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Notwendige und hinreichende Bedingung für Extrema

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Team Digital
Notwendige und hinreichende Bedingung für Extrema
lernst du in der 10. Klasse - 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Grundlagen zum Thema Notwendige und hinreichende Bedingung für Extrema

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, die Notwendige Bedingung und die Hinreichende Bedingung für Extrema anzuwenden.

Zunächst lernst du, was die Notwendige Bedingung bedeutet und worauf sie beruht.

Notwendige Bedingung

Anschließend lernst du, inwiefern die Hinreichende Bedingung eine Erweiterung der Notwendigen Bedingung ist und wie man sie anwendet.

Hinreichende Bedingung

Abschließend erfährst du, wie du Extrema mithilfe dieser Werkzeuge bestimmen kannst und wann das nicht funktioniert.

Lerne etwas darüber, was notwendig ist und was hinreicht, um Spaghetti zu kochen.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Notwendige Bedingung, Hinreichende Bedingung, Extrema, Extremum, Extrempunkt, Maxima, Minima, Hochpunkt, Tiefpunkt, Sattelpunkt, Terrassenpunkt und Ableitung.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits Ableitungen kennen und wissen, was Extrema sind. Außerdem solltest du grundlegendes Wissen zu Funktionen haben und wie man deren Nullstellen bestimmt.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, mehr über Extrema, Sattelpunkte und auch Wendepunkte zu lernen.

