Extrema – Minimum und Maximum

Extrema – Minimum und Maximum Übung

• Beschreibe, was man unter den Extrema einer Funktion versteht.

  Tipps

  Bei einem Maximum ist kein Funktionswert in einer Umgebung um die Stelle $x_E$ größer, als der Funktionswert an der Stelle $x_E$.

  Beispiel: Ein Punkt ist z. B. $(-3|4)$.

  Lösung

  Ein Extremum ist eine Stelle $x_E$, an der eine Funktion einen besonders großen oder kleinen $y$-Wert, also Funktionswert, annimmt. Man unterscheidet bei Extrema zwischen der Extremstelle, dem Extremwert und dem Extrempunkt:

  • Extremstelle bezeichnet den $x$-Wert des Extremums: $x_E$.
  • Extremwert bezeichnet den Funktionswert des Extremums: $f(x_E)$.
  • Extrempunkt bezeichnet den gesamten Punkt: $(x_E | f(x_E))$.

  Bei den Extrema einer Funktion unterscheidet man zwischen Minima und Maxima:

  • Bei einem Maximum ist kein Funktionswert in einer Umgebung um die Stelle $x_E$ größer, als der Funktionswert an der Stelle $x_E$.
  • Bei einem Minimum ist kein Funktionswert in einer Umgebung um die Stelle $x_E$ kleiner, als der Funktionswert an der Stelle $x_E$.

  $\,$

  Folgende Aussagen sind somit richtig:
  Eine Extremstelle ist der $x$-Wert des Extremums.
  Der Extremwert ist der $y$-Wert.

  Folgende Aussagen sind falsch:
  Ein Extrempunkt ist ein Maximum. $\mapsto$ Ein Extrempunkt kann ein Maximum oder ein Minimum sein.
  Bei einem Minimum ist der Extrempunkt besonders klein. $\mapsto$ Bei einem Minimum ist der Extremwert besonders klein.

• Vervollständige die Aussagen zu einem strengen Maximum.

  Tipps

  Dies ist kein strenges Minimum.

  $f(x) \leq f(x_E)$ bedeutet, dass die Funktionswerte $f(x)$ kleiner oder gleich $f(x_E)$ sind.

  Lösung

  Ein Extremum ist eine Stelle $x_E$, an der eine Funktion einen besonders großen oder kleinen $y$-Wert, also Funktionswert annimmt. Man unterscheidet dabei zwischen Minima und Maxima:

  • Bei einem Maximum ist kein Funktionswert in einer Umgebung $U$ um die Stelle $x_M$ größer, als der Funktionswert an der Stelle $x_M$, also: $f(x) \leq f(x_M)$ für alle $x \in U$
  • Bei einem Minimum ist kein Funktionswert in einer Umgebung $U$ um die Stelle $x_m$ kleiner, als der Funktionswert an der Stelle $x_m$, also: $f(x) \geq f(x_m)$ für alle $x \in U$

  Strenges Maximum:
  Wir betrachten zunächst das Maximum. Die Funktionswerte in der Umgebung können also kleiner oder gleich dem Extremwert $f(x_M)$ sein. Sind die Funktionswerte kleiner, also $f(x) < f(x_M)$ für alle $x \in U$, so sprechen wir von einem strengen Maximum. Sind jedoch ein oder mehrere Funktionswerte in der Umgebung gleich dem Extremwert, so handelt es sich nicht um ein strenges Maximum.

  Strenges Minimum:
  Die Funktionswerte in der Umgebung können größer oder gleich dem Extremwert $f(x_m)$ sein. Sind die Funktionswerte größer, also $f(x) > f(x_m)$ für alle $x \in U$, so sprechen wir von einem strengen Minimum. Sind jedoch ein oder mehrere Funktionswerte in der Umgebung gleich dem Extremwert, so handelt es sich nicht um ein strenges Minimum.

• Bestimme die Extremstellen der Funktion.

  Tipps

  Achte darauf, die $x$-Werte anzugeben, und nicht die Funktionswerte.

  Lösung

  Ein Extremum ist eine Stelle $x_E$, an der eine Funktion einen besonders großen oder kleinen $y$-Wert, also Funktionswert annimmt. Man unterscheidet bei lokalen und globalen Extrema:

  • Handelt es sich bei dem Funktionswert der Extremstelle um den größten im gesamten Wertebereich, so sprechen wir von einem globalem Maximum.
  • Handelt es sich bei dem Funktionswert der Extremstelle um den kleinsten im gesamten Wertebereich, so sprechen wir von einem globalem Minimum.
  • Handelt es sich bei dem Funktionswert der Extremstelle um den größten in einer bestimmten Umgebung, so sprechen wir von einem lokalen Maximum.
  • Handelt es sich bei dem Funktionswert der Extremstelle um den kleinsten in einer bestimmten Umgebung, so sprechen wir von einem lokalen Minimum.

  $\,$

  Wir können somit folgende Extremstellen am Funktionsgraphen ablesen:

  Minima:
  lokale Minima: $x_{m1}=-1$ $\quad$ $x_{m2}=1,5$
  globales Minimum: $x_{m3}=-2$

  Maxima:
  lokale Maxima: $x_{M1}=-5$ $\quad$ $x_{M2}=-3,5$ $\quad$ $x_{M3}=3,5$
  globales Maximum: $x_{M4}=0$

• Formuliere Aussagen zu den Extrema der Funktion.

  Tipps

  Die Funktion hat an den Stellen $x=-2$ und $x=2$ jeweils ein Minimum, und an der Stelle $x=0$ ein Maximum.

  Funktionswert in einer Umgebung $U$ um die Stelle $x_E$:
  Maximum: $f(x) \leq f(x_E)$ für alle $x \in U$
  Minimum: $f(x) \geq f(x_E)$ für alle $x \in U$

  Lösung

  Mathematische Schreibweise zu Minima und Maxima:

  • Bei einem Maximum ist kein Funktionswert in einer Umgebung $U$ um die Stelle $x_E$ größer, als der Funktionswert an der Stelle $x_E$, also: $f(x) \leq f(x_E)$ für alle $x \in U$
  • Bei einem Minimum ist kein Funktionswert in einer Umgebung $U$ um die Stelle $x_E$ kleiner, als der Funktionswert an der Stelle $x_E$, also: $f(x) \geq f(x_E)$ für alle $x \in U$

  $\,$

  Untersuchung der vorliegenden Funktion:
  Wir erkennen am Funktionsgraphen, dass die Funktion an den Stellen $x=-2$ und $x=2$ jeweils ein Minimum hat, und an der Stelle $x=0$ ein Maximum. Wir schreiben daher:

  • $f(x) \leq f(0)$ für alle $x \in [-1;1] \quad$

  Die Funktion nimmt also in der Umgebung $[-1;1]$ Funktionswerte an, die kleiner oder gleich dem Funktionswert $f(0)$ an der Stelle $x=0$ sind. Es handelt sich also um ein Maximum.

  • $f(x) \geq -8$ für alle $x \in \mathbb{R} \quad$

  Für alle $x$ im gesamten Definitionsbereich, also $x \in \mathbb{R}$, nimmt die Funktion Funktionswerte $f(x)$ an, die größer oder gleich $-8$ sind. Es handelt sich also um ein globales Minimum.

  • $f(x) > -8$ für alle $x \in [-3;-1] \quad$

  Die Funktion nimmt also in der Umgebung $[-3;-1]$ Funktionswerte an, die größer oder gleich dem Funktionswert $-8$ sind. Es handelt sich also um ein Minimum.

  • $f(x) \geq f(2)$ für alle $x \in [1;3] \quad$

  Die Funktion nimmt also in der Umgebung $[1;3]$ Funktionswerte an, die größer oder gleich dem Funktionswert $f(2)$ an der Stelle $x=2$ sind. Es handelt sich also um ein Minimum.

• Gib an, wie viele Minima und Maxima die Funktion hat.

  Tipps

  Bei einem Maximum ist kein Funktionswert in einer Umgebung um die Stelle $x_E$ größer, als der Funktionswert an der Stelle $x_E$.

  Diese Funktion hat ein Maximum.

  Lösung

  Bei den Extrema einer Funktion unterscheidet man zwischen Minima und Maxima:

  • Bei einem Maximum ist kein Funktionswert in einer Umgebung um die Stelle $x_E$ größer, als der Funktionswert an der Stelle $x_E$.
  • Bei einem Minimum ist kein Funktionswert in einer Umgebung um die Stelle $x_E$ kleiner, als der Funktionswert an der Stelle $x_E$.

  Wir untersuchen damit die vier Funktionsgraphen:

  Erster Graph:
  Der Graph hat bei $x=-1$ und bei $x=+1$ ein Maximum. Bei $x=0$ hat er ein Minimum. Insgesamt hat er also ein Minimum und $2$ Maxima.

  Zweiter Graph:
  Der Graph hat bei $x=0$ ein Minimum.

  Dritter Graph:
  Der Graph hat bei $x=0$ ein Minimum und bei $x=1,5$ ein Maximum. Insgesamt hat er also ein Minimum und ein Maximum.

  Vierter Graph:
  Da der Graph stetig steigt, hat er kein Minimum und kein Maximum.

• Überprüfe die Schlussfolgerungen aus den gegebenen Steigungen der Funktion $f$.

  Tipps

  • Die Steigung vor einem Maximum ist positiv, und nach einem Maximum negativ.
  • Die Steigung vor einem Minimum ist negativ, und nach einem Minimum positiv.

  Wechselt der Wert der Steigung das Vorzeichen, so liegt zwischen den beiden $x$-Werten mindestens ein Extremum.

  Am Extrempunkt ist die Steigung gleich Null.

  Lösung

  Ein Extremum an einer Stelle $x_E$ kann ein Minimum oder Maximum sein:

  • Maximum: $f(x) < f(x_E)$ für alle $x \in U$
  • Minimum: $f(x) > f(x_E)$ für alle $x \in U$

  Wir können dies auch durch die Steigung der Funktion ausdrücken:

  • Die Steigung vor einem Maximum ist positiv, und nach einem Maximum negativ.
  • Die Steigung vor einem Minimum ist negativ, und nach einem Minimum positiv.
  • Am Extrempunkt ist die Steigung gleich Null.

  $\,$

  Wir untersuchen nun die Funktion $f(x)$.
  Zunächst ordnen wir die gegebenen Steigungen nach dem $x$-Wert:

  $\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x=-5 & x=-4 & x=-3 & x=0 & x=1 & x=8 \\ \hline m=-3& m=1 & m=2 & m=0,5 & m=-0,5 & 0 \end{array}$

  Wechselt der Wert der Steigung das Vorzeichen, so liegt zwischen den beiden $x$-Werten mindestens ein Extremum. Wir können also schlussfolgern, dass...

  • ...zwischen $x=-5$ und $x=-4$ mindestens ein Minimum liegt.
  • ... zwischen $x=0$ und $x=1$ mindestens ein Maximum liegt.
  • ...zwischen $x=1$ und $x=8$ mindestens ein Minimum liegt.

  Die Aussage die Funktion hat mindestens drei Extremstellen ist somit richtig.

  Wir wissen nicht, ob zwischen den beiden Stellen jeweils noch mehr Extrema liegen, da wir keine Informationen über die Steigung dazwischen haben.

  Wir können also nicht schlussfolgern, dass die Funktion genau ein Minimum hat, da zwischen den Werten noch weitere Extrema liegen könnten.

  Die Aussage, die Funktion hat mindestens ein Maximum, ist wiederum richtig, da es ein oder mehr Maxima geben muss.

  Da die Funktion an der Stelle $x=8$ die Steigung $0$ hat, ist die Aussage, an der Stelle $x=8$ hat die Funktion eine Extremstelle, richtig.

  Die Aussage, an der Stelle $x=0,5$ hat die Funktion einen Hochpunkt, ist hingegen falsch, da die Steigung bei $x=0,5$ nicht $0$ ist.