30 Tage kostenlos testen:
Mehr Spaß am Lernen.

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Quadratische Funktion – Parameter 07:10 min

Textversion des Videos

Transkript Quadratische Funktion – Parameter

Hallo! Mein Name ist Thekla. In diesem Video wird sich alles um quadratische Funktionen und ihre Parameter drehen. Zuerst wiederholen wir den Begriff “Parameter” und schauen uns noch einmal den Einfluss von Parametern bei linearen Funktionen an. Dann kommen die quadratischen Funktionen ins Spiel. Welche Parameter besitzt die Scheitelpunktform? Wie wirken sie sich aus? Auch das werden wir heute klären.

Lass uns starten. Parameter sind ähnlich wie Variablen veränderbare Größen. Sie beeinflussen aber im Gegensatz zu Variablen den Verlauf einer Funktion.
Parameter tauchen häufig bei allgemeinen Formen von Funktionen und bei Funktionenscharen auf. Betrachten wir zum Beispiel die allgemeine Form einer linearen Funktion: y = mx + n Der Graph dieser Funktion ist eine Gerade. x ist die Variable, für die unterschiedliche x-Werte eingesetzt werden um entsprechend den jeweiligen y-Wert zu erhalten. m und n sind Parameter, die den Funktionsgraphen folgendermaßen verändern: m beeinflusst den Anstieg bzw.die Steigung der Funktion. Je größer m ist, desto größer ist der Anstieg (Gerade wird auf dem Whiteboard gedreht, um dies zu veranschaulichen). n hat Auswirkungen auf den y-Achsenabschnitt, also den Schnittpunkt der Gerade mit der y-Achse. (Beispielfunktion y = x + n ; dann Graphen verschieben und jeweiligen Wert für n einsetzen).

Nun hast du gesehen, wie sich die zwei Parameter einer linearen Funktion auf den Graphen auswirken.

Kommen wir nun zu quadratischen Funktionen. Ihr Funktionsgraph hat die Form einer Parabel. Hier siehst du eine Normalparabel. Die allgemeine Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion lautet: y=a (x+d)2+e Wie bei den linearen Funktionen ist x eine Variable und a, d und e sind Parameter. Erinnere dich: An der Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion kannst du mit Hilfe der Parameter d und e direkt den Scheitelpunkt des Graphen, also den höchsten oder tiefsten Punkt einer Parabel, ablesen. Er liegt bei S (-d|e).

Der Parameter a bewirkt eine Streckung bzw. Stauchung des Graphen. Wenn a genau 1 ist, hat der Graph die Form einer Normalparabel. Befindet sich der Betrag von a zwischen 0 und 1, so wird der Graph gestaucht, ist er größer 1, so wird er gestreckt. Außerdem bestimmt a, ob der Graph nach oben oder nach unten geöffnet ist. Wenn a negativ ist, so ist die Parabel nach unten geöffnet. a wird auch Streckfaktor genannt. Der Parameter d bewirkt eine Verschiebung in Richtung der x-Achse, also nach links, wenn d positiv ist oder nach rechts, wenn d negativ ist. Wenn d gleich 0 ist, dann befindet sich der Scheitelpunkt genau auf der y-Achse, also bei x=0.

Es gibt noch einen dritten Parameter, der den Verlauf des Graphen beeinflusst: e. Wenn e positiv ist, so wird der Graph nach oben verschoben, ist e negativ, wird er nach unten verschoben. Wenn e gleich 0 ist, dann befindet sich der Scheitelpunkt genau auf der x-Achse, also bei y=0.

Lass uns nun dieses Wissen an einem Beispielen vertiefen. Gegeben ist die quadratische Funktion h(x)=2 (x+6)2+3. Die Parameter a, d und e können wir leicht ablesen: a ist 2, d ist 6 und e ist 3.

