst lernst du, wie das VWK mit der ersten Ableitung einer gegebenen Funktionsgleichung zusammenhängt. Anschließend lernst du, wie du das VWK rechnerisch anwenden und damit Extrema bestimmen kannst. Abschließend erfährst du, in welchen Fällen du mit dem VWK einen Sattelpunkt erkennen kannst.

Vorzeichenwechselkriterium rechnerisch

Lerne etwas über finstere Geheimnisse und Vorhersagen, die durch die Mathematik entschlüsselt werden können.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Vorzeichenwechselkriterium, Extrema, Extremum, Extremstelle, Extrempunkt, Maxima, Maximum, Hochpunkt, Minima, Minimum, Tiefpunkt, Sattelpunkt, Ableitung, Nullstelle, Steigung und notwendige Bedingung.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, wie man die erste Ableitung einer Funktionsgleichung berechnet und deren Nullstellen bestimmt. Zudem solltest du die notwendige Bedingung für Extrema kennen. Außerdem solltest du grundlegendes Wissen zu den Funktionsgraphen ganzrationaler Funktionen haben.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, die hinreichende Bedingung für Extrema anzuwenden und zu lernen, wie man Extrema mithilfe der zweiten Ableitung einer gegebenen Funktionsgleichung bestimmt.

Transkript Das Vorzeichenwechselkriterium für Extrema

„Du stehst vor einer ungewissen Zukunft.“ ein kosmisches auf und aba – bis ins Extreme!“ „Vorzeichenwechselkriteriums für Extrema“. Dieses schöne, lange Wort bezieht sich darauf, wie man „Extrema“, also Maxima und Minima einer Funktion bestimmen kann. Das ist gar nicht so leicht – vor allem, wenn man den Graphen nicht kennt und nur die Funktionsgleichung gegeben hat, zum Beispiel diese hier. Du kennst vielleicht schon die „Notwendige Bedingung für Extrema“. Sie besagt, dass jede mögliche Extremstelle „x-Null von F von x“ notwendigerweise eine Nullstelle der ersten Ableitung „F-Strich von x“ sein muss. Wir bilden also die erste Ableitung „F-Strich von x“, setzen diese gleich Null, und ermitteln die Nullstellen. Nur diese beiden Stellen kommen als Extremstellen von „F von x“ in Frage. Das bedeutet aber leider nicht, dass sie auch wirklich welche sind. Ob das der Fall ist, untersuchen wir nun mit Hilfe des „Vorzeichenwechselkriteriums“. Wir wissen, dass die erste Ableitung einer Funktion die Steigung des Funktionsgraphen an jeder Stelle „x“ wiedergibt. Deshalb muss die erste Ableitung an einer Extremstelle „gleich Null“ sein, egal ob es sich um einen Hochpunkt, oder einen Tiefpunkt handelt. Vor einem Hochpunkt muss die Steigung positiv sein, und die erste Ableitung damit größer Null, da die Kurve des Funktionsgraphen hier ansteigt. Nach dem Hochpunkt ist die Steigung dann negativ, also die erste Ableitung kleiner Null, denn die Kurve fällt wieder ab. Die erste Ableitung wechselt also an der Stelle des Extrempunktes ihr Vorzeichen. Bei einem Hochpunkt von „positiv“ nach „negativ“, und bei einem Tiefpunkt von „negativ nach „positiv“. Wunderschön, nicht wahr? Ein Gegenbeispiel wäre ein Fall wie dieser: Auch hier ist die Stelle „x-Null“ eine Nullstelle der ersten Ableitung der Funktion, da an diesem Punkt die Steigung des Funktionsgraphen gleich Null ist. Allerdings gibt es an dieser Stelle keinen Vorzeichenwechsel der Steigung, da die Funktionswerte sowohl links als auch rechts von x-Null ansteigen. „x-Null“ ist also keine Extremstelle, sondern ein sogenannter „Sattelpunkt“. Eine Nullstelle der ersten Ableitung führt eben nur dann zu einem Extremum, wenn die Funktionswerte der ersten Ableitung ihr Vorzeichen um die Nullstelle herum ändern. Das ist das Vorzeichenwechselkriterium – kurz „VWK“. Aber wie wird es angewendet, wenn man den Funktionsgraphen nicht vor sich hat? Ganz einfach: Nehmen wir an, du hast eine Funktionsgleichung gegeben, von dieser die erste Ableitung gebildet, und die Nullstellen gefunden. Jetzt setzt du einfach Werte für „x“ in die erste Ableitung ein, die etwas kleiner, und etwas größer als die gefundenen Nullstellen sind. Durch das Vorzeichen der erhaltenen Funktionswerte kannst du nun sehen, ob ein Vorzeichenwechsel stattfindet. Gleichzeitig kannst du nachvollziehen, ob der Vorzeichenwechsel von „positiv“ nach „negativ“, oder umgekehrt stattfindet, und so auch gleich bestimmen, ob die gefundenen Extremstellen Hochpunkte oder Tiefpunkte sind. Dazu noch eine kleine Erinnerung: Wenn danach gefragt ist, die Koordinaten der Extrempunkte zu berechnen, musst du die ermittelten Extremstellen, also die x-Werte, in die ursprüngliche Funktionsgleichung einsetzen, um die korrekten y-Werte der Punkte zu erhalten. Da kann man schon mal durcheinander kommen bei dem vielen Einsetzen. Insgesamt kann die Anwendung des Vorzeichenwechselkriteriums zu einer ziemlichen Rechnerei ausarten. Es gibt aber auch noch andere Möglichkeiten, Extrema zweifelsfrei zu bestimmen. Dafür benötigst du die zweite Ableitung deiner Funktion. Die will zwar auch erstmal berechnet werden, kommt aber oft recht handlich daher. Dazu aber mehr in einem anderen Video. Jetzt fassen wir erstmal unsere neu erworbenen, dunklen Künste zusammen: Mit dem Vorzeichenwechselkriterium kann bei einer Funktion „F von x“ nach Bildung der ersten Ableitung geprüft werden, ob gefundene „Nullstellen von F-Strich von x“, tatsächlich „Extremstellen“ der Funktion sind. Ändert die Ableitung „F-Strich von x“ ihr Vorzeichen links und rechts einer Nullstelle „x-Null“ von positiv zu negativ, dann handelt es sich um einen Hochpunkt. Ändert sich das Vorzeichen hingegen von negativ nach positiv, liegt ein Tiefpunkt vor. Gibt es zwar eine Nullstelle von „F-Strich von x“, aber dort keinen Vorzeichenwechsel, dann ist die Nullstelle kein Extremum von „F von x“, sondern wahrscheinlich ein Sattelpunkt. Das Vorzeichenwechselkriterium wird durch Einsetzen geeigneter x-Werte in die erste Ableitung geprüft. „Jetzt erschließen sich hoffentlich auch dir die finsteren Geheimnisse und Vorhersagen“ „die durch den Zauber der Mathematik ans Tageslicht treten.“

