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Umwandlung: Scheitelpunktform und allgemeine Form

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Team Digital
Umwandlung: Scheitelpunktform und allgemeine Form
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Grundlagen zum Thema Umwandlung: Scheitelpunktform und allgemeine Form

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, die allgemeine Form von quadratischen Funktionen in die Scheitelpunktform umzuwandeln und andersherum.

Zunächst lernst du, wie du die Scheitelpunktform mit Hilfe der binomischen Formeln in die allgemeine Form umgewandelt werden kann. Anschließend lernst du, wie die allgemeine Form mit Hilfe der quadratischen Ergänzung in die Scheitelpunktform umgewandelt werden kann.

Allgemeine Form und Scheitelpunktform

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Scheitelpunktform, allgemeine Form, quadratische Funktion, Parabel und quadratische Ergänzung

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, wie die Formeln für die allgemeine Form und für die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion lauten.

Transkript Umwandlung: Scheitelpunktform und allgemeine Form

Tagsüber scheint es so, als sei Frau Parabella eine ganz normale Angestellte. Doch nachts verwandelt sie sich in Parabelwoman und kämpft für Gerechtigkeit und Frieden in der Welt! Unfassbar! Wer hätte eine solche Umwandlung für möglich gehalten?! Diese Frage stellen sich nicht wenige auch, wenn „Scheitelpunktform und allgemeine Form“ von quadratischen Funktionen ineinander umgewandelt werden sollen. Denn dann haben wir eine ähnliche Ausgangslage: Zwei verschiedene Funktionsgleichungen, aber ein und dieselbe Parabel. Diese Funktionsgleichung ist in Scheitelpunktform gegeben. Hier können wir, wie der Name schon andeutet, den Scheitelpunkt einfach ablesen. Diese Funktionsgleichung hingegen ist in der allgemeinen Form angegeben. Hier können wir den y-Achsenabschnitt einfach ablesen, da dieser durch den Wert c angegeben ist. Zeichnen wir die Graphen für beide Funktionsgleichungen, so sehen wir, dass diese identisch sind. Scheitelpunktform und allgemeine Form sind also zwei verschiedene Schreibweisen für ein und dieselbe Funktion. Das wirft die Frage auf, wie wir die Scheitelpunktform in die allgemeine Form umwandeln können, und andersherum. Zunächst also die Umwandlung in die allgemeine Form. In der Scheitelpunktform haben wir eine Klammer gegeben, die wir auflösen müssen, um zur allgemeinen Form zu gelangen. Da hier die gesamte Klammer quadriert wird, haben wir es mit einer binomischen Formel zu tun. Binomische Formeln die haben wir natürlich noch drauf! Zur Sicherheit stehen die erste und die zweite aber auch nochmal hier unten. Bevor wir die erste binomische Formel anwenden, setzen wir uns eine Hilfsklammer. Diese hilft uns später dabei mit dem Faktor vor der Klammer, der minus zwei, nicht durcheinander zu kommen. Jetzt können wir innerhalb der Hilfsklammer umformen und erhalten „x Quadrat plus vier x plus vier“. Nun können wir auch die Hilfsklammer auflösen, indem wir alle drei Summanden mit minus zwei multiplizieren, und müssen danach nur noch zusammenfassen. Folgende Schritte solltest du dir also merken: Zuerst kannst du eine Hilfsklammer setzen. Dann wendest du die binomische Formel an. Anschließend musst du nur noch die Klammer auflösen, und kannst dann zusammenfassen. Und schon haben wir die allgemeine Form einer quadratischen Funktionsgleichung. Jetzt schauen wir uns das Ganze andersherum an: Wir starten also mit der allgemeinen Form und gehen davon aus, die Scheitelpunktform nicht zu kennen. Das Prinzip, das wir jetzt anwenden, nennt sich quadratische Ergänzung. Auch hier fällt uns zunächst auf, dass wir vor dem „x Quadrat“ noch den Faktor minus zwei haben. Diesen müssen wir zunächst ausklammern, bevor wir die quadratische Ergänzung anwenden können. Und zwar aus den beiden Summanden mit „x Quadrat“ beziehungsweise x. Beim Ausklammern müssen wir auf die Vorzeichen achten! Dann können wir die so erhaltene Klammer betrachten. Diese erinnert uns doch schon fast an die erste binomische Formel. Damit wir diese auch tatsächlich rückwärts anwenden können, fehlt aber noch etwas. Hier kommt die quadratische Ergänzung ins Spiel. Denn wir benötigen noch den letzten Summanden: „b hoch zwei“. In unserem Fall „Zwei hoch zwei“. Wir addieren also vier. Da wir den Wert der Gleichung aber nicht ändern dürfen, ziehen wir die vier auch wieder ab. So haben wir insgesamt „plus null“ gerechnet und eigentlich nichts verändert. Die vorderen drei Summanden in der Klammer können wir jetzt allerdings mit der ersten binomischen Formel umformen, und erhalten „x plus zwei in Klammern zum Quadrat“. Jetzt müssen wir nur noch die äußere Klammer auflösen: Minus zwei Mal minus vier ergibt acht. Wir fassen zusammen und sind zurück bei der Scheitelpunktform. Wie sind wir also vorgegangen? Zuerst haben wir den Faktor vor dem „x Quadrat“ ausgeklammert. Dann konnten wir in der Klammer eine quadratische Ergänzung durchführen, und anschließend die binomische Formel anwenden. Abschließend mussten wir nur noch die äußere Klammer auflösen, und zusammenfassen. Alles klar, schauen wir uns das ganze nochmal auf einen Blick an. Wir können die allgemeine Form in die Scheitelpunkform umwandeln, oder auch andersherum vorgehen. Um die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion zu erhalten, wenden wir die „quadratische Ergänzung“ an. Für die Umwandlung in die andere Richtung, können wir die erste oder zweite binomische Formel anwenden. Mit Hilfe dieser Vorgehensweisen können wir eine quadratische Funktionsgleichung immer so umwandeln, dass wir die Form erhalten, die wir gerade brauchen. Genauso macht es Frau Parabella in ihrem heldenhaften Doppelleben. Naja, zumindest wenn sie das mit dem Umwandeln nicht vergisst.

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