Ohne Werte zu berechnen oder den Graphen zu zeichnen, können wir anhand der Parameter drei Dinge über die Funktion herausfinden. a sagt uns, dass der Graph mit dem Faktor 2 gestreckt ist, dass er also schmaler als eine Normalparabel ist. d sagt uns, dass der Graph um 6 Einheiten nach links verschoben wurde. und e sagt uns, dass der Graph um 3 Einheiten nach oben verschoben ist. Aus der obigen Funktionsgleichung kannst du den Scheitelpunkt auch direkt ablesen. Zu Erinnerung: Er hatte die Koordinaten -d und e. Also ist S(-6|3), was genau zu unseren Überlegungen von eben passt.

Heute hast du eine Menge gelernt! Lass uns daher alles zusammenfassen. Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion besitzt drei Parameter, die die Funktion in ihrem Verlauf bestimmen. a ist der so genannte Streckfaktor. Er bewirkt, dass die Funktion gestreckt bzw. gestaucht wird. Der Parameter d bewirkt eine Verschiebung auf der x-Achse, e eine Verschiebung auf der y-Achse. Den Scheitelpunkt der Funktion kann man ablesen. Er hat die Koordinaten S(-d|e).

Mir hat es heute wieder viel Spaß gemacht, dir ein kleines Stück aus der Welt der Funktionen zu zeigen. Ich hoffe, wir sehen uns bald wieder! Tschüss!

4 Kommentare
  1. alles super verstanden. Klass vorbereitet für die Klassenarbeit morgen

    Von Maboudi65, vor 10 Monaten
  2. Super erklärt, ich musste als „alte“ Mutter erklären, hat mit dem Video super geklappt, hab‘ alles verstanden

    Von Kirsten B., vor fast 2 Jahren
  3. kleine info dazu haben sie vergessen: a= -1 ist auch normalparabell und danke hat mir mein leben gerettet! :D

    Von Fabian S., vor etwa 2 Jahren
  4. Super Video, hat mir sehr geholfen!

    Von Tessa P., vor mehr als 2 Jahren

Quadratische Funktion – Parameter Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Quadratische Funktion – Parameter kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe, was ein Parameter ist.

    Tipps

    Unterscheide Parameter von Variablen.

    Die Variable $x$ wird auf der x-Koordinatenachse abgetragen.

    Bei verschiedenen Parametern sieht der Funktionsgraph anders aus.

    Zum Beispiel sehen die linearen Funktionen $f(x)=2x$ und $g(x)=-4x$ im Koordinatensystem unterschiedlich aus.

    Ganz allgemein sieht eine lineare Funktion wie folgt aus

    $y=mx+n$.

    $m$ steht für die Steigung und $n$ für den y-Achsenabschnitt. Es handelt sich um Parameter.

    Lösung

    Parameter kommen in der Mathematik häufig vor. Man kann sie sicher leicht mit einer Variablen verwechseln.

    Ebenso wie Variablen sind sie veränderbare Größen. Jedoch beeinflussen sie den Verlauf einer Funktion.

    Sie tauchen zum Beispiel

    • bei der allgemeinen Darstellung von Funktionen oder
    • bei Funktionsscharen auf.
    Zum Beispiel lautet eine allgemeine lineare Funktionsgleichung $y=m\cdot x+n$:

    • Dabei steht der Parameter $m$ für die Steigung.
    • Der Parameter $n$ ist der y-Achsenabschnitt.
  • Gib die Bedeutung des Streckparameters $a$ an.

    Tipps

    Zeichne dir eine Normalparabel $y=x^2$ in ein Koordinatensystem.

    Zeichne in das gleiche Koordinatensystem die Parabel zu $y=0,5x^2$ und $y=2x^2$.

    Was fällt dir auf?

    Zeichne in das gleiche Koordinatensystem die Parabel zu $y=-x^2$.

    Was fällt dir auf?

    Lösung

    Welche Auswirkung hat der Streckfaktor $a$ auf die Parabel?

    • Für $a=1$ handelt es sich um eine Normalparabel.
    • Wenn $0<a<1$ ist, dann ist die Parabel gestaucht, das bedeutet, breiter als die Normalparabel.
    • Wenn $a>1$ ist, dann ist die Parabel gestreckt, das bedeutet, schmaler als die Normalparabel.
    Auch über das Vorzeichen des Streckfaktors lassen sich Rückschlüsse auf die Parabel ziehen:
    • Für $a>0$ ist die Parabel nach oben geöffnet.
    • Für $a<0$ ist die Parabel nach unten geöffnet.