Transkript Notwendige und hinreichende Bedingung für Extrema

Aaahhhhrr mal wieder keine Lust zu gar nix! Da kommt man schnell ins Grübeln. Ist das alles notwendig? Was ist überhaupt notwendig? Hm. Definitiv was zu Essen. Also sehen wir uns mal die „Notwendige und hinreichende Bedingung“ für Spaghetti an. Ne, halt! Für Extrema natürlich! Extrema von Funktionen sind „Maxima“, und „Minima“, also Hochpunkte und Tiefpunkte. Wenn man den Funktionsgraphen sieht, ist es meist leicht, Extrema zu erkennen. Oft hat man aber nur die Funktionsgleichung. Und nur mit dieser können die Extrempunkte auch exakt berechnet werden – bloß wie? Erstmal geht es da um die Frage, ob eine Funktion überhaupt Extrema hat. Das wird durch die „Notwendige Bedingung“ geklärt, die besagt, dass die „erste Ableitung“ einer gegebenen Funktionsgleichung mindestens eine Nullstelle haben muss, wie in diesem Beispiel „x-Eins gleich Zwei“, die dann eine Extremstelle „x-E“ sein kann. Das heißt, „F-Strich von x-E gleich Null“ muss notwendigerweise erfüllt sein. Das ist die Bedingung dafür, dass „x-E“ eine Extremstelle sein könnte. Gibt es keine Nullstellen von „F-Strich von x“, kann es auch keine Extremstellen geben. Das ist so zu verstehen, dass ein Topf mit Wasser und ein paar Nudeln zwingend notwendig sind um Spaghetti zu kochen, dass diese Dinge allein aber nicht garantieren, dass du am Ende auch ein fertiges Mittagessen vor dir hast. Aber warum sind gerade die Nullstellen der „ersten Ableitung“ so wichtig? Nun, die erste Ableitung beschreibt das „Monotonieverhalten“ einer Funktion. Das heißt, ihre Funktionsgleichung gibt Aufschluss über die Steigung der ursprünglichen Funktion „F von x“ an jeder Stelle „x“, an der sie definiert ist. An einer Extremstelle muss die Steigung gleich Null sein – egal ob Hochpunkt oder Tiefpunkt. Das macht jede Nullstelle der ersten Ableitung zu einer möglichen Extremstelle. Das allein reicht allerdings nicht, denn es gibt auch andere Punkte, an denen die Steigung eines Funktionsgraphen gleich Null sein könnte, zum Beispiel „Sattelpunkte“ wie dieser hier. Deshalb gibt es noch die „hinreichende Bedingung“ für Extrema. Diese schließt die „notwendige Bedingung“ ein, und erweitert sie um eine Betrachtung, die sicherstellt, dass die gefundenen Nullstellen von „F-Strich von x“ auch tatsächlich Extremstellen von „F von x“ sind: Es muss erfüllt sein, dass die zweite Ableitung von „F von x“ an eben diesen Stellen ungleich Null ist, also „F-Zwei-Strich von x-E“ ungleich Null. Woher kommt nun diese Bedingung? Nun, die zweite Ableitung einer Funktion gibt Auskunft über die Krümmung des Funktionsgraphen. An einem Hochpunkt verläuft die Krümmung eines Graphen immer rechtsherum, wenn man die Kurve der Funktion von links beginnend zeichnet. Die zweite Ableitung ist bei so einer Rechtskurve immer kleiner Null. An einem Tiefpunkt muss die Krümmung hingegen linksherum laufen. Die zweite Ableitung ist dann größer Null. Extrema kannst du also so bestimmen: Von einer gegebenen Funktion „F von x“, bildest du die erste Ableitung, und setzt dieses „F-Strich von x“ gleich Null. In unserem Beispiel führt das zu den Nullstellen „Zwei“ und „Minus-Eins“. Dann bildest du die zweite Ableitung „F-Zwei-Strich von x“, und setzt die gefundenen Stellen dort ein. Erhältst du ein Ergebnis kleiner Null, handelt es sich um einen Hochpunkt. Bei „F-Zwei-Strich“ größer Null, handelt es sich um einen Tiefpunkt. Nur für den Fall „F-Zwei-Strich von x-E gleich Null“ kann keine eindeutige Aussage getroffen werden. Oft handelt es sich dann um einen „Sattelpunkt“, an dem sich die Krümmung des Funktionsgraphen gerade ändert. Es gibt aber auch Fälle, in denen trotz „F-Zwei-Strich gleich Null“ ein Extrempunkt vorliegt – man kann sich hier schlicht nicht festlegen. Deshalb auch „hinreichende Bedingung“: Wenn „x-E“ eine Nullstelle der ersten Ableitung ist, reicht „F-Zwei-Strich von x-E ungleich Null“ aus, um mit Sicherheit zu sagen, dass „x-E“ eine Extremstelle von „F von x“ ist. Aber auch wenn das nicht erfüllt ist, kann es sich unter Umständen trotzdem um eine Extremstelle handeln. Ist nach der „Y-Koordinate“ eines Extrempunkts gefragt, zum Beispiel hier zur Stelle „x gleich Zwei“, berechnest du diese durch Einsetzen in die ursprüngliche Funktionsgleichung von „F von x“; also „F von Zwei“ gleich Drei. Da kann man bei den vielen Ableitungen schonmal durcheinanderkommen. Fassen wir alles nochmal zusammen: Die notwendige Bedingung für Extrema lautet „F-Strich von x-E gleich Null“. Nur Nullstellen der ersten Ableitung kommen also als Extremstellen einer Funktion „F von x“ in Frage. „F-Strich von x-E“ gleich Null und „F-Zwei-Strich von x-E“ ungleich Null stellen die hinreichende Bedingung für Extrema dar. Durch Einsetzen in die zweite Ableitung wird also geprüft, ob es sich bei den gefundenen Kandidaten wirklich um Extremstellen handelt. Bei „F-Zwei-Strich von x-E“ kleiner Null handelt es sich um einen Hochpunkt, bei „F-Zwei-Strich von x-E“ größer Null um einen Tiefpunkt. Das hängt mit der Krümmung des Funktionsgraphen an solchen Stellen zusammen. Bei „F-Zwei-Strich von x-E“ gleich Null kann keine eindeutige Aussage getroffen werden. Zu den notwendigen Bedingungen „Topf“, „Wasser“ und „Spaghetti“, wäre es also hinreichend, wenn eine Herdplatte mit Strom vorhanden wäre, um eine passable Mahlzeit zu kredenzen. Es gäbe unter Umständen auch andere Optionen, aber da ist der Erfolg keineswegs sicher.

