Extremwertaufgaben mit quadratischen Funktionen – Anleitung 09:51 min
Transkript Extremwertaufgaben mit quadratischen Funktionen – Anleitung
Hallo. Mein Name ist Lisa und ich erzähle dir heute etwas über Optimierungsaufgaben. Du fragst dich, was eine Optimierungsaufgabe ist? Stell dir vor, du willst eine Blechdose produzieren, die ein Volumen von 0,33 Liter hat und möglichst wenig Blech verbraucht. Welche Form ist optimal unter diesen Voraussetzungen? Welche Form wählst du? Für das Lösen von Optimierungsaufgaben mit quadratischen Funktionen benötigen wir unter anderem die Scheitelform. Diese werden wir kurz zu Beginn wiederholen. Danach rechnen wir ein einfaches Beispiel durch und lernen wichtige Begriffe kennen. Womöglich hast du dann viele Fragen, ich versuche sie dir zu beantworten. Zum Schluss gebe ich einen konkreten Vorgehensplan. Lass uns mit der Wiederholung anfangen. Heute brauchen wir die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion f(x) = ax² + bx + c in der Scheitelform. f(x) = k(x + l)² + m. Weißt du noch, welche Vorteile die Scheitelform hat? An den Parametern k, l und m kann man ablesen, ob die Parabel nach unten oder nach oben zeigt und wo ihr Scheitelpunkt liegt. Der Scheitelpunkt ist der Punkt, durch den die Symmetrieachse der Parabel verläuft. Die Funktion nimmt an ihrem Scheitel das Maximum oder das Minimum an. Es hängt von dem Vorzeichen von x² ab. Dadurch, dass die Optimierungsaufgaben sich mit der größten Fläche beziehungsweise kleinsten Materialverbrauch beschäftigen, ist die Bestimmung des Scheitels von großer Bedeutung. Weißt du, wie man von der einen Form zu der anderen kommt? Um aus der Scheitelform die allgemeine zu bekommen, löst man die Klammern mithilfe der binomischen Formeln auf. Um von der allgemeinen Form zu der Scheitelform zu kommen, benötigt man die quadratische Ergänzung und die binomischen Formeln. Wie genau das funktioniert, sehen wir gleich an einem Beispiel. Wir kommen jetzt zum Optimieren. Wir rechnen eine einfache Aufgabe durch, wo sich alle Begriffe leicht und verständlich erklären lassen. Ute möchte an der Hauswand ein Kaninchengehege abgrenzen. Zur Verfügung hat sie zwölf Meter Zaun. Welche Seitenlänge soll sie wählen, damit die Fläche maximal ist? Zuerst stellen wir die Hauptbedingung auf. Die Hauptbedingung spiegelt die Bedingung wieder, die nicht zu umgehen ist. In unserem Fall ist es x + y + x = 12, oder zusammengefasst: 2x + y = 12. Danach brauchen wir die Nebenbedingung. Sie wird durch die Aufgabenstellung bestimmt. Wir suchen nach der Fläche. Also ist unsere Nebenbedingung A = x * y. Einzeln können wir die Gleichungen nicht lösen, weil sie je von zwei Variablen abhängen. Aber wir können sie kombinieren. Also stellen wir die erste Gleichung 2x + y = 12 beispielsweise nach y um und erhalten y = 12 – 2x. Nun setzen wir den Term für y in die zweite Gleichung A = x * y ein. Wir bekommen die quadratische Gleichung 12x – 2x². An welcher Stelle x ist der Flächeninhalt maximal? Wir bestimmen die Lage des Scheitelpunktes. Wir formen die Gleichung A = 12x – 2x² in die Scheitelform um. Wir klammern den Faktor -2 aus der Summe raus und erhalten A = -2(x² - 6x). Nun wenden wir die quadratische Ergänzung an und erhalten -2((x-3)² - 9). Wir fassen zusammen zu -2(x-3)² + 18 und können den Scheitelpunkt nun ablesen. Er liegt bei 3 und 18. Bitte denk an den Vorzeichenwechsel. Das Minus in der Klammer wird zu einem Plus bei der Angabe der x Koordinate. Jetzt kannst du dich zum Beispiel fragen: „Wieso suche ich nach dem Scheitel?