Das Vorzeichenwechselkriterium für Extrema Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Das Vorzeichenwechselkriterium für Extrema kannst du es wiederholen und üben.
  • Vervollständige die Aussagen zu Extrema von der Funktion $f$.

    Tipps

    Vor einem Hochpunkt muss die Steigung positiv sein. Nach einem Hochpunkt muss die Steigung negativ sein.

    Lösung

    Die notwendige Bendingung:
    Um die Extremstellen einer Funktion zu ermitteln, verwenden wir zunächst die notwendige Bedingung:
    $f'(x_E)=0$
    Jede mögliche Extremstelle muss notwendigerweise eine Nullstelle der ersten Ableitung sein.

    Das Vorzeichenwechselkriterium:
    Die Ableitung $f'(x)$ gibt die Steigung der Funktion $f(x)$ an jeder Stelle $x$ an.
    Hochpunkt: Vor einem Hochpunkt muss die Steigung positiv sein. Nach einem Hochpunkt muss die Steigung negativ sein. Die erste Ableitung $f'(x)$ wechselt an einem Hochpunkt also ihr Vorzeichen von $+$ nach $-$.
    Tiefpunkt: Vor einem Tiefpunkt muss die Steigung negativ sein. Nach einem Tiefpunkt muss die Steigung positiv sein. Die erste Ableitung $f'(x)$ wechselt an einem Tiefpunkt also ihr Vorzeichen von $-$ nach $+$.
    Sattelpunkt: Liegt hingegen ein Sattelpunkt (auch Terrassenpunkt genannt) vor, so wechselt die erste Ableitung ihr Vorzeichen nicht.