Notwendige und hinreichende Bedingung für Extrema Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Notwendige und hinreichende Bedingung für Extrema kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe das Vorgehen, um Extremstellen zu bestimmen.

    Tipps

    Für die erste Ableitung schreiben wir: $f'(x)$

    Für die zweite Ableitung schreiben wir: $f''(x)$

    Nur wenn die erste Ableitung gleich Null ist und die zweite Ableitung ungleich Null, können wir mit Sicherheit sagen, dass eine Extremstelle vorliegt.

    Lösung

    Hochpunkte und Tiefpunkte einer Funktion nennt man auch die Extrema. Am Graphen können wir diese einfach ablesen. Wir können sie aber auch rechnerisch bestimmen:

    Notwendige Bedingung:
    Um die Extrema einer Funktion rechnerisch zu bestimmen, berechnen wir zuerst die erste Ableitung $f'(x)$, die das Monotonieverhalten der Funktion beschreibt. Die Nullstellen $x_E$ der ersten Ableitung können wir bestimmen, indem wir die erste Ableitung gleich Null setzen. Sie sind mögliche Extremstellen, da der Funktionsgraph bei einem Extremum eine waagrechte Tangente haben muss.

    Wir nennen $f'(x_E)=0$ auch notwendige Bedingung, da nur eine Extremstelle vorliegen kann, wenn der Graph eine waagrechte Tangente hat.

    Hinreichende Bedingung:
    Anschließend berechnen wir die zweite Ableitung, welche das Krümmungsverhalten des Funktionsgraphen beschreibt. Wir setzen die Nullstellen $x_E$ der ersten Ableitung ein. Ist die zweite Ableitung an diesen Stellen ungleich Null, so handelt es sich um eine Extremstelle, da sich die Krümmung der Funktion nicht ändert. Wir überprüfen also, ob gilt: $f''(x_E) \neq 0$.

    Wir nennen $f'(x_E)=0$ und $f''(x_E) \neq 0$ die hinreichende Bedingung, da wir mit Sicherheit sagen können, dass die Funktion bei $x_E$ ein Extremum hat. Es ist allerdings auch möglich, dass bei $f''(x_E) = 0$ ein Extremum vorliegt.

  • Vervollständige die Aussagen zu Extrempunkten.

    Tipps

    Die erste Ableitung beschreibt das Monotonieverhalten, die zweite Ableitung das Krümmungsverhalten einer Funktion.

    Lösung

    Um die Extrema einer Funktion rechnerisch zu bestimmen, verwenden wir die notwendige und die hinreichende Bedingung:

    Notwendige Bedingung:
    $f'(x_E)=0$

    Hinreichende Bedingung:
    $f'(x_E)=0$ und $f''(x_E) \neq 0$

    Wir können dies auch in Sätzen formulieren:

    • Wenn die erste Ableitung gleich Null ist, ist es möglich, dass an dieser Stelle ein Extremum vorliegt. (notwendige Bedingung)
    • Wenn die erste Ableitung ungleich Null ist, liegt kein Extremum vor. (notwendige Bedingung nicht erfüllt)
    • Wenn die erste Ableitung Null ist, und die zweite Ableitung an der Nullstelle der ersten Ableitung positiv ist, handelt es sich um einen Tiefpunkt. (hinreichende Bedingung)
    • Wenn die zweite Ableitung kleiner Null ist, ist keine Aussage möglich. (da keine Informationen zur notwendigen Bedingung vorliegen)
  • Überprüfe, bei welchen Stellen es sich sicher um Extremstellen der Funktion $f$ handelt.

    Tipps

    Bestimme zuerst die erste und die zweite Ableitung der Funktion.

