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Extremwertaufgaben mit quadratischen Funktionen

Scheitelpunkt bestimmen, quadratische Zielfunktion, Optimierungsaufgaben, Nebenbedingung

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Einleitung Extremwertaufgaben

Bei Extremwertproblemen geht es darum, für eine bestimmte Größe (z.B. eine Fläche, Produktionskosten o.Ä.) den minimalen oder maximalen Wert zu finden. Dabei müssen eine oder mehrere Nebenbedingungen eingehalten werden. Kernstück einer Extremwertaufgabe ist eine Zielfunktion, die sich aus der gestellten Aufgabe ergibt. Für diese Zielfunktion kannst du dann mithilfe der Differenzialrechnung Extremwerte bestimmen. Der wichtigste Schritt einer Extremwertaufgabe besteht deshalb darin, diese Zielfunktion aufzustellen. Hierfür musst du folgende Schritte ausführen:

Zielfunktion bei Extremwertaufgaben aufstellen

  1. Du stellst die Hauptbedingung (HB) auf. Sie gibt an, wie die Größe berechnet wird, die maximal oder minimal werden soll. Welche Namen die Variablen bekommen sollen, kannst du häufig selbst bestimmen. Ein Beispiel: Du hast eine Schnur von 20 m Länge und sollst damit eine möglichst große rechteckige Fläche lückenlos abstecken. Eine Rechteckfläche soll also maximal werden. Die Hauptbedingung ist deshalb die Berechnungsformel einer solchen Fläche. HB: A = a · b, wobei a und b die Rechteckseiten sind.

  2. Meistens enthält die Hauptbedingung mehr als eine Variable, auch im Rechteck-Beispiel (a und b). Der Aufgabentext gibt aber noch Nebenbedingungen (NB) an, mit deren Hilfe du Variablen "loswerden" kannst. Im Beispiel ist das Band 20 m lang, d.h. der Umfang des Rechtecks beträgt 20 m. Die Nebenbedingung lautet deshalb: NB: u = 20 = 2a + 2b.

  3. Die Nebenbedingung löst du jetzt nach einer der Variablen auf, z.B. nach b. Häufig erweist sich hier eine günstiger als die andere. Aus 20 = 2a + 2b folgt b = 10 – a.

  4. Diese Variable setzt du nun in die Hauptbedingung ein. Die Hauptbedingung enthält dann nur noch eine Variable. Dadurch entsteht die Zielfunktion (ZF): ZF: A(a) = a · (10 – a) = 10a – a². Diese Funktion ermöglicht es dir, zu jeder Seitenlänge a den dazugehörigen Flächeninhalt zu bestimmen. Ist z.B. a = 6, so ist A(6) = 10 · 6 – 6² = 24. Ist a = 3, so ergibt sich ein Flächeninhalt von A(3) = 10 · 3 – 3² = 21.

  5. Zum Schluss musst du noch überprüfen, ob der Definitionsbereich D möglicherweise durch die Problemstellung eingeschränkt ist. Häufig ergeben z.B. negative Werte keinen Sinn. Manchmal ist auch die Definitionsmenge nach oben beschränkt. Im vorliegenden Beispiel ergeben negative Werte für a keinen Sinn, da Seitenlängen immer positiv sind. Außerdem hat man nur 20 m Band zur Verfügung, d.h. a kann nicht größer als 10 werden (dann ist b = 0 ). Somit gilt: D = [0; 10].

Maximum mit 1. und 2. Ableitung bestimmen

Die Zielfunktion A(a) = 10a – a² ist im obigen Beispiel eine quadratische Funktion. Gesucht ist nun derjenige Wert für a, der zum größtmöglichen Flächeninhalt führt. Somit suchst du in diesem Fall das Maximum der Zielfunktion. Dieses erhältst du mithilfe der ersten Ableitung. Die Bestätigung, dass es sich wirklich um das Maximum handelt, liefert dann die zweite Ableitung. Weitere Schritte sind nun also:

  1. Leite die Zielfunktion zweimal ab: A' (x) = 10 - 2a; A'' (x) = -2.
  2. Bestimme die Extrema der Zielfunktion. Es sind die Nullstellen der 1. Ableitung: Extremwertaufgabe, Nullstellen 1. Ableitung
  3. Überprüfe die Nullstellen der 1. Ableitung mithilfe der 2. Ableitung: A'' (5) = -2 < 0. Somit handelt es sich bei a = 5 um eine Maximalstelle.
  4. Nun berechnest du noch die Zielfunktion für den gefundenen Wert von a. Diese Größe war ja gesucht: A(5) = 10 · 5 - 5² = 25. Der größtmögliche Flächeninhalt ergibt sich also für die Seitenlängen a = b = 5 m und beträgt 25 m². Es handelt sich um ein Quadrat.

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