“ Der Graph zeigt genau die Veränderung der Fläche in Abhängigkeit von x. Wir suchen den maximalen Flächeninhalt und somit den größten Funktionswert. Wir wissen, die Parabel ist nach unten geöffnet, weil vor der Klammer ein Minus steht. Der Scheitel ist also ihr höchster Punkt und seine Koordinaten geben die optimale Länge x und die zugehörige maximale Fläche an. Ute soll also die eine Seite drei Meter lang wählen und die zugehörige Fläche wäre dann 18 m². Oder interessiert dich eher auch, wie man die Hauptbedingung und die Nebenbedingung aufstellt? Es ist wichtig, genau die Aufgabenstellung zu lesen und die Informationen in Verbindung zu setzen. Du bist auf der Suche nach zwei Gleichungen, für die erste Gleichung, nämlich die Hauptbedingung, musst du die passenden Variablen wählen. In den meisten Aufgaben kommen als x und y die Seitenlängen vor oder der Preis und Besucherzahl oder Ertrag eines Apfelbaumes und die Anzahl der Apfelbäume und so weiter. Die erste Gleichung gibt die Information an, die man nicht vernachlässigen kann. Hier muss der Zusammenhang zwischen x und y angegeben werden. So wie du es auf dem Bild siehst. Deine gewählten Variablen sind gleichberechtigt, deswegen spielt es keine Rolle, nach welcher du auflöst. Die Nebenbedingung ist durch die Fragestellung bestimmt. Meistens ist es ein Produkt von den gesuchten x und y. Lass uns die erste Variante genau anschauen. Nehmen wir mal an, deine Hauptbedingung ist so gewählt, wie auf dem Bild. Die Nebenbedingung legen wir dann wie folgt fest. U = x + y * x + 1. Nun haben wir ein Gleichungssystem, das aus zwei Funktionen besteht, die jeweils von zwei Variablen abhängen. Jetzt fangen wir an umzuformen. Erstens muss man zum Beispiel nach x umstellen. x = (100 – 3y)/2. Zweitens setzen wir jetzt die rechte Seite in die Nebenbedingung ein. U = x + y * x + 1 = (100 – 3y)/2 + y * (100 - 3y)/2 + 1. Jetzt klammern wir alles aus und bekommen eine quadratische Gleichung. Wir müssen jetzt nur noch die quadratische Ergänzung anwenden und den Scheitelpunkt finden. Lass uns noch einmal das Vorgehen bei Optimierungsaufgaben mit quadratischen Funktionen zusammenfassen: Erstens: Hauptbedingung aus der Aufgabenstellung konstruieren. Zweitens: Nebenbedingung in der Fragestellung finden. Drittens: nach einer der Variablen umstellen, in die andere Gleichung einsetzen und somit die Zielfunktion bestimmen. Viertens: quadratische Funktion in die Scheitelform bringen. Fünftens: Scheitelpunkt ablesen. Jetzt sind wir auch fertig. Auf Wiedersehen.
Videobeschreibung
In diesem Video lernst du, wie man Optimierungsaufgaben mit Hilfe der quadratischen Funktionen löst. Wir wiederholen kurz die allgemeine Form und die Scheitelform einer quadratischen Funktion und den Einfluss der Parameter auf die Koordinaten des Scheitelpunktes. Es wird ein Beispiel durchgerechnet und erklärt, wie man die Hauptbedingung, Nebenbedingung und die Zielfunktion aufstellt.
Die Tutorin:
Extremwertaufgaben mit quadratischen Funktionen – Anleitung
Extremwertaufgaben mit quadratischen Funktionen – Anleitung Übung
Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Extremwertaufgaben mit quadratischen Funktionen – Anleitung kannst du es wiederholen und üben.
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Schildere die Vorgehensweise zur Lösung einer Optimierungsaufgabe.
Tipps
Bei Optimierungsaufgaben mit zwei Variablen muss eine Variable in Abhängigkeit der anderen dargestellt werden.
Optimierungsaufgaben werden oft in Form von Textaufgaben gestellt. Du musst aus der Aufgabe herleiten können, wie die Variablen miteinander verbunden sind. Ohne eine solche Angabe ist die Aufgabe nicht lösbar.