    Setze die gegebenen $x$-Werte in die beiden Ableitungen ein, und überprüfe, ob die notwendige und die hinreichende Bedingung erfüllt sind.

    Lösung

    Um zu überprüfen, ob es sich bei bestimmten $x$-Werten um Extremstellen handelt, verwenden wir die notwendige und die hinreichende Bedingung:

    notwendige Bedingung: $f'(x_E)=0$

    hinreichende Bedingung: $f'(x_E)=0$ und $f''(x_E) \neq 0$

    Wir bestimmen also zuerst die erste und zweite Ableitung der Funktion:

    $f(x)\ \ =x^5+5x^4+5x^3-8$
    $f'(x)\ =5x^4+20x^3+15x^2$
    $f''(x)~ =20x^3+60x^2+30x$

    Wir setzen nun ein und überprüfen:

    $x=-3$
    $f'(-3) = 5 \cdot (-3)^4 + 20 \cdot (-3)^3 + 15 \cdot (-3)^2 = 405 - 540 + 135 = 0$
    $\implies$ notwendige Bedingung erfüllt
    $f''(-3) = 20 \cdot (-3)^3 + 60 \cdot (-3)^2 + 30 \cdot (-3) = -540 + 540 -90 = -90 \neq 0$
    $\implies$ hinreichende Bedingung erfüllt
    Da beide Bedingungen erfüllt sind, handelt es sich um eine Extremstelle. Da $f'(x) <0$ handelt es sich um einen Hochpunkt.

    $x=0$
    $f'(0) = 5 \cdot 0^4 + 20 \cdot 0^3 + 15 \cdot 0^2 = 0+0+0 = 0$
    $\implies$ notwendige Bedingung erfüllt
    $f''(0) = 20 \cdot 0^3 + 60 \cdot 0^2 + 30 \cdot 0 = 0+0+0= 0$
    $\implies$ hinreichende Bedingung nicht erfüllt
    Da die hinreichende Bedingung nicht erfüllt ist, kann keine Aussage getroffen werden, ob es sich um eine Extremstelle handelt.

    $x=2$
    $f'(2) = 5 \cdot 2^4 + 20 \cdot 2^3 + 15 \cdot 2^2 = 80 + 160 + 60 = 300 \neq 0$
    $\implies$ notwendige Bedingung nicht erfüllt
    Da die notwendige Bedingung nicht erfüllt ist, handelt es sich um keine Extremstelle.

    $x=1$
    $f'(1) = 5 \cdot 1^4 + 20 \cdot 1^3 + 15 \cdot 1^2 = 5+20+15 = 40 \neq 0$
    $\implies$ notwendige Bedingung nicht erfüllt
    Da die notwendige Bedingung nicht erfüllt ist, handelt es sich um keine Extremstelle.

    $x=-1$
    $f'(-1) = 5 \cdot (-1)^4 + 20 \cdot (-1)^3 + 15 \cdot (-1)^2 = 5-20+15 = 0$
    $\implies$ notwendige Bedingung erfüllt
    $f''(-1) = 20 \cdot (-1)^3 + 60 \cdot (-1)^2 + 30 \cdot (-1) = -20+60-30=10 \neq 0$
    $\implies$ hinreichende Bedingung erfüllt
    Da beide Bedingungen erfüllt sind, handelt es sich um eine Extremstelle. Da $f'(x) >0$ handelt es sich um einen Tiefpunkt.

    $x=-2$
    $f'(-2) = 5 \cdot (-2)^4 + 20 \cdot (-2)^3 + 15 \cdot (-2)^2 = 80 - 160 + 60 = -20 \neq 0$
    $\implies$ notwendige Bedingung nicht erfüllt
    Da die notwendige Bedingung nicht erfüllt ist, handelt es sich um keine Extremstelle.

  • Berechne die Extrempunkte der Funktion.