    $\,$

    Somit können wir folgende Sätze bilden:

    • Wenn $f'(x) > 0$ für $x < x_0$, dann liegt möglicherweise bei $x_0$ ein Maximum vor.
    • Wenn $f'(x) > 0$ für $x > x_0$, dann liegt möglicherweise bei $x_0$ ein Minimum vor.
    • Wenn $f'(x) > 0$ für $x < x_0$ und $f'(x) < 0$ für $x > x_0$, dann liegt sicher bei $x_0$ ein Maximum vor.
    • Wenn $f'(x) < 0$ für $x < x_0$ und $f'(x) > 0$ für $x > x_0$, dann liegt sicher bei $x_0$ ein Minimum vor.
    • Wenn $f'(x) > 0$ für $x < x_0$ und $f'(x) > 0$ für $x > x_0$, dann liegt bei $x_0$ ein Sattelpunkt vor.
  • Bestimme Lage und Art der Extremstellen der gegebenen Funktion.

    Tipps
    • Die erste Ableitung $f'(x)$ wechselt an einem Hochpunkt ihr Vorzeichen von $+$ nach $-$.
    • Die erste Ableitung $f'(x)$ wechselt an einem Tiefpunkt ihr Vorzeichen von $-$ nach $+$.

    Funktionsgraph von $f$:

    Lösung

    Um die Extremstellen einer Funktion zu ermitteln, verwenden wir zunächst die notwendige Bedingung:
    $f'(x_E)=0$

    Um zu überprüfen, ob es sich bei den Nullstellen der Ableitung tatsächlich um Extrema handelt, wenden wir das Vorzeichenwechselkriterium an:

    • Die erste Ableitung $f'(x)$ wechselt an einem Hochpunkt ihr Vorzeichen von $+$ nach $-$.
    • Die erste Ableitung $f'(x)$ wechselt an einem Tiefpunkt ihr Vorzeichen von $-$ nach $+$.
    $\,$

    Wir betrachten damit die gegebene Funktion $f(x)=\dfrac{2}{3}x^3-x^2-4x+ \dfrac{11}{3}$:

    $1$. Wir ermitteln die erste Ableitung:
    $f'(x)=2x^2-2x-4$

    $2$. Wir bestimmen die Nullstellen der ersten Ableitung:

    $\begin{array}{rrllr} 2x^2-2x-4 & = & 0 & |:2& \\ x^2-x-2 & = & 0 & & \\ x_{1/2} & = & \dfrac{1}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+2}& \text{Anwenden der pq-Formel}& \\ x_{1/2} & = & \dfrac{1}{2} \pm \sqrt{2\dfrac{1}{4}}& & \\ x_{1/2} & = & \dfrac{1}{2} \pm 1\dfrac{1}{2}& & \\ \end{array}$

    $x_1 = 2 \quad x_2 = -1$

    $3$. Wir wenden das Vorzeichenwechselkriterium an:
    Wir setzen Werte in die erste Ableitung ein, die etwas kleiner und etwas größer als die Nullstellen sind.

    $f'(1{,}9) \approx -0{,}6\quad f'(2{,}1) \approx 0{,}6$
    Es liegt ein Vorzeichenwechsel von $-$ nach $+$ vor, daher handelt es sich bei $x_{1}=2$ um ein Minimum.

    $f'(-1{,}1) \approx 0{,}6\quad f'(-0{,}9)= -0{,}6$
    Es liegt ein Vorzeichenwechsel von $+$ nach $-$ vor, daher handelt es sich bei $x_{2}=-1$ um ein Maximum.

  • Untersuche, bei welchen Punkten es sich um Maxima, Minima oder Sattelpunkte der Funktion handelt.

    Tipps

    Jede mögliche Extremstelle muss notwendigerweise eine Nullstelle der ersten Ableitung sein: $f'(x)=0$
    Nullstellen der ersten Ableitung können wiederum Maxima, Minima oder Sattelpunkte sein.

    Berechne zuerst die erste Ableitung jeder Funktion. Wende dann das Vorzeichenwechselkriterium an.

