Sattelpunkt berechnen
Ein Sattelpunkt ist ein einzigartiger Punkt auf einem Graphen, der oft mit anderen Wendepunkten verwechselt wird. Er hat zwar eine Steigung von null, dennoch ist er kein Hoch- oder Tiefpunkt. Erfahre, wie du mit verschiedenen Methoden Sattelpunkte berechnen kannst. Neugierig geworden? Lies weiter!
- Was ist ein Sattelpunkt? – Definition
- Sattelpunkt bestimmen – Vorgehensweisen
- Sattelpunkt berechnen – mit dem Vorzeichenwechselkriterium
- Sattelpunkt berechnen – mit den höheren Ableitungen
- Vergleich der beiden Verfahren zur Bestimmung des Sattelpunkts
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Einführung in die Kurvendiskussion

Extrema – Minimum und Maximum

Notwendige und hinreichende Bedingung für Extrema

Das Vorzeichenwechselkriterium für Extrema

Extrempunkte bestimmen – Beispiele

Verhalten ganzrationaler Funktionen im Unendlichen

Nullstellen durch Polynomdivision bestimmen

Nullstellen durch Substitution bestimmen

Nullstellen von Funktionen höheren Grades

Symmetrie von Funktionsgraphen

Achsensymmetrie und Punktsymmetrie nachweisen

Sattelpunkt berechnen

Monotoniebereiche von Funktionen bestimmen

Definitionsbereich von Funktionen

Kurvendiskussion – Übungen
Sattelpunkt berechnen Übung
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Benenne Eigenschaften des Sattelpunkts.
TippsZwei der Aussagen treffen auf den Sattelpunkt zu.
LösungIn einem Sattelpunkt gibt es eine waagerechte Tangente und das Krümmungsverhalten ändert sich.
Die beiden anderen Eigenschaften gelten für einen Extrempunkt, aber nicht für einen Sattelpunkt.
-
Benenne die Bedingungen für die Existenz eines Sattelpunkts.
TippsZwei der Bedingungen müssen erfüllt sein, damit ein Sattelpunkt vorliegt.
LösungWenn folgende Bedingungen an der Stelle $x\_S$ erfüllt sind, liegt ein Sattelpunkt vor:
- $f^{\prime\prime}(x_S)= 0$ und $f^{\prime\prime\prime}(x_S)\neq 0$
- $f^{\prime}(x_S)= 0$
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Untersuche die Funktionen auf charakteristische Punkte.
TippsDas Vorzeichen der ersten Ableitung gibt an, ob der Wert größer oder kleiner null ist und ob die Funktion an dieser Stelle steigend oder fallend verläuft.
Ein Sattelpunkt liegt dann vor, wenn es keinen Vorzeichenwechsel gibt.
LösungErster Abschnitt
Gegeben ist die Funktion $f(x)=x^2+3$.
Die erste Ableitung lautet $f^{\prime}(x)=2x$.
Die Nullstelle der ersten Ableitung liegt bei $x_s=0$.
Zur Überprüfung, ob ein Vorzeichenwechsel vorliegt, setzen wir Zahlen ein, die kleiner bzw. größer als $x_s$ sind.
$f^{\prime}(-1)=-2 \implies f^{\prime}(-1)<0 \implies f$ ist fallend.
$f^{\prime}(1)=2 \implies f^{\prime}(1) >0 \implies f$ ist steigend.
Da für die erste Ableitung an der Stelle $x_S$ ein Vorzeichenwechsel vorliegt, liegt kein Sattelpunkt vor.
Stattdessen liegt hier ein Tiefpunkt vor!
Zweiter Abschnitt
Gegeben ist die Funktion $f(x)=x^3+2$.
Die erste Ableitung lautet $f^{\prime}(x)=3x^2$.