    Tipps

    Bestimme zuerst die Nullstellen der ersten Ableitung.

    Setze die Nullstellen der ersten Ableitung in die zweite Ableitung ein. Es gilt:

    $f''(x)>0 \implies$ Minimum
    $f''(x)<0 \implies$ Maximum

    Lösung

    Um die Extrempunkte der Funktion $f(x)=x^3-6x^2+9x-8$ zu bestimmen, ermitteln wir zunächst die ersten beiden Ableitungen:

    • $f'(x)= 3x^2-12x+9$
    • $f''(x)=6x-12$
    Wir bestimmen nun die Nullstellen der ersten Ableitung:
    $3x^2-12x+9=0$
    $3(x^2-4x+3)=0$
    $x^2-4x+3=0$
    $x^2-4x+4-4+3=0$
    $(x-2)^2-4+3=0$
    $(x-2)^2-1=0$
    $(x-2)^2=1$
    $x-2=1$ oder $x-2=-1$
    $x_1=3$ und $x_2=1$

    Hinweise: Alternativ können die Nullstellen der ersten Ableitung auch mit der Lösungsformel bestimmt werden.

    Wir setzen nun die Nullstellen der ersten Ableitung in die zweite Ableitung ein:
    $f''(3) = 6 \cdot 3 -12 = 18-12=6$
    $f''(1) = 6 \cdot 1 -12 = 6-12 = -6$

    Wir wenden nun die hinreichende Bedingung an und erkennen:
    $f''(3) >0 \quad \implies$ Minimum
    $f''(1) <0 \quad \implies$ Maximum

    Wir berechnen nun die $y$-Koordinate, indem wir die Extremstellen in die Funktionsgleichung einsetzen:
    $f(3) = 3^3-6 \cdot 3^2 + 9 \cdot 3 -8 = -8$
    $f(1) = 1^3-6 \cdot 1^2 + 9 \cdot 1 -8 = -4$

    Es gilt also:
    Maximum: $\quad H(1| {-}4)$
    Minimum: $~\quad T(3| {-}8)$

  • Gib die erste und die zweite Ableitung der Funktionen an.

    Tipps

    Wir bilden die Ableitung, indem wir den Exponenten als Faktor nach vorne ziehen und den Exponenten dann um eins verringern.

    Beispiel:

    $f(x) = 2x^4-8$

    $f^\prime(x) = 8x^3$

    Die zweite Ableitung bilden wir, indem wir die erste Ableitung noch einmal ableiten.

    Lösung

    Um die Extrema einer Funktion rechnerisch zu ermitteln, müssen wir die erste und zweite Ableitung der Funktion bilden können:

    erste Ableitung: $f'(x)$
    zweite Ableitung: $f''(x)$

    Um die Ableitungen der Funktionen zu bilden, verwenden wir die Potenzregel: Wir bilden die Ableitung, indem wir den Exponenten als Faktor nach vorne ziehen und den Exponenten dann um eins verringern.

    Die zweite Ableitung bilden wir, indem wir die erste Ableitung noch einmal ableiten. Damit ergibt sich:

    1. Funktion: $f(x)= 3x^2+4x = 3x^2+4x^1$
    $f'(x)= 3 \cdot 2x^{2-1} + 4 \cdot 1x^{1-1} = 6x^1+4x^0=6x+4$
    $f''(x) = 6 \cdot 1 x^{1-1} = 6x^0=6$

    2. Funktion: $f(x)= 2x^3+x^2-4 = 2x^3+x^2-4x^0$
    $f'(x)= 2 \cdot 3x^{3-1} + 2 \cdot x^{2-1} -4 \cdot 0x^{0-1} = 6x^2+2x^1 - 0=6x^2+2x$
    $f''(x) = 6 \cdot 2 x^{2-1} + 2 \cdot 1x^{1-1} = 12x^1+2x^0=12x+2$

    3. Funktion: $f(x)= 4x^2-6x+3 = 4x^2-6x^1+3x^0$
    $f'(x)= 4 \cdot 2x^{2-1} - 6 \cdot 1x^{1-1} + 3\cdot 0 x^{0-1} = 8x^1-6x^0 + 0 =8x-6$
    $f''(x) = 8 \cdot 1 x^{1-1} = 8x^0=8$

  • Überprüfe die Aussagen über ganzrationale Funktionen.