    Lösung

    Extrema untersuchen:
    Jede mögliche Extremstelle muss notwendigerweise eine Nullstelle der ersten Ableitung sein: $f'(x)=0$
    Nullstellen der ersten Ableitung können wiederum Maxima, Minima oder Sattelpunkte sein.
    Die erste Ableitung $f'(x)$ wechselt an einem Hochpunkt ihr Vorzeichen von $+$ nach $-$.
    Die erste Ableitung $f'(x)$ wechselt an einem Tiefpunkt ihr Vorzeichen von $-$ nach $+$.
    Liegt hingegen ein Sattelpunkt vor, so wechselt die erste Ableitung ihr Vorzeichen nicht.

    Wir überprüfen zuerst, ob der Punkt auf der Funktion liegt, indem wir den $y$-Wert überprüfen. Dann berechnen wir von den gegebenen Funktionen zuerst die erste Ableitung $f'(x)$ und überprüfen, ob diese an den gegebenen Punkt den Wert $0$ annimmt. Ist dies der Fall, überprüfen wir das Vorzeichenwechselkriterium, indem wir Werte etwas kleiner und etwas größer als der gegebene $x$-Wert in die erste Ableitung einsetzen:

    1. Funktion: $f(x)=4x^3-3x$
    Funktionswerte: $f(0{,}5)= 4 \cdot 0{,}5^3-3 \cdot 0{,}5 = -1$ und $f(-0{,}5)= 4 \cdot (-0{,}5)^3-3 \cdot (-0{,}5) = 1$
    erste Ableitung: $f'(x)= 12x^2-3$
    $f'(0{,}5)=0 \quad$ Vorzeichenwechselkriterium: $f'(0{,}4)=-1{,}08 $ und $ f'(0{,}6)= 1{,}32$
    $\rightarrow$ Minimum bei $P_1(0{,}5|{-}1)$
    $f'(-0,5)=0 \quad$ Vorzeichenwechselkriterium: $f'(-0{,}6)=1{,}32 $ und $f'(-0{,}4)= -1{,}08$
    $\rightarrow$ Maximum bei $P_2(-0{,}5|1)$

    2. Funktion: $f(x)=3x^3-5$
    Funktionswerte: $f(0)=3 \cdot 0^3-5=-5$ und $f(-1)=3 \cdot (-1)^3-5=-8$
    erste Ableitung: $f'(x)= 9x^2$
    $f'(0)=0 \quad$ Vorzeichenwechselkriterium: $f'(-0{,}1)=0{,}09 $ und $f'(0{,}1)= 0{,}09$
    $\rightarrow$ Sattelpunkt bei $P_1(0|{-}5)$
    $f'(-1)=9$
    $\rightarrow$ kein Extremum oder Sattelpunkt bei $P_2(-1|{-}8)$

    3. Funktion: $f(x)=x^5-5x^4+5x^3+8$
    Funktionswerte: $f(0)= 0^5-5 \cdot 0^4 + 5 \cdot 0^3 +8 = 8$
    $\rightarrow$ Der Punkt $P_1(0|9)$ liegt nicht auf dem Funktionsgraphen, und ist daher weder Maximum, Minimum noch Sattelpunkt.
    $f(1)= 1^5-5 \cdot 1^4 + 5 \cdot 1^3 +8 = 9$ und $f(3)= 3^5-5 \cdot 3^4 + 5 \cdot 3^3 +8 = -19$
    erste Ableitung: $f'(x)= 5x^4-20x^3+15x^2$
    $f'(1)=0 \quad$ Vorzeichenwechselkriterium: $f'(0{,}9)=0{,}8505 $ und $f'(1{,}1)= -1{,}1495$
    $\rightarrow$ Maximum bei $P_2(1|9)$
    $f'(3)=0 \quad$ Vorzeichenwechselkriterium: $f'(2{,}9)=-7{,}9895 $ und $f'(3{,}1)= 10{,}0905$
    $\rightarrow$ Minimum bei $P_3(3|{-}19)$

  • Ermittle den Hochpunkt und den Tiefpunkt der gegebenen Funktion.

    Tipps

    Um eine Funktion auf Extrema zu untersuchen, bestimmen wir zunächst die erste Ableitung und ermitteln deren Nullstellen.

