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Definitionsbereich von Funktionen 10:52 min

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Transkript Definitionsbereich von Funktionen

Hallo, hier ist Mandy. Heute erkläre ich dir, wie man den Definitionsbereich von Funktionen bestimmt. Zuerst werde ich dir allerdings noch erklären, was ein Definitionsbereich ist. Danach werde ich dir anhand von Beispielen erklären, wie man den Definitionsbereich von Funktionen bestimmt. Bevor wir mit dem Bestimmen des Definitionsbereichs beginnen, klären wir noch einmal schnell was ein Definitionsbereich ist. Der Definitionsbereich beantwortet die Frage: „Für welche x-Werte ist die Funktion definiert?“ Ihn bezeichnet man mit groß „D“. Anders formuliert kann man auch nach den x-Werten fragen, für die die Rechenvorschrift grundsätzlich ausführbar ist. Kommen wir nun dazu, wie man den Definitionsbereich einer Funktion bestimmt. Dazu muss man die Funktionsgleichung betrachten und sich an den beteiligten Rechenarten orientieren.Die Rechenarten, Addition, Subtraktion und Multiplikation sind immer möglich. Das heißt, ohne jede Einschränkung ausführbar, solange die Summanden und Faktoren selbst keinen Einschränkungen unterliegen. Nehmen wir zum Beispiel die Funktion f(x) = 3x² - x² + 4. Dann ist die Rechenvorschrift ohne Einschränkungen ausführbar. Damit gilt: D = R. R beschreibt den Bereich der reellen Zahlen. Bei der Division dagegen gibt es Einschränkungen. So ist die Division durch null nicht erlaubt. Das ist besonders wichtig, wenn die Variable im Nenner steht. Nehmen wir zum Beispiel f(x) = 3/x, dann gilt D = R{0}. Da für x alle reellen Zahlenwerte eingesetzt werden dürfen, außer null. Hat man allerdings nicht nur ein x im Nenner stehen, wie bei f(x) = 4/(2 + x), dann muss man den gesamten Term im Nenner betrachten, da dieser insgesamt nicht null werden darf. Um den einschränkenden Wert zu ermitteln, rechnen wir 2 + x = 0. Was umgestellt x = -2 ergibt. Die Funktion ist also für x = -2 nicht definiert. Damit gilt für unseren Definitionsbereich: D = R{-2}, da man alle Werte außer -2 einsetzen darf.Beim Wurzelziehen muss man beachten, dass man eine Wurzel nicht aus negativen Zahlen ziehen darf. Hat man beispielsweise die Funktion f(x) = Wurzel(x) gegeben, so muss x größer gleich null sein. Damit gilt für den Definitionsbereich: D = {x Element der reellen Zahlen, mit x >= null} Doch nicht immer steht nur ein x als Radikand unter der Wurzel. Hat man zum Beispiel die Funktion f(x) = Wurzel(6 - x) gegeben, so muss man herausfinden, wann der Radikand kleiner als null ist. Man rechnet dazu 6 - x >= 0. Umgestellt ergibt sich 6 >= x beziehungsweise x kleiner gleich sechs. Damit gilt für den Definitionsbereich: D = {x Element der reellen Zahlen, mit x <= sechs}.Beim Potenzieren muss man verschiedene Fälle betrachten. Hat man zum Beispiel einen Term der Form xn gegeben, wobei n Element der natürlichen Zahlen ist, und die null ist auch enthalten, dann ist die Rechenvorschrift ohne jede Einschränkung immer möglich. Ein Beispiel hierfür ist f(x) = x3. Für diese Funktion gilt: D = R. Hat man einen Term der Form x-n gegeben, so lässt er sich umwandeln zu 1/xn. Diese Art Term entspricht nun aber einer Divisionsaufgabe und ist nach deren Regel zu behandeln. Näheres dazu haben wir schon davor besprochen. Ein Beispiel für so eine Aufgabe ist f(x) = x-2. Umgewandelt ergibt sich 1/x². Für den Definitionsbereich gilt dann D = R{0}. Hat man einen Bruch im Exponenten, wie bei xp/q, so kann man diesen Term zu einem Wurzelausdruck umwandeln. Er lautet „q-te Wurzel aus xp“. Das heißt, hier verfährt man wie beim Wurzelziehen weiter. Hat man beispielsweise die Funktion f(x) = x2/3 gegeben, so kann man den Term umwandeln zu dritte Wurzel(x²). Damit gilt für den Definitionsbereich: D = {x Element der reellen Zahlen}. Hat man nun die Variable im Exponenten, wie bei ax, so ist die Rechenvorschrift ohne Einschränkungen für jedes x möglich, wenn a größer als null ist. So zum Beispiel bei der Funktion f(x) = 3x. Für den Definitionsbereich gilt dann: D = R. Man kann also jedes beliebige x einsetzen.In Bezug auf das Logarithmieren muss man sich merken, dass man nur positive Zahlen logarithmieren darf. Für den Definitionsbereich der Funktion, f(x) = ln(x) gilt dann D = {x Element der reellen Zahlen, x > 0}. Auch hier gibt es Fälle, bei denen nicht immer nur ein x logarithmiert wird. So zum Beispiel bei der Funktion f(x) = ln(6 - 3x). Hier muss man sich also überlegen wann der Numerus positiv, also größer als null ist. Dazu rechnen wir 6 - 3x > 0. Dann stellen wir um, indem wir minus sechs rechnen. Das ergibt -3x > -6. Dann noch durch minus drei teilen und wir erhalten x < 2. Damit gilt für den Definitionsbereich D = {x Element der reellen Zahlen, x < 2}. Bei Winkelfunktionen muss man nicht viel beachten. So sind die Funktionen f(x) = sin(x) und g(x) = cos(x) für jedes x definiert. Damit gilt D = R. So auch zum Beispiel für f(x) = sin(3x - 1), dann ist D = R.Aber was passiert, wenn die Rechenarten kombiniert werden? Kombiniert man die Rechenarten bei denen Einschränkungen zu beachten sind, dann müssen alle Einschränkungen zusammengefasst werden. Ein Beispiel hierfür ist die Funktion f(x) = Wurzel(2x) + 1/x. Hierbei müssen wir zunächst jeden Summanden extra betrachten. So gilt für den Wurzelausdruck, dass x größer gleich null sein muss und für den Bruch, dass x ungleich null sein muss. Fasst man beide Einschränkungen zusammen, so ergibt sich für den Definitionsbereich D = {x Element der reellen Zahlen, x > 0}.Nun sind wir schon wieder am Ende des Videos angekommen. Du hast gelernt, was ein Definitionsbereich ist. Er beantwortet die Frage, für welche x-Werte ist die Funktion definiert. Er wird mit groß D bezeichnet. Beim Bestimmen des Definitionsbereiches muss man auf die Rechenarten und deren Einschränkungen achten. Bei der Kombination der Rechenarten müssen die Einschränkungen zusammengefasst werden. Und nun sage ich bye-bye und bis zum nächsten Mal!

