Extremwertaufgaben mit quadratischen Funktionen – Anleitung

Extremwertaufgaben mit quadratischen Funktionen – Anleitung Übung

• Schildere die Vorgehensweise zur Lösung einer Optimierungsaufgabe.

  Tipps

  Bei Optimierungsaufgaben mit zwei Variablen muss eine Variable in Abhängigkeit der anderen dargestellt werden.

  Optimierungsaufgaben werden oft in Form von Textaufgaben gestellt. Du musst aus der Aufgabe herleiten können, wie die Variablen miteinander verbunden sind. Ohne eine solche Angabe ist die Aufgabe nicht lösbar.

  Dies führt zu der Hauptbedingung.

  Die Zielfunktion $f$ könnte beispielsweise $f(x)=12x-2x^2=-2(x-3)^2+18$ sein.

  Lösung

  Eine Optimierungsaufgabe ist oft eine Textaufgabe. Wenn dabei 2 Variablen vorkommen, wird wir folgt vorgegangen:

  1. Aus der Aufgabenstellung kann der Zusammenhang zwischen den Variablen hergeleitet werden. Dies ist die Hauptbedingung.
  2. Die Fragestellung enthält Teilsätze der Form „damit die Fläche möglichst groß wird“ oder „damit der Materialaufwand möglichst gering wird“. Daraus kann die Nebenbedingung aufgestellt werden.
  3. Die Hauptbedingung und die Nebenbedingung hängen von den beiden Variablen ab. Die Hauptbedingung wird nach einer der beiden Variablen aufgelöst. Diese Variable wird dann in der Nebenbedingung eingesetzt. Das heißt, man erhält eine Funktion, die nur noch von einer Variablen abhängt: die Zielfunktion.
  4. Die Zielfunktion ist eine quadratische Funktion. Durch Umformen dieser Funktion in die Scheitelform kann
  5. der Scheitelpunkt abgelesen werden. Der Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion ist

  • bei einer nach oben geöffneten Parabel der tiefste Punkt.
  • bei einer nach unten geöffneten Parabel der höchste Punkt.

• Berechne den maximalen Flächeninhalt des Kaninchengeheges.

  Tipps

  Ute hat $12~m$ Zaun zur Verfügung. Eine Seite des Kaninchengeheges ist die Hauswand.

  Das Gehege ist ein Rechteck.

  Wie lautet die Formel für den Umfang eines Rechtecks?

  Wie lautet die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks?

  Sowohl die Haupt- als auch die Nebenbedingung hängen von 2 Variablen ab.

  Die Hauptbedingung wird nach einer der Variablen aufgelöst. Dabei ist es nicht von Bedeutung, nach welcher Variablen aufgelöst wird.

  Die Auflösung der Hauptbedingung nach $y$ führt zu $y=12-2x$.

  Die Scheitelpunktform der Zielfunktion ist $f(x)=-2(x-3)^2+18$.

  Lösung

  1. Ute hat $12~m$ Zaun zur Verfügung. Da das Kaninchengehege ein Rechteck ist, von dem eine Seite die Hauswand ist, führt dies zu der Hauptbedingung $2x+y=12$. Dabei ist $y$ die Seite, die parallel zur Hauswand verläuft. Der Umfang eines Rechtecks ist allgemein $U=2x+2y$.
  2. Du sollst nun so optimieren, „damit die Fläche möglichst groß wird“. Der Flächeninhalt des gesuchten Rechtecks ist $A=x\cdot y$. Dies ist die Nebenbedingung.
  3. Die Hauptbedingung und die Nebenbedingung hängen von den beiden Variablen $x$ und $y$ ab. Die Hauptbedingung wird nach $y$ aufgelöst: $y=12-2x$. Diese Variable wird jetzt in der Nebenbedingung eingesetzt: $A=x\cdot (12-2x)$. Man erhält also eine Funktion, die nur noch von einer Variablen abhängt: die Zielfunktion $f(x)=12x-2x^2$.
  4. Diese quadratische Funktion wird in die Scheitelform umgeformt.
  5. Aus der Scheitelform kann der Scheitelpunkt $S(3|18)$ abgelesen werden. Die Parabel ist nach unten geöffnet. Deshalb besagt der Scheitelpunkt, dass für $x=3~m$ und damit $y=6~m$ der maximale Flächeninhalt $A=18~m^2$ abgegrenzt werden kann.