    Du kannst die Nullstellen der ersten Ableitung ermitteln, indem du die Gleichung zunächst so umformst, dass der Koeffizient vor dem $x^2$ gleich $1$ ist und dann die $pq$-Formel anwendest:

    $x_{1/2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$

    Lösung

    Um eine Funktion auf Extrema zu untersuchen, bestimmen wir zunächst die erste Ableitung und ermitteln deren Nullstellen. Jede mögliche Extremstelle muss notwendigerweise eine Nullstelle der ersten Ableitung sein: $f'(x)=0$
    Nullstellen der ersten Ableitung können wiederum Maxima, Minima oder Sattelpunkte sein. Dies können wir mit dem Vorzeichenwechselkriterium überprüfen:
    Die erste Ableitung $f'(x)$ wechselt an einem Hochpunkt ihr Vorzeichen von $+$ nach $-$ und an einem Tiefpunkt ihr Vorzeichen von $-$ nach $+$. Liegt hingegen ein Sattelpunkt vor, so wechselt die erste Ableitung ihr Vorzeichen nicht. Wir überprüfen das Vorzeichenwechselkriterium, indem wir Werte etwas kleiner und etwas größer als die ermittelte Nullstelle in die erste Ableitung einsetzen:

    $f(x)=\dfrac{2}{3}x^3+x^2-24x-1$

    Erste Ableitung:
    $f'(x)= 2x^2+2x-24$

    Nullstellen der ersten Ableitung:
    $\begin{array}{rrllr} 2x^2+2x-24 & = & 0 & |:2& \\ x^2+x-12 & = & 0 & & \\ x_{1/2} & = & -\dfrac{1}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+12}& \text{Anwenden der pq-Formel}& \\ x_{1/2} & = & -\dfrac{1}{2} \pm \sqrt{12\dfrac{1}{4}}& & \\ x_{1/2} & = & -\dfrac{1}{2} \pm 3\dfrac{1}{2}& & \\ \end{array}$

    $\Rightarrow \quad x_1 = 3 \quad x_2 = {-}4$

    Vorzeichenwechselkriterium:
    $f'(2{,}9)=-1{,}38 $ und $f'(3{,}1)= 1{,}42$
    $\rightarrow$ Minimum
    $f'(-4{,}1)=1{,}42 $ und $f'(-3{,}9)= -1{,}38$
    $\rightarrow$ Maximum

    Berechnung der $\mathbf{y}$-Werte:
    $f(3)=\dfrac{2}{3} \cdot 3^3+3^2-24 \cdot 3-1 = -46$
    $f(-4)=\dfrac{2}{3} \cdot (-4)^3+(-4)^2-24 \cdot (-4) -1 = 68\dfrac{1}{3} \approx 68{,}3$

    Angabe der Extrempunkte:
    Hochpunkt: $H(-4|68{,}3)$
    Tiefpunkt: $T(3|{-}46)$

  • Beschreibe das Vorgehen zur Bestimmung eines Extrempunktes.

    Tipps

    Um die Extrempunkte zu bestimmen, musst du die Nullstellen der ersten Ableitung ermitteln.

    Als letzten Schritt bestimmst du die zu den Extremstellen zugehörigen Funktionswerte.

    Lösung

    Um die Extrempunkte einer Funktion zu ermitteln, bestimmen wir die Nullstellen der ersten Ableitung und überprüfen anschließend, ob es sich hierbei tatsächlich um Extrema handelt. Wir betrachten das Vorgehen am Beispiel

    $f(x)=\dfrac{2}{3}x^3-x^2-4x+ \dfrac{11}{3}$

    Im Detail gehen wir wie folgt vor:

    $1$. Wir ermitteln die erste Ableitung:
    $f'(x)=2x^2-2x-4$

    $2$. Wir bestimmen die Nullstellen der ersten Ableitung, indem wir die Gleichung $f'(x)=0$ lösen:

    $\begin{array}{rrllr} 2x^2-2x-4 & = & 0 & |:2& \\ x^2-x-2 & = & 0 & & \\ x_{1/2} & = & \dfrac{1}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+2}& \text{Anwenden der pq-Formel}& \\ x_{1/2} & = & \dfrac{1}{2} \pm \sqrt{2\dfrac{1}{4}}& & \\ x_{1/2} & = & \dfrac{1}{2} \pm 1\dfrac{1}{2}& & \\ \end{array}$

    $x_1 = 2 \quad x_2 = -1$

    $3$. Wir wenden das Vorzeichenwechselkriterium an:
    Wir setzen Werte in die erste Ableitung ein, die etwas kleiner und etwas größer als die Nullstellen sind.