Dies führt zu der Hauptbedingung.
Die Zielfunktion $f$ könnte beispielsweise $f(x)=12x-2x^2=-2(x-3)^2+18$ sein.
Lösung
Eine Optimierungsaufgabe ist oft eine Textaufgabe. Wenn dabei 2 Variablen vorkommen, wird wir folgt vorgegangen:
- Aus der Aufgabenstellung kann der Zusammenhang zwischen den Variablen hergeleitet werden. Dies ist die Hauptbedingung.
- Die Fragestellung enthält Teilsätze der Form „damit die Fläche möglichst groß wird“ oder „damit der Materialaufwand möglichst gering wird“. Daraus kann die Nebenbedingung aufgestellt werden.
- Die Hauptbedingung und die Nebenbedingung hängen von den beiden Variablen ab. Die Hauptbedingung wird nach einer der beiden Variablen aufgelöst. Diese Variable wird dann in der Nebenbedingung eingesetzt. Das heißt, man erhält eine Funktion, die nur noch von einer Variablen abhängt: die Zielfunktion.
- Die Zielfunktion ist eine quadratische Funktion. Durch Umformen dieser Funktion in die Scheitelform kann
- der Scheitelpunkt abgelesen werden. Der Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion ist
- bei einer nach oben geöffneten Parabel der tiefste Punkt.
- bei einer nach unten geöffneten Parabel der höchste Punkt.
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Berechne den maximalen Flächeninhalt des Kaninchengeheges.
Tipps
Ute hat $12~m$ Zaun zur Verfügung. Eine Seite des Kaninchengeheges ist die Hauswand.
Das Gehege ist ein Rechteck.
Wie lautet die Formel für den Umfang eines Rechtecks?
Wie lautet die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks?
Sowohl die Haupt- als auch die Nebenbedingung hängen von 2 Variablen ab.
Die Hauptbedingung wird nach einer der Variablen aufgelöst. Dabei ist es nicht von Bedeutung, nach welcher Variablen aufgelöst wird.
Die Auflösung der Hauptbedingung nach $y$ führt zu $y=12-2x$.
Die Scheitelpunktform der Zielfunktion ist $f(x)=-2(x-3)^2+18$.
Lösung
- Ute hat $12~m$ Zaun zur Verfügung. Da das Kaninchengehege ein Rechteck ist, von dem eine Seite die Hauswand ist, führt dies zu der Hauptbedingung $2x+y=12$. Dabei ist $y$ die Seite, die parallel zur Hauswand verläuft. Der Umfang eines Rechtecks ist allgemein $U=2x+2y$.
- Du sollst nun so optimieren, „damit die Fläche möglichst groß wird“. Der Flächeninhalt des gesuchten Rechtecks ist $A=x\cdot y$. Dies ist die Nebenbedingung.
- Die Hauptbedingung und die Nebenbedingung hängen von den beiden Variablen $x$ und $y$ ab. Die Hauptbedingung wird nach $y$ aufgelöst: $y=12-2x$. Diese Variable wird jetzt in der Nebenbedingung eingesetzt: $A=x\cdot (12-2x)$. Man erhält also eine Funktion, die nur noch von einer Variablen abhängt: die Zielfunktion $f(x)=12x-2x^2$.
- Diese quadratische Funktion wird in die Scheitelform umgeformt.
- Aus der Scheitelform kann der Scheitelpunkt $S(3|18)$ abgelesen werden. Die Parabel ist nach unten geöffnet. Deshalb besagt der Scheitelpunkt, dass für $x=3~m$ und damit $y=6~m$ der maximale Flächeninhalt $A=18~m^2$ abgegrenzt werden kann.
$\begin{align*} 12x-2x^2&=-2(x^2-6x)\\ &=-2(x^2-6x+9-9)\\ &=-2((x-3)^2-9)\\ &=-2(x-3)^2+18. \end{align*}$
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Bestimme den optimalen Eintrittspreis für ein Schwimmbad, der den höchsten Ertrag erbringt.