    Tipps

    Der Grad einer Funktion ist der Exponent ihrer höchsten Potenz.

    Die Funktion $f(x)=4x^3+3x-5\ $ hat also beispielsweise den Grad $3$.

    Wenn wir die Ableitung der Funktion bilden, so ist ihr Grad um $1$ kleiner, als der Grad der Funktion selbst.

    Eine Funktion $n$-ten Grades hat maximal $n$ Nullstellen.

    Lösung

    Der Grad einer ganzrationalen Funktion ist der Exponent ihrer höchsten Potenz. Die Funktion
    $f(x)=4x^3+3x-5$ hat also beispielsweise den Grad $3$.

    Allgemein gilt:

    • Wenn wir die Ableitung der Funktion bilden, so ist ihr Grad um $1$ kleiner, als der Grad der Funktion selbst.
    • Der Grad einer Funktion gibt die maximale Anzahl ihrer Nullstellen an. Eine Funktion $3$. Grades hat also beispielsweise maximal $3$ Nullstellen.

    Mit diesen Informationen überprüfen wir die Aussagen:

    • Eine Funktion $4$. Grades hat maximal $3$ Extrema.
    Richtig. Die erste Ableitung einer Funktion $4$. Grades hat den Grad $3$. Die erste Ableitung kann also maximal $3$ Nullstellen haben. Diese sind nach der notwendigen Bedingung mögliche Extremstellen.
    • Die Ableitung einer Funktion hat immer weniger Nullstellen als die Funktion selbst.
    Falsch. Zwar verringert sich die maximale Zahl der Nullstellen durch den geringeren Grad der Ableitung, das muss aber nicht heißen, dass die Anzahl der tatsächlichen Nullstellen sinkt.

    Gegenbeispiel: Die Funktion $f(x)=x^2$ hat eine Nullstelle, und ihre Ableitung $f'(x)=2x$ hat ebenfalls eine Nullstelle.

    • Eine Funktion $6.$ Grades hat mindestens $5$ Stellen, die die notwendige Bedingung erfüllen.
    Falsch. Es kann nur maximal $\mathbf{5}$ Stellen geben, die die notwendige Bedingung erfüllen, da die erste Ableitung der Funktion maximal $5$ Nullstellen hat.
    • Wenn eine ganzrationale Funktion vom Grad $3$ einen Hochpunkt hat, dann hat sie auch einen Tiefpunkt.
    Richtig. Ihre Ableitung ist vom Grad $2$ und hat somit maximal zwei Nullstellen. Wir betrachten die verschiedenen Falle: Hat sie keine Nullstellen, so hat die Funktion auch keine Extrema. Hat sie eine Nullstelle, so lautet die Funktionsgleichung der Ableitung $f'(x)=a(x-b)^2$. Es handelt sich also um eine Parabel mit Scheitelpunkt $S(b|0)$ auf der $x$-Achse. Somit ist auch die zweite Ableitung an dieser Stelle gleich Null. Da die dritte Ableitung $f'''(x) = 2a$ dann an dieser Stelle ungleich Null ist (für $a \neq 0$), handelt es sich um einen Sattelpunkt. Es bleibt also noch die Möglichkeit, dass die erste Ableitung zwei Nullstellen hat. In diesem Fall schneidet die Parabel die $x$-Achse zwei mal, wobei die zweite Ableitung, also die Steigung der Parabel, in einem Fall positiv und in dem anderen Fall negativ sein muss. Es handelt sich also um einen Tiefpunkt und um einen Hochpunkt.
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