8 Kommentare
  1. Mm4

    @Familie Basel : Hallo,

    der Definitionsbereich gibt die Zahlen an, die man für die x-Werte einsetzen darf. Es ist also die Menge aller Zahlen, für die die Rechenvorschrift grundsätzlich ausführbar ist oder (bei Anwendungen) für die die Berechnung sinnvoll ist.

    Die Wurzel kann beispielsweise man nur aus einer nichtnegativen Zahl ziehen; oder die Division durch Null ist nicht möglich.

    Einen Flächeninhalt wird man nur für positive Seitenlängen berechnen. Somit ist bei deine Aufgabe D(f) die Menge aller positiven Zahlen.

    Liebe Grüße und viel Erfolg beim Lernen!

    Von Marianthi M., vor etwa einem Jahr
  2. Default

    Habe ich es jetzt so verstanden ,dass ich ALLE zahlen nehmen darf .
    Bei mir in der Aufgabe steht Ein Rechteck hat den Flächeninhalt 48cm . Gib die Funktionsgleichung an .
    Gib D(f) an Da kann ich doch 24 bei x und bei y 2 machen

    Von Familie Basel, vor etwa einem Jahr
  3. Default

    CHAPEAU!

    Von Mariarudolf, vor etwa 4 Jahren
  4. Default

    Eine sehr gute verwertbare Darstellung!

    Von Mariarudolf, vor mehr als 4 Jahren
  5. Default

    Wie ist es denn, wenn bei f(x)=a^x a<0 ist?