Tipps
Die Variable $x$ steht für die Anzahl der Reduktionen des Preises um $0,50~€$ und $y$ für den Eintrittspreis. Das heißt
- $x=1$ liefert $y=5-1\cdot 0,5=4,5$.
- $x=2$ liefert $y=5-2\cdot 0,5=4$.
Rufe dir den Vorgehensplan in Erinnerung.
Zielfunktion, Scheitelpunktsform, Haupt- und Nebenbedingung spielen dabei eine wichtige Rolle.
Stelle die Nebenbedingung auf, welche die Aufgabenstellung wiedergibt. Der Ertrag ergibt sich als Produkt der Besucher mit dem Eintrittspreis.
Die Hauptbedingung gibt an, wie $x$ und $y$ zusammenhängen.
Lösung
Diese Aufgabe ist etwas komplizierter.
Zunächst werden die Variablen zugeordnet:
- $x$ steht für die Anzahl der Reduktionen des Eintrittspreis. Das heiß: Wie oft wird der Eintrittspreis um $0,50~€$ reduziert?
- $y$ ist der Eintrittspreis.
- $y=5-0,5x$ die Hauptbedingung ist,
- $200+50x$ ist die Anzahl der Besucher nach Reduktion des Eintrittspreises um $x\cdot 0,5~€$.
- Somit ist der Ertrag gegeben durch $E=(200+50x)\cdot (5-0,5x)$.
$\begin{align*} f(x)&=(200+50x)\cdot (5-0,5x)\\ &=1000-100x+250x-25x^2\\ &=-25x^2+150x+1000. \end{align*}$
Diese quadratische Gleichung wird in die Scheitelform umgeformt:
$\begin{align*} -25x^2+150x+1000&=-25(x^2-6x-40)\\ &=-25(x^2-6x+9-9-40)\\ &=-25((x-3)^2-49)\\ &=-25(x-3)^2+1225. \end{align*}$
Der Scheitelpunkt ist also $S(3|1225)$. Dies bedeutet, bei einer Reduktion um $3\cdot 0,5~€$ wird ein maximaler Erlös in Höhe von $1225~€$ erzielt. Es kommen insgesamt $200+50\cdot 3=350$ Besucher.
Gefragt war nach dem optimalen Eintrittspreis. Dieser ist gegeben durch $y=5-0,5\cdot3=3,5$.
Bei einem Eintrittspreis von $3,5~€$ wird ein maximaler Erlös von $1225~€$ erwirtschaftet.
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Bestimme die Seitenlängen des Rechtecks mit dem maximalen Flächeninhalt.
Tipps
Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist $A=x\cdot y$.
Der Umfang eines Rechtecks ist $U=2x+2y$.
Bei festem Umfang ist zum Beispiel $y=\frac{U-2x}2$.
Die Zielfunktion ist $f(x)=x\cdot \frac{U-2x}2$. Bestimme die Scheitelform und den Scheitelpunkt.
Lösung
In dieser Aufgabe ist der Umfang $U=40~cm$ vorgegeben.
- Die Hauptbedingung ist über den festen Umfang gegeben: $2x+2y=40$.
- Zu maximieren ist der Flächeninhalt, also ist die Nebenbedingung $A=x\cdot y$.
- Die Umformung der Hauptbedingung liefert $y=\frac{40-2x}2=20-x$. Dieses $y$ wird in der Nebenbedingung eingesetzt. So erhält man die Zielfunktion $f(x)=x\cdot (20-x)=-x^2+20x$.
- Die quadratische Zielfunktion wird in Scheitelform umgeformt und
- der Scheitelpunkt wird abgelesen.
$\begin{align*} -x^2+20x&=-\left(x^2-20 x+100-100\right)\\ &=-\left(\left(x-10\right)^2-100\right)\\ &=-\left(x-10\right)^2+100. \end{align*}$
Der Scheitelpunkt ist also $S(10|100)$. Was bedeutet dies?
- Es gilt: Für $x=10~cm$ und somit $y=10~cm$ wird der maximale Flächeninhalt $100~cm^2$ angenommen.
- Das heißt, dass die vier Seiten des Rechtecks gleich lang sind. Das flächenmaximale Rechteck ist also ein Quadrat.