  Die Scheitelpunktform bekommst du durch die quadratische Ergänzung:

  $\begin{align*} 12x-2x^2&=-2(x^2-6x)\\ &=-2(x^2-6x+9-9)\\ &=-2((x-3)^2-9)\\ &=-2(x-3)^2+18. \end{align*}$

• Bestimme den optimalen Eintrittspreis für ein Schwimmbad, der den höchsten Ertrag erbringt.

  Tipps

  Die Variable $x$ steht für die Anzahl der Reduktionen des Preises um $0,50~€$ und $y$ für den Eintrittspreis. Das heißt

  • $x=1$ liefert $y=5-1\cdot 0,5=4,5$.
  • $x=2$ liefert $y=5-2\cdot 0,5=4$.

  Rufe dir den Vorgehensplan in Erinnerung.

  Zielfunktion, Scheitelpunktsform, Haupt- und Nebenbedingung spielen dabei eine wichtige Rolle.

  Stelle die Nebenbedingung auf, welche die Aufgabenstellung wiedergibt. Der Ertrag ergibt sich als Produkt der Besucher mit dem Eintrittspreis.

  Die Hauptbedingung gibt an, wie $x$ und $y$ zusammenhängen.

  Lösung

  Diese Aufgabe ist etwas komplizierter.

  Zunächst werden die Variablen zugeordnet:

  • $x$ steht für die Anzahl der Reduktionen des Eintrittspreis. Das heiß: Wie oft wird der Eintrittspreis um $0,50~€$ reduziert?
  • $y$ ist der Eintrittspreis.

  Dies bedeutet, dass

  • $y=5-0,5x$ die Hauptbedingung ist,
  • $200+50x$ ist die Anzahl der Besucher nach Reduktion des Eintrittspreises um $x\cdot 0,5~€$.
  • Somit ist der Ertrag gegeben durch $E=(200+50x)\cdot (5-0,5x)$.

  Jetzt wird die Ertragsfunktion ausmultipliziert und man erhält die quadratische Zielfunktion:

  $\begin{align*} f(x)&=(200+50x)\cdot (5-0,5x)\\ &=1000-100x+250x-25x^2\\ &=-25x^2+150x+1000. \end{align*}$

  Diese quadratische Gleichung wird in die Scheitelform umgeformt:

  $\begin{align*} -25x^2+150x+1000&=-25(x^2-6x-40)\\ &=-25(x^2-6x+9-9-40)\\ &=-25((x-3)^2-49)\\ &=-25(x-3)^2+1225. \end{align*}$

  Der Scheitelpunkt ist also $S(3|1225)$. Dies bedeutet, bei einer Reduktion um $3\cdot 0,5~€$ wird ein maximaler Erlös in Höhe von $1225~€$ erzielt. Es kommen insgesamt $200+50\cdot 3=350$ Besucher.

  Gefragt war nach dem optimalen Eintrittspreis. Dieser ist gegeben durch $y=5-0,5\cdot3=3,5$.

  Bei einem Eintrittspreis von $3,5~€$ wird ein maximaler Erlös von $1225~€$ erwirtschaftet.

• Bestimme die Seitenlängen des Rechtecks mit dem maximalen Flächeninhalt.

  Tipps

  Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist $A=x\cdot y$.

  Der Umfang eines Rechtecks ist $U=2x+2y$.

  Bei festem Umfang ist zum Beispiel $y=\frac{U-2x}2$.

  Die Zielfunktion ist $f(x)=x\cdot \frac{U-2x}2$. Bestimme die Scheitelform und den Scheitelpunkt.

  Lösung

  In dieser Aufgabe ist der Umfang $U=40~cm$ vorgegeben.

  1. Die Hauptbedingung ist über den festen Umfang gegeben: $2x+2y=40$.
  2. Zu maximieren ist der Flächeninhalt, also ist die Nebenbedingung $A=x\cdot y$.
  3. Die Umformung der Hauptbedingung liefert $y=\frac{40-2x}2=20-x$. Dieses $y$ wird in der Nebenbedingung eingesetzt. So erhält man die Zielfunktion $f(x)=x\cdot (20-x)=-x^2+20x$.
  4. Die quadratische Zielfunktion wird in Scheitelform umgeformt und
  5. der Scheitelpunkt wird abgelesen.

  Die Scheitelform kann durch quadratische Ergänzung ermittelt werden:

  $\begin{align*} -x^2+20x&=-\left(x^2-20 x+100-100\right)\\ &=-\left(\left(x-10\right)^2-100\right)\\ &=-\left(x-10\right)^2+100. \end{align*}$

  Der Scheitelpunkt ist also $S(10|100)$. Was bedeutet dies?

  • Es gilt: Für $x=10~cm$ und somit $y=10~cm$ wird der maximale Flächeninhalt $100~cm^2$ angenommen.