    Von Christianbiegler, vor mehr als 5 Jahren
  1. Default

    davor garnix verstanden und nun konnte ich alles in der klasur so gut, dass ich eine 2+ geschrieben habe:) super!

    Von Georgi Thomas, vor mehr als 5 Jahren
  2. Default

    Sehr schön aufgebaut. Ein klasse Überblick mit allen wichtigen Punkten, die berücksichtigt werden müssen. Schön, wenn man ein Thema in so kurzer Zeit erledigen kann. Prima! Weiter so!

    Von Deleted User 39796, vor fast 6 Jahren
  3. Default

    Ausgezeichnete Arbeit!

    Von Libro E Musica, vor etwa 6 Jahren
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Definitionsbereich von Funktionen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Definitionsbereich von Funktionen kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe, was ein Definitionsbereich ist.

    Tipps

    Schau dir ein Beispiel für eine Funktionsgleichung an: $f(x)=x^2$

    • $x$ wird als Argument bezeichnet.
    • $y=f(x)$ ist der Funktionswert.
    • Im Definitionsbereich werden alle Werte für $x$ gesammelt, die möglicherweise in die Funktionsgleichung eingesetzt werden dürfen.
    • Im Wertebereich werden alle Funktionswerte gesammelt, welche durch Einsetzen der im Definitionsbereich festgelegten $x$-Werte in die Funktionslgeichung herauskommen.
    Lösung

    Was ist ein Definitionsbereich?

    Der Definitionsbereich beantwortet die Frage, für welche $x$-Werte die Funktion definiert ist.

    Anders ausgedrückt: Welche Werte dürfen für $x$ eingesetzt werden, für die die Rechenvorschrift, welche in der Funktionsgleichung gegeben ist, grundsätzlich ausführbar ist.

    Der Definitionsbereich wird mit einem großen $D$ abgekürzt.

    Oftmals ist es sinnvoll zu schauen, welche Werte für $x$ nicht eingesetzt werden dürfen. Diese müssen dann aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden.

  • Gib an, bei welchen Rechenoperationen der Definitionsbereich gegebenenfalls eingeschränkt wird.

    Tipps

    $\ln(x)$ ist die natürliche Logarithmusfunktion, die Umkehrfunktion zur natürlichen Exponentialfunktion $e^x$.

    Beachte: $e^x>0$ für alle $x\in\mathbb{R}$.

    Überlege dir jeweils, ob du ein Beispiel für eine Rechnung findest, welche nicht möglich ist.

    Zum Beispiel darfst du nicht durch $0$ dividieren.

    • Das Quadrat einer reellen Zahl ist immer größer oder gleich $0$.
    • Die Quadratwurzel ist die Umkehrung des Quadrierens.
    Lösung

    Schauen wir uns die einzelnen Rechenoperationen an:

    • Die Addition ($+$): Du darfst zwei beliebige Zahlen addieren. Es gibt also keine Einschränkung.
    • Ebenso kannst du mit jeder beliebigen Zahl eine Subtraktion ($-$) sowie Multiplikation ($\cdot$) durchführen.
    • Kommen wir nun zur Division ($:$): Du weißt sicher noch, dass das Dividieren durch $0$ nicht möglich ist. Hier musst du also aufpassen, dass der Term im Nenner nicht $0$ werden darf.
    • Das Ziehen einer Quadratwurzel ($\sqrt{~~}$): Du kannst nur aus Zahlen, welche größer oder gleich $0$ sind, die Quadratwurzel ziehen.
    • Das Logarithmieren hier am Beispiel des natürlichen Logarithmus $\ln(~~)$: Wenn wir die natürliche Logarithmusfunktion $\ln(x)$ betrachten, so wissen wir, dass diese die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion $e^x$ ist. Da diese immer positiv ist, kann umgekehrt die natürliche Logarithmusfunktion nur für positive Argumente, also $x>0$ definiert sein. Diese Einschränkung gilt auch für jeden anderen Logarithmus.
  • Bestimme den jeweiligen Definitionsbereich.

    Tipps

    Der Definitionsbereich der Funktion $f(x)=\sqrt x$ ist $D=\{x\in\mathbb{R}~|~x\ge 0\}$.