- Diese Aussage gilt allgemein: Von allen Rechtecken ist bei festem Umfang das Quadrat das Rechteck mit dem maximalen Flächeninhalt.
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Zeige die Bedeutung der Scheitelform auf.
Tipps
Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Ist eine Parabel nach
- unten geöffnet, so hat sie einen höchsten Punkt.
- oben geöffnet, so hat sie einen tiefsten Punkt.
Aus der Scheitelform $f(x)=k(x+l)^2+m$ kann der Scheitelpunkt abgelesen werden. Dieser ist $S(-l|m)$. Beachte das vertauschte Vorzeichen in der x-Koordinate.
Dies ist die Parabel zu $f(x)=x^2+2x-1$.
- Sie ist nach oben geöffnet.
- Sie hat den Scheitelpunkt $S(-1|-2)$.
- Dieser Scheitelpunkt ist der tiefste Punkt der Parabel.
Lösung
Eine quadratische Funktion kann in der Normalform, allgemeinen Form, $f(x)=ax^2+bx+c$ oder in der Scheitelform $f(x)=k(x+l)^2+m$ vorliegen.
- Der Faktor $a$ oder $k$ gibt an, ob die Parabel nach oben (für $a>0$ oder $k>0$) oder unten (für $a<0$ oder $k<0$) geöffnet ist. Man kann an diesem Faktor auch erkennen, wie weit die Parabel geöffnet ist.
- Die Scheitelform ist sehr praktisch zum Zeichnen der Parabel, da aus ihr der Scheitelpunkt $S(-m|l)$ ablesbar ist. Er ist im Falle einer nach oben geöffneten Parabel der tiefste und im Falle einer nach unten geöffneten Parabel der höchste Punkt der Parabel. Durch den Scheitelpunkt verläuft die Symmetrieachse der Parabel parallel zur y-Achse.
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Berechne den minimalen Flächeninhalt.
Tipps
Mach dir eine Skizze des roten Quadrates und zeichne ein innenliegendes Quadrat ein.
Dieses Quadrat schneidet an den 4 Ecken rechtwinklige Dreiecke aus dem roten Quadrat aus.
Sei $x$ die Seitenlänge des innenliegenden Quadrates. Dann ist der Flächeninhalt $A=x^2$.
Den Zusammenhang zwischen $x$ und $y$ erhältst du über den Satz des Phythagoras.
Aus der Scheitelform $f(x)=k(x+l)^2+m$ kann der Scheitelpunkt $S(-l|m)$ abgelesen werden. Beachte den Vorzeichenwechsel in der x-Koordinate des Scheitelpunktes.
Lösung
Jedes Quadrat, welches in das rote Quadrat gelegt wird und dessen Ecken auf dem Rand des roten Quadrates liegen soll, hat die folgenden Eigenschaften:
- Die Seitenlängen sind die Hypotenusen von vier kongruenten, rechtwinkligen Dreiecken, welche aus dem roten Quadrat ausgeschnitten werden.
- Der Flächeninhalt ist das Quadrat dieser Hypotenuse.
- Sei die Seitenlänge des innen liegenden Quadrates $x$ und die eine Kathete $y$, dann ist die andere Kathete $20-y$. Die Summe der beiden Katheten ist die Seitenlänge des roten Quadrates $20~cm$. Nach dem Satz des Pythagoras gilt $x^2=y^2+(20-y)^2$. Dies ist der Flächeninhalt.
Diese kann in die Scheitelform durch quadratische Ergänzung überführt werden:
$\begin{align*} 2y^2-40y+400&=2(y^2-20y+200)\\ &=2(y^2-20y+100-100+200)\\ &=2((y-10)^2+100)\\ &=2(y-10)^2+200. \end{align*}$
Aus der Scheitelform kann der Scheitelpunkt abgelesen werden: $S(10|200)$. Dieser ist der tiefste Punkt der Parabel, da der Faktor vor dem $y^2$ größer ist als $0$. Das bedeutet:
- Für $y=10$ ergibt sich, dass genau in der Mitte der Seiten des roten Quadrates die Eckpunkte des innenliegenden Quadrates liegen und
- der minimale Flächeninhalt $A=200~cm^2$ ist.
