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Quadratische Funktion – Parameter 07:10 min

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Transkript Quadratische Funktion – Parameter

Hallo! Mein Name ist Thekla. In diesem Video wird sich alles um quadratische Funktionen und ihre Parameter drehen. Zuerst wiederholen wir den Begriff “Parameter” und schauen uns noch einmal den Einfluss von Parametern bei linearen Funktionen an. Dann kommen die quadratischen Funktionen ins Spiel. Welche Parameter besitzt die Scheitelpunktform? Wie wirken sie sich aus? Auch das werden wir heute klären.

Lass uns starten. Parameter sind ähnlich wie Variablen veränderbare Größen. Sie beeinflussen aber im Gegensatz zu Variablen den Verlauf einer Funktion.
Parameter tauchen häufig bei allgemeinen Formen von Funktionen und bei Funktionenscharen auf. Betrachten wir zum Beispiel die allgemeine Form einer linearen Funktion: y = mx + n Der Graph dieser Funktion ist eine Gerade. x ist die Variable, für die unterschiedliche x-Werte eingesetzt werden um entsprechend den jeweiligen y-Wert zu erhalten. m und n sind Parameter, die den Funktionsgraphen folgendermaßen verändern: m beeinflusst den Anstieg bzw.die Steigung der Funktion. Je größer m ist, desto größer ist der Anstieg (Gerade wird auf dem Whiteboard gedreht, um dies zu veranschaulichen). n hat Auswirkungen auf den y-Achsenabschnitt, also den Schnittpunkt der Gerade mit der y-Achse. (Beispielfunktion y = x + n ; dann Graphen verschieben und jeweiligen Wert für n einsetzen).

Nun hast du gesehen, wie sich die zwei Parameter einer linearen Funktion auf den Graphen auswirken.

Kommen wir nun zu quadratischen Funktionen. Ihr Funktionsgraph hat die Form einer Parabel. Hier siehst du eine Normalparabel. Die allgemeine Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion lautet: y=a (x+d)2+e Wie bei den linearen Funktionen ist x eine Variable und a, d und e sind Parameter. Erinnere dich: An der Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion kannst du mit Hilfe der Parameter d und e direkt den Scheitelpunkt des Graphen, also den höchsten oder tiefsten Punkt einer Parabel, ablesen. Er liegt bei S (-d|e).

Der Parameter a bewirkt eine Streckung bzw. Stauchung des Graphen. Wenn a genau 1 ist, hat der Graph die Form einer Normalparabel. Befindet sich der Betrag von a zwischen 0 und 1, so wird der Graph gestaucht, ist er größer 1, so wird er gestreckt. Außerdem bestimmt a, ob der Graph nach oben oder nach unten geöffnet ist. Wenn a negativ ist, so ist die Parabel nach unten geöffnet. a wird auch Streckfaktor genannt. Der Parameter d bewirkt eine Verschiebung in Richtung der x-Achse, also nach links, wenn d positiv ist oder nach rechts, wenn d negativ ist. Wenn d gleich 0 ist, dann befindet sich der Scheitelpunkt genau auf der y-Achse, also bei x=0.

Es gibt noch einen dritten Parameter, der den Verlauf des Graphen beeinflusst: e. Wenn e positiv ist, so wird der Graph nach oben verschoben, ist e negativ, wird er nach unten verschoben. Wenn e gleich 0 ist, dann befindet sich der Scheitelpunkt genau auf der x-Achse, also bei y=0.

Lass uns nun dieses Wissen an einem Beispielen vertiefen. Gegeben ist die quadratische Funktion h(x)=2 (x+6)2+3. Die Parameter a, d und e können wir leicht ablesen: a ist 2, d ist 6 und e ist 3.

Ohne Werte zu berechnen oder den Graphen zu zeichnen, können wir anhand der Parameter drei Dinge über die Funktion herausfinden. a sagt uns, dass der Graph mit dem Faktor 2 gestreckt ist, dass er also schmaler als eine Normalparabel ist. d sagt uns, dass der Graph um 6 Einheiten nach links verschoben wurde. und e sagt uns, dass der Graph um 3 Einheiten nach oben verschoben ist. Aus der obigen Funktionsgleichung kannst du den Scheitelpunkt auch direkt ablesen. Zu Erinnerung: Er hatte die Koordinaten -d und e. Also ist S(-6|3), was genau zu unseren Überlegungen von eben passt.

Heute hast du eine Menge gelernt! Lass uns daher alles zusammenfassen. Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion besitzt drei Parameter, die die Funktion in ihrem Verlauf bestimmen. a ist der so genannte Streckfaktor. Er bewirkt, dass die Funktion gestreckt bzw. gestaucht wird. Der Parameter d bewirkt eine Verschiebung auf der x-Achse, e eine Verschiebung auf der y-Achse. Den Scheitelpunkt der Funktion kann man ablesen. Er hat die Koordinaten S(-d|e).

Mir hat es heute wieder viel Spaß gemacht, dir ein kleines Stück aus der Welt der Funktionen zu zeigen. Ich hoffe, wir sehen uns bald wieder! Tschüss!

3 Kommentare
  1. Default

    Super erklärt, ich musste als „alte“ Mutter erklären, hat mit dem Video super geklappt, hab‘ alles verstanden

    Von Kirsten B., vor 7 Monaten
  2. Download

    kleine info dazu haben sie vergessen: a= -1 ist auch normalparabell und danke hat mir mein leben gerettet! :D

    Von Fabian S., vor 12 Monaten
  3. Img 4974

    Super Video, hat mir sehr geholfen!

    Von Tessa P., vor etwa einem Jahr