    Der Definitionsbereich der Funktion $f(x)=\ln(x)$ ist $D=\{x\in\mathbb{R}~|~x> 0\}$.

    Schau dir ein Beispiel an: $f(x)=\sqrt{x+2}$

    • Es muss gelten $x+2\ge 0$.
    • Subtrahiere $2$ auf beiden Seiten der Ungleichung, so erhältst du $x\ge -2$.
    Damit ist $D=\{x\in\mathbb{R}~|~x\ge -2\}$.

    Lösung

    Beachte bei jeder der Funktionen, ob irgendwelche Rechenoperationen durchgeführt werden, welche zu Einschränkungen des Definitionsbereiches führen.

    Beispiel 1: $f(x)=3x^2-x^2+4$

    Hier gibt es keine Einschränkungen, also ist $D=\mathbb{R}$.

    Beispiel 2: $f(x)=\frac3x$

    • Das Dividieren durch $0$ ist nicht möglich. Die $0$ muss somit ausgeschlossen werden.
    • Damit ist $D=\mathbb{R}\setminus\{0\}$.
    Beispiel 3: $f(x)=\sqrt{6-x}$

    • Der Term unter der Wurzel, der Radikand, darf nicht negativ sein:
    • $6-x\ge 0$
    • Addition von $x$ auf beiden Seiten der Ungleichung führt zu $6\ge x$ oder äquivalent $x\le 6$.
    • Somit ist $D=\{x\in\mathbb{R}~|~x\le 6\}$.
    Beispiel 4: $f(x)=\ln(6-3x)$

    • Das Logarithmieren ist nur möglich, wenn der Term in der Klammer, der Numerus, größer ist als $0$:
    • $6-3x> 0$
    • Addition von $3x$ auf beiden Seiten der Ungleichung führt zu $6> 3x$.
    • Division durch $3$ auf beiden Seiten der Ungleichung führt zu $2>x$. Das Relationszeichen wird nicht vertauscht, da durch eine positive Zahl dividiert wird, denn es gilt $3>0$.
    • Äquivalent kannst du auch schreiben $x<2$.
    • Somit ist $D=\{x\in\mathbb{R}~|~x<2\}$.
  • Leite den Definitionsbereich der Funktion her.

    Tipps

    Beachte, dass der natürliche Logarithmus nur definiert ist für positive ($>0$) Argumente.

    Das Dividieren durch $0$ ist nicht möglich.

    Du musst die Stellen suchen, an welchen der Term $\ln(x+2)$ den Wert $0$ hat. Diese musst du aus dem Definitionsbereich ausschließen.

    Schau dir ein Beispiel an: $\ln(x-3)=0$

    $\begin{array}{rclll} \ln(x-3)&=&0&|&e^{(~~~)}\\ e^{\ln(x-3)} &=& e^0 \\ x-3&=&1&|&+3\\ x&=&4 \end{array}$

    Lösung

    Es soll der Definitionsbereich der Funktion $f(x)=\frac1{\ln(x+2)}$ bestimmt werden.

    • Zunächst einmal muss $x+2>0$ gelten.
    • Subtraktion von $2$ auf beiden Seiten der Ungleichung führt zu $x>-2$.
    Nun musst du allerdings noch beachten, dass das Dividieren durch $0$ nicht möglich ist. Das bedeutet, dass $\ln(x+2)\neq 0$ sein muss.

    Wir lösen die Gleichung $\ln(x+2)=0$:

    $\begin{array}{rclll} \ln(x+2)&=&0&|&e^{(~~~)}\\ e^{\ln(x+2)} &=& e^0 \\ x+2&=&1&|&-2\\ x&=&-1 \end{array}$

    Diese Lösung muss zusätzlich noch aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden: Damit ist $D=\{x\in\mathbb{R}~|~x>-2\}\setminus\{-1\}$.

  • Beschreibe, wie der Definitionsbereich der Funktion ermittelt werden kann.

    Tipps

    Beachte: Du darfst nicht durch $0$ dividieren.

    Es ist übrigens $\frac0{x^2+2x+1}=0$.

    Du musst eine Gleichung lösen. Die Lösungen dieser Gleichung schließt du aus dem Definitionsbereich aus.

    Lösung

    Bei dieser Funktion schauen wir uns die beiden Terme im Zähler sowie im Nenner an:

    • Gibt es bei dem Term im Zähler $x+2$ Einschränkungen? Nein!
    • Der Term im Nenner darf nicht $0$ werden, da die Division durch $0$ nicht möglich ist.
    Wir lösen die folgende Gleichung $x^2-9=0$:

    $\begin{array}{rclll} x^2-9&=&0&|&+9\\ x^2&=&9&|&\sqrt{~~~}\\ x_1&=&3\\ x_2&=&-3 \end{array}$

    Für $x_1=3$ sowie für $x_2=-3$ wird der Term im Nenner $0$.

    Diese beiden Werte für $x$ müssen aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden. Somit ist $D=\mathbb{R}\setminus\{-3;3\}$.

  • Ermittle den jeweiligen Definitionsbereich.

    Tipps

    Verwende:

    • $f(x)=\frac1x~\rightarrow~D=\mathbb{R}\setminus\{0\}$
    • $f(x)=\sqrt x~\rightarrow~D=\{x\in \mathbb{R}~|~x\ge 0\}$
    • $f(x)=\ln x~\rightarrow~D=\{x\in \mathbb{R}~|~x> 0\}$

    Gegebenenfalls musst du Gleichungen oder Ungleichungen lösen.

    Kombiniert man die Rechenarten, bei denen Einschränkungen zu beachten sind, dann müssen alle Einschränkungen zusammengefasst werden.

    Unter dem Definitionsbereich wird insbesondere immer der größtmögliche Definitionsbereich verstanden.

    Lösung

    Im Folgenden verwenden wir die folgenden Einschränkungen bei den gegebenen Funktionen:

    • $f(x)=\frac1x~\rightarrow~D=\mathbb{R}\setminus\{0\}$
    • $f(x)=\sqrt x~\rightarrow~D=\{x\in \mathbb{R}~|~x\ge 0\}$
    • $f(x)=\ln x~\rightarrow~D=\{x\in \mathbb{R}~|~x> 0\}$
    Beispiel 1: $f(x)=\frac{x+2}{x^2+2x+1}$

    • Untersucht wird der Term im Nenner $x^2+2x+1=(x+1)^2$.
    • Dieser darf nicht $0$ sein, also darf $x$ nicht $-1$ sein.
    • Somit ist $D=\mathbb{R}\setminus\{-1\}$.
    Beispiel 2: $g(x)=\frac{\sqrt x}{x+1}$

    • Unsere erste Einschränkung resultiert aus der Wurzelfunktion $\sqrt x$ im Zähler. Es folgt: $x\ge 0$.
    • Eine weitere Einschränkung erhalten wir dadurch, dass nicht durch $0$ dividiert werden darf, also $x\neq -1$ gelten muss. Diese Einschränkung ist jedoch durch die erste Einschränkung $x\ge 0$ bereits gegeben.
    • Nun werden die Einschränkungen zusammengefasst zu $D=\{x\in\mathbb{R}~|~x\ge 0\}$.
    Beispiel 3: $h(x)=\sqrt{1-x^2}$

    • Der Radikand $1-x^2$ muss größer oder gleich $0$ sein:
    • $1-x^2\ge 0$
    • Addition von $x^2$ auf beiden Seiten der Ungleichung führt zu $x^2\le 1$.
    • Nun kannst du die Wurzel ziehen. Achte dabei auf das Verdrehen des Relationszeichens. Es ergibt sich die Einschränkung $x\ge -1$ sowie $x\le 1$.
    • Insgesamt erhalten wir den Definitionsbereich $D=\{x\in\mathbb{R}~|~-1\le x\le 1\}$.
    Beispiel 4: $k(x)=\ln(x^2+x)$

    • Hier muss der Numerus, der Term in den Klammern, positiv sein.
    • Wir bestimmen dessen Nullstellen:
    • $x^2+x=x(x+1)=0$, also $x_1=-1$ sowie $x_2=0$.
    • Außerhalb des Intervalls $[-1;0]$ nimmt der Term positive Werte an. Dies erkennst du, wenn du dir den Verlauf des Graphen zum Term $x^2+x$ anschaust: Dieser ist eine nach oben geöffnete Parabel.
    • Damit ist $D=\{x\in\mathbb{R}~|~x<-1 \text{ oder }x>0\}$.