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Sattelpunkt berechnen

Ein Sattelpunkt ist ein einzigartiger Punkt auf einem Graphen, der oft mit anderen Wendepunkten verwechselt wird. Er hat zwar eine Steigung von null, dennoch ist er kein Hoch- oder Tiefpunkt. Erfahre, wie du mit verschiedenen Methoden Sattelpunkte berechnen kannst. Neugierig geworden? Lies weiter!

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Lerntext zum Thema Sattelpunkt berechnen

Was ist ein Sattelpunkt? – Definition

Ein Sattelpunkt ist ein charakteristischer Punkt, den einige Funktionsgraphen besitzen. Genau wie Extrempunkte und Wendepunkte müssen Sattelpunkte häufig im Rahmen einer Kurvendiskussion bestimmt werden. Sattelpunkte werden auch als Terrassenpunkte oder Horizontalwendepunkte bezeichnet und sind Wendepunkte mit der Steigung null, also Spezialfälle des Wendepunkts.

An einem Sattelpunkt verläuft die Tangente waagerecht zur $x$-Achse, also ist die erste Ableitung an dieser Stelle gleich null. Dennoch handelt es sich aber nicht um ein Minimum oder Maximum. In der Umgebung eines Sattelpunkts ist der Funktionsgraph monoton steigend oder monoton fallend (allerdings nicht streng monoton steigend bzw. fallend), es findet kein Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung statt. Da es sich um einen Wendepunkt handelt, ändert sich jedoch das Krümmungsverhalten von rechtsgekrümmt nach linksgekrümmt oder andersherum.

Wie der Name schon sagt, erinnert das Aussehen des Graphen an dieser Stelle an einen Sattel (oder eine Terrasse).

Sattelpunkt

Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt, an dem die Steigung null ist. Wenn folgende Bedingungen an der Stelle $x_S$ erfüllt sind, liegt ein Sattelpunkt vor:

  1. $f^{\prime\prime}(x_S)= 0$ und $f^{\prime\prime\prime}(x_S)\neq 0$

  2. $f^{\prime}(x_S)= 0$

Sattelpunkt bestimmen – Vorgehensweisen

Ähnlich wie bei Extrempunkten und Wendepunkten gibt es keine Formel zur Berechnung des Sattelpunkts. Er muss in mehreren Schritten bestimmt werden. Es kommen zwei verschiedene Verfahren zum Einsatz, je nachdem welches Vorwissen du bereits im Unterricht erworben hast.

Bei dem ersten Verfahren wird nur die erste Ableitung benötigt. Es kann bei allen Polynomfunktionen angewendet werden.

Bei dem zweiten Verfahren werden auch die höheren Ableitungen benötigt.

Für beide Verfahren schauen wir uns zuerst eine Schritt-für-Schritt-Anleitung an und berechnen dann Beispielaufgaben.

Sattelpunkt berechnen – mit dem Vorzeichenwechselkriterium

Bestimmung des Sattelpunkts mit dem Vorzeichenwechselkriterium:

  1. Bestimme die erste Ableitung der Funktion.

  2. Berechne die Nullstellen der ersten Ableitung: $f^{\prime}(x)=0$ (notwendige Bedingung). Die Lösungen der Gleichung sind Kandidaten $x_S$ für einen Sattelpunkt.

  3. Prüfe, ob ein Vorzeichenwechsel (VZW) der ersten Ableitung an der Stelle $x_S$ vorliegt. Wenn es keinen VZW gibt, ist die hinreichende Bedingung erfüllt.

  4. Berechne die $y$-Koordinate.

Unsere Beispielfunktion lautet $f(x)=x^3$. Bestimme die Sattelpunkte – falls es welche gibt!

Wir bestimmen in dieser Beispielaufgabe den Sattelpunkt mit dem Vorzeichenwechselkriterium nach der obigen Schritt-für-Schritt-Anleitung.

1. Ableitung bestimmen

$f(x)=x^3$

$f^{\prime}(x)=3x^2$

2. Nullstelle der Ableitung bestimmen

$f^{\prime}(x)=0\implies 3x^2=0$

Die Lösung der Gleichung ist $x=0$ und an dieser Stelle hat der Graph eine waagerechte Tangente. Damit ist die notwendige Bedingung für Extrempunkte, aber auch die notwendige Bedingung für Sattelpunkte erfüllt.

3. VZW an der Stelle $x=0$ prüfen

Es muss eine Zahl größer und eine Zahl kleiner als null in die erste Ableitung eingesetzt werden. Die Zahlen sind beliebig, wir verwenden $-1$ und $1$, weil sich damit einfach rechnen lässt.