  • Das heißt, dass die vier Seiten des Rechtecks gleich lang sind. Das flächenmaximale Rechteck ist also ein Quadrat.

  • Diese Aussage gilt allgemein: Von allen Rechtecken ist bei festem Umfang das Quadrat das Rechteck mit dem maximalen Flächeninhalt.

• Zeige die Bedeutung der Scheitelform auf.

  Tipps

  Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Ist eine Parabel nach

  • unten geöffnet, so hat sie einen höchsten Punkt.
  • oben geöffnet, so hat sie einen tiefsten Punkt.

  Aus der Scheitelform $f(x)=k(x+l)^2+m$ kann der Scheitelpunkt abgelesen werden. Dieser ist $S(-l|m)$. Beachte das vertauschte Vorzeichen in der x-Koordinate.

  Dies ist die Parabel zu $f(x)=x^2+2x-1$.

  • Sie ist nach oben geöffnet.
  • Sie hat den Scheitelpunkt $S(-1|-2)$.
  • Dieser Scheitelpunkt ist der tiefste Punkt der Parabel.

  Lösung

  Eine quadratische Funktion kann in der Normalform, allgemeinen Form, $f(x)=ax^2+bx+c$ oder in der Scheitelform $f(x)=k(x+l)^2+m$ vorliegen.

  • Der Faktor $a$ oder $k$ gibt an, ob die Parabel nach oben (für $a>0$ oder $k>0$) oder unten (für $a<0$ oder $k<0$) geöffnet ist. Man kann an diesem Faktor auch erkennen, wie weit die Parabel geöffnet ist.
  • Die Scheitelform ist sehr praktisch zum Zeichnen der Parabel, da aus ihr der Scheitelpunkt $S(-m|l)$ ablesbar ist. Er ist im Falle einer nach oben geöffneten Parabel der tiefste und im Falle einer nach unten geöffneten Parabel der höchste Punkt der Parabel. Durch den Scheitelpunkt verläuft die Symmetrieachse der Parabel parallel zur y-Achse.

• Berechne den minimalen Flächeninhalt.

  Tipps

  Mach dir eine Skizze des roten Quadrates und zeichne ein innenliegendes Quadrat ein.

  Dieses Quadrat schneidet an den 4 Ecken rechtwinklige Dreiecke aus dem roten Quadrat aus.

  Sei $x$ die Seitenlänge des innenliegenden Quadrates. Dann ist der Flächeninhalt $A=x^2$.

  Den Zusammenhang zwischen $x$ und $y$ erhältst du über den Satz des Phythagoras.

  Aus der Scheitelform $f(x)=k(x+l)^2+m$ kann der Scheitelpunkt $S(-l|m)$ abgelesen werden. Beachte den Vorzeichenwechsel in der x-Koordinate des Scheitelpunktes.

  Lösung

  Jedes Quadrat, welches in das rote Quadrat gelegt wird und dessen Ecken auf dem Rand des roten Quadrates liegen soll, hat die folgenden Eigenschaften:

  • Die Seitenlängen sind die Hypotenusen von vier kongruenten, rechtwinkligen Dreiecken, welche aus dem roten Quadrat ausgeschnitten werden.
  • Der Flächeninhalt ist das Quadrat dieser Hypotenuse.
  • Sei die Seitenlänge des innen liegenden Quadrates $x$ und die eine Kathete $y$, dann ist die andere Kathete $20-y$. Die Summe der beiden Katheten ist die Seitenlänge des roten Quadrates $20~cm$. Nach dem Satz des Pythagoras gilt $x^2=y^2+(20-y)^2$. Dies ist der Flächeninhalt.

  Also kann die Zielfunktion bestimmt werden: $f(y)=2y^2-40y+400$.

  Diese kann in die Scheitelform durch quadratische Ergänzung überführt werden:

  $\begin{align*} 2y^2-40y+400&=2(y^2-20y+200)\\ &=2(y^2-20y+100-100+200)\\ &=2((y-10)^2+100)\\ &=2(y-10)^2+200. \end{align*}$

  Aus der Scheitelform kann der Scheitelpunkt abgelesen werden: $S(10|200)$. Dieser ist der tiefste Punkt der Parabel, da der Faktor vor dem $y^2$ größer ist als $0$. Das bedeutet:

  • Für $y=10$ ergibt sich, dass genau in der Mitte der Seiten des roten Quadrates die Eckpunkte des innenliegenden Quadrates liegen und
  • der minimale Flächeninhalt $A=200~cm^2$ ist.