  • Stelle dar, welche Auswirkung die Parameter $d$ und $e$ haben.

    Tipps

    Wenn du dir die Auswirkung von $e$ betrachtest, beachte, dass $e$ zu dem Funktionswert addiert oder von diesem subtrahiert wird.

    Der Scheitelpunkt der obigen Funktion ist $S(-d|e)$.

    An dem Scheitelpunkt kannst du die Verschiebungen erkennen.

    Lösung

    Wenn eine quadratische Funktion in der Scheitelpunktform

    $y=a(x+d)^2+e$

    gegeben ist, kann man aus dieser den Scheitelpunkt $S(-d|e)$ ablesen. Der Scheitelpunkt ist der höchste (bzw. tiefste) Punkt einer Parabel, wenn diese nach unten (bzw. oben) geöffnet ist.

    Der Scheitelpunkt der Normalparabel $y=x^2$ ist $S(0|0)$, der Koordinatenursprung. An dem Scheitelpunkt der obigen Funktion kann man erkennen, wie die Funktion verschoben wird:

    • um $d$ Einheiten nach links, wenn $d>0$ ist,
    • um $d$ Einheiten nach rechts, wenn $d<0$ ist,
    • um $e$ Einheiten nach oben, wenn $e>0$ ist und
    • um $e$ Einheiten nach unten, wenn $e<0$ ist.
    Verschieben nach rechts oder links bedeutet, entlang der x-Achse und nach oben oder unten entlang der y-Achse.

  • Ermittle die quadratische Funktion in Scheitelpunktform.

    Tipps

    Ob eine Parabel nach oben oder unten geöffnet ist, erkennt man an dem Vorzeichen des Streckfaktors.

    Wenn eine quadratische Gleichung in Scheitelpunktform $y=a(x+d)^2+e$ gegeben ist, lautet der Scheitelpunkt $S(-d|e)$.

    In der quadratischen Funktion $y=a(x+d)^2+e$ steht

    • $d$ für Verschiebungen entlang der x-Achse und
    • $e$ für Verschiebungen entlang der y-Achse.

    Lösung

    Wenn man die Streckung oder Stauchung kennt, kann man dann die Gleichung angeben?

    Die Scheitelpunktform einer quadratischen Gleichung lautet

    $y=a(x+d)^2+e$.

    Aus dieser kann der Scheitelpunkt $S(-d|e)$ abgelesen werden. Umgekehrt kann man mithilfe von Verschiebungen den neuen Scheitelpunkt und damit die Funktionsgleichung angeben.

    Der Faktor vor dem quadratischen Term $a$ ist der Streckfaktor. Dieser gibt an

    • ob die Parabel nach oben (bzw. unten) geöffnet ist, wenn $a>0$ (bzw. $a<0$), oder
    • ob die Parabel breiter (bzw. schmaler) als die Normalparabel ist, wenn $0<|a|<1$ (bzw. $|a|>1$) ist.
    • Eine um $4$ Einheiten nach links verschobene Normalparabel hat den Scheitelpunkt $S(-4|0)$, besitzt also die Gleichung $y=(x+4)^2$.
    • Eine um $3$ Einheiten nach rechts und $2$ Einheiten nach unten verschobene Normalparabel hat entsprechend den Scheitelpunkt $S(3|-2)$ die Gleichung $y=(x-3)^2-2$.
    • Eine um den Faktor $2$ gestreckte Parabel mit dem Scheitelpunkt $S(1|3)$ hat die Gleichung $y=2(x-1)^2+3$.
    • Eine um den Faktor $0,3$ gestauchte, nach unten geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt $S(-2|-2)$ hat die Gleichung $y=-0,3(x+2)^2-2$.

  • Entscheide, ob die Parabeln Normalparabeln, gestaucht oder gestreckt sind.