    $f'(1{,}9) \approx -0,6\quad f'(2{,}1) \approx 0{,}6$
    Es liegt ein Vorzeichenwechsel von $-$ nach $+$ vor, daher handelt es sich bei $x_{1}=2$ um ein Minimum.

    $f'(-1{,}1) \approx 0{,}6\quad f'(-0{,}9)= -0{,}6$
    Es liegt ein Vorzeichenwechsel von $+$ nach $-$ vor, daher handelt es sich bei $x_{2}=-1$ um ein Maximum.

    $4$. Wir bestimmen die Funktionswerte, also die $y$-Werte:
    Wir setzen die ermittelten $x$-Werte in die Funktionsgleichung ein:
    $f(2)= \dfrac{2}{3} \cdot 2^3-2^2-4 \cdot 2+\dfrac{11}{3} = -3$
    $f(-1)= \dfrac{2}{3} \cdot (-1)^3-(-1)^2-4 \cdot (-1)+\dfrac{11}{3} = 6$

    Die Extrempunkte in unserem Beispiel sind also:

    Minimum: $(2|{-}3)$
    Maximum: $({-}1|6)$

  • Leite aus dem Ableitungsgraphen $f'$ die Anzahl der Extrema und Sattelpunkte von $f$ her.

    Tipps

    Die Ableitung $f'(x)$ gibt die Steigung der Funktion $f(x)$ an jeder Stelle $x$ an.

    Vor einem Tiefpunkt muss die Steigung negativ sein. Nach einem Tiefpunkt muss die Steigung positiv sein. Die erste Ableitung $f'(x)$ wechselt an einem Tiefpunkt also ihr Vorzeichen von $-$ nach $+$.

    Liegt ein Sattelpunkt vor, so hat der Graph der Ableitung eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel.

    Lösung

    Die Ableitung $f'(x)$ gibt die Steigung der Funktion $f(x)$ an jeder Stelle $x$ an. Nullstellen der ersten Ableitung können daher Maxima, Minima oder Sattelstellen sein.

    Hochpunkt: Vor einem Hochpunkt muss die Steigung positiv sein. Nach einem Hochpunkt muss die Steigung negativ sein. Die erste Ableitung $f'(x)$ wechselt an einem Hochpunkt also ihr Vorzeichen von $+$ nach $-$.
    Tiefpunkt: Vor einem Tiefpunkt muss die Steigung negativ sein. Nach einem Tiefpunkt muss die Steigung positiv sein. Die erste Ableitung $f'(x)$ wechselt an einem Tiefpunkt also ihr Vorzeichen von $-$ nach $+$.
    Sattelpunkt: Liegt hingegen ein Sattelpunkt vor, so hat der Graph einen Berührpunkt mit der $x$-Achse, also eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel.

    1. Graph:
    Der Graph hat $2$ Nullstellen.
    An der linken Nullstelle schneidet der Graph die $x$-Achse nicht. $\rightarrow$ Sattelpunkt
    An der rechten Nullstelle verläuft der Graph vom Positiven ins Negative. $\rightarrow$ Maximum

    • Anzahl der Maxima: $1$
    • Anzahl der Minima: $0$
    • Anzahl der Sattelpunkte: $1$

    2. Graph:
    Der Graph hat $2$ Nullstellen.
    An beiden Nullstellen schneidet der Graph die $x$-Achse nicht. $\rightarrow$ Sattelpunkte

    • Anzahl der Maxima: $0$
    • Anzahl der Minima: $0$
    • Anzahl der Sattelpunkte: $2$

    3. Graph:
    Der Graph hat $2$ Nullstellen.
    An der linken Nullstelle verläuft der Graph vom Negativen ins Positive. $\rightarrow$ Minimum
    An der rechten Nullstelle verläuft der Graph vom Positiven ins Negative. $\rightarrow$ Maximum

    • Anzahl der Maxima: $1$
    • Anzahl der Minima: $1$
    • Anzahl der Sattelpunkte: $0$

    4. Graph:
    Der Graph hat $3$ Nullstellen.
    An der mittleren Nullstelle verläuft der Graph vom Negativen ins Positive. $\rightarrow$ Minimum
    An der linken und rechten Nullstelle verläuft der Graph vom Positiven ins Negative. $\rightarrow$ Maxima

    • Anzahl der Maxima: $2$
    • Anzahl der Minima: $1$
    • Anzahl der Sattelpunkte: $0$
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