Die Nullstelle der ersten Ableitung liegt bei $x_s=0$.
Zur Überprüfung, ob ein Vorzeichenwechsel vorliegt, setzen wir Zahlen ein, die kleiner bzw. größer als $x_s$ sind.
$f^{\prime}(-1)=3 \implies f^{\prime}(-1)>0 \implies f$ ist steigend.
$f^{\prime}(1)=3 \implies f^{\prime}(1) >0 \implies f$ ist steigend.
Da für die erste Ableitung an der Stelle $x_S$ kein Vorzeichenwechsel vorliegt, liegt hier ein Sattelpunkt vor.
-
Berechne den Sattelpunkt.
TippsDie erste Ableitung lautet $f^{\prime}(x)=-6x^2+12x-6$.
Die Nullstelle der zweiten Ableitung liegt bei $x_S=1$.
LösungSchritt 1
Bilde die Ableitungen der Funktion.
$f^{\prime}(x)=-6x^2+12x-6$
$f^{\prime\prime}(x)=-12x+12$
$f^{\prime\prime\prime}(x)=-12$
Schritt 2
Bestimme die Nullstelle der zweiten Ableitung:
$f^{\prime\prime}(x)=0$
$-12x+12=0 \quad\vert -12$
$-12x=-12 \quad\vert :(-12)$
$x=1$
Schritt 3
Setze die Nullstellen der zweiten Ableitung in die dritte Ableitung ein:
$f^{\prime\prime\prime}(1)=-12$
Der Wert ist ungleich null, also liegt ein Wendepunkt vor.
Setze die Nullstelle der zweiten Ableitung in die erste Ableitung ein:
$f^{\prime}(1)=-6\cdot 1^2+12\cdot 1-6$
Der Wert ist gleich null, also liegt eine waagerechte Tangente vor und es handelt sich um den Spezialfall des Wendepunkts, den Sattelpunkt.
Schritt 4
Bestimme die $y$-Koordinate:
$f(1)=-2\cdot 1^3+6\cdot 1^2-6\cdot 1+6=4$
Der Sattelpunkt liegt bei $S(1\vert 4)$.
-
Nenne Bezeichnungen für den Sattelpunkt.
TippsZwei der Bezeichnungen sind korrekt.
LösungSattelpunkte werden auch als Terrassenpunkte oder Horizontalwendepunkte bezeichnet.
Obwohl in einem Sattelpunkt die Tangente waagerecht ist, handelt es sich nicht um einen Extrempunkt. Auch die Bezeichnung Wendepunkt passt nicht, da der Sattelpunkt ein Spezialfall des Wendepunkt ist und als weitere Eigenschaft noch eine waagerechte Tangente aufweist.
-
Beschreibe die Verfahren zur Bestimmung eines Sattelpunkts.
TippsZu jedem Verfahren gehören drei aufeinander aufbauende Schritte.
LösungBestimmung des Sattelpunkt mit dem Vorzeichenwechselkriterium:
- Bestimme die erste Ableitung der Funktion.
- Berechne die Nullstellen der ersten Ableitung: $f^{\prime}(x)=0$ (notwendige Bedingung). Die Lösungen der Gleichung sind Kandidaten $x_S$ für einen Sattelpunkt.
- Prüfe, ob ein Vorzeichenwechsel (VZW) der ersten Ableitung an der Stelle $x_S$ vorliegt. Wenn es keinen VZW gibt, ist die hinreichende Bedingung erfüllt.
Bestimmung des Sattelpunkt mit den hinreichenden Bedingungen:
- Bestimme die ersten drei Ableitungen der Funktion.
- Bestimme die Nullstellen der zweiten Ableitung: $f^{\prime\prime}(x)=0$.
- Prüfe, ob an der der Stelle $x_S$ die dritte Ableitung ungleich null ($f^{\prime\prime\prime}(x_S)\neq 0$) ist – dann liegt ein Wendepunkt vor und ob die erste Ableitung gleich null ($f^{\prime}(x_S)= 0$) ist – dann ist der Wendepunkt ein Sattelpunkt.
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