$f^{\prime}(-1)=3\cdot (-1)^2=3 \implies f^{\prime}(-1)>0 \implies f \text{ ist steigend }$

$f^{\prime}(1)=3\cdot 1^2=3 \implies f^{\prime}(1)>0 \implies f \text{ ist steigend }$

Der Graph ist also vor und nach der Stelle mit der waagerechten Tangente steigend. Es kann sich nicht um einen Extrempunkt handeln. Daher liegt ein Sattelpunkt an der Stelle $x=0$ vor.

4. $y$-Koordinate berechnen

Da wir den $x$-Wert des Sattelpunkts kennen, müssen wir nur noch die $y$-Koordinate durch Einsetzen in die ursprüngliche Funktion bestimmen:

$f(0)=0^3=0$.

Die Funktion $f(x)=x^3$ hat einen Sattelpunkt bei $(0\vert 0)$.

Sattelpunkt berechnen – mit den höheren Ableitungen

Bestimmung des Sattelpunkts mit den hinreichenden Bedingungen:

  1. Bestimme die ersten drei Ableitungen der Funktion.

  2. Bestimme die Nullstellen der zweiten Ableitung: $f^{\prime\prime}(x)=0$.

  3. Prüfe, ob an den Stellen $x_S$ die dritte Ableitung ungleich null ($f^{\prime\prime\prime}(x_S)\neq 0)$ ist – dann liegt ein Wendepunkt vor – und ob die erste Ableitung gleich null ($f^{\prime}(x_S)= 0)$ ist – dann ist der Wendepunkt ein Sattelpunkt.

  4. Berechne die $y$-Koordinate.

Unsere Beispielfunktion lautet $f(x)=-x^4+6x^2+8x+7$. Bestimme die Sattelpunkte – falls es welche gibt!

Wir bestimmen in dieser Beispielaufgabe den Sattelpunkt mit den hinreichenden Bedingungen nach der obigen Schritt-für-Schritt-Anleitung.

1. Ableitungen bestimmen

$f(x)=x^4-6x^2-8x+7$

$f^{\prime}(x)=4x^3-12x-8$

$f^{\prime\prime}(x)=12x^2-12$

$f^{\prime\prime\prime}(x)=24x$

2. Nullstellen der zweiten Ableitung bestimmen

$f^{\prime\prime}=0\implies 12x^2-12=0\implies x^2=1 \implies x_1=1 \text{ und } x_2=-1$

3. Bedingungen prüfen

Wir prüfen zuerst die dritte Ableitung:

$f^{\prime\prime\prime}(1)=24\cdot 1=24 \implies f^{\prime\prime\prime}(1)\neq 0$

$f^{\prime\prime\prime}(1)=24\cdot (-1)=24 \implies f^{\prime\prime\prime}(-1)\neq 0$

Bei $x_1=1$ und $x_2=-1$ liegen also Wendepunkte vor.

Danach prüfen wir die erste Ableitung:

$f^{\prime}(1)=4\cdot 1^3-12\cdot 1-8=-16 \implies f^{\prime}(1)\neq 0$

$f^{\prime}(-1)=4\cdot (-1)^3-12\cdot (-1)-8=0 \implies f^{\prime}(-1)=0$

Damit liegt an der Stelle $x_1=1$ ein „normaler“ Wendepunkt vor und an der Stelle $x_2=-1$ ein Sattelpunkt.

4. Berechnung der $y$-Koordinate

$f(x)=(-1)^4-6\cdot(-1)^2-8\cdot (-1)+7=4$.

Der Sattelpunkt liegt bei $(-1\vert 4)$.

Funktionsgraph und Sattelpunkt

Vergleich der beiden Verfahren zur Bestimmung des Sattelpunkts

Du hast zwei Verfahren kennengelernt, um den Sattelpunkt zu bestimmen. Wenn du bereits die höheren Ableitungen kennst, wirst du meistens das zweite Verfahren anwenden. Es ist zeitsparender, insbesondere wenn nicht nur die Sattelpunkte gesucht werden, sondern eine vollständige Kurvendiskussion durchgeführt werden soll und auch die Wendepunkte gesucht werden.

Allerdings ist zu beachten, dass es sich bei den Bedingungen nur um hinreichende Bedingungen handelt, die aber keine notwendigen Bedingungen sind. Das heißt, wenn $f^{\prime}(x_S)= 0$ und $f^{\prime\prime}(x_S)= 0$ und $f^{\prime\prime\prime}(x_S)\neq 0$ gilt, liegt ein Sattelpunkt vor.

Falls aber die dritte Bedingung nicht erfüllt ist, also $f^{\prime\prime\prime}(x_S)= 0$ gilt, kann man daraus nicht schließen, dass kein Sattelpunkt vorliegt. In dem Fall muss man das Vorzeichenwechselkriterium überprüfen, um eine Antwort zu erhalten.

Zur Verdeutlichung schauen wir uns ein letztes Beispiel an:

Bestimme die Sattelpunkte der Funktion $f(x)=-x^5+3$.

Wir wenden zunächst das zweite Verfahren an.

Dazu bestimmen wir die ersten drei Ableitungen:

$f^{\prime}(x)=-5x^4$

$f^{\prime\prime}(x)=-20x^3$

$f^{\prime\prime\prime}(x)=-60x^2$

Danach bestimmen wir die Nullstelle der zweiten Ableitung:

$f^{\prime\prime}(x)=0 \implies -20x^3=0\implies x=0$

Setzen wir die Nullstelle der zweiten Ableitung in die dritte Ableitung ein, erhalten wir

$f^{\prime\prime\prime}(0)=-60\cdot0^2=0$

Also können wir mithilfe des zweiten Verfahrens keine Aussage über die Existenz eines Wendepunkts oder Sattelpunkts treffen.

Daher gehen wir zum ersten Verfahren über und bestimmen die Nullstellen der ersten Ableitung:

$f^{\prime}(x)=0\implies -5x^4=0\implies x=0$

Anschließend überprüfen wir den Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung:

$f^{\prime}(-1)=- 5\cdot(-1)^4=0 =-5$

$f^{\prime}(1)=- 5\cdot 1^4=0 =-5$

Es gibt keinen Vorzeichenwechsel, der Graph ist vor und nach der Stelle mit der waagerechten Tangente fallend. Es liegt ein Sattelpunkt bei $x=0$ vor, dessen $y$-Koordinate durch Einsetzen in den Funktionsterm bestimmt werden kann:

$f(0)=-0^5+3=3$

Der Sattelpunkt liegt bei $(0\vert 3)$.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Sattelpunkt berechnen

Sind Sattelpunkte Hoch- bzw. Tiefpunkte?
Welche Ableitungen benötigt man zur Bestimmung eines Sattelpunkts?
Haben Parabeln einen Sattelpunkt?
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Vorschaubild einer Übung

Sattelpunkt berechnen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Lerntext Sattelpunkt berechnen kannst du es wiederholen und üben.
  • Benenne Eigenschaften des Sattelpunkts.

    Tipps

    Zwei der Aussagen treffen auf den Sattelpunkt zu.

    Lösung

    In einem Sattelpunkt gibt es eine waagerechte Tangente und das Krümmungsverhalten ändert sich.

    Die beiden anderen Eigenschaften gelten für einen Extrempunkt, aber nicht für einen Sattelpunkt.

  • Benenne die Bedingungen für die Existenz eines Sattelpunkts.

    Tipps

    Zwei der Bedingungen müssen erfüllt sein, damit ein Sattelpunkt vorliegt.

    Lösung

    Wenn folgende Bedingungen an der Stelle $x\_S$ erfüllt sind, liegt ein Sattelpunkt vor:

    • $f^{\prime\prime}(x_S)= 0$ und $f^{\prime\prime\prime}(x_S)\neq 0$
    (Dieses sind die Bedingungen für die Existenz eines Wendepunkts.)
    • $f^{\prime}(x_S)= 0$
    (Dieses ist die Bedingung für das Vorliegen einer waagerechten Tangente.)
  • Untersuche die Funktionen auf charakteristische Punkte.

    Tipps

    Das Vorzeichen der ersten Ableitung gibt an, ob der Wert größer oder kleiner null ist und ob die Funktion an dieser Stelle steigend oder fallend verläuft.

    Ein Sattelpunkt liegt dann vor, wenn es keinen Vorzeichenwechsel gibt.

    Lösung

    Erster Abschnitt

    Gegeben ist die Funktion $f(x)=x^2+3$.

    Die erste Ableitung lautet $f^{\prime}(x)=2x$.

    Die Nullstelle der ersten Ableitung liegt bei $x_s=0$.

    Zur Überprüfung, ob ein Vorzeichenwechsel vorliegt, setzen wir Zahlen ein, die kleiner bzw. größer als $x_s$ sind.

    $f^{\prime}(-1)=-2 \implies f^{\prime}(-1)<0 \implies f$ ist fallend.

    $f^{\prime}(1)=2 \implies f^{\prime}(1) >0 \implies f$ ist steigend.

    Da für die erste Ableitung an der Stelle $x_S$ ein Vorzeichenwechsel vorliegt, liegt kein Sattelpunkt vor.

    Stattdessen liegt hier ein Tiefpunkt vor!

    Zweiter Abschnitt

    Gegeben ist die Funktion $f(x)=x^3+2$.

    Die erste Ableitung lautet $f^{\prime}(x)=3x^2$.

    Die Nullstelle der ersten Ableitung liegt bei $x_s=0$.

    Zur Überprüfung, ob ein Vorzeichenwechsel vorliegt, setzen wir Zahlen ein, die kleiner bzw. größer als $x_s$ sind.

    $f^{\prime}(-1)=3 \implies f^{\prime}(-1)>0 \implies f$ ist steigend.

    $f^{\prime}(1)=3 \implies f^{\prime}(1) >0 \implies f$ ist steigend.

    Da für die erste Ableitung an der Stelle $x_S$ kein Vorzeichenwechsel vorliegt, liegt hier ein Sattelpunkt vor.

  • Berechne den Sattelpunkt.

    Tipps

    Die erste Ableitung lautet $f^{\prime}(x)=-6x^2+12x-6$.

    Die Nullstelle der zweiten Ableitung liegt bei $x_S=1$.

    Lösung

    Schritt 1

    Bilde die Ableitungen der Funktion.

    $f^{\prime}(x)=-6x^2+12x-6$

    $f^{\prime\prime}(x)=-12x+12$

    $f^{\prime\prime\prime}(x)=-12$

    Schritt 2

    Bestimme die Nullstelle der zweiten Ableitung:

    $f^{\prime\prime}(x)=0$

    $-12x+12=0 \quad\vert -12$

    $-12x=-12 \quad\vert :(-12)$

    $x=1$

    Schritt 3

    Setze die Nullstellen der zweiten Ableitung in die dritte Ableitung ein:

    $f^{\prime\prime\prime}(1)=-12$

    Der Wert ist ungleich null, also liegt ein Wendepunkt vor.

    Setze die Nullstelle der zweiten Ableitung in die erste Ableitung ein:

    $f^{\prime}(1)=-6\cdot 1^2+12\cdot 1-6$

    Der Wert ist gleich null, also liegt eine waagerechte Tangente vor und es handelt sich um den Spezialfall des Wendepunkts, den Sattelpunkt.

    Schritt 4

    Bestimme die $y$-Koordinate:

    $f(1)=-2\cdot 1^3+6\cdot 1^2-6\cdot 1+6=4$

    Der Sattelpunkt liegt bei $S(1\vert 4)$.

  • Nenne Bezeichnungen für den Sattelpunkt.

    Tipps

    Zwei der Bezeichnungen sind korrekt.

    Lösung

    Sattelpunkte werden auch als Terrassenpunkte oder Horizontalwendepunkte bezeichnet.

    Obwohl in einem Sattelpunkt die Tangente waagerecht ist, handelt es sich nicht um einen Extrempunkt. Auch die Bezeichnung Wendepunkt passt nicht, da der Sattelpunkt ein Spezialfall des Wendepunkt ist und als weitere Eigenschaft noch eine waagerechte Tangente aufweist.

  • Beschreibe die Verfahren zur Bestimmung eines Sattelpunkts.

    Tipps

    Zu jedem Verfahren gehören drei aufeinander aufbauende Schritte.

    Lösung

    Bestimmung des Sattelpunkt mit dem Vorzeichenwechselkriterium:

    1. Bestimme die erste Ableitung der Funktion.
    2. Berechne die Nullstellen der ersten Ableitung: $f^{\prime}(x)=0$ (notwendige Bedingung). Die Lösungen der Gleichung sind Kandidaten $x_S$ für einen Sattelpunkt.
    3. Prüfe, ob ein Vorzeichenwechsel (VZW) der ersten Ableitung an der Stelle $x_S$ vorliegt. Wenn es keinen VZW gibt, ist die hinreichende Bedingung erfüllt.

    Bestimmung des Sattelpunkt mit den hinreichenden Bedingungen:

    1. Bestimme die ersten drei Ableitungen der Funktion.
    2. Bestimme die Nullstellen der zweiten Ableitung: $f^{\prime\prime}(x)=0$.
    3. Prüfe, ob an der der Stelle $x_S$ die dritte Ableitung ungleich null ($f^{\prime\prime\prime}(x_S)\neq 0$) ist – dann liegt ein Wendepunkt vor und ob die erste Ableitung gleich null ($f^{\prime}(x_S)= 0$) ist – dann ist der Wendepunkt ein Sattelpunkt.
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