    Tipps

    Es geht in dieser Aufgabe ausschließlich um den Streckfaktor $a$.

    Du musst dir nicht überlegen, ob die Parabel nach unten oder oben geöffnet ist.

    Falls der Streckfaktor $1$ ist, liegt eine Normalparabel vor, falls er $-1$ ist, ist die Normalparabel nach unten geöffnet.

    Wenn eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform $y=a(x+d)^2+e$ gegeben ist, kann man an dem Streckfaktor $a$ erkennen, ob der Graph der Funktion eine

    • Normalparabel ist ($|a|=1$),
    • breiter als die Normalparabel, also gestaucht, ($0<|a|<1$) oder
    • schmaler als die Normalparabel, also gestreckt, ($|a|>1$) ist.

    Lösung

    Wenn eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform $y=a(x+d)^2+e$ gegeben ist, übrigens auch in der allgemeinen Form $y=ax^2+bx+c$, kann man an dem Streckfaktor $a$ erkennen, ob der Graph der Funktion eine

    • Normalparabel ist ($|a|=1$),
    • breiter als die Normalparabel, also gestaucht, ($0<|a|<1$) oder
    • schmaler als die Normalparabel, also gestreckt, ($|a|>1$) ist.
    Wenn $a$ positiv (negativ) ist, dann ist die Parabel nach oben (unten) geöffnet.
    1. $y=0,25 (x-2)^2+3$: Der Streckfaktor ist $0<a=\frac14<1$; also ist die Parabel gestaucht.
    2. $y=(x-2)^2+3$: Der Streckfaktor ist $a=1$; also liegt eine Normalparabel vor.
    3. $y=4(x-2)^2+3$: Der Streckfaktor ist $a=4>1$; also ist die Parabel gestreckt.
    4. $y=-0,75(x+1)^2+1$: Der Streckfaktor ist $-1<a=-0,75<0$; also ist die Parabel gestaucht (und übrigens nach unten geöffnet).
    5. $y=-x^2+1$: Der Streckfaktor ist $a=-1$; dies ist eine nach unten geöffnete Normalparabel.
    6. $y=-3(x+1)^2-1$: Der Streckfaktor ist $a=-3<-1$; also ist die Parabel gestreckt (und auch nach unten geöffnet).

  • Untersuche die Auswirkungen der Parameter auf den Funktionsgraphen.

    Tipps

    Der Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion in Scheitelpunktform $y=a(x+d)^2+e$ ist gegeben durch $S(-d|e)$.

    Mache dir klar, welche Bedeutung welcher Parameter besitzt:

    • $a$ ist der Streckfaktor.
    • $d$ bewirkt eine Verschiebung entlang der x-Achse.
    • $e$ bewirkt eine Verschiebung entlang der y-Achse.

    Wenn die Richtung „rechts“, „links“, „oben“ bzw. „unten“ angegeben ist, muss die Angabe der Einheiten positiv sein.

    Lösung

    Man kann sich zum einen den Scheitelpunkt der Funktion $0,5(x-2)+4$ zunächst anschauen: $S(2|4)$. Der Scheitelpunkt der Normalparabel lautet $S(0|0)$. Man kann nun sehen, dass der Scheitelpunkt um $2$ Einheiten nach rechts und um $4$ Einheiten nach oben verschoben ist.

    Allgemein führt der Parameter $d$ in Scheitelpunktform $y=a(x+d)^2+e$ zu einer Verschiebung entlang der x-Achse:

    • Er wird nach links verschoben, wenn $d>0$ ist.
    • Er wird nach rechts verschoben, wenn $d<0$ ist.
    Der Parameter $e$ führt zu einer Verschiebung entlang der y-Achse:
    • Er wird nach oben verschoben, wenn $e>0$ ist.
    • Er wird nach unten verschoben, wenn $e<0$ ist.
    Der Streckfaktor $a=0,5$ zeigt aufgrund des positiven Vorzeichens an, dass die Parabel nach oben geöffnet ist. Da $0<0,5<1$ ist, ist die Parabel gestaucht; das bedeutet, dass sie breiter als die